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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.aux
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex
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\chapter{Chute de la Lune}\label{chutelunecirculaire}
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\section{Introduction}
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\lettrine{L}{e calcul} ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la Lune basé sur sa chute libre sur la Terre. Il est valable dans la mesure d'un angle $\alpha$ très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
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\section{Accélération}\label{chutedelalune}
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||||
Considérons la figure \ref{schemachutelune} qui décrit successivement le mouvement en ligne droite d'une Lune qui n'est pas soumise à l'attraction de la Terre, puis sa chute libre vers la Terre pendant le même temps de \unit{1}{\second}. Le mouvement de rotation circulaire de la Lune autour de la Terre est ainsi compris comme un mouvement simultanément balistique (MRU sur AB et MRUA sur BC) et central puisque BC a la direction Terre-Lune. Il s'agit donc d'un modèle plus juste, mais plus complexe, que celui présenté au paragraphe \ref{chutelune}.
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\begin{figure}[t]
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\caption{Chute de la lune\label{schemachutelune}}
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\input{Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune}
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\end{figure}
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||||
Pythagore et la géométrie évidente du problème présenté dans la figure \ref{schemachutelune} permettent d'écrire :
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\begin{align*}
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||||
BC&=\sqrt{AD^2+AB^2}-CD\\
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||||
&=\sqrt{AD^2+AB^2}-AD\\
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||||
&=\sqrt{AD^2\cdot (1+\frac{AB^2}{AD^2})}-AD\\
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||||
&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD
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||||
\end{align*}
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||||
Il faut maintenant faire appel à une opération mathématique qui consiste à traduire une fonction complexe comme la racine carrée en une somme infinie de termes simples. Il s'agit d'un développement limité. Dans le même temps, pour ne pas devoir traiter une somme infinie, il faut effectuer une approximation qui va permettre de ne garder que quelques termes de cette somme. Cette simplification est justifiée par la petitesse du terme \(AB\) comparé à la distance Terre-Lune \(AD\). Plus précisément, on a alors :
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||||
\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2\cdot 4}\cdot x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot x^3-\dots\]
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||||
pour \(|x|\ll 1\). L'approximation consiste à ne retenir que les deux premiers termes :
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||||
\[\sqrt{1+x}\cong1+\frac{1}{2}\cdot x\]
|
||||
Ainsi, en raison du fait que :
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||||
\[(\frac{AB}{AD})^2\ll 1\]
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||||
on peut écrire, à fortiori, la suite du calcul précédent :
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||||
\begin{align*}
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||||
BC&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD\\
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||||
&=AD\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2)-AD\\
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||||
&=AD+AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2-AD\\
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||||
&=AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2
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||||
\end{align*}
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||||
Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un temps de \unit{1}{\second} par :
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||||
\[\omega(t=1\,s)=\frac{\alpha}{t}=\frac{\alpha}{1}=\alpha\]
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||||
En considérant un angle $\alpha$ petit, on a d'autre part :
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\[\alpha\cong \tan(\alpha)=\frac{AB}{AD}\]
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||||
Ce qui permet d'écrire :
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||||
\[\omega=\frac{AB}{AD}\]
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||||
En remplaçant \(AD\) par \(d_{Terre-Lune}\), on peut finalement trouver \(BC\) :
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\begin{equation}\label{equation1}
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||||
BC=d_{Terre-Lune}\cdot \frac{1}{2}\cdot \omega^2
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||||
\end{equation}
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||||
Mais, si on fait l'hypothèse d'une chute libre de la Lune en MRUA pendant une seconde, on a :
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\begin{equation}\label{equation2}
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||||
BC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot a
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\end{equation}
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||||
Si on considère maintenant le mouvement de rotation de la Lune pendant une période \(T\), soit pendant \unit{27,33}{jours}, sur un tour (\(2\cdot \pi\,rad\)) autour de la Terre, on peut écrire :
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||||
\[\omega=\frac{2\cdot \pi}{T}\]
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||||
Et en réunissant alors les équations \ref{equation1} et \ref{equation2}, on a :
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||||
\begin{align*}
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||||
\frac{1}{2}\cdot a&=\frac{1}{2}\cdot d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2\;\Rightarrow\\
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||||
a&=d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2=d_{Terre-Lune}\cdot (\frac{2\cdot \pi}{T})^2\\
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||||
&=3,844\cdot 10^8\cdot (\frac{2\cdot \pi}{27,33\cdot 24\cdot 3600})^2\\
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||||
&=\unit{2,72\cdot 10^{-3}}{\metre\per\second\squared}=\unit{2,72}{\milli\metre\per\second\squared}
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||||
\end{align*}
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||||
On peut comparer cette valeur à la valeur exacte donnée à la fin du paragraphe \ref{chutelibredelalune} :
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\[a=\unit{2,7\cdot10^{-3}}{\metre\per\second\squared}\]
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\section{Force de gravitation}
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||||
On peut aller plus loin en déterminant le rapport $r$ de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre :
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||||
\[r=\frac{g}{a}=\frac{9,81}{2,72\cdot 10^{-3}}=3607\]
|
||||
et en remarquant que c'est précisément le rapport des carrés des distances \(d_{Terre-Lune}\) et \(R_{Terre}\) :
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||||
\[r=\frac{d_{Terre-Lune}^2}{R_{Terre}^2}=\frac{(3,844\cdot 10^8)^2}{(6,371\cdot 10^6)^2}=3640\]
|
||||
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversément proportionnelle au carré de la distance. Comme $F=m\cdot a$, la force de gravitation est aussi inversément proportionnelle au carré des distances :
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\[F\sim \frac{1}{r^2}\]
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||||
On voit apparaître là la loi de la gravitation universelle.
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex.backup
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex.backup
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\chapter{Chute de la lune}\label{chutelunecirculaire}
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\section{Introduction}
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||||
Le calcul ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la lune basé sur sa chute libre sur la terre. Il est valable dans la mesure d'un angle $\alpha$ très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la lune autour de la terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
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\section{Accélération}\label{chutedelalune}
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||||
Considérons la figure \ref{schemachutelune} qui décrit successivement le mouvement en ligne droite d'une lune qui n'est pas soumise à l'attraction de la terre, puis sa chute libre vers la terre pendant le même temps de $1\,s$. Le mouvement de rotation circulaire de la lune autour de la terre est ainsi compris comme un mouvement simultanément balistique (MRU sur AB et MRUA sur BC) et central puisque BC a la direction terre lune. Il s'agit donc d'un modèle plus juste, mais plus complexe, que celui présenté au paragraphe \ref{chutelune}.
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\begin{figure}[t]
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\caption{Chute de la lune\label{schemachutelune}}
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\input{Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune}
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\end{figure}
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Pythagore et la géométrie évidente du problème présenté dans la figure \ref{schemachutelune} permettent d'écrire :
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\begin{align*}
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||||
BC&=\sqrt{AD^2+AB^2}-CD\\
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&=\sqrt{AD^2+AB^2}-AD\\
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&=\sqrt{AD^2\cdot (1+\frac{AB^2}{AD^2})}-AD\\
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&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD
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\end{align*}
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||||
Il faut maintenant faire appel à une opération mathématique qui consiste à traduire une fonction complexe comme la racine carrée en une somme infinie de termes simples. Il s'agit d'un développement limité. Dans le même temps, pour ne pas devoir traiter une somme infinie, il faut effectuer une approximation qui va permettre de ne garder que quelques termes de cette somme. Cette simplification est justifiée par la petitesse du terme $AB$ comparé à la distance terre-lune $AD$. Plus précisément, on a alors :
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||||
\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2\cdot 4}\cdot x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot x^3-\dots\]
|
||||
pour $|x|\leq<1$. L'approximation consiste à ne retenir que les deux premiers termes :
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||||
\[\sqrt{1+x}\cong1+\frac{1}{2}\cdot x\]
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||||
Ainsi, en raison du fait que :
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||||
\[(\frac{AB}{AD})^2\ll 1\]
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||||
on peut écrire, à fortiori, la suite du calcul précédent :
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\begin{align*}
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||||
BC&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD\\
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||||
&=AD\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2)-AD\\
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&=AD+AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2-AD\\
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&=AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2
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\end{align*}
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Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un temps de $1\,s$ par :
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\[\omega(t=1\,s)=\frac{\alpha}{t}=\frac{\alpha}{1}=\alpha\]
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||||
En considérant un angle $\alpha$ petit, on a d'autre part :
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\[\alpha\cong \tan(\alpha)=\frac{AB}{AD}\]
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||||
Ce qui permet d'écrire :
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\[\omega=\frac{AB}{AD}\]
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||||
En remplaçant $AD$ par $d_{terre-lune}$, on peut finalement trouver $BC$ :
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\begin{equation}\label{equation1}
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BC=d_{terre-lune}\cdot \frac{1}{2}\cdot \omega^2
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\end{equation}
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||||
Mais, si on fait l'hypothèse d'une chute libre de la lune en MRUA pendant une seconde, on a :
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\begin{equation}\label{equation2}
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BC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot a
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\end{equation}
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||||
Si on considère maintenant le mouvement de rotation de la lune pendant une période $T$, soit pendant $27,33\,jours$, sur un tour ($2\cdot \pi\,rad$) autour de la terre, on peut écrire :
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\[\omega=\frac{2\cdot \pi}{T}\]
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||||
Et en réunissant alors les équations \ref{equation1} et \ref{equation2}, on a :
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\begin{align*}
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||||
\frac{1}{2}\cdot a&=\frac{1}{2}\cdot d_{terre-lune}\cdot \omega^2\;\Rightarrow\\
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||||
a&=d_{terre-lune}\cdot \omega^2=d_{terre-lune}\cdot (\frac{2\cdot \pi}{T})^2\\
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||||
&=3,844\cdot 10^8\cdot (\frac{2\cdot \pi}{27,33\cdot 24\cdot 3600})^2\\
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&=2,72\cdot 10^{-3}\,m/s^2=2,72\,mm/s^2
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\end{align*}
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On peut comparer cette valeur à la valeur exacte donnée à la fin du paragraphe \ref{chutelibredelalune} :
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\[a=2,7\cdot10^{-3}\, m/s^{2}\]
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\section{Force de gravitation}
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On peut aller plus loin en déterminant le rapport $r$ de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre :
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\[r=\frac{g}{a}=\frac{9,81}{2,72\cdot 10^{-3}}=3607\]
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et en remarquant que c'est précisément le rapport des carrés des distances $d_{terre-lune}$ et $R_{terre}$ :
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||||
\[r=\frac{d_{terre-lune}^2}{R_{terre}^2}=\frac{(3,844\cdot 10^8)^2}{(6,371\cdot 10^6)^2}=3640\]
|
||||
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversément proportionnelle au carré de la distance. Comme $F=m\cdot a$, la force de gravitation est aussi inversément proportionnelle au carré des distances :
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||||
\[F\sim \frac{1}{r^2}\]
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On voit apparaître là la loi de la gravitation universelle.
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex~
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Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.tex~
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\chapter{Chute de la Lune}\label{chutelunecirculaire}
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\section{Introduction}
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||||
Le calcul ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la Lune basé sur sa chute libre sur la Terre. Il est valable dans la mesure d'un angle $\alpha$ très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
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||||
\section{Accélération}\label{chutedelalune}
|
||||
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||||
Considérons la figure \ref{schemachutelune} qui décrit successivement le mouvement en ligne droite d'une Lune qui n'est pas soumise à l'attraction de la Terre, puis sa chute libre vers la Terre pendant le même temps de \unit{1}{\second}. Le mouvement de rotation circulaire de la Lune autour de la Terre est ainsi compris comme un mouvement simultanément balistique (MRU sur AB et MRUA sur BC) et central puisque BC a la direction Terre-Lune. Il s'agit donc d'un modèle plus juste, mais plus complexe, que celui présenté au paragraphe \ref{chutelune}.
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\begin{figure}[t]
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\caption{Chute de la lune\label{schemachutelune}}
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\input{Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune}
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\end{figure}
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||||
Pythagore et la géométrie évidente du problème présenté dans la figure \ref{schemachutelune} permettent d'écrire :
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\begin{align*}
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||||
BC&=\sqrt{AD^2+AB^2}-CD\\
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||||
&=\sqrt{AD^2+AB^2}-AD\\
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||||
&=\sqrt{AD^2\cdot (1+\frac{AB^2}{AD^2})}-AD\\
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||||
&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD
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||||
\end{align*}
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||||
Il faut maintenant faire appel à une opération mathématique qui consiste à traduire une fonction complexe comme la racine carrée en une somme infinie de termes simples. Il s'agit d'un développement limité. Dans le même temps, pour ne pas devoir traiter une somme infinie, il faut effectuer une approximation qui va permettre de ne garder que quelques termes de cette somme. Cette simplification est justifiée par la petitesse du terme \(AB\) comparé à la distance Terre-Lune \(AD\). Plus précisément, on a alors :
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||||
\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2\cdot 4}\cdot x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot x^3-\dots\]
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||||
pour \(|x|\ll 1\). L'approximation consiste à ne retenir que les deux premiers termes :
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||||
\[\sqrt{1+x}\cong1+\frac{1}{2}\cdot x\]
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||||
Ainsi, en raison du fait que :
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||||
\[(\frac{AB}{AD})^2\ll 1\]
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||||
on peut écrire, à fortiori, la suite du calcul précédent :
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||||
\begin{align*}
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||||
BC&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD\\
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||||
&=AD\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2)-AD\\
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||||
&=AD+AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2-AD\\
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&=AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2
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\end{align*}
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Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un temps de \unit{1}{\second} par :
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\[\omega(t=1\,s)=\frac{\alpha}{t}=\frac{\alpha}{1}=\alpha\]
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||||
En considérant un angle $\alpha$ petit, on a d'autre part :
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||||
\[\alpha\cong \tan(\alpha)=\frac{AB}{AD}\]
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||||
Ce qui permet d'écrire :
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||||
\[\omega=\frac{AB}{AD}\]
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En remplaçant \(AD\) par \(d_{Terre-Lune}\), on peut finalement trouver \(BC\) :
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\begin{equation}\label{equation1}
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||||
BC=d_{Terre-Lune}\cdot \frac{1}{2}\cdot \omega^2
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||||
\end{equation}
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||||
Mais, si on fait l'hypothèse d'une chute libre de la Lune en MRUA pendant une seconde, on a :
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||||
\begin{equation}\label{equation2}
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||||
BC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot a
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||||
\end{equation}
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||||
Si on considère maintenant le mouvement de rotation de la Lune pendant une période \(T\), soit pendant \unit{27,33}{jours}, sur un tour (\(2\cdot \pi\,rad\)) autour de la Terre, on peut écrire :
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||||
\[\omega=\frac{2\cdot \pi}{T}\]
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||||
Et en réunissant alors les équations \ref{equation1} et \ref{equation2}, on a :
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\begin{align*}
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||||
\frac{1}{2}\cdot a&=\frac{1}{2}\cdot d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2\;\Rightarrow\\
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||||
a&=d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2=d_{Terre-Lune}\cdot (\frac{2\cdot \pi}{T})^2\\
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||||
&=3,844\cdot 10^8\cdot (\frac{2\cdot \pi}{27,33\cdot 24\cdot 3600})^2\\
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&=\unit{2,72\cdot 10^{-3}}{\metre\per\second\squared}=\unit{2,72}{\milli\metre\per\second\squared}
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\end{align*}
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||||
On peut comparer cette valeur à la valeur exacte donnée à la fin du paragraphe \ref{chutelibredelalune} :
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\[a=\unit{2,7\cdot10^{-3}}{\metre\per\second\squared}\]
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\section{Force de gravitation}
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||||
On peut aller plus loin en déterminant le rapport $r$ de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre :
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||||
\[r=\frac{g}{a}=\frac{9,81}{2,72\cdot 10^{-3}}=3607\]
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||||
et en remarquant que c'est précisément le rapport des carrés des distances \(d_{Terre-Lune}\) et \(R_{Terre}\) :
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||||
\[r=\frac{d_{Terre-Lune}^2}{R_{Terre}^2}=\frac{(3,844\cdot 10^8)^2}{(6,371\cdot 10^6)^2}=3640\]
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||||
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversément proportionnelle au carré de la distance. Comme $F=m\cdot a$, la force de gravitation est aussi inversément proportionnelle au carré des distances :
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||||
\[F\sim \frac{1}{r^2}\]
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On voit apparaître là la loi de la gravitation universelle.
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Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune.tex
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Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune.tex
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
%<circle closure= "plain"
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
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|
||||
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||||
% >
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||||
%Terre
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||||
%</text>
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||||
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|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
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|
||||
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|
||||
% >
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||||
%Lune
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%</text>
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
% >
|
||||
%temps de chute : $1\,s$
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||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
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|
||||
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|
||||
% >
|
||||
%A
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||||
%</text>
|
||||
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|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
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|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
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||||
%B
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||||
%</text>
|
||||
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|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
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% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%C
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
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|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%D
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(12,25.4)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\alpha$
|
||||
%</text>
|
||||
%<smoothpolygon closed= "false"
|
||||
% smoothness= "0.7;0.7;0.7"
|
||||
% right-arrow= "head"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(8.9,56.2);(22.7,56.1);(31.8,49.6)"
|
||||
% />
|
||||
%<smoothpolygon closed= "false"
|
||||
% smoothness= "0.7;0.7;0.7"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(7.3,22.4);(11.6,22.4);(14.2,20.5)"
|
||||
% />
|
||||
%</jpic>
|
||||
%%End JPIC-XML
|
||||
%PSTricks content-type (pstricks.sty package needed)
|
||||
%Add \usepackage{pstricks} in the preamble of your LaTeX file
|
||||
%You can rescale the whole picture (to 80% for instance) by using the command \def\JPicScale{0.8}
|
||||
\ifx\JPicScale\undefined\def\JPicScale{1}\fi
|
||||
\psset{unit=\JPicScale mm}
|
||||
\psset{linewidth=0.3,dotsep=1,hatchwidth=0.3,hatchsep=1.5,shadowsize=1,dimen=middle}
|
||||
\psset{dotsize=0.7 2.5,dotscale=1 1,fillcolor=black}
|
||||
\psset{arrowsize=1 2,arrowlength=1,arrowinset=0.25,tbarsize=0.7 5,bracketlength=0.15,rbracketlength=0.15}
|
||||
\begin{pspicture}(0,14)(38.4,48.68)
|
||||
\rput{0}(7.29,9.99){\psellipse[](0,0)(6.44,6.44)}
|
||||
\rput{0}(7.31,56.05){\psellipse[](0,0)(1.63,1.63)}
|
||||
\psline[linestyle=dotted](7.4,16.5)(7.4,54.7)
|
||||
\psline[linestyle=dotted](11.2,15.4)(31.6,49.2)
|
||||
\psline[linestyle=dashed,dash=1.5 1.5](8.8,56.2)(36.4,56.2)
|
||||
\psline{->}(36.4,56.2)(31.9,49.5)
|
||||
\rput(7.3,8.4){Terre}
|
||||
\rput(12.6,52.6){Lune}
|
||||
\rput(24.3,40.4){temps de chute : $1\,s$}
|
||||
\rput(3.4,56.2){A}
|
||||
\rput(38.4,56.2){B}
|
||||
\rput(27.7,48.2){C}
|
||||
\rput(7.6,12){D}
|
||||
\rput(12,25.4){$\alpha$}
|
||||
\psbezier{->}(8.9,56.2)(18.56,56.13)(25.43,54.15)(31.8,49.6)
|
||||
\psbezier(7.3,22.4)(10.31,22.4)(12.38,21.83)(14.2,20.5)
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
Annexe-ChuteLune/Images/newton_isaac_h5_copie.jpg
Normal file
BIN
Annexe-ChuteLune/Images/newton_isaac_h5_copie.jpg
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 2.5 MiB |
74
Annexe-EnergieOS/Annexe-EnergieOS.aux
Normal file
74
Annexe-EnergieOS/Annexe-EnergieOS.aux
Normal file
@ -0,0 +1,74 @@
|
||||
\relax
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {P}L'\IeC {\'e}nergie}{193}}
|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.1}Introduction}{193}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.1}{\ignorespaces \IeC {\'E}nergie et vitesse}}{193}}
|
||||
\newlabel{energie}{{P.1}{193}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.2}Le travail}{193}}
|
||||
\newlabel{historiquement}{{P.2.1}{193}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.2.1}Historiquement}{193}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.2}{\ignorespaces Balance \IeC {\`a} fl\IeC {\'e}au}}{193}}
|
||||
\newlabel{balance}{{P.2}{193}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.2.2}D\IeC {\'e}finition}{194}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Travail simple}{194}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.3}{\ignorespaces Travail simple}}{194}}
|
||||
\newlabel{travailsimple}{{P.3}{194}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Travail et produit scalaire}{194}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.4}{\ignorespaces Travail et produit scalaire}}{194}}
|
||||
\newlabel{travailvecteur}{{P.4}{194}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Travail cas g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ral}{194}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.5}{\ignorespaces Travail en g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}ral}}{195}}
|
||||
\newlabel{travailgeneral}{{P.5}{195}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.3}L'\IeC {\'e}nergie}{195}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.3.1}Introduction}{195}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.3.2}\IeC {\'E}nergie potentielle}{196}}
|
||||
\newlabel{\IeC {\'e}nergie cin\IeC {\'e}tique}{{P.3.3}{196}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.3.3}\IeC {\'E}nergie cin\IeC {\'e}tique}{196}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.3.4}\IeC {\'E}nergie m\IeC {\'e}canique}{196}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.3.5}Exemple}{196}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.4}Conservation de l'\IeC {\'e}nergie}{197}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.4.1}Introduction}{197}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.4.2}Th\IeC {\'e}or\IeC {\`e}me de conservation de l'\IeC {\'e}nergie m\IeC {\'e}canique}{197}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.4.3}Exemples}{197}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.5}Limite du th\IeC {\'e}or\IeC {\`e}me de conservation de l'\IeC {\'e}nergie m\IeC {\'e}canique}{198}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {P.6}Forces conservatives}{198}}
|
||||
\newlabel{conservatives}{{P.6}{198}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.6.1}D\IeC {\'e}finition}{198}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {P.6.2}Exemple}{198}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {P.6}{\ignorespaces Travail du poids}}{199}}
|
||||
\newlabel{travailferme}{{P.6}{199}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-EnergieOS/Annexe-EnergieOS}{
|
||||
\setcounter{page}{200}
|
||||
\setcounter{equation}{0}
|
||||
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|
||||
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||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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||||
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
}
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||||
396
Annexe-EnergieOS/Annexe-EnergieOS.tex
Normal file
396
Annexe-EnergieOS/Annexe-EnergieOS.tex
Normal file
@ -0,0 +1,396 @@
|
||||
\chapter{L'énergie\index{énergie}}
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||||
%\minitoc
|
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||||
\section{Introduction}
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Avec la physique de Newton, tout problème de mécanique peut être résolu. Mais le problème fondamental de cette dynamique est que toutes les grandeurs utilisées sont en constante évolution au cours du temps. L'idée d'une mécanique se situant au niveau de grandeurs conservée\index{grandeur conservée} au cours du temps est donc apparue. Nous allons voir que cette "nouvelle" mécanique utilise des grandeurs comme la vitesse\index{vitesse}. Cela situe cette théorie à un niveau différent de la mécanique de Newton puisque celle-ci, à travers la seconde loi, lie la cause du mouvement\index{cause du mouvement} à l'accélération, alors que la conservation\index{conservation} de l'énergie\index{énergie} est liée à la vitesse. On peut résumer cela comme dans la figure \ref{energie}.
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\begin{figure}[H]
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\caption{Énergie et vitesse\label{energie}}
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\begin{center}\includegraphics{Energie.eps}\end{center}
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\end{figure}
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La conséquence mathématique de cette nouvelle situation du problème est que l'intégration nécessaire pour obtenir la vitesse\index{vitesse} à partir de l'accélération\index{l'accélération} est supprimée. Si la grandeur recherchée est la vitesse (ou la position) le problème est donc considérablement simplifié.
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\section{Le travail\index{travail}}
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\subsection{Historiquement\label{historiquement}}
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En physique, le travail est une notion bien précise. Elle a pour origine l'expérience simple décrite sur la figure \ref{balance}:
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\begin{figure}[H]
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||||
\caption{Balance à fléau\label{balance}}
|
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||||
\begin{center}\includegraphics
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[width=6cm]{Equilibre.eps}\end{center}
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\end{figure}
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L'idée est la suivante :
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on considère une balance équilibrée par deux masses. La condition d'équilibre veut que :
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\[m_{gauche}\cdot d_{gauche}=m_{droite}\cdot d_{droite}\]
|
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||||
ce qui est le cas sur la figure \ref{balance}.
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||||
Maintenant, si on descend la masse $m_{gauche}$ de 10 cm, la masse $m_{droite}$ monte de 20 cm. En effet :
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\[\frac{0,1}{1}=\sin(\alpha_{support})=\frac{0,2}{2}\]
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||||
Ainsi, on remarque que le produit $A$ du poids de la masse par la hauteur déplacée est le même pour les deux masses :
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\[A_{gauche}=2\cdot9,81\cdot0,1=1\cdot9,81\cdot0,2=A_{droite}\]
|
||||
|
||||
La grandeur $A=F\cdot d$ est donc identique. On peut traduire cette remarque en disant que le travail\index{travail} ($A$ pour Arbeit\index{Arbeit}) pour monter une masse de 1 kg sur une hauteur de 20 cm est le même que celui pour monter une masse de 2 kg sur 10 cm.
|
||||
|
||||
Attention, il ne faut pas voir là déjà une conservation. Bien entendu, il y a derrière cette expérience la conservation de l'énergie. Mais le concept de travail utilisé ici, s'il est intimement lié à celui d'énergie potentielle, comme nous le verrons par la suite, reste lié à un déplacement et non à un équilibre, à une situation spatiale des corps utilisés. C'est pourquoi il traduit la naissance de la notion de travail. Cependant cette liaison avec la conservation de l'énergie est assez typique pour que cet exemple ait sa place ici, même si il peut porter à confusion.
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\subsection{Définition}
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\subsubsection{Travail simple\index{travail simple}}
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La définition la plus simple que l'on puisse envisager est donc :
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\[A_{F,d}=F\cdot d\]
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||||
Cette définition correspond au travail $A$ d'une force $F$ s'exerçant sur une masse m que l'on déplace sur une distance $d$ (voir figure
|
||||
\ref{travailsimple}).
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\begin{figure}[H]
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||||
\caption{Travail simple\label{travailsimple}}
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\begin{center}\includegraphics{Travailsimple.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
Remarquons qu'il s'agit toujours du travail d'une force sur une distance donnée. Parler du travail sans aucune autre précision n'a pas de sens.
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||||
\subsubsection{Travail et produit scalaire\index{produit scalaire}}
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||||
Une force qui ne s'exercerait pas parallèlement (et dans le même sens) que le déplacement, ne pourrait pas produire un travail simple. On
|
||||
peut comprendre intuitivement qu'une force s'exerçant perpendiculairement au déplacement ne travaille pas. On peut donc définir le travail d'une manière plus générale :
|
||||
|
||||
\[A_{F,d}=\overrightarrow{F\cdot}\overrightarrow{d}=\left\Vert \overrightarrow{F}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{d}\right\Vert \cos(\alpha)=F\cdot d\cdot\cos(\alpha)\]
|
||||
|
||||
Cette définition correspond à la situation de la figure \ref{travailvecteur}.
|
||||
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||||
\begin{figure}[H]
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||||
\caption{Travail et produit scalaire\label{travailvecteur}}
|
||||
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||||
\begin{center}\includegraphics{Travailvecteur.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
Attention, cette définition est valable pour un déplacement rectiligne et une force constante vectoriellement.
|
||||
|
||||
Remarquons les cas particuliers de cette définition :
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||||
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont parallèles et de même sens ($\overrightarrow{F}\left\uparrow \right\uparrow \overrightarrow{d}$), alors le travail est simple.
|
||||
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont perpendiculaires ($\overrightarrow{F}\bot\overrightarrow{d}$), alors $\cos(\alpha)=0$ et le travaille est nul. On dit que la force ne travaille pas.
|
||||
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont parallèles, mais de sens opposés ($\overrightarrow{F}\left\uparrow \right\downarrow \overrightarrow{d}$), alors le travail est simple, mais négatif.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Travail\index{travail} cas général}
|
||||
|
||||
Dans ce cas, le déplacement n'est pas forcément rectiligne et la force pas forcément constante vectoriellement. La situation générale correspond donc à la figure \ref{travailgeneral}:
|
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||||
\begin{figure}[H]
|
||||
|
||||
\caption{Travail en général\label{travailgeneral}}
|
||||
|
||||
\begin{center}\includegraphics{Travailgeneral.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Ainsi, pour déterminer le travail total effectué par la force sur le chemin A-B, il faut décomposer ce dernier en petits bouts de déplacement rectilignes $\overrightarrow{\Delta l}$, sur lesquels la force peut être considérée comme vectoriellement constante (c'est-à-dire qu'elle ne change ni en direction, ni en sens, ni en grandeurs).On est ainsi ramené au calcul d'un petit élément de travail $A_{i}$, pour une force $\overrightarrow{F_{i}}$ constante, sur un déplacement $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$ :
|
||||
|
||||
\[A_{i}=\overrightarrow{F_{i}}\cdot\overrightarrow{\Delta l_{i}}\]
|
||||
|
||||
Puis, on somme tous les $A_{i}$ pour obtenir le travail total de A à B :
|
||||
|
||||
\[A_{AB}\cong\sum_{i=1}^{n}A_{i}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{\Delta l_{i}}\]
|
||||
|
||||
Bien entendu, plus les segments $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$ sont petits, plus on {}``colle'' au parcours. A la limite, si les $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$ devenaient infiniment petits, on obtiendrait la valeur exacte du travail sur le trajet AB. On peut donc écrire :
|
||||
|
||||
\[A_{AB}=\begin{array}[t]{c}
|
||||
lim\\
|
||||
\overrightarrow{\Delta l_{i}}\rightarrow0\end{array}\sum_{i}^{\infty}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{\Delta l_{i}}=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dl}\]
|
||||
|
||||
La définition tout-à-fait générale du travail est donc finalement :
|
||||
|
||||
\[A=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dl}\]
|
||||
|
||||
Finalement, il faut indiquer les unités SI du travail. On a :
|
||||
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||||
\[\left[A\right]=\left[F\right]\cdot\left[l\right]=N\cdot m=J=Joules\]
|
||||
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\subsubsection*{Exemples}
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\begin{enumerate}
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\item Quel est le travail simple effectué par une force F = 5 N, sur une distance d = 5 m ?\\
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Solution :\\
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A = F$\cdot$d = 5$\cdot$5 = 25 J
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\item Quel est le travail effectué par une force F = 5 N, s'exerçant avec un angle de 20° par rapport au déplacement, sur une distance de 5 m ?\\
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Solution :\\
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A = F$\cdot$d$\cdot$cos($\alpha$) = 5$\cdot$5$\cdot$cos(20°) = 23,5 J
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||||
\item Quel est le travail effectué par une force de frottement F = 5 N, sur une distance d = 5 m ?\\
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||||
Solution :\\
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||||
A = F$\cdot$d$\cdot$cos($\alpha$) = 5$\cdot$5$\cdot$cos(180°) = - 25 J\\
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car la force de frottement s'exerce toujours dans le sens contraire du déplacement.
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\item Quel est le travail effectué par une force F = $l$, colinéaire (parallèle) au déplacement rectiligne et de même sens, sur une distance de 5 m.
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\medskip
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Solution :
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\smallskip
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\[\begin{array}{cc}
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A & =\int_{0}^{5}\overrightarrow{F\cdot}\overrightarrow{dl}\begin{array}[t]{c}
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=\int_{0}^{5}F\cdot dl\\
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\begin{array}[b]{c}
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||||
\uparrow\\
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||||
car\end{array}\overrightarrow{F}\left\uparrow \right\uparrow \overrightarrow{dl}\end{array}=\int_{0}^{5}l\cdot dl\\
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& =\left.\frac{1}{2}\cdot l^{2}\right|_{0}^{5}=\frac{1}{2}\cdot(25-0)=12,5\, J\end{array}\]
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\end{enumerate}
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\section{L'énergie\index{énergie}}
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\subsection{Introduction}
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L'idée d'énergie est intimement liés à celle de travail\index{travail}. En effet, lorsqu'on fournit un travail, quelque chose est produit. De la chaleur\index{chaleur} par exemple lorsque qu'on s'intéresse au travail de la force de frottement\index{force de frottement} d'une table sur laquelle on déplace un objet. Cependant, on peut se demander ce qui est produit lorsqu'on fournit un travail pour monter une masse ou pour augmenter sa vitesse. En réalité, dans les deux cas on produit de l'énergie, potentielle\index{énergie potentielle} et cinétique\index{énergie cinétique} respectivement.
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\subsection{Énergie potentielle\index{énergie potentielle}}
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Quand on travaille pour monter une charge, on produit de l'énergie potentielle. Cette énergie peut être retrouvée si on lâche alors la
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masse. Arrivé en bas, cette dernière est capable de produire une déformation traduisant un travail\index{travail}. Tout se passe donc comme si l'énergie potentielle était quelque chose de stocké dans la masse alors qu'elle se trouve à une hauteur déterminée. Bien entendu, plus la hauteur est grande, plus l'énergie potentielle est importante (une pierre de 10 g lâchée de 10 m fera plus de dégâts arrivée au sol que la même pierre lâchée de 1 m). De même pour la masse.
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Pour déterminer la valeur de l'énergie potentielle contenue dans une masse $m$ placée à une hauteur $h$, il faut donc calculer le travail que cette masse produit en chutant depuis cette hauteur. Plus précisément, il faut calculer le travail du poids de la masse $m$ se déplaçant sur la hauteur $h$. On doit donc écrire :
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\begin{align*}
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A & = & \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{g}\cdot\overrightarrow{h}\begin{array}[t]{c}
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=mg\cdot h\\
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\begin{array}[b]{c}
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\uparrow\\
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||||
car\,\end{array}m\overrightarrow{g}\left\uparrow \right\uparrow \overrightarrow{h}\end{array}\\
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||||
& = & mg\cdot(h_{i}-h_{f})=mgh_{i}-mgh_{f}\\
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||||
& = & E_{pot\, i}-E_{pot\, f}=-\Delta E_{pot}\end{align*}
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où le déplacement $h$ est décomposé en une différence de hauteur $h_{i}-h_{f}$.
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||||
On remarque que ce travail se compose de deux parties. Chacune d'elle ne dépend que du lieu où elle est évaluée et de la masse de l'objet. On peut donc appeler chacun de ces termes "énergie potentielle\index{énergie potentielle}" à la hauteur considérée. Ainsi, le travail se traduit par une différence d'énergie potentielle. Et sa définition prend la forme suivante :
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\[E_{pot}=m\cdot g\cdot h\]
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\subsection{Énergie cinétique\index{énergie cinétique}\label{énergie cinétique}}
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Quand on travaille pour augmenter la vitesse d'un corps, on produit de l'énergie cinétique.
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Pour déterminer la valeur de celle-ci lorsque le corps de masse $m$ passe d'une vitesse $v_{o}$ à une vitesse $v$, il faut donc calculer
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le travail\index{travail} pour réaliser cette transformation. On a :
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\begin{align*}
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A & = & \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=F\cdot d \;\;\; \mbox{ car }\overrightarrow{F}\left\uparrow \right\uparrow \overrightarrow{d}\\
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&=ma\cdot d \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mbox{ car }F=m\cdot a\\
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||||
& = & m\cdot\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot d}\cdot d \;\;\; \mbox{ pour un MRUA }\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{o}^{2}\\
|
||||
& = & E_{cin}-E_{cin\, o}=\Delta E_{cin}
|
||||
\end{align*}
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||||
On remarque que ce travail se compose de deux parties. Chacune d'elle ne dépend que de la vitesse à l'instant considéré et de la masse de
|
||||
l'objet. On peut donc appeler chacun de ces termes "énergie cinétique\index{énergie cinétique}"
|
||||
pour la vitesse considérée. Ainsi, le travail se traduit par une différence
|
||||
d'énergie cinétique. Et sa définition prend la forme suivante :
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\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}\]
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\subsection{Énergie mécanique\index{énergie mécanique}}
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Définissons encore la somme des énergie cinétique et potentielle comme l'énergie mécanique d'une masse m :
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\[E_{m\acute ec}=E_{cin}+E_{pot}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}+m\cdot g\cdot h\]
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Celle-ci nous sera utile par la suite.
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\subsection{Exemple}
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Déterminez l'énergie mécanique d'une masse de 3 kg qui se trouve à un instant donné à une hauteur de 4 m et se déplace alors à une vitesse de 5 m/s.
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Solution :
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\[E_{m\acute ec}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5^{2}+3\cdot9,81\cdot4=155,22\, J\]
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Bien entendu, on remarque que l'unité de l'énergie est la même que celle du travail, puisque le travail est une différence d'énergie. On a donc : $\left[E_{m\acute ec}\right]=\left[E_{cin}\right]=\left[E_{pot}\right]=J$.
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\section{Conservation de l'énergie\index{conservation de l'énergie}}
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\subsection{Introduction}
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La notion de conservation\index{conservation} est fondamentale en physique. La première grandeur qui pourrait être conservée à laquelle
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on pense est la masse. Malheureusement, on sait aujourd'hui qu'elle ne l'est pas. Par contre, l'énergie l'est. Nous allons voir dans ce chapitre ce que cela signifie en étudiant le cas de la conservation de l'énergie mécanique. Nous verrons que selon les cas, celle-ci peut aussi ne pas être conservée.
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\subsection{Théorème de conservation de l'énergie mécanique\index{conservation de l'énergie mécanique}}
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L'idée est née de la situation suivante : une masse tombe d'une certaine hauteur ; lorsqu'on la lâche celle-ci ne possède que de l'énergie potentielle ; en descendant, cette énergie diminue et en même temps, comme la vitesse augmente, son énergie cinétique augmente ; arrivée en bas, la masse n'a plus que de l'énergie cinétique. Tout s'est donc passé comme si l'énergie potentielle s'était transformée en énergie cinétique. Ainsi, on peut dire que l'énergie mécanique\index{énergie mécanique}, somme d'énergie potentielle et cinétique, est en fait restée constante tout au long de la chute.
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Techniquement, on exprime cela de la manière suivante :
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\[E_{mec}=const.\]
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Ce qui signifie aussi :
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\begin{align*}
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E_{mec\,2}=E_{mec\,1} & \Rightarrow\\
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E_{mec\,2}-E_{mec\,1} & = & 0\\
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\Delta E_{mec} & = & 0\\
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||||
& ou\\
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||||
E_{cin\,2}+E_{pot\,2}-(E_{cin\,1}+E_{pot\,1}) & = & 0\\
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||||
E_{cin\,2}-E_{cin\,1}+E_{pot\,2}-E_{pot\,1} & = & 0\\
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||||
\Delta E_{cin}+\Delta E_{pot} & = & 0\\
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||||
\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}+m g h_{2}-m g h_{1} & = & 0\end{align*}
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||||
Toutes ces expressions sont équivalentes. Il est important de bien comprendre que celles-ci signifient que l'énergie mécanique reste la même au cours du temps.
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Il est aussi important de dire que que cette loi n'est valable qu'en l'absence de frottements\index{frottement}. Nous reviendrons par la suite sur cette remarque.
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\subsection{Exemples}
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\begin{enumerate}
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\item Un homme saute du plongeoir des 10 m. A quelle vitesse arrive-t-il dans l'eau ?\\
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Solution :\\
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En l'absence de frottements, l'énergie mécanique est conservé. Avant de commencer, il est nécessaire de fixer le zéro\index{zéro} de l'altitude : on le choisi au niveau de l'eau. Ainsi, on peut évaluer l'énergie mécanique à 10 m et celle au niveau de l'eau. On a :
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\begin{align*}
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||||
E_{mec\,10m} & = & E_{cin\,10m}+E_{pot\,10m}\\
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||||
& = & \frac{1}{2}\cdot m\cdot0^{2}+m\cdot g\cdot10\\
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||||
& = & 100\cdot m\;(g\cong10\, m/s^{2})
|
||||
\end{align*}
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\begin{align*}
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||||
E_{mec\, eau} & = & E_{cin\, eau}+E_{pot\, eau}\\
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||||
& = & \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}+m\cdot g\cdot0\\
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||||
& = & \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}
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||||
\end{align*}
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||||
Ainsi, le théorème implique :
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\begin{align*}
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E_{mec\, eau}-E_{mec\,10m} & = & 0\\
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||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}-100\cdot m & = & 0\\
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||||
v & = & \sqrt{200}\\
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||||
& = & 14\, m/s
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||||
\end{align*}
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||||
Pour une hauteur h quelconque, le même calcul mène à :
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\[v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]
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Remarque :\\
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Bien évidemment, on retrouve cette même expression en utilisant la cinématique. En effet, pour un MRUA, on a :
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\[v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a\cdot d\]
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Pour un objet lâché en chute libre, on a : $a=g$, $d=h$ et $v_{o}=0\, m/s^{2}$. Ainsi, on peut écrire :
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\[v^{2}=0+2\cdot g\cdot h\]
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Ce qui mène à la relation trouvée précédemment.
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\item Quelle est la hauteur atteinte par un objet qu'on lance verticalement avec une vitesse de 3 m/s ?\\
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Solution :\\
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On place le zéro de l'axe au niveau du point de décollage et on l'oriente vers le haut. On peut ainsi déterminer l'énergie mécanique en ce point par :
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\[E_{mec\, bas}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}\]
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||||
Car l'énergie potentielle pour h = 0 est nulle.\\
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D'autre part, au niveau le plus haut atteint par l'objet, sa vitesse étant nulle, l'énergie mécanique vaut :
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\[E_{mec\, haut}=m\cdot g\cdot h\]
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La conservation de l'énergie\index{conservation de l'énergie} implique alors :
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\begin{align*}
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\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2} & = & m\cdot g\cdot h\Rightarrow\\
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h & = & \frac{v^{2}}{2\cdot g}\Rightarrow\\
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||||
h & = & \frac{3^{2}}{2\cdot10}=0,45\, m
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||||
\end{align*}
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\end{enumerate}
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\section{Limite du théorème de conservation de l'énergie mécanique}
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L'idée de conservation de l'énergie implique l'idée de récupérer l'énergie qu'on a donné. Ainsi, quand on augmente l'énergie potentielle d'une masse en la montant, on peut récupérer cette énergie en la laissant redescendre. La possibilité de récupérer l'énergie dépensée est en réalité une propriété de certaines forces dites conservatives\index{force conservative}. Ce n'est que pour ce type de forces que l'on peut définir la notion d'énergie potentielle\index{énergie potentielle}. C'est le cas pour le poids\index{poids}, qui est une force conservative, pour laquelle on peut définir une énergie potentielle par $E_{pot}=m\cdot g\cdot h$. Or, toutes les forces ne sont pas conservatives. Pour celles qui ne le sont pas, on ne peut définir d'énergie potentielle. C'est le cas pour la force de frottement\index{frottement} par exemple, pour laquelle on ne peut définir d'énergie potentielle.
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Ainsi, le théorème de conservation de l'énergie mécanique n'est valable qu'en présence de forces conservatives. Car, dans ce cas, toutes ces forces peuvent être représentées par une énergie potentielle et on peut écrire :
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\[\Delta E_{mec}=0\]
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En réalité, en présence de forces non conservatives\index{force non conservative}, on modifie le théorème de la manière suivante :
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\[\Delta E_{mec}=A_{forces\, non\, conservatives}\]
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Reste à donner les conditions qui rendent une force conservative.
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\section{Forces conservatives}\label{conservatives}
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\subsection{Définition}
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Une force est dite conservative\index{conservative} si et seulement si son travail\index{travail} sur un parcours fermé est nul. Cela se traduit mathématiquement par :
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\[Force\, conservative\Leftrightarrow\oint\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}=0\]
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Le rond sur l'intégrale signifie que le parcours est fermé.
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Une autre manière de définir une force conservative\index{conservative} est de dire que son travail ne dépend pas du chemin\index{chemin} choisi pour passer d'un point $A$ à un point $B$. Autrement dit ce travail\index{travail} ne dépend que des points $A$ et $B$.
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\subsection{Exemple}
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Un excellent exemple de force conservative\index{conservative} est celui du poids\index{poids}. Pour s'en rendre compte, calculons le travail de cette force sur un parcours fermé : on monte une masse m sur une hauteur h, puis on la déplace horizontalement sur une distance d, on la redescend de h et on la ramène au départ (voir figure \ref{travailferme}).
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\begin{figure}[ht]
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\caption{Travail du poids\label{travailferme}}
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\begin{center}\includegraphics{TravailFerme.eps}\end{center}
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\end{figure}
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Le calcul du travail se fait alors de la manière suivante :
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\begin{align*}
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A_{A-B} & = & \oint\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}=\int_{A}^{A}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}\\
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& = & \int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}+\int_{B}^{C}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}+\\
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||||
& & \int_{C}^{D}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}+\int_{D}^{A}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}\\
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||||
& = & -mg\cdot d_{AB}+0+\\
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& & mg\cdot d_{CD}+0\\
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& = & 0
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\end{align*}
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car, sur le segment $AB$ le poids\index{poids} est parallèle, mais de sens opposé, au déplacement, ce qui introduit un signe négatif (sin(180°) = -1), sur le segment $BC$ le poids est perpendiculaire au déplacement, ce qui annule le travail (sin(90°) = 0), sur le segment $CD$ le poids est parallèle et de même sens que le déplacement et celui-ci est identique en grandeur à celui du segment $AB$ et sur le segment $DA$ le poids est perpendiculaire au déplacement ce qui annule aussi le travail. Ainsi, le travail total est nul et la force est bien conservative\index{conservative}.
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On peut aussi voir cela en calculant le travail\index{travail} du poids pour passer d'un point $A$ à un point $B$ :
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\begin{align*}
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A_{A-B} & = & \int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}=\int_{A}^{B}\overrightarrow{mg}\cdot\overrightarrow{dr}\\
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||||
& = & \overrightarrow{mg}\cdot\int_{A}^{B}\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{mg}\cdot\overrightarrow{AB}\\
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||||
& = & \overrightarrow{mg}\cdot(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})=\overrightarrow{mg}\cdot\overrightarrow{B}-\overrightarrow{mg}\cdot\overrightarrow{A}
|
||||
\end{align*}
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||||
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||||
Ainsi, on constate que le travail\index{travail} ne dépend que des points $A$ et $B$. La force est donc conservative\index{conservative}.
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243
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|
||||
/l {lineto} bind def
|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
||||
/slc {setlinecap} bind def
|
||||
/slj {setlinejoin} bind def
|
||||
/slw {setlinewidth} bind def
|
||||
/srgb {setrgbcolor} bind def
|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/reencdict 12 dict def /ReEncode { reencdict begin
|
||||
/newcodesandnames exch def /newfontname exch def /basefontname exch def
|
||||
/basefontdict basefontname findfont def /newfont basefontdict maxlength dict def
|
||||
basefontdict { exch dup /FID ne { dup /Encoding eq
|
||||
{ exch dup length array copy newfont 3 1 roll put }
|
||||
{ exch newfont 3 1 roll put } ifelse } { pop pop } ifelse } forall
|
||||
newfont /FontName newfontname put newcodesandnames aload pop
|
||||
128 1 255 { newfont /Encoding get exch /.notdef put } for
|
||||
newcodesandnames length 2 idiv { newfont /Encoding get 3 1 roll put } repeat
|
||||
newfontname newfont definefont pop end } def
|
||||
/isovec [
|
||||
8#055 /minus 8#200 /grave 8#201 /acute 8#202 /circumflex 8#203 /tilde
|
||||
8#204 /macron 8#205 /breve 8#206 /dotaccent 8#207 /dieresis
|
||||
8#210 /ring 8#211 /cedilla 8#212 /hungarumlaut 8#213 /ogonek 8#214 /caron
|
||||
8#220 /dotlessi 8#230 /oe 8#231 /OE
|
||||
8#240 /space 8#241 /exclamdown 8#242 /cent 8#243 /sterling
|
||||
8#244 /currency 8#245 /yen 8#246 /brokenbar 8#247 /section 8#250 /dieresis
|
||||
8#251 /copyright 8#252 /ordfeminine 8#253 /guillemotleft 8#254 /logicalnot
|
||||
8#255 /hyphen 8#256 /registered 8#257 /macron 8#260 /degree 8#261 /plusminus
|
||||
8#262 /twosuperior 8#263 /threesuperior 8#264 /acute 8#265 /mu 8#266 /paragraph
|
||||
8#267 /periodcentered 8#270 /cedilla 8#271 /onesuperior 8#272 /ordmasculine
|
||||
8#273 /guillemotright 8#274 /onequarter 8#275 /onehalf
|
||||
8#276 /threequarters 8#277 /questiondown 8#300 /Agrave 8#301 /Aacute
|
||||
8#302 /Acircumflex 8#303 /Atilde 8#304 /Adieresis 8#305 /Aring
|
||||
8#306 /AE 8#307 /Ccedilla 8#310 /Egrave 8#311 /Eacute
|
||||
8#312 /Ecircumflex 8#313 /Edieresis 8#314 /Igrave 8#315 /Iacute
|
||||
8#316 /Icircumflex 8#317 /Idieresis 8#320 /Eth 8#321 /Ntilde 8#322 /Ograve
|
||||
8#323 /Oacute 8#324 /Ocircumflex 8#325 /Otilde 8#326 /Odieresis 8#327 /multiply
|
||||
8#330 /Oslash 8#331 /Ugrave 8#332 /Uacute 8#333 /Ucircumflex
|
||||
8#334 /Udieresis 8#335 /Yacute 8#336 /Thorn 8#337 /germandbls 8#340 /agrave
|
||||
8#341 /aacute 8#342 /acircumflex 8#343 /atilde 8#344 /adieresis 8#345 /aring
|
||||
8#346 /ae 8#347 /ccedilla 8#350 /egrave 8#351 /eacute
|
||||
8#352 /ecircumflex 8#353 /edieresis 8#354 /igrave 8#355 /iacute
|
||||
8#356 /icircumflex 8#357 /idieresis 8#360 /eth 8#361 /ntilde 8#362 /ograve
|
||||
8#363 /oacute 8#364 /ocircumflex 8#365 /otilde 8#366 /odieresis 8#367 /divide
|
||||
8#370 /oslash 8#371 /ugrave 8#372 /uacute 8#373 /ucircumflex
|
||||
8#374 /udieresis 8#375 /yacute 8#376 /thorn 8#377 /ydieresis] def
|
||||
/Times-Roman /Times-Roman-iso isovec ReEncode
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
1242 829 m 1214 776 l 1110 829 l 1204 815 l 1137 882 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1286.9 1098.7 297.5 95.2 -104.0 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1137 882 m 1204 815 l 1110 829 l 1097 870 l 1137 882 l
|
||||
cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Arc
|
||||
gs clippath
|
||||
1197 244 m 1169 191 l 1065 244 l 1159 230 l 1092 297 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1241.9 513.7 297.5 95.2 -104.0 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1092 297 m 1159 230 l 1065 244 l 1052 285 l 1092 297 l
|
||||
cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Arc
|
||||
gs clippath
|
||||
2578 1405 m 2637 1414 l 2655 1298 l 2612 1383 l 2596 1289 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2180.0 1260.0 450.7 17.4 -86.8 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2596 1289 m 2612 1383 l 2655 1298 l 2630 1264 l 2596 1289 l
|
||||
cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Arc
|
||||
gs clippath
|
||||
2181 786 m 2200 843 l 2310 806 l 2216 806 l 2292 749 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2178.1 513.7 297.5 84.8 -76.0 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2292 749 m 2216 806 l 2310 806 l 2330 768 l 2292 749 l
|
||||
cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1230 1425 m 1230 1365 l 1045 1365 l 1195 1395 l 1045 1425 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 675 1395 m
|
||||
1215 1395 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1045 1425 m 1195 1395 l 1045 1365 l 1075 1395 l 1045 1425 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 195 1215 m 90 1215 90 1425 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
90 1530 570 1530 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
675 1530 675 1320 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
675 1215 195 1215 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 195 630 m 90 630 90 840 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
90 945 660 945 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
765 945 765 735 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
765 630 195 630 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1185 840 m 1185 780 l 1000 780 l 1150 810 l 1000 840 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 765 810 m
|
||||
1170 810 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1000 840 m 1150 810 l 1000 780 l 1030 810 l 1000 840 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman-iso ff 180.00 scf sf
|
||||
1215 855 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Vitesse : v\(t\)) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 180.00 scf sf
|
||||
1215 270 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Position : x\(t\)) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 180.00 scf sf
|
||||
180 1440 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Force) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 180.00 scf sf
|
||||
135 855 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Energie) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 150.00 scf sf
|
||||
270 540 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Int\351gration) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 150.00 scf sf
|
||||
315 1125 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Int\351gration) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 180.00 scf sf
|
||||
1260 1440 m
|
||||
gs 1 -1 sc (Acc\351l\351ration : a\(t\)) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 150.00 scf sf
|
||||
1800 540 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D\351rivation) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 150.00 scf sf
|
||||
1935 1125 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D\351rivation) col0 sh gr
|
||||
$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
253
Annexe-EnergieOS/Images/Equilibre.eps
Executable file
253
Annexe-EnergieOS/Images/Equilibre.eps
Executable file
@ -0,0 +1,253 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
|
||||
%%Title: Equilibre.eps
|
||||
%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3d
|
||||
%%CreationDate: Wed Dec 25 23:00:58 2002
|
||||
%%For: prof@portable (Vincent Guyot)
|
||||
%%BoundingBox: 0 0 235 64
|
||||
%%Magnification: 1.0000
|
||||
%%EndComments
|
||||
/$F2psDict 200 dict def
|
||||
$F2psDict begin
|
||||
$F2psDict /mtrx matrix put
|
||||
/col-1 {0 setgray} bind def
|
||||
/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
|
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/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
|
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/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
|
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/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
|
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|
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/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/col42 {0.937 0.984 1.000 srgb} bind def
|
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/col43 {0.875 0.796 0.651 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/col54 {0.745 0.765 0.745 srgb} bind def
|
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|
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/col56 {0.557 0.557 0.557 srgb} bind def
|
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/col57 {0.557 0.557 0.557 srgb} bind def
|
||||
/col58 {0.255 0.255 0.255 srgb} bind def
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/col76 {0.349 0.333 0.349 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
||||
/col81 {0.875 0.890 0.875 srgb} bind def
|
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/col82 {0.255 0.255 0.255 srgb} bind def
|
||||
/col83 {0.525 0.510 0.525 srgb} bind def
|
||||
/col84 {0.745 0.765 0.745 srgb} bind def
|
||||
/col85 {0.875 0.890 0.875 srgb} bind def
|
||||
/col86 {0.525 0.510 0.525 srgb} bind def
|
||||
/col87 {0.745 0.765 0.745 srgb} bind def
|
||||
/col88 {0.875 0.890 0.875 srgb} bind def
|
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/col89 {0.255 0.255 0.255 srgb} bind def
|
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/col90 {0.525 0.510 0.525 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/col107 {0.745 0.745 0.745 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/col115 {0.525 0.510 0.525 srgb} bind def
|
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/col116 {0.745 0.765 0.745 srgb} bind def
|
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/col117 {0.875 0.890 0.875 srgb} bind def
|
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/col118 {0.557 0.573 0.557 srgb} bind def
|
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/col119 {0.906 0.906 0.812 srgb} bind def
|
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/col120 {0.620 0.604 0.620 srgb} bind def
|
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/col121 {0.812 0.573 0.000 srgb} bind def
|
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/col122 {0.969 0.380 0.682 srgb} bind def
|
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/col123 {0.443 0.443 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col124 {0.349 0.365 0.349 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 64 moveto 0 0 lineto 235 0 lineto 235 64 lineto closepath clip newpath
|
||||
-1.3 66.0 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
||||
/ef {eofill} bind def
|
||||
/gr {grestore} bind def
|
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/gs {gsave} bind def
|
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|
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|
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|
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/m {moveto} bind def
|
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/rm {rmoveto} bind def
|
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/n {newpath} bind def
|
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/s {stroke} bind def
|
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/sh {show} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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/rot {rotate} bind def
|
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/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
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/ff {findfont} bind def
|
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/sf {setfont} bind def
|
||||
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|
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/sw {stringwidth} bind def
|
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|
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/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
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4 -2 roll mul srgb} bind def
|
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/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
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/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
% Polyline
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 1455 1035 m 1005 1035 l 1230 810 l
|
||||
1455 1035 l cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
60.000 slw
|
||||
n 75 765 m
|
||||
3690 765 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 75 405 m 495 405 l 495 720 l 75 720 l
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 3440 555 m 3660 555 l 3660 720 l 3440 720 l
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 1230 945 m
|
||||
1230 135 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 3547 967 m
|
||||
3547 157 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 292 960 m
|
||||
292 150 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1237 255 m 1237 195 l 1052 195 l 1202 225 l 1052 255 l cp
|
||||
277 195 m 277 255 l 462 255 l 312 225 l 462 195 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 292 225 m
|
||||
1222 225 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 462 195 m 312 225 l 462 255 l 432 225 l 462 195 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1052 255 m 1202 225 l 1052 195 l 1082 225 l 1052 255 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3555 255 m 3555 195 l 3370 195 l 3520 225 l 3370 255 l cp
|
||||
1215 195 m 1215 255 l 1400 255 l 1250 225 l 1400 195 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1230 225 m
|
||||
3540 225 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1400 195 m 1250 225 l 1400 255 l 1370 225 l 1400 195 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 3370 255 m 3520 225 l 3370 195 l 3400 225 l 3370 255 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
2175 165 m
|
||||
gs 1 -1 sc (2m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
600 172 m
|
||||
gs 1 -1 sc (1m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
555 629 m
|
||||
gs 1 -1 sc (2kg) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
3098 645 m
|
||||
gs 1 -1 sc (1kg) col0 sh gr
|
||||
$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
266
Annexe-EnergieOS/Images/TravailFerme.eps
Executable file
266
Annexe-EnergieOS/Images/TravailFerme.eps
Executable file
@ -0,0 +1,266 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
|
||||
%%Title: TravailFerme.eps
|
||||
%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3d
|
||||
%%CreationDate: Wed Jan 8 22:13:13 2003
|
||||
%%For: prof@portable (Vincent Guyot)
|
||||
%%BoundingBox: 0 0 191 170
|
||||
%%Magnification: 1.0000
|
||||
%%EndComments
|
||||
/$F2psDict 200 dict def
|
||||
$F2psDict begin
|
||||
$F2psDict /mtrx matrix put
|
||||
/col-1 {0 setgray} bind def
|
||||
/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
|
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/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
|
||||
/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
||||
/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
||||
/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 170 moveto 0 0 lineto 191 0 lineto 191 170 lineto closepath clip newpath
|
||||
-22.7 185.0 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
||||
/ef {eofill} bind def
|
||||
/gr {grestore} bind def
|
||||
/gs {gsave} bind def
|
||||
/sa {save} bind def
|
||||
/rs {restore} bind def
|
||||
/l {lineto} bind def
|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
||||
/slc {setlinecap} bind def
|
||||
/slj {setlinejoin} bind def
|
||||
/slw {setlinewidth} bind def
|
||||
/srgb {setrgbcolor} bind def
|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/DrawEllipse {
|
||||
/endangle exch def
|
||||
/startangle exch def
|
||||
/yrad exch def
|
||||
/xrad exch def
|
||||
/y exch def
|
||||
/x exch def
|
||||
/savematrix mtrx currentmatrix def
|
||||
x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
|
||||
closepath
|
||||
savematrix setmatrix
|
||||
} def
|
||||
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
% Polyline
|
||||
7.500 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
915 1380 m 915 1320 l 763 1320 l 883 1350 l 763 1380 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 630 1350 m
|
||||
900 1350 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 763 1380 m 883 1350 l 763 1320 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
630 1485 m
|
||||
gs 1 -1 sc (mg) col0 sh gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2040 705 m 2040 645 l 1888 645 l 2008 675 l 1888 705 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1755 675 m
|
||||
2025 675 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1888 705 m 2008 675 l 1888 645 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1755 810 m
|
||||
gs 1 -1 sc (mg) col0 sh gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3075 1740 m 3075 1680 l 2923 1680 l 3043 1710 l 2923 1740 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2790 1710 m
|
||||
3060 1710 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2923 1740 m 3043 1710 l 2923 1680 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
2790 1845 m
|
||||
gs 1 -1 sc (mg) col0 sh gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1995 2595 m 1995 2535 l 1843 2535 l 1963 2565 l 1843 2595 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1710 2565 m
|
||||
1980 2565 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1843 2595 m 1963 2565 l 1843 2535 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1710 2700 m
|
||||
gs 1 -1 sc (mg) col0 sh gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 540 405 m 3150 405 l 3150 2385 l 540 2385 l
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1635 960 m 1695 960 l 1695 808 l 1665 928 l 1635 808 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1665 405 m
|
||||
1665 945 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1635 808 m 1665 928 l 1695 808 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
510 1635 m 570 1635 l 570 1483 l 540 1603 l 510 1483 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 540 1080 m
|
||||
540 1620 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 510 1483 m 540 1603 l 570 1483 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3120 1950 m 3180 1950 l 3180 1798 l 3150 1918 l 3120 1798 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 3150 1395 m
|
||||
3150 1935 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 3120 1798 m 3150 1918 l 3180 1798 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1995 2940 m 2055 2940 l 2055 2788 l 2025 2908 l 1995 2788 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2025 2385 m
|
||||
2025 2925 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1995 2788 m 2025 2908 l 2055 2788 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
570 390 m 510 390 l 510 542 l 540 422 l 570 542 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 540 720 m
|
||||
540 405 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 570 542 m 540 422 l 510 542 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3120 2400 m 3180 2400 l 3180 2248 l 3150 2368 l 3120 2248 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 3150 2385 m
|
||||
3150 2070 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 3120 2248 m 3150 2368 l 3180 2248 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
525 2355 m 525 2415 l 677 2415 l 557 2385 l 677 2355 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 540 2385 m
|
||||
855 2385 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 677 2355 m 557 2385 l 677 2415 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3165 435 m 3165 375 l 3013 375 l 3133 405 l 3013 435 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 3150 405 m
|
||||
2835 405 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 3013 435 m 3133 405 l 3013 375 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
360 2520 m
|
||||
gs 1 -1 sc (A) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
3240 2520 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
360 360 m
|
||||
gs 1 -1 sc (B) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
3240 360 m
|
||||
gs 1 -1 sc (C) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
675 1125 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
2880 1440 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1395 360 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1800 2295 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 540 1080 101 101 0 360 DrawEllipse gs col7 1.00 shd ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 1665 405 101 101 0 360 DrawEllipse gs col7 1.00 shd ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 3150 1395 101 101 0 360 DrawEllipse gs col7 1.00 shd ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 2025 2385 101 101 0 360 DrawEllipse gs col7 1.00 shd ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
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$F2psEnd
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rs
|
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318
Annexe-EnergieOS/Images/Travailgeneral.eps
Executable file
318
Annexe-EnergieOS/Images/Travailgeneral.eps
Executable file
@ -0,0 +1,318 @@
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%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
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%%Title: Travailgeneral.eps
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%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3d
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%%CreationDate: Sat Dec 28 20:36:24 2002
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%%For: prof@portable (Vincent Guyot)
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%%BoundingBox: 0 0 178 115
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%%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
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/$F2psDict 200 dict def
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$F2psDict begin
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$F2psDict /mtrx matrix put
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/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
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/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
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newpath 0 115 moveto 0 0 lineto 178 0 lineto 178 115 lineto closepath clip newpath
|
||||
-8.9 127.1 translate
|
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1 -1 scale
|
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|
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/cp {closepath} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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/s {stroke} bind def
|
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/sh {show} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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/rot {rotate} bind def
|
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|
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|
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|
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/sf {setfont} bind def
|
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|
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/sw {stringwidth} bind def
|
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/tr {translate} bind def
|
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/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
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/DrawEllipse {
|
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/endangle exch def
|
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/startangle exch def
|
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/yrad exch def
|
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/xrad exch def
|
||||
/y exch def
|
||||
/x exch def
|
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/savematrix mtrx currentmatrix def
|
||||
x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
|
||||
closepath
|
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savematrix setmatrix
|
||||
} def
|
||||
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
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% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
% Polyline
|
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7.500 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
1154 1792 m 1154 1747 l 1068 1747 l 1128 1770 l 1068 1792 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 952 1770 m
|
||||
1139 1770 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1068 1792 m 1128 1770 l 1068 1747 l 1068 1792 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
997 1942 m
|
||||
gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
405 1485 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
540 1485 m
|
||||
gs 1 -1 sc (l) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
1350 1440 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1485 1440 m
|
||||
gs 1 -1 sc (l) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
2070 990 m
|
||||
gs 1 -1 sc (D) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
2205 990 m
|
||||
gs 1 -1 sc (l) col0 sh gr
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 306 1854 30 30 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 2925 397 30 30 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
30.000 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
802 1541 m 768 1474 l 688 1515 l 759 1522 l 722 1582 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 487 1657 m
|
||||
772 1515 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
15.000 slw
|
||||
n 722 1582 m 759 1522 l 688 1515 l 722 1582 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
30.000 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
2596 816 m 2532 778 l 2487 855 l 2550 823 l 2551 893 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2401 1075 m
|
||||
2557 810 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
15.000 slw
|
||||
n 2551 893 m 2550 823 l 2487 855 l 2551 893 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
30.000 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
1859 1503 m 1843 1430 l 1756 1449 l 1823 1473 l 1772 1522 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1513 1542 m
|
||||
1837 1470 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
15.000 slw
|
||||
n 1772 1522 m 1823 1473 l 1756 1449 l 1772 1522 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
7.500 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
925 1961 m 956 1928 l 893 1869 l 922 1927 l 862 1902 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 585 1612 m
|
||||
930 1935 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 862 1902 m 922 1927 l 893 1869 l 862 1902 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1764 783 m 1719 777 l 1707 862 l 1738 806 l 1752 868 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1638 1528 m
|
||||
1740 795 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1752 868 m 1738 806 l 1707 862 l 1752 868 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2188 343 m 2148 363 l 2186 440 l 2180 377 l 2226 420 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2470 958 m
|
||||
2175 367 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2226 420 m 2180 377 l 2186 440 l 2226 420 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
652 1312 m 652 1267 l 566 1267 l 626 1290 l 566 1312 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 450 1290 m
|
||||
637 1290 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 566 1312 m 626 1290 l 566 1267 l 566 1312 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1597 825 m 1597 780 l 1511 780 l 1571 803 l 1511 825 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1395 803 m
|
||||
1582 803 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1511 825 m 1571 803 l 1511 780 l 1511 825 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2452 255 m 2452 210 l 2366 210 l 2426 233 l 2366 255 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2250 233 m
|
||||
2437 233 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2366 255 m 2426 233 l 2366 210 l 2366 255 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2302 824 m 2302 779 l 2216 779 l 2276 802 l 2216 824 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2100 802 m
|
||||
2287 802 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2216 824 m 2276 802 l 2216 779 l 2216 824 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1589 1282 m 1589 1237 l 1503 1237 l 1563 1260 l 1503 1282 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1387 1260 m
|
||||
1574 1260 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1503 1282 m 1563 1260 l 1503 1237 l 1503 1282 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
2 slj
|
||||
n 315 1845 m 315 1844 l 318 1841 l 324 1834 l 333 1822 l 346 1806 l
|
||||
360 1788 l 375 1769 l 390 1752 l 403 1736 l 415 1722 l
|
||||
426 1710 l 437 1699 l 447 1689 l 458 1680 l 468 1671 l
|
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4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
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/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
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10 setmiterlimit
|
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0.06299 0.06299 sc
|
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%
|
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% Fig objects follow
|
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%
|
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% Polyline
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n 240 135 m 135 135 135 420 105 arcto 4 {pop} repeat
|
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|
||||
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|
||||
690 135 240 135 105 arcto 4 {pop} repeat
|
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cp gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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|
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eoclip
|
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n 682 330 m
|
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|
||||
|
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% arrowhead
|
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n 3130 360 m 3280 330 l 3130 300 l 3160 330 l 3130 360 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
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30.000 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
1537 360 m 1537 300 l 1386 300 l 1506 330 l 1386 360 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 690 330 m
|
||||
1522 330 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 1386 360 m 1506 330 l 1386 300 l 1386 360 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
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330 375 m
|
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gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
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gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
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2100 270 m
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gs 1 -1 sc (d) col0 sh gr
|
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$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
248
Annexe-EnergieOS/Images/Travailvecteur.eps
Executable file
248
Annexe-EnergieOS/Images/Travailvecteur.eps
Executable file
@ -0,0 +1,248 @@
|
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%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
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%%Title: Travailvecteur.eps
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%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3d
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%%CreationDate: Thu Dec 26 00:19:27 2002
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%%For: prof@portable (Vincent Guyot)
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%%BoundingBox: 0 0 201 41
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%%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
|
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/$F2psDict 200 dict def
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|
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|
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|
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/col124 {0.349 0.365 0.349 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 41 moveto 0 0 lineto 201 0 lineto 201 41 lineto closepath clip newpath
|
||||
-4.4 49.4 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 904.2 517.5 161.4 -62.0 20.9 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
n 187 382 m 82 382 82 667 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
82 772 532 772 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
637 772 637 487 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
637 382 187 382 105 arcto 4 {pop} repeat
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
3262 607 m 3262 547 l 3077 547 l 3227 577 l 3077 607 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 629 577 m
|
||||
3247 577 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 3077 607 m 3227 577 l 3077 547 l 3107 577 l 3077 607 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
30.000 slw
|
||||
gs clippath
|
||||
1353 185 m 1322 133 l 1192 209 l 1311 175 l 1222 261 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 643 565 m
|
||||
1325 167 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 1222 261 m 1311 175 l 1192 209 l 1222 261 l cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
910 190 m 910 160 l 818 160 l 878 175 l 818 190 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 730 175 m
|
||||
895 175 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 818 190 m 878 175 l 818 160 l col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2185 365 m 2185 335 l 2093 335 l 2153 350 l 2093 365 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 2005 350 m
|
||||
2170 350 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2093 365 m 2153 350 l 2093 335 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
277 622 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
2047 517 m
|
||||
gs 1 -1 sc (d) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
764 352 m
|
||||
gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
1110 490 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
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$F2psEnd
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Annexe-Energies/Annexe-Energies.aux
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Annexe-Energies/Annexe-Energies.aux
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\relax
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\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {K}\IeC {\'E}nergies}{195}}
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {K.1}Introduction}{195}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {K.2}\IeC {\'E}nergie hydraulique}{195}}
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\newlabel{barrageduchatelot}{{K.2}{195}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {K.1}{\ignorespaces Le barrage du Ch\IeC {\^a}telot}}{195}}
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\newlabel{chatelot@ch\IeC {\^a}telot}{{K.1}{195}}
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\newlabel{prodchatelot}{{K.1}{195}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {K.3}\IeC {\'E}nergie \IeC {\'e}olienne}{196}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {K.3.1}R\IeC {\`e}gle de Betz}{196}}
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\newlabel{reglebetz}{{K.3.1}{196}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {K.3.2}\IeC {\'E}oliennes}{197}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\IeC {\'E}olienne de Collonges-Dor\IeC {\'e}naz}{197}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\IeC {\'E}oliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}{197}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {K.4}G\IeC {\'e}othermie}{197}}
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\newlabel{riehen}{{K.4}{197}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {K.5}\IeC {\'E}nergie de combustion des d\IeC {\'e}chets}{198}}
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\@setckpt{Annexe-Energies/Annexe-Energies}{
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\setcounter{page}{199}
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\setcounter{equation}{3}
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\setcounter{enumi}{2}
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\setcounter{enumiii}{0}
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148
Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex
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148
Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex
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\myclearpage
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\chapter{Énergies}
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\section{Introduction}
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\lettrine{C}{ette annexe} est destinée à aller un peu plus loin que ce qui figure dans le cours concernant les différentes énergies. Elle est faite de quelques exemples particuliers qui peuvent fixer les idées, les ordres de grandeur, les problèmes, etc. Ce domaine étant très vaste, il ne s'agit ici que de donner quelques exemples, sans plus.
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\section{Énergie hydraulique\index{energie@énergie!hydraulique}}\label{barrageduchatelot}
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||||
On s'intéresse ici au barrage\index{barrage} du Châtelot, entré en service en novembre 1953, sur le Doubs dans le Jura suisse et français. Ce barrage a une hauteur de \unit{74}{\metre}. Par ailleurs, les turbines\index{turbine} ne se trouvent pas à son pied, mais plus bas au bord de l'eau. Celle-ci est amenée par une conduite forcée\index{conduite forcee@conduite forcée} de trois kilomètres selon une pente de 4 \textperthousand, ce qui représente un hauteur supplémentaire de \unit{12}{\metre}. Au total, la hauteur est donc de \unit{86}{\metre}. Le Doubs a un débit moyen de \unit{25}{\metre\cubed\per\second}. Mais le débit aménagé\index{debit@débit!aménagé}, c'est-à-dire le débit maximal produisant de l'énergie, est de \unit{44}{\metre\cubed\per\second}.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Le barrage du Châtelot]{Le barrage du Châtelot\label{chatelot@châtelot} \par \scriptsize{Sur le Doubs dans le jura.}}
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\includegraphics[width=7cm]{Chatelot.eps}
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||||
\end{figure}
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||||
Le débit de restitution\index{debit@débit!de restitution} étant fixé par la loi française à environ 10\% du débit moyen de la rivière, un turbinage minimum permanent de \unit{2}{\metre\cubed\per\second} est réalisé (pendant les phases de remplissage du barrage). A partir de ces données on peut estimer la puissance moyenne \(\overline{P}\) de chute :
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||||
\begin{align*}
|
||||
\overline{P}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
|
||||
&=0,8\cdot 25\cdot 9,81\cdot 86=\unit{16'873}{\kilo\watt}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Cela représente une énergie totale par année de :
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||||
\begin{align}
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||||
E&=16'873\cdot 24\cdot 365\notag\\
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||||
&=147,807\,\text{millions\,de\,\kilowatthour}\notag\\
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||||
&=\unit{147'807}{\mega\watt\hour}\label{prodchatelot}
|
||||
\end{align}
|
||||
Évidemment, la puissance installé doit être plus importante pour faire face à un débit plus important. On a :
|
||||
\begin{align*}
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||||
P_{inst}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
|
||||
&=0,8\cdot 44\cdot 9,81\cdot 86\cong\unit{30'000}{\kilo\watt}
|
||||
\end{align*}
|
||||
La puissance installé est de \unit{15'000}{\kilo\watt} pour chacune des deux turbines. La puissance totale installée\index{puissance!installée} est donc de \unit{30'000}{\kilo\watt}.
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||||
|
||||
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour\per an}, on couvre les besoins de :
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||||
\[n=\frac{147,807\cdot 10^6}{2\cdot 2000}=36'951\,\text{ménages}\]
|
||||
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) 30'000 personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement 10'000 ménages).
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||||
L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute tension de \unit{60'000}{\volt} chacune et par deux lignes sous la même tension vers la France.
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\section{Énergie éolienne}
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\subsection{Règle de Betz\index{regle de Betz@règle de Betz}}
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Démonstration de la règle de Betz :\label{reglebetz}
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On imagine une éolienne\index{eolienne@éolienne} brassant à l'aide de ses pales\index{pale} une surface \(S\). Si la vitesse du vent en amont est \(v_{amont}\), en un temps donné \(t\) toutes les particules se trouvant jusqu'à une distance \(d=v_{amont}\cdot t\) d'elle la traverseront. Le volume d'air qu'elle brassera sera donc de :
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||||
\[V=S\cdot d=S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
En considérant la masse volumique de l'air \(\rho\), on calcule la masse d'air que cela représente par :
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\[\rho=\frac{m}{V}\;\Rightarrow\;m=\rho\cdot V=\rho\cdot S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
On peut alors calculer la puissance correspondant au déplacement de cette masse d'air :
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\begin{align*}
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||||
P&=\frac{E_{cin}}{t}=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2}{t}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot v_{amont}^2\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{amont}^3
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||||
\end{align*}
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||||
Si maintenant on comprend qu'une partie de cette énergie est prise au vent par l'éolienne, on se rend compte que cela implique une diminution de sa vitesse en aval. Soit \(v_{aval}\) cette vitesse. On peut considérer que la même masse d'air traverse l'éolienne, mais à une vitesse moyenne plus faible. On peut donc admettre (cela se justifie) que cette vitesse est la moyenne des vitesses en amont et en aval :
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||||
\[v_{moy}=\frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\]
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||||
Ainsi, le volume traversant l'éolienne est :
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||||
\[V=S\cdot v_{moy}\cdot t=S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
Et la masse est alors :
|
||||
\[m=\rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçue par l'éolienne est ainsi :
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||||
\begin{align*}
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||||
\Delta P&=\frac{\Delta E_{cin}}{t}=\frac{E_{cin}^{amont}-E_{cin}^{aval}}{t}\\
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||||
&=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{aval}^2}{t}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
|
||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\cdot (v_{amont}+v_{aval})
|
||||
\end{align*}
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||||
Si on cherche quelle est la vitesse en aval \(v_{av}\) qui donne un maximum de puissance, il faut dériver la fonction \(\Delta P\) par rapport à \(v_{av}\) et l'annuler. Pour écourter la notation, on pose encore : \(v_{amont}=v_{am}\).
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||||
\begin{gather*}
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||||
\frac{d\Delta P}{dv_{av}}=\frac{d}{dv_{av}}(\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))\\
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||||
=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))=0
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||||
\end{gather*}
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||||
L'équation à résoudre alors est :
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\begin{align*}
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||||
\frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))&=0\;\Rightarrow\\
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||||
\frac{d}{dv_{av}} (v_{am}^3+v_{am}^2\cdot v_{av}-v_{av}^2\cdot v_{am}-v_{av}^3)&=0\;\Rightarrow\\
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||||
v_{am}^2-2\cdot v_{am}\cdot v_{av}-3\cdot v_{av}^2&=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il s'agit d'une équation du second degré en \(v_{av}\) dont la solution est :
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||||
\begin{align*}
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||||
v_{av}&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{(2\cdot v_{am})^2-4\cdot (-3)\cdot v_{am}^2}}{2\cdot (-3)}\\
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||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{16\cdot v_{am}^2}}{-6}\\
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||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm 4\cdot v_{am}}{-6}\\
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||||
&=\frac{v_{am}\pm 2\cdot v_{am}}{-3}=\begin{cases}v_{am}/3\\-v_{am}\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Évidemment \(v_{aval}>0\) et donc seule la solution positive à un sens. On a donc finalement :
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\begin{equation}
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v_{aval}=\frac{v_{amont}}{3}
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||||
\end{equation}
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||||
Et la conséquence pour la variation de puissance est que :
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||||
\begin{align*}
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\Delta P&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av})\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-(v_{am}/3)^2)\cdot (v_{am}+v_{am}/3)\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{9\cdot v_{am}^2-v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{3\cdot v_{am}+v_{am}}{3})\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{8\cdot v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{4\cdot v_{am}}{3})\\
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||||
&=\frac{16}{27}\cdot \frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{am}^3\\
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||||
&=\frac{16}{27}\cdot P=0,57\cdot P
|
||||
\end{align*}
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||||
Ce qui signifie que la puissance maximale que l'éolienne peut développer représente les 16/27 de la puissance du vent, soit 57\% de celle-ci :
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||||
\begin{equation}
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||||
P_{\acute eolienne}=\frac{16}{27}\cdot P_{vent}
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||||
\end{equation}
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||||
Cela constitue la limite de Betz\index{limite de Betz}.
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\subsection{Éoliennes\index{eolienne@éolienne}}
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\subsubsection{Éolienne de Collonges-Dorénaz}
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Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent sur internet\endnote{Voir le site de RhônEole : \url=http://www.rhoneole.ch/=}. Il s'agit simplement d'illustrer la théorie à travers l'exemple concret de la plus grande éolienne de Suisse pour permettre une comparaison avec un barrage comme celui du Châtelot (voir paragraphe \ref{barrageduchatelot}).
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||||
Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \unit{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \unit{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'il vaut 56\%. La puissance maximale est de \unit{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \unit{3,5}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut :
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\[n=\frac{3,5\cdot 10^6}{2000}=1750\,\text{ménages}\]
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||||
Comparé au 74'000 ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
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\subsubsection{Éoliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}
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A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent : \url=http://www.juvent.ch/=}.
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Il faut savoir que cette centrale est constituée de huit éoliennes\index{eolienne@éolienne} d'une puissance allant de \unit{600}{} à \unit{1750}{\kilo\watt}. Elles ont une hauteur de mât\index{mat@mât} de \unit{45}{} à \unit{67}{\metre} et des pales\index{pale} de \unit{22}{} à \unit{33}{\metre}. L'ensemble a produit en 2006 une énergie de \unit{9,176}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Cela représente 4588 ménages (à \unit{2000}{\kilowatthour\per an}). Une fois encore c'est bien peu comparé au barrage\index{barrage} du Châtelot. Mais les remarques faites précédemment restent valables.
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Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent ensemble environ 6300 ménages, soit très approximativement la moitié d'une ville comme La Chaux-de-Fonds en Suisse.
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%\section{Énergie solaire}
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%\subsection{Solaire thermique}
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%Le solaire thermique est mal connu. Pourtant, il constitue une excellente manière de produire de la chaleur pour les habitations privées.
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%\subsection{Solaire électrique}
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%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ $15\%$ des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
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\section{Géothermie\index{geothermie@géothermie}}\label{riehen}
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Il existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent la chaleur d'une eau à \unit{65}{\degree} provenant d'un forage\index{forage} à \unit{1547}{\metre} (un second forage, distant de \unit{1}{\kilo\metre} du premier, réinjecte de l'eau froide à \unit{1247}{\metre}, avec un débit de \unit{18}{\litre\per\second}). Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de \unit{22,8}{\giga\watt\hour}\endnote{Voir les sites de Géothermie : \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ \unit{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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\[n=\frac{22'800}{20}=1'140\,\text{ménages}\]
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Ce qui représente environ 3'500 personnes.
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\section{Énergie de combustion des déchets\index{energie@énergie!de combustion!des déchets}}
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Nous allons prendre pour exemple de ce type de production énergétique la centrale de chauffage à distance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le Jura suisse. L'objectif est d'avoir un exemple concret de ce qui se fait déjà dans un domaine concernant les énergies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.
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La production\endnote{voir dépliant ``Nos déchets = notre énergie'' sur le site : \url=http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php=} totale d'énergie par cette usine d'incinération est de \unit{85'000}{\mega\watt\hour\per an}. Par comparaison, rappelons que la production du barrage\index{barrage} du Châtelot est de \unit{150'000}{\mega\watt\hour\per an} (voir équation \ref{prodchatelot}), soit environ le double.
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Cette énergie se partage en \unit{60'000}{\mega\watt\hour\per an} pour le chauffage à distance (chauffage des habitations) et \unit{25'000}{\mega\watt\hour\per an} produit par une turbine sous forme électrique, dont \unit{19'000}{\mega\watt\hour\per an} sont vendus. Cela représente \unit{55'000}{tonnes/an} de déchets incinérés. Le nombre de ménages fournis en énergie électrique est donc de :
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\[n=\frac{19'000\cdot 10^6}{2000\cdot 10^3}=9500\,\text{ménages}\]
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Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement \unit{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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\[n=\frac{60'000}{20}=3000\,\text{ménages}\]
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||||
Ce qui représente environ 10'000 personnes.
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%\section{Énergie du gaz}
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%\section{Analyse des besoins énergétiques d'une maison}
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Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex.backup
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Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex.backup
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\myclearpage
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\chapter{Énergies}
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\section{Introduction}
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Cette annexe est destinée à aller un peu plus loin que ce qui figure dans le cours concernant les différentes énergies. Elle est faite de quelques exemples particuliers qui peuvent fixer les idées, les ordres de grandeur, les problèmes, etc. Ce domaine étant très vaste, il ne s'agit ici que de donner quelques exemples, sans plus.
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||||
\section{Énergie hydraulique\index{energie@énergie!hydraulique}}\label{barrageduchatelot}
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||||
On s'intéresse ici au barrage\index{barrage} du Châtelot, entré en service en novembre 1953, sur le Doubs dans le Jura suisse et français. Ce barrage a une hauteur de \unit{74}{\metre}. Par ailleurs, les turbines\index{turbine} ne se trouvent pas à son pied, mais plus bas au bord de l'eau. Celle-ci est amenée par une conduite forcée\index{conduite forcee@conduite forcée} de trois kilomètres selon une pente de 4 \textperthousand, ce qui représente un hauteur supplémentaire de \unit{12}{\metre}. Au total, la hauteur est donc de \unit{86}{\metre}. Le Doubs a un débit moyen de \unit{25}{\metre\cubed\per\second}. Mais le débit aménagé\index{debit@débit!aménagé}, c'est-à-dire le débit maximal produisant de l'énergie, est de \unit{44}{\metre\cubed\per\second}.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Le barrage du Châtelot]{Le barrage du Châtelot\label{chatelot@châtelot} \par \scriptsize{Sur le Doubs dans le jura.}}
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\includegraphics[width=7cm]{Chatelot.eps}
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\end{figure}
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||||
Le débit de restitution\index{debit@débit!de restitution} étant fixé par la loi française à environ 10\% du débit moyen de la rivière, un turbinage minimum permanent de \unit{2}{\metre\cubed\per\second} est réalisé (pendant les phases de remplissage du barrage). A partir de ces données on peut estimer la puissance moyenne \(\overline{P}\) de chute :
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\begin{align*}
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\overline{P}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
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||||
&=0,8\cdot 25\cdot 9,81\cdot 86=\unit{16'873}{\kilo\watt}
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||||
\end{align*}
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Cela représente une énergie totale par année de :
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\begin{align}
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E&=16'873\cdot 24\cdot 365\notag\\
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||||
&=147,807\,\text{millions\,de\,\kilowatthour}\notag\\
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&=\unit{147'807}{\mega\watt\hour}\label{prodchatelot}
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\end{align}
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Évidemment, la puissance installé doit être plus importante pour faire face à un débit plus important. On a :
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\begin{align*}
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||||
P_{inst}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
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&=0,8\cdot 44\cdot 9,81\cdot 86\cong\unit{30'000}{\kilo\watt}
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||||
\end{align*}
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||||
La puissance installé est de \unit{15'000}{\kilo\watt} pour chacune des deux turbines. La puissance totale installée\index{puissance!installée} est donc de \unit{30'000}{\kilo\watt}.
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||||
|
||||
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour\per an}, on couvre les besoins de :
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||||
\[n=\frac{147,807\cdot 10^6}{2\cdot 2000}=36'951\,\text{ménages}\]
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||||
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) 30'000 personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement 10'000 ménages).
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||||
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||||
L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute tension de \unit{60'000}{\volt} chacune et par deux lignes sous la même tension vers la France.
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\section{Énergie éolienne}
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\subsection{Règle de Betz\index{regle de Betz@règle de Betz}}
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Démonstration de la règle de Betz :\label{reglebetz}
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On imagine une éolienne\index{eolienne@éolienne} brassant à l'aide de ses pales\index{pale} une surface \(S\). Si la vitesse du vent en amont est \(v_{amont}\), en un temps donné \(t\) toutes les particules se trouvant jusqu'à une distance \(d=v_{amont}\cdot t\) d'elle la traverseront. Le volume d'air qu'elle brassera sera donc de :
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||||
\[V=S\cdot d=S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
En considérant la masse volumique de l'air \(\rho\), on calcule la masse d'air que cela représente par :
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||||
\[\rho=\frac{m}{V}\;\Rightarrow\;m=\rho\cdot V=\rho\cdot S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
On peut alors calculer la puissance correspondant au déplacement de cette masse d'air :
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||||
\begin{align*}
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||||
P&=\frac{E_{cin}}{t}=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2}{t}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot v_{amont}^2\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{amont}^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
Si maintenant on comprend qu'une partie de cette énergie est prise au vent par l'éolienne, on se rend compte que cela implique une diminution de sa vitesse en aval. Soit \(v_{aval}\) cette vitesse. On peut considérer que la même masse d'air traverse l'éolienne, mais à une vitesse moyenne plus faible. On peut donc admettre (cela se justifie) que cette vitesse est la moyenne des vitesses en amont et en aval :
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||||
\[v_{moy}=\frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\]
|
||||
Ainsi, le volume traversant l'éolienne est :
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||||
\[V=S\cdot v_{moy}\cdot t=S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
Et la masse est alors :
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||||
\[m=\rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçue par l'éolienne est ainsi :
|
||||
\begin{align*}
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||||
\Delta P&=\frac{\Delta E_{cin}}{t}=\frac{E_{cin}^{amont}-E_{cin}^{aval}}{t}\\
|
||||
&=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{aval}^2}{t}\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
|
||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\cdot (v_{amont}+v_{aval})
|
||||
\end{align*}
|
||||
Si on cherche quelle est la vitesse en aval \(v_{av}\) qui donne un maximum de puissance, il faut dériver la fonction \(\Delta P\) par rapport à \(v_{av}\) et l'annuler. Pour écourter la notation, on pose encore : \(v_{amont}=v_{am}\).
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||||
\begin{gather*}
|
||||
\frac{d\Delta P}{dv_{av}}=\frac{d}{dv_{av}}(\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))\\
|
||||
=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))=0
|
||||
\end{gather*}
|
||||
L'équation à résoudre alors est :
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||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))&=0\;\Rightarrow\\
|
||||
\frac{d}{dv_{av}} (v_{am}^3+v_{am}^2\cdot v_{av}-v_{av}^2\cdot v_{am}-v_{av}^3)&=0\;\Rightarrow\\
|
||||
v_{am}^2-2\cdot v_{am}\cdot v_{av}-3\cdot v_{av}^2&=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il s'agit d'une équation du second degré en \(v_{av}\) dont la solution est :
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||||
\begin{align*}
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||||
v_{av}&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{(2\cdot v_{am})^2-4\cdot (-3)\cdot v_{am}^2}}{2\cdot (-3)}\\
|
||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{16\cdot v_{am}^2}}{-6}\\
|
||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm 4\cdot v_{am}}{-6}\\
|
||||
&=\frac{v_{am}\pm 2\cdot v_{am}}{-3}=\begin{cases}v_{am}/3\\-v_{am}\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Évidemment \(v_{aval}>0\) et donc seule la solution positive à un sens. On a donc finalement :
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||||
\begin{equation}
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||||
v_{aval}=\frac{v_{amont}}{3}
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||||
\end{equation}
|
||||
Et la conséquence pour la variation de puissance est que :
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||||
\begin{align*}
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||||
\Delta P&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av})\\
|
||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-(v_{am}/3)^2)\cdot (v_{am}+v_{am}/3)\\
|
||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{9\cdot v_{am}^2-v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{3\cdot v_{am}+v_{am}}{3})\\
|
||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{8\cdot v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{4\cdot v_{am}}{3})\\
|
||||
&=\frac{16}{27}\cdot \frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{am}^3\\
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||||
&=\frac{16}{27}\cdot P=0,57\cdot P
|
||||
\end{align*}
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||||
Ce qui signifie que la puissance maximale que l'éolienne peut développer représente les 16/27 de la puissance du vent, soit 57\% de celle-ci :
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||||
\begin{equation}
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||||
P_{\acute eolienne}=\frac{16}{27}\cdot P_{vent}
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||||
\end{equation}
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||||
Cela constitue la limite de Betz\index{limite de Betz}.
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\subsection{Éoliennes\index{eolienne@éolienne}}
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\subsubsection{Éolienne de Collonges-Dorénaz}
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Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent sur internet\endnote{Voir le site de RhônEole : \url=http://www.rhoneole.ch/=}. Il s'agit simplement d'illustrer la théorie à travers l'exemple concret de la plus grande éolienne de Suisse pour permettre une comparaison avec un barrage comme celui du Châtelot (voir paragraphe \ref{barrageduchatelot}).
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Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \unit{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \unit{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'il vaut 56\%. La puissance maximale est de \unit{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \unit{3,5}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut :
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\[n=\frac{3,5\cdot 10^6}{2000}=1750\,\text{ménages}\]
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Comparé au 74'000 ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
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\subsubsection{Éoliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}
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A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent : \url=http://www.juvent.ch/=}.
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Il faut savoir que cette centrale est constituée de huit éoliennes\index{eolienne@éolienne} d'une puissance allant de \unit{600}{} à \unit{1750}{\kilo\watt}. Elles ont une hauteur de mât\index{mat@mât} de \unit{45}{} à \unit{67}{\metre} et des pales\index{pale} de \unit{22}{} à \unit{33}{\metre}. L'ensemble a produit en 2006 une énergie de \unit{9,176}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Cela représente 4588 ménages (à \unit{2000}{\kilowatthour\per an}). Une fois encore c'est bien peu comparé au barrage\index{barrage} du Châtelot. Mais les remarques faites précédemment restent valables.
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Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent ensemble environ 6300 ménages, soit très approximativement la moitié d'une ville comme La Chaux-de-Fonds en Suisse.
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%\section{Énergie solaire}
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%\subsection{Solaire thermique}
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%Le solaire thermique est mal connu. Pourtant, il constitue une excellente manière de produire de la chaleur pour les habitations privées.
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%\subsection{Solaire électrique}
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%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ $15\%$ des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
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\section{Géothermie\index{geothermie@géothermie}}\label{riehen}
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IL existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent l'eau provenant d'un forage\index{forage} à $1547\,m$ amenant une eau à $65^{\circ}$. Un second forage, distant de $1\,km$ du premier, réinjecte de l'eau froide à $1247\,m$. Le débit est de $18\,l/s$. Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de $22,8\,GWh$\endnote{Voir les sites de Géothermie : \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ $20\,MWh/an$ pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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\[n=\frac{22'800}{20}=1'140\,\text{ménages}\]
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Ce qui représente environ $3'500\,\text{personnes}$.
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\section{Énergie de combustion des déchets\index{energie@énergie!de combustion!des déchets}}
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Nous allons ici prendre pour exemple de ce type de production énergétique la centrale de chauffage à distance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le jura suisse. L'objectif est d'avoir un exemple concret de ce qui se fait déjà dans un domaine concernant les énergies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.
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La production\endnote{voir dépliant ``Nos déchets = notre énergie'' sur le site : \url=http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php=} totale d'énergie par cette usine d'incinération est de $85'000\,MWh/an$. Par comparaison, rappelons que la production du barrage\index{barrage} du Chatelot est de $150'000\,MWh/an$ (voir équation \ref{prodchatelot}), soit environ le double.
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Cette énergie se partage en $60'000\,MWh/an$ pour le chauffage à distance (chauffage des habitations) et $25'000\,MWh/an$ produit par une turbine sous forme électrique, dont $19'000\,MWh/an$ sont vendus. Cela représente $55'000\,t/an$ de déchets incinérés. Le nombres de ménages fournis en énergie électrique est donc de :
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\[n=\frac{19'000\cdot 10^6}{2000\cdot 10^3}=9500\,\text{ménages}\]
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||||
Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement $20\,MWh/an$ pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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||||
\[n=\frac{60'000}{20}=3000\,\text{ménages}\]
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||||
Ce qui représente environ $10'000\,\text{personnes}$.
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%\section{Énergie du gaz}
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%\section{Analyse des besoins énergétiques d'une maison}
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148
Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex~
Normal file
148
Annexe-Energies/Annexe-Energies.tex~
Normal file
@ -0,0 +1,148 @@
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\myclearpage
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\chapter{Énergies}
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\section{Introduction}
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Cette annexe est destinée à aller un peu plus loin que ce qui figure dans le cours concernant les différentes énergies. Elle est faite de quelques exemples particuliers qui peuvent fixer les idées, les ordres de grandeur, les problèmes, etc. Ce domaine étant très vaste, il ne s'agit ici que de donner quelques exemples, sans plus.
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\section{Énergie hydraulique\index{energie@énergie!hydraulique}}\label{barrageduchatelot}
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On s'intéresse ici au barrage\index{barrage} du Châtelot, entré en service en novembre 1953, sur le Doubs dans le Jura suisse et français. Ce barrage a une hauteur de \unit{74}{\metre}. Par ailleurs, les turbines\index{turbine} ne se trouvent pas à son pied, mais plus bas au bord de l'eau. Celle-ci est amenée par une conduite forcée\index{conduite forcee@conduite forcée} de trois kilomètres selon une pente de 4 \textperthousand, ce qui représente un hauteur supplémentaire de \unit{12}{\metre}. Au total, la hauteur est donc de \unit{86}{\metre}. Le Doubs a un débit moyen de \unit{25}{\metre\cubed\per\second}. Mais le débit aménagé\index{debit@débit!aménagé}, c'est-à-dire le débit maximal produisant de l'énergie, est de \unit{44}{\metre\cubed\per\second}.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Le barrage du Châtelot]{Le barrage du Châtelot\label{chatelot@châtelot} \par \scriptsize{Sur le Doubs dans le jura.}}
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\includegraphics[width=7cm]{Chatelot.eps}
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\end{figure}
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Le débit de restitution\index{debit@débit!de restitution} étant fixé par la loi française à environ 10\% du débit moyen de la rivière, un turbinage minimum permanent de \unit{2}{\metre\cubed\per\second} est réalisé (pendant les phases de remplissage du barrage). A partir de ces données on peut estimer la puissance moyenne \(\overline{P}\) de chute :
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||||
\begin{align*}
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||||
\overline{P}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
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||||
&=0,8\cdot 25\cdot 9,81\cdot 86=\unit{16'873}{\kilo\watt}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Cela représente une énergie totale par année de :
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||||
\begin{align}
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||||
E&=16'873\cdot 24\cdot 365\notag\\
|
||||
&=147,807\,\text{millions\,de\,\kilowatthour}\notag\\
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||||
&=\unit{147'807}{\mega\watt\hour}\label{prodchatelot}
|
||||
\end{align}
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||||
Évidemment, la puissance installé doit être plus importante pour faire face à un débit plus important. On a :
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||||
\begin{align*}
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||||
P_{inst}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
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||||
&=0,8\cdot 44\cdot 9,81\cdot 86\cong\unit{30'000}{\kilo\watt}
|
||||
\end{align*}
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||||
La puissance installé est de \unit{15'000}{\kilo\watt} pour chacune des deux turbines. La puissance totale installée\index{puissance!installée} est donc de \unit{30'000}{\kilo\watt}.
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||||
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour\per an}, on couvre les besoins de :
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||||
\[n=\frac{147,807\cdot 10^6}{2\cdot 2000}=36'951\,\text{ménages}\]
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Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) 30'000 personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement 10'000 ménages).
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||||
L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute tension de \unit{60'000}{\volt} chacune et par deux lignes sous la même tension vers la France.
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\section{Énergie éolienne}
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\subsection{Règle de Betz\index{regle de Betz@règle de Betz}}
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Démonstration de la règle de Betz :\label{reglebetz}
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On imagine une éolienne\index{eolienne@éolienne} brassant à l'aide de ses pales\index{pale} une surface \(S\). Si la vitesse du vent en amont est \(v_{amont}\), en un temps donné \(t\) toutes les particules se trouvant jusqu'à une distance \(d=v_{amont}\cdot t\) d'elle la traverseront. Le volume d'air qu'elle brassera sera donc de :
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||||
\[V=S\cdot d=S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
En considérant la masse volumique de l'air \(\rho\), on calcule la masse d'air que cela représente par :
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||||
\[\rho=\frac{m}{V}\;\Rightarrow\;m=\rho\cdot V=\rho\cdot S\cdot v_{amont}\cdot t\]
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||||
On peut alors calculer la puissance correspondant au déplacement de cette masse d'air :
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||||
\begin{align*}
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||||
P&=\frac{E_{cin}}{t}=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2}{t}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot v_{amont}^2\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{amont}^3
|
||||
\end{align*}
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||||
Si maintenant on comprend qu'une partie de cette énergie est prise au vent par l'éolienne, on se rend compte que cela implique une diminution de sa vitesse en aval. Soit \(v_{aval}\) cette vitesse. On peut considérer que la même masse d'air traverse l'éolienne, mais à une vitesse moyenne plus faible. On peut donc admettre (cela se justifie) que cette vitesse est la moyenne des vitesses en amont et en aval :
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||||
\[v_{moy}=\frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\]
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||||
Ainsi, le volume traversant l'éolienne est :
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||||
\[V=S\cdot v_{moy}\cdot t=S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
Et la masse est alors :
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||||
\[m=\rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
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||||
La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçue par l'éolienne est ainsi :
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||||
\begin{align*}
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||||
\Delta P&=\frac{\Delta E_{cin}}{t}=\frac{E_{cin}^{amont}-E_{cin}^{aval}}{t}\\
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||||
&=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{aval}^2}{t}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\cdot (v_{amont}+v_{aval})
|
||||
\end{align*}
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||||
Si on cherche quelle est la vitesse en aval \(v_{av}\) qui donne un maximum de puissance, il faut dériver la fonction \(\Delta P\) par rapport à \(v_{av}\) et l'annuler. Pour écourter la notation, on pose encore : \(v_{amont}=v_{am}\).
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||||
\begin{gather*}
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||||
\frac{d\Delta P}{dv_{av}}=\frac{d}{dv_{av}}(\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))\\
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||||
=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))=0
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||||
\end{gather*}
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||||
L'équation à résoudre alors est :
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||||
\begin{align*}
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||||
\frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))&=0\;\Rightarrow\\
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||||
\frac{d}{dv_{av}} (v_{am}^3+v_{am}^2\cdot v_{av}-v_{av}^2\cdot v_{am}-v_{av}^3)&=0\;\Rightarrow\\
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||||
v_{am}^2-2\cdot v_{am}\cdot v_{av}-3\cdot v_{av}^2&=0
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||||
\end{align*}
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||||
Il s'agit d'une équation du second degré en \(v_{av}\) dont la solution est :
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||||
\begin{align*}
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||||
v_{av}&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{(2\cdot v_{am})^2-4\cdot (-3)\cdot v_{am}^2}}{2\cdot (-3)}\\
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||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{16\cdot v_{am}^2}}{-6}\\
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||||
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm 4\cdot v_{am}}{-6}\\
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||||
&=\frac{v_{am}\pm 2\cdot v_{am}}{-3}=\begin{cases}v_{am}/3\\-v_{am}\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Évidemment \(v_{aval}>0\) et donc seule la solution positive à un sens. On a donc finalement :
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||||
\begin{equation}
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||||
v_{aval}=\frac{v_{amont}}{3}
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||||
\end{equation}
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||||
Et la conséquence pour la variation de puissance est que :
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||||
\begin{align*}
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||||
\Delta P&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av})\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-(v_{am}/3)^2)\cdot (v_{am}+v_{am}/3)\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{9\cdot v_{am}^2-v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{3\cdot v_{am}+v_{am}}{3})\\
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||||
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (\frac{8\cdot v_{am}^2}{9})\cdot (\frac{4\cdot v_{am}}{3})\\
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||||
&=\frac{16}{27}\cdot \frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{am}^3\\
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&=\frac{16}{27}\cdot P=0,57\cdot P
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\end{align*}
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Ce qui signifie que la puissance maximale que l'éolienne peut développer représente les 16/27 de la puissance du vent, soit 57\% de celle-ci :
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\begin{equation}
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P_{\acute eolienne}=\frac{16}{27}\cdot P_{vent}
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\end{equation}
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Cela constitue la limite de Betz\index{limite de Betz}.
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\subsection{Éoliennes\index{eolienne@éolienne}}
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\subsubsection{Éolienne de Collonges-Dorénaz}
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Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent sur internet\endnote{Voir le site de RhônEole : \url=http://www.rhoneole.ch/=}. Il s'agit simplement d'illustrer la théorie à travers l'exemple concret de la plus grande éolienne de Suisse pour permettre une comparaison avec un barrage comme celui du Châtelot (voir paragraphe \ref{barrageduchatelot}).
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Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \unit{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \unit{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'il vaut 56\%. La puissance maximale est de \unit{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \unit{3,5}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \unit{2000}{\kilowatthour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut :
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\[n=\frac{3,5\cdot 10^6}{2000}=1750\,\text{ménages}\]
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Comparé au 74'000 ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
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\subsubsection{Éoliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}
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A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent : \url=http://www.juvent.ch/=}.
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Il faut savoir que cette centrale est constituée de huit éoliennes\index{eolienne@éolienne} d'une puissance allant de \unit{600}{} à \unit{1750}{\kilo\watt}. Elles ont une hauteur de mât\index{mat@mât} de \unit{45}{} à \unit{67}{\metre} et des pales\index{pale} de \unit{22}{} à \unit{33}{\metre}. L'ensemble a produit en 2006 une énergie de \unit{9,176}{millions\thickspace de\thickspace\kilowatthour}. Cela représente 4588 ménages (à \unit{2000}{\kilowatthour\per an}). Une fois encore c'est bien peu comparé au barrage\index{barrage} du Châtelot. Mais les remarques faites précédemment restent valables.
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Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent ensemble environ 6300 ménages, soit très approximativement la moitié d'une ville comme La Chaux-de-Fonds en Suisse.
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%\section{Énergie solaire}
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%\subsection{Solaire thermique}
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%Le solaire thermique est mal connu. Pourtant, il constitue une excellente manière de produire de la chaleur pour les habitations privées.
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%\subsection{Solaire électrique}
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%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ $15\%$ des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
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\section{Géothermie\index{geothermie@géothermie}}\label{riehen}
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Il existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent la chaleur d'une eau à \unit{65}{\degree} provenant d'un forage\index{forage} à \unit{1547}{\metre} (un second forage, distant de \unit{1}{\kilo\metre} du premier, réinjecte de l'eau froide à \unit{1247}{\metre}, avec un débit de \unit{18}{\litre\per\second}). Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de \unit{22,8}{\giga\watt\hour}\endnote{Voir les sites de Géothermie : \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ \unit{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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\[n=\frac{22'800}{20}=1'140\,\text{ménages}\]
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Ce qui représente environ 3'500 personnes.
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\section{Énergie de combustion des déchets\index{energie@énergie!de combustion!des déchets}}
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Nous allons prendre pour exemple de ce type de production énergétique la centrale de chauffage à distance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le Jura suisse. L'objectif est d'avoir un exemple concret de ce qui se fait déjà dans un domaine concernant les énergies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.
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La production\endnote{voir dépliant ``Nos déchets = notre énergie'' sur le site : \url=http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php=} totale d'énergie par cette usine d'incinération est de \unit{85'000}{\mega\watt\hour\per an}. Par comparaison, rappelons que la production du barrage\index{barrage} du Châtelot est de \unit{150'000}{\mega\watt\hour\per an} (voir équation \ref{prodchatelot}), soit environ le double.
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Cette énergie se partage en \unit{60'000}{\mega\watt\hour\per an} pour le chauffage à distance (chauffage des habitations) et \unit{25'000}{\mega\watt\hour\per an} produit par une turbine sous forme électrique, dont \unit{19'000}{\mega\watt\hour\per an} sont vendus. Cela représente \unit{55'000}{tonnes/an} de déchets incinérés. Le nombre de ménages fournis en énergie électrique est donc de :
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\[n=\frac{19'000\cdot 10^6}{2000\cdot 10^3}=9500\,\text{ménages}\]
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Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement \unit{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
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\[n=\frac{60'000}{20}=3000\,\text{ménages}\]
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Ce qui représente environ 10'000 personnes.
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%\section{Énergie du gaz}
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|
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|
||||
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|
||||
51.457435 27.859599 51.314206 27.872620 51.138428 27.898655 curveto
|
||||
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|
||||
50.708740 31.345921 lineto
|
||||
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|
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|
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||||
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Annexe-Exercices/Solutions.tex
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Annexe-Exercices/Solutions.tex
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|
||||
\begin{Solution}{1}
|
||||
Comme le nombre de $km$ est $1000$ fois plus petit que le nombre de mètres et que $1\,AL=9,46\cdot 10^{15}\,m$, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
4,238\,AL&=4,238\cdot 9,46\cdot 10^{15}\\
|
||||
&=4\cdot 10^{16}\,m=4\cdot 10^{13}\,km
|
||||
\end{align*}
|
||||
Comme $1\,pc\approx 3\cdot 10^{16}\,m$, on a :
|
||||
\[4\cdot 10^{16}\,m\approx \frac{4\cdot 10^{16}}{3\cdot 10^{16}}=1,33\,pc\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{2}
|
||||
La distance terre-soleil vaut $1,496\cdot 10^{11}\,m$. On a donc :
|
||||
\[1,496\cdot 10^{11}\,m=1,496\cdot 10^{8}\,km\]
|
||||
Par ailleurs, par définition de l'unité astronomique ($UA$), on a :
|
||||
\[1,496\cdot 10^{11}\,m=1\,UA\]
|
||||
Finalement, avec $1\,AL=9,46\cdot 10^{15}\,m$, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1,496\cdot 10^{11}\,m&=\frac{1,496\cdot 10^{11}}{9,46\cdot 10^{15}}\\
|
||||
&=1,58\cdot 10^{-5}\,AL\cong16\,\mu AL
|
||||
\end{align*}
|
||||
L'exercice \ref{centaure} nous indique que l'étoile la plus proche de nous est à $4,238\,AL$. On a donc :
|
||||
\[\frac{4,238}{1,58\cdot 10^{-5}}=2,68\cdot 10^5\,\times\]
|
||||
Alpha du Centaure se trouve donc à $268'228\,\times$ la distance terre-soleil.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{3}
|
||||
Le diamètre de notre galaxie est de $80'000\,AL$. L'exercice \ref{centaure} nous indique que la distance à Alpha du Centaure vaut $4,238\,AL$. Ainsi, on a :
|
||||
\[\frac{80'000}{4,238}=18'877\,\times\]
|
||||
Le diamètre de la galaxie représente donc $18'877\,\times$ la distance à l'étoile la plus proche de nous.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{4}
|
||||
La distance terre-lune est beaucoup plus grande que le diamètre de la lune. L'angle est donc petit et on peut écrire la relation d'arc donnée par l'équation \ref{relationdarc} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
D&=2\cdot R_{lune}=d\cdot \alpha\;\Rightarrow\;\alpha=\frac{2\cdot R_{lune}}{d_{terre-lune}}\\
|
||||
\alpha&=\frac{2\cdot 0,2725\cdot 6,371\cdot 10^6}{3,84\cdot 10^8}=0,009\,rad
|
||||
\end{align*}
|
||||
Comme $180^{\circ}=\pi\,radians$, l'angle considéré est :
|
||||
\[\alpha=0,009\cdot \frac{180}{\pi}=0,5157^{\circ}\]
|
||||
Comme un degré vaut soixante minutes d'arc, $1^{\circ}=60'$, on a :
|
||||
\[\alpha=0,5157^{\circ}=0,5157\cdot 60=31'\]
|
||||
et :
|
||||
\[\alpha=31'=31\cdot 60=1860''\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{5}
|
||||
Dans $1\,m^3$, on trouve $1000\,dm^3$ et $10^6\,cm^3$. Ainsi, dans $1\,m^3$, on trouve un million de fois plus d'atomes que dans $1\,cm^3$. On a donc par $m^3$ :
|
||||
\[nb\,atomes=0,1\cdot 10^4\cdot 10^6=10^9\,atomes\]
|
||||
Et par litre, c'est-à-dire par $dm^3$ :
|
||||
\[nb\,atomes=0,1\cdot 10^4\cdot 10^3=10^6\,atomes\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{6}
|
||||
La relation d'arc donnée par l'équation \ref{relationdarc} nous permet d'écrire :
|
||||
\[L=R\cdot \alpha\,\Rightarrow\,R=\frac{L}{\alpha}\]
|
||||
Avec la longueur $L$ en $m$ et l'angle $\alpha$ en $rad$ :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
L&=5000\cdot 160=8\cdot 10^5\,m\\
|
||||
\alpha&=7,5\cdot \frac{\pi}{180}=0,13\,rad
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ainsi, le rayon de la terre d'Eratosthène valait :
|
||||
\[R=\frac{8\cdot 10^5}{0,13}=6'111'550\,m=6'111,55\,km\]
|
||||
Sachant que la valeur actuelle du rayon moyen de la terre vaut :
|
||||
\[R_{terre}=6'371,03\,km\]
|
||||
à l'aide de l'équation \ref{defecart}, on peut déterminer l'écart entre les deux valeurs :
|
||||
\[e=\frac{6'371,03-6'111,55}{6'371,03}\cdot 100=4,1\%\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{7}
|
||||
Par définition, le déplacement se calcule par :
|
||||
\[D=\Delta x=x_f-x_i=-5-0=-5\,m\]
|
||||
Et la distance parcourue est la distance réellement effectuée :
|
||||
\[d=10+1+11+5=27\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{8}
|
||||
Pour passer de $km/h$ en $m/s$, il faut diviser par un facteur de $3,6$. En effet :
|
||||
\[120\,km/h=\frac{120\cdot 10^3\,m/h}{3600\,s/h}=\frac{120}{3,6}=33,3\,m/s\]
|
||||
Ainsi, la distance parcourue en deux secondes est :
|
||||
\[d=v\cdot t=33,3\cdot 2=66,6\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{9}
|
||||
Comme la position au bout de $10\,s$ se calcule par :
|
||||
\[x(10\,s)=-2\cdot 10+20=0\,m\]
|
||||
le déplacement est donné par :
|
||||
\[D=\Delta x=x_f-x_i=0-0=0\,m\]
|
||||
Selon l'équation de la position donnée ici, le mouvement de l'objet est le suivant :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item à la vitesse constante de $2\,m/s$ l'objet se déplace pendant $4\,s$,
|
||||
\item il s'arrête de $4$ à $6\,s$ et
|
||||
\item il revient en arrière à la vitesse de $-2\,m/s$ de $6$ à $10\,s$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Ainsi, l'objet parcourt dans un premier temps $2\cdot 4=8\,m$ en avant et dans un second temps $8\,m$ en arrière. La distance parcourue est donc :
|
||||
\[d=8+8=16\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{10}
|
||||
Deux raisonnements sont possibles :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item On s'imagine être dans un train qu'on ne voit pas bouger. Sa vitesse par rapport à nous est nulle. L'autre train se trouve au départ à une distance de $12\,km$ et se déplace par rapport à nous à une vitesse relative de $200\,km/h$ (sa vitesse et notre vitesse sont cumulées). Ainsi, on peut écrire :
|
||||
\[v=\frac{\Delta x}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{12}{200}=0,06\,h\]
|
||||
\item On définit le zéro du système d'axes à la position du premier train au moment où ils sont séparés de $12\,km$. L'équation de la position du premier train est alors :
|
||||
\[x_1=100\cdot t\]
|
||||
Comme la position initiale du second train vaut $12\,km$ et qu'il s'approche, sa vitesse est négative et l'équation de sa position au cours du temps est :
|
||||
\[x_2=-100\cdot t+12\]
|
||||
La condition de rencontre s'écrit alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x_1&=x_2\\
|
||||
100\cdot t&=-100\cdot t+12\;\Rightarrow\\
|
||||
200\cdot t&=12\;\Rightarrow\;t=\frac{12}{200}=0,06\,h
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Le premier raisonnement se fait par rapport à l'un des objets en mouvement. Il est dit relatif. Le second raisonnement se fait par rapport à un référentiel commun : le sol. Il est dit absolu.
|
||||
|
||||
Mais quel que soit le référentiel, le résultat est le même.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{11}
|
||||
Deux raisonnements sont possibles :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item On s'imagine être dans le camion qu'on ne voit pas bouger. Sa vitesse par rapport à nous est nulle. La voiture, elle, se trouve au départ à une distance de $0,6\,km$ et se déplace par rapport à nous à une vitesse relative de $110-80=30\,km/h$ (sa vitesse est diminuée de notre vitesse, puisqu'on la fuit). Ainsi, on peut écrire :
|
||||
\[v=\frac{\Delta x}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{0,6}{30}=0,02\,h\]
|
||||
\item On définit le zéro du système d'axes à la position de la voiture au moment où la voiture et le camion sont séparés de $0,6\,km$. L'équation de la position de la voiture est alors :
|
||||
\[x_v=110\cdot t\]
|
||||
Comme la position initiale du camion vaut $0,6\,km$ et qu'il va dans la même direction que la voiture, l'équation de sa position au cours du temps est :
|
||||
\[x_c=80\cdot t+0,6\]
|
||||
La condition de rencontre s'écrit alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x_v&=x_c\\
|
||||
110\cdot t&=80\cdot t+0,6\;\Rightarrow\\
|
||||
30\cdot t&=0,6\;\Rightarrow\;t=\frac{0,6}{30}=0,02\,h
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Le premier raisonnement se fait par rapport à l'un des objets en mouvement. Il est dit relatif. Le second raisonnement se fait par rapport à un référentiel commun : le sol. Il est dit absolu.
|
||||
|
||||
Mais quel que soit le référentiel, le résultat est le même.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{12}
|
||||
On sait que le rayon de la terre vaut environ $6'400\,km$. Sa circonférence vaut donc :
|
||||
\[C=2\cdot \pi\cdot r\approx 2\cdot 3\cdot 6'000=36'000\,km\approx 40'000\,km\]
|
||||
Sa vitesse se calcule donc ainsi :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v&=\frac{C}{t}\approx \frac{40'000}{24}\approx \frac{40'000}{25}\\
|
||||
&=40'000\cdot \frac{4}{100}=400\cdot 4=1'600\,km/h
|
||||
\end{align*}
|
||||
En réalité, on a :
|
||||
\[v=\frac{2\cdot \pi\cdot r}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot 6'371}{24}=1668\,km/h\]
|
||||
Ce qui correspond à un écart (équation \ref{defecart}) de :
|
||||
\[e=\frac{1668-1600}{1668}\cdot 100=4\%\]
|
||||
Ce qui est un bon écart, compte tenu des grosses approximations faites.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{13}
|
||||
Le temps donné $t_{tot}$ est constitué du temps $t_{boule}$ mis par la boule pour aller frapper celle de l'adversaire et du temps $t_{son}$ mis par le son pour revenir se faire entendre par le joueur. On a donc :
|
||||
\[t_{tot}=1,2=t_{boule}+t_{son}\]
|
||||
Or, pour avoir la vitesse de la boule sur les $9\,m$ de son parcours, il nous faut $t_{boule}$. Pour cela, il faut donc calculer $t_{son}$, qui est le temps mis pas le son pour parcourir $9\,m$ à la vitesse de $343\,m/s$ :
|
||||
\[v=\frac{d}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{d}{v}=\frac{9}{343}=0,026\,s\]
|
||||
Ainsi, le temps de parcours de la boule est :
|
||||
\[t_{boule}=1,2-t_{son}=1,2-0,026=1,174\,s\]
|
||||
Et la vitesse de la boule est finalement :
|
||||
\[v_{boule}=\frac{9}{1,174}=7,666\,m/s\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{14}
|
||||
Par définition de la vitesse moyenne, on a tout simplement :
|
||||
\[v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{-5,2-3,6}{6,8-3}=-2,32\,cm/s\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{15}
|
||||
Par définition de l'accélération, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a&=\frac{v_f-v_i}{t}\;\Rightarrow\\
|
||||
t&=\frac{v_f-v_i}{a}=\frac{0-50/3,6}{-3}=4,63\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{16}
|
||||
On a simplement :
|
||||
\[a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{10-0}{9,9}=1,01\,m/s^2\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{17}
|
||||
On a successivement :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item pour le DC 10 :
|
||||
\[a=\frac{350/3,6-0}{50}=1,94\,m/s^2\]
|
||||
\item pour l'avion sur le porte-avions :
|
||||
\[a=\frac{0-190/3,6}{5}=-10,56\,m/s^2\]
|
||||
C'est une décélération et l'accélération est donc négative.
|
||||
\item pour la capsule spatiale :
|
||||
\[a=\frac{1450/3,6-0}{3}=134\,m/s^2\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{18}
|
||||
Par définition de la vitesse moyenne, on a :
|
||||
\[v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}=\frac{-5-7}{7-3}=-3\,m/s\]
|
||||
Par définition de l'accélération moyenne, on a :
|
||||
\[a=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}=\frac{-2-4}{7-3}=-1,5\,m/s^2\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{19}
|
||||
Les graphes sont présentés à la figure \ref{graphesmru}.
|
||||
\begin{figure}[!t]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{Graphes horaires du MRU.\label{graphesmru}}
|
||||
\includegraphics{GraphesMRU.eps}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
La distance totale parcourue se calcule simplement :
|
||||
\[d=v\cdot t=\frac{50}{3,6}\cdot 5\cdot 60=4'167\,m\]
|
||||
Sur le graphe de la vitesse en fonction du temps, la distance parcourue apparaît simplement être l'aire sous le graphe. En effet, la base $t=5\cdot 60=300\,s$ multipliée par la hauteur $v=50/3,6=13,9\,m/s$ donne bien la distance parcourue.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{20}
|
||||
On va décrire mathématiquement le mouvement des voitures de sport et de police.
|
||||
|
||||
Les deux mouvements sont des MRU. On peut donc écrire, dans un système d'axes dont l'origine est sur la voiture de police au moment où elle entame sa poursuite :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v_{police}&=180\cdot t\\
|
||||
v_{sport}&=160\cdot t+1
|
||||
\end{align*}
|
||||
La condition de rencontre s'écrit alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v_{police}=v_{sport}\;\Rightarrow\,180\cdot t&=160\cdot t+1\;\Rightarrow\\
|
||||
20\cdot t&=1\\
|
||||
t&=\frac{1}{20}=0,05\,h
|
||||
\end{align*}
|
||||
La voiture de police se trouve alors à une distance de l'origine du système d'axes de :
|
||||
\[x_{police}=180\cdot 0,05=9\,km\]
|
||||
Alors que la voiture de sport est à :
|
||||
\[x_{sport}=160\cdot 0,05+1=9\,km\]
|
||||
Ce qu'il fallait montrer.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{21}
|
||||
Ici, aucune symétrie n'est présente. Comme les deux voitures ne sont pas à vitesse constante, on ne peut calculer de vitesse relative pour résoudre le problème. Il faut donc procéder en décrivant les deux mouvements par rapport au sol. Ainsi, avec $144\,km/h=40\,m/s$, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
MRU\;&\Rightarrow\;x_{chauffard}=40\cdot t\\
|
||||
MRUA\;&\Rightarrow\;x_{police}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot t^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
La condition de rencontre permet alors de trouver le temps cherché :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x_{chauffard}&=x_{police}\;\Rightarrow\\
|
||||
40\cdot t&=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot t^2\;\Rightarrow\\
|
||||
40&=2,5\cdot t\;\Rightarrow\;t=16\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
car la solution $t=0\,s$ est à rejeter. En effet, elle correspond au début de la poursuite.
|
||||
|
||||
La position à laquelle se trouvent les deux voitures, qui est en même temps la distance qu'elles ont parcourues, est alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x_{chauffard}&=40\cdot 16=640\,m\\
|
||||
x_{police}&=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 16^2=640\,m
|
||||
\end{align*}
|
||||
Les deux positions sont bien évidemment les mêmes.
|
||||
|
||||
Quant aux vitesse lors de la rencontre, elles sont :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v_{chauffard}&=40\,m/s=144\,km/h\\
|
||||
v_{police}&=5\cdot 16=80\,m/s=288\,km/h
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{22}
|
||||
On fait l'hypothèse d'un MRUA. La voiture est stoppée sur une distance de $1,5\,m$. On peut donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
0^2&=(\frac{50}{3,6})^2+2\cdot a\cdot 1,5\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=-\frac{13,89^2}{3}=-64,3\,m/s^2=-6,55\cdot g
|
||||
\end{align*}
|
||||
Le temps de collision est donc de :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a&=\frac{v_f-v_i}{t}\;\Rightarrow\\
|
||||
t&=\frac{v_f-v_i}{a}=\frac{0-50/3,6}{-64,3}=0,216\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{23}
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||||
Oublions la position du kangourou et calculons la distance totale d'arrêt $d_t$. Elle se compose de la distance de réaction $d_r$ et la distance de freinage $d_f$ :
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||||
\[d_t=d_r+d_f\]
|
||||
Pour la distance de réaction, on a :
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||||
\[d_r=v\cdot t=40\cdot 0,8=32\,m\]
|
||||
Pour la distance de freinage, il faut faire l'hypothèse d'un MRUA. Comme le mouvement est une décélération, c'est-à-dire un freinage, l'accélération est négative, et on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d_f\;\Rightarrow\\
|
||||
0^2&=40^2+2\cdot (-8)\cdot d_f\;\Rightarrow\\
|
||||
d_f&=\frac{40^2}{16}=100\,m
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ainsi, la distance totale d'arrêt vaut :
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||||
\[d_t=32+100=132\,m\]
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||||
Comme le kangourou se trouve à $70\,m$, son avenir s'annonce bien sombre.
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||||
|
||||
\end{Solution}
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\begin{Solution}{24}
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||||
Un objet qui n'est soumis qu'à son poids est en chute libre, même s'il monte. Ainsi, l'accélération du plongeur, comme du dauphin, dans sa phase d'ascension vaut $-9,81\,m/s^2$. En effet, on a une décélération. Comme celle-ci est constante et que la vitesse au sommet est nulle, on peut écrire pour le plongeur :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
0^2&=v_o^2+2\cdot (-9,81)\cdot 0,5\;\Rightarrow\\
|
||||
v_o&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 0,5}=3,132\,m/s=11,3\,km/h
|
||||
\end{align*}
|
||||
Et de la même manière, pour le dauphin :
|
||||
\[v_o=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 6}=10,85\,m/s=39\,km/h\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{25}
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||||
Le plongeur est en chute libre. Son accélération vaut donc $g=9,81\,m/s^2$. On fixe un axe vertical dont l'origine se situe à $10\,m$ et qui pointe vers le bas. On peut alors écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x&=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_{o\,verticale}\cdot t\;\Rightarrow\\
|
||||
10&=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2+v_{o\,verticale}\cdot t
|
||||
\end{align*}
|
||||
Avec dans le premier cas, comme dans le second, une vitesse initiale verticale nulle, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
10&=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2\;\Rightarrow\\
|
||||
t&=\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9,81}}=1,43\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ce qui donne une vitesse juste avant d'entrer dans l'eau de :
|
||||
\[v=a\cdot t=9,81\cdot 1,43=14\,m/s=50,5\,km/h\]
|
||||
Le premier et le second cas ne sont pas différents du point de vue du temps de chute. Néanmoins, la distance parcourue par le plongeur qui se déplace horizontalement est plus grande que celle du plongeur qui se laisse tomber. Mais sa vitesse totale (horizontale et verticale) est aussi plus grande. On peut ainsi comprendre qu'ils arriveraient en bas simultanément s'ils partaient en même temps.
|
||||
|
||||
Le troisième cas est plus complexe puisqu'il faut tenir compte d'une vitesse $v_o=-1\,m/s$ dans le sens contraire de l'axe :
|
||||
\begin{align*}
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||||
10&=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2-1\cdot t\;\Rightarrow\\
|
||||
0&=4,905\cdot t^2-t-10
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ce qui constitue une équation à une inconnue ($t$), mais du second degré. Sa solution est donnée par :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
t&=\frac{1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 4,905\cdot (-10)}}{2\cdot 4,905}\\
|
||||
&=\frac{1\pm 14}{9,81}=\begin{cases}1,53\,s\\-1,33\,s\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Évidemment, la solution négative est à rejeter et la solution positive est supérieure au temps de chute calculé précédemment puisque le plongeur parcourt une certaine distance vers le haut avant de tomber.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{26}
|
||||
Cet objet est en chute libre. Son accélération vaut donc $g$. On peut écrire pour un MRUA :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
v&=\sqrt{2\cdot g\cdot h}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{27}
|
||||
Par définition de l'accélération, on a :
|
||||
\[a=\frac{v-v_o}{t}=\frac{100/3,6-0}{4}=6,94\,m/s^2\]
|
||||
La distance parcourue est alors :
|
||||
\[d=\frac{1}{2}\cdot 6,94\cdot 4^2=55,56\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{28}
|
||||
Le temps n'est pas donné. On doit donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
(100/3,6)^2&=(50/3,6)^2+2\cdot a\cdot 59\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=\frac{(100/3,6)^2-(50/3,6)^2}{2\cdot 59}\\
|
||||
&=4,905\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ce qui représente une accélération d'un demi $g$.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{29}
|
||||
Le temps de chute est le même que celui d'un objet tombant verticalement. En effet, seul le poids est présent et l'objet est en chute libre. Ainsi, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
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||||
h&=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\;\Rightarrow\;5=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2\;\Rightarrow\\
|
||||
t&=\sqrt{\frac{2\cdot 5}{9,81}}=1,01\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
Si la vitesse horizontale est constante, on peut encore écrire pour la distance horizontale $d$ parcourue :
|
||||
\[d=v_{horiz}\cdot t=2\cdot 1,01=2,02\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{30}
|
||||
Commençons par calculer la distance qu'elle a parcouru pendant la phase de poussée. Pour cela, on a la vitesse moyenne $\overline{v}$ et le temps que dure le mouvement. Ainsi, on peut poser :
|
||||
\[d_{pouss\acute ee}=\overline{v}\cdot t=3\cdot 2\cdot 60=360\,m\]
|
||||
A ce moment-là, au bout de deux minutes et à $360\,m$ d'altitude, la poussée cesse (le moteur s'arrête). Si on imagine un axe $y$ orienté vers le haut et dont l'origine se situe au sol, on a donc une fusée qui se situe en $y_o=360\,m$ avec une vitesse $v_o=4\,m/s$ et qui n'est plus soumise qu'à son poids. Elle est donc en chute libre, même si elle monte, et son accélération dirigée vers le bas, dans le sens contraire du mouvement, est une décélération qui vaut : $g=-9,81\,m/s^2$. Pendant quelques instants, elle va donc encore monter jusqu'à s'arrêter. Pour calculer la distance sur laquelle elle s'arrête, comme on ne dispose pas du temps qu'elle met pour le faire, on doit écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
0^2&=4^2+2\cdot (-9,81)\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
d&=\frac{16}{2\cdot 9,81}=0,8155\,m=81,55\,cm
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ainsi la hauteur totale à laquelle est parvenue la fusée vaut :
|
||||
\[h_{tot}=360+0,8155=360,8155\,m\]
|
||||
Pour déterminer le temps de vol, on dispose en premier lieu du temps de poussée qui est de deux minutes. Il faut encore calculer le temps de chute de la fusée entre le moment ou la poussée cesse et celui ou elle arrive au sol. Pour cela, il faut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
y&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_o\cdot t+y_o\;\Rightarrow\\
|
||||
y&=\frac{1}{2}\cdot (-9,81)\cdot t^2+4\cdot t+360\;\Rightarrow\\
|
||||
0&=-4,905\cdot t^2+4\cdot t+360
|
||||
\end{align*}
|
||||
car on cherche le temps mis pour arriver au sol, soit à $y=0$. C'est une équation du second degré à une inconnue, dont la solution est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
t&=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot (-4,905)\cdot 360}}{2\cdot (-4,905)}\\
|
||||
&=\frac{-4\pm 84,14}{-9,81}=\begin{cases}-8,17\,s\\8,98\,s\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
La solution $t=8,98\,s$ est évidemment la bonne.
|
||||
|
||||
Le temps total est donc finalement de :
|
||||
\[t_{tot}=2\cdot 60+8,98=128,98\,s\simeq 2\,mn\,9\,s\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{31}
|
||||
Pour Aristote, au moment où l'obus est sorti du canon, plus aucune action horizontale vers l'avant ne s'exerce sur lui. Il cessera donc de se déplacer horizontalement et retombera exactement là où il a quitté le canon.
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||||
|
||||
Pendant l'élévation et la chute de l'obus, le scooter avance à vitesse constante. La distance dont il s'est déplacé par rapport à l'obus (qui n'a selon Aristote pas bougé horizontalement) est donc de :
|
||||
\[d=v\cdot t=\frac{5}{3,6}\cdot 2=2,76\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{32}
|
||||
Rappelons que selon Aristote, dès le moment où on a lâché le couteau, plus aucune force horizontale ne s'exerce sur lui et il va tomber parfaitement verticalement. Or, le bateau avance pendant ce temps. La distance au pied du mât à laquelle tombe le couteau est donc de :
|
||||
\[d=v\cdot t=\frac{8}{3,6}\cdot 0,8=1,78\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{33}
|
||||
Pour connaître la vitesse de rotation de la terre à Paris, il faut connaître la distance parcourue en $24\,h$. Pour cela, il faut connaître sa distance $r$ à l'axe de rotation de la terre (voir figure \ref{eiffelmecanique}).
|
||||
\begin{figure}[!t]
|
||||
\centering
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||||
\caption{Chute aristotélicienne de la tour Eiffel.\label{eiffelmecanique}}
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||||
\includegraphics{EiffelMecanique.eps}
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||||
\end{figure}
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||||
On a d'après la figure \ref{eiffelmecanique} que :
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||||
\[r=R\cdot \cos(\beta)=6'371\cdot \cos(48,8^{\circ})=4'197\,km\]
|
||||
car :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R&=R_{terre}=6'371\,km\\
|
||||
\beta&=48^{\circ}\,48'=48,8^{\circ}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ainsi, la vitesse de la tour Eiffel est :
|
||||
\begin{align*}
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||||
v&=\frac{2\cdot \pi\cdot r}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot 4'197}{24}\\
|
||||
&=1099\,km/h=305\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
et, selon Aristote, pendant la chute de la pièce, la Tour Eiffel devrait s'être déplacée de :
|
||||
\[d=v\cdot t=305\cdot 2,1=640,5\,m\]
|
||||
Ce n'est évidemment pas le cas. L'inertie de la pièce l'en empêche.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{34}
|
||||
Le schéma de la situation est donné dans la figure \ref{fusee}.
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||||
\begin{figure}[!t]
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||||
\centering
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||||
\caption{Une fusée.\label{fusee}}
|
||||
\includegraphics{Fusee.eps}
|
||||
\end{figure}
|
||||
La seconde équation de Newton s'écrit :
|
||||
\[\overrightarrow F+\overrightarrow P=m\cdot \overrightarrow a\]
|
||||
En projection sur l'axe et en raison de la définition du poids, on a :
|
||||
\[F-P=m\cdot a\;\Rightarrow\;F=m\cdot a+m\cdot g\]
|
||||
Or, comme l'accélération vaut :
|
||||
\[a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{1000/3,6-0}{60}=4,63\,m/s^2\]
|
||||
on a :
|
||||
\[F=60\cdot 10^3\cdot 4,63+60\cdot 10^3\cdot 9,81=866'400\,N\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{35}
|
||||
Le schéma de la situation est donné par la figure \ref{remorque}.
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||||
\begin{figure}[!t]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{Une remorque\label{remorque}}
|
||||
\includegraphics[width=6cm]{Remorque.eps}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
La remorque avance à vitesse constante. La première loi de Newton nous indique alors que la somme des forces qui s'exercent sur elle est nulle. On peut considérer successivement le cas des forces verticales et celui des forces horizontales.
|
||||
|
||||
Verticalement, la position de la voiture ne change pas. Elle est verticalement à l'arrêt. La réaction du sol $\overrightarrow R$ est donc égale en grandeur, mais opposée, au poids $\overrightarrow P$, comme présenté dans la figure \ref{remorque}.
|
||||
|
||||
Horizontalement par contre, la remorque se déplace. Mais elle le fait à vitesse constante et donc, là encore, la somme des forces horizontales qui s'exercent sur elle est nulle. La force de frottement $\overrightarrow F_{fr}$ est égale en grandeur et opposée à la force $\overrightarrow F$ exercée par la voiture pour tirer la remorque. Ainsi :
|
||||
\[F=F_{fr}=500\,N\]
|
||||
|
||||
Si la voiture a une accélération, la situation des forces verticales ne change pas. On a toujours : $\overrightarrow R=-\overrightarrow P$. Par contre, la sommes des forces horizontales n'est plus nulle. On a, selon l'axe de la figure \ref{remorque} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F-F_{fr}&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
F&=m\cdot a+F_{fr}=500\cdot 5+500=3000\,N
|
||||
\end{align*}
|
||||
et la somme des forces qui s'exercent sur la remorque est :
|
||||
\[F-F_{fr}=m\cdot a=500\cdot 5=2500\,N\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{36}
|
||||
Ce problème est identique au problème \ref{exfusee} de la fusée. Il suffit de remplacer la fusée par l'ascenseur et de considérer la force de propulsion de la fusée comme la force de traction du câble. Considérons donc la figure \ref{fusee}. Selon l'axe considéré, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F-P&=m\cdot a\,\Rightarrow\\
|
||||
F&=m\cdot a+m\cdot g=260\cdot 4+260\cdot 9,81\\
|
||||
&=3590,6\,N
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{37}
|
||||
Pour que la voiture ralentisse, il faut que la force qui s'exerce sur elle soit vers l'arrière. C'est la force de frottement du sol sur les roues qui la freine. En effet, sur la glace elle ne s'exerce pas et la voiture ne peut freiner.
|
||||
|
||||
Tant la force que l'accélération sont donc dirigées vers l'arrière. La décélération se calculant par :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=\frac{0^2-(50/3,6)^2}{2\cdot 40}=-2,4\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
on trouve aisément la force de frottement de la route sur les pneus qui ralentit la voiture :
|
||||
\[F_{fr}=m\cdot a=2000\cdot (-2,4)=-4'822,5\,N\]
|
||||
Elle est négative, donc bien dirigée vers l'arrière.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{38}
|
||||
Ce problème illustre bien l'importance du choix du système. Comme tout se déroule horizontalement, on ne va considérer que les forces horizontales. Les verticales existent, mais n'interviennent pas.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Comme on cherche