\lettrine{L}{es unités} sont des ``objets'' d'une importance capitale pour exprimer la valeur d'une grandeur. À chacune d'elle peut correspondre beaucoup d'unités. C'est parfaitement compréhensible étant donné la variété des domaines auxquels elles s'appliquent et à priori il est naturel que chacun définisse les unités qui lui sont les plus pratiques. Mais, deux problèmes se posent alors. Le premier tient dans le fait que plus le nombre d'unités est grand, plus il est difficile de les faire correspondre entre elles. Le second tient dans le fait qu'effectuer des calculs complexes génère des unités complexes. On se heurte donc à des problèmes de \emph{conversion} et à des problèmes de \emph{construction} des unités. C'est pour régler ces deux types de problèmes qu'a été inventé le \emph{Système International d'unités}.
\section{Opérateur d'unités}
\medskip
Auparavant, voyons comment se construisent les unités. On n'envisage pas ici de décrire comment les unités de base ont été définies historiquement. Leur histoire est intéressante, mais complexe. Pour le mètre, par exemple, on pourra consulter \cite{AK05} ou \cite{AS06}.
La construction des unités dérivées des unités de base se fait à l'aide de l'opérateur d'unités [\dots] (il s'agit des ``crochets'') dont la signification est \emph{\og l'unité de~\dots\fg{}}. Ainsi, écrire~:
On peut relever à cette occasion que cette notation permet de savoir comment reporter les unités sur les axes d'un graphique. En effet, de manière générale, on note une grandeur \(X\) ainsi~:
où \(X\) est la grandeur, \(x\) sa valeur et \([X]\) son unité. Or, comme ce sont les valeurs d'une grandeur qu'on reporte en regard de l'axe d'un graphique, on peut isoler la valeur de l'équation \ref{express_unite}~:
Logiquement, on voit qu'il ne vient pas de crochets autour de l'unité, comme cela est parfois pratiqué. De plus, il faut mettre un symbole de division entre la grandeur et l'unité.
Venons en maintenant à la construction des unités. Commençons par des expressions connues comme la vitesse. Pour déterminer les unités à associer à une vitesse, il faut connaître son expression en termes de grandeurs de base, c'est-à-dire dont les unités sont simples~:
On voit que lorsque l'opérateur [\dots] s'applique sur une fraction, il s'applique à chacun de ses termes. On voit aussi la correspondance entre la division des grandeurs et l'expression ``par'' qui lie les deux unités de base de la vitesse.
Pour des expression plus complexes, cette ``algèbre'' des unité s'applique aussi. Ainsi, les unités de la force sont obtenues à partir de la seconde loi de Newton~:
On voit qu'appliquer l'opérateur d'unité à une racine revient à l'appliquer aux termes de la racine et que diviser une unité par une fraction de deux autres revient à la multiplier par l'inverse de cette fraction, comme en algèbre ordinaire. Ainsi aussi, la racine du carré d'une unité correspond-elle à l'unité elle-même.
Ainsi, par la suite nous rencontrerons des combinaisons d'unités s'appuyant sur des opérations arithmétiques et il sera possible de les manipuler en tant que telles. C'est pourquoi nous dirons que l'opérateur d'unité est un opérateur algébrique. Nous allons voir qu'il est possible de se livrer aussi à une étude des lois du point de vue de leurs unités à travers ce qu'on nomme une \emph{analyse dimentionnelle}.
Pour comprendre les relations entretenues par différentes grandeurs, plusieurs méthodes sont à notre disposition. Les deux principales sont la déduction mathématique utilisée à partir des axiomes d'une théorie et l'induction expérimentale. L'analyse dimentionnelle est un outil supplémentaire permettant la vérification des lois. On entend par analyse dimentionnelle l'étude des dimensions des grandeurs impliquées, c'est-à-dire l'analyse de leurs unités. Par exemple, si on envisage la force centripète \(F\) exercée par la corde qui retient un objet en rotation, on peut écrire~:
où \(m\) est la masse de l'objet, \(v\) sa vitesse et \(R\) le rayon du cercle parcouru. En effet, intuitivement, la force doit être forte pour une grande masse et une vitesse importante. Par contre, en imaginant une voiture qui prend un virage, on s'imagine bien que c'est pour un rayon petit que cette force doit être grande. D'où la forme de la relation proposée.
La correction est assez facile à trouver. Comme il faut l'inverse d'un temps au carré et que le temps n'apparaît que dans la vitesse, on peut essayer~:
Un tel outil est très puissant et si simple à utiliser qu'il est important de le faire systèmatiquement.
\section{Les unités du Système International}
Nous avons dit précédemment que le Système International d'unités\index{Système!International d'unités} (SI\index{SI}) a sa raison d'être, non pas dans l'uniformisation (qui n'a pas de sens véritable puisqu'à chaque type de problème un système d'unité adéquat doit être choisi pour simplifier la représentation numérique) mais dans la simplification des calculs. En effet, tous les calculs effectués dans ce système sont prévus (au niveau des constantes utilisées) pour donner des résultats dont les unités restent dans ce système.
Il est évident que ces unités sont complexes et que le résultat ne peut être exprimé ainsi dans une unité connue. En n'utilisant pas un système cohérent d'unités, il est nécessaire de faire suivre l'ensemble des calculs réalisés par leur équivalent en terme d'unités afin de savoir quelles sont les unités à attribuer aux résultats. Quand les grandeurs utilisées sont complexes, cela devient vite très pénible.
Le ``Système International d'unités'' est là pour y remédier. En effet, en travaillant exclusivement avec des grandeurs exprimées en unités internationales, on peut garantir que le résultat s'exprimera dans l'unité internationale correspondant à sa grandeur. Ainsi, pour une longueur \(L=\SI{2}{\metre}\), l'exemple précédent donne le résultat suivant~:
Ainsi, on peut imaginer une grandeur issue d'un calcul faisant intervenir les deux grandeurs suivantes~: une force et une masse. Si ce calcul se fait à partir de ces deux grandeurs exprimées dans les unités du système international, dans le cas présent des newtons (\si{\newton}) pour la force et des kilogrammes (\si{\kilogram}) pour la masse, alors le résultat est forcément exprimé dans les unités du Système International. Comme il s'agit ici d'une accélération, ces unités sont des \si{\metre\per\square\second}.
Le parsec\index{parsec} est la distance à laquelle \SI{1}{\astronomicalunit}\index{UA} est vue sous un angle de \SI{1}{\arcsecond} (une seconde\index{seconde!d'arc}) d'arc. Comme \SI{1}{\degree} est divisé en \SI{60}{\arcminute} (minutes\index{minute d'arc}) d'arc et \SI{1}{\arcminute} d'arc en \SI{60}{\arcsecond}, une seconde d'arc (\SI{1}{\arcsecond}) représente \SI{1/3600}{\degree}. Pour calculer ce que vaut \SI{1}{\parsec}\index{pc}, il faut une relation entre la distance réelle L de \SI{1}{\astronomicalunit} et l'angle \(\alpha\) (\SI{1}{\arcsecond}) sous lequel cette distance est vue. Cette relation est (voir figure \ref{arc}):
où \(R\) est le rayon de l'arc de cercle de longueur \(L\) et d'angle au centre \(\alpha\). Mais, attention, \(\alpha\) doit être en radians. Or, comme \SI{180}{\degree}=\SI{\pi}{\radian}, \SI{1}{\degree}=\SI{\pi}{\radian}/\SI{180}{\radian} et \SI{1}{\arcsecond}=\SI{\pi}{\radian}/(\SI[output-product = \cdot]{180 x 3600}{\radian}). Ainsi on obtient la valeur du parsec~:
On trouvera dans la table \ref{prefixes} les principales notations pour les multiples\index{multiple} et les sous-multiples\index{sous-multiple}. Ces notations sont bien évidemment liées à la notation scientifique\index{notation@notation!scientifique}. Elle est aussi liée à un autre type de notation, dite notation d'ingénieur\index{notation@notation!d'ingénieur}, qu'il faut mentionner au moins une fois. En effet, si cette notation est relativement peu utilisée hors des cercles d'ingénieurs, elle est assez souvent présente sur les machines à calculer. Pour qu'elle ne pose pas de problèmes, il est donc plus nécessaire de savoir ne pas l'activer que de savoir l'utiliser. En fait, c'est une notation scientifique, dont les exposants du facteur 10 sont des multiples de 3. Ainsi, par exemple, les mètres (\(10^{0}\)) et les millimètres (\(10^{-3}\)) sont utilisés dans cette notation, mais pas les centimètres (\(10^{-2}\)).
A ne pas confondre avec la notation d'ingénieur\index{notation@notation!d'ingénieur} (par multiples de \(10^3\)), la notation scientifique~: \(\cdot10^{x}\), ou x est un nombre entier positif ou négatif, peut être utilisée sur une machine à calculer à l'aide de la touche \fbox{EXP}\index{EXP} ou \fbox{EE}\index{EE}~. Notez que l'affichage peut alors donner, par exemple~:
pour \(5\cdot10^{2}\), sans marquer le \(10\) et avec un \(2\) sur la même ligne d'affichage que le \(5\). Ce type d'affichage pose des problème de compréhension et génère des fautes de calcul. Par exemple, pour calculer~:
ce qui est trompeur puisque cela signifie \(10\cdot10^{-10}\) et non \(10^{-10}\), c'est-à-dire \(1\cdot10^{-10}\). Pour cela, il aurait fallu taper~: 1~\fbox{EE}~-10 et l'affichage aurait donné~:
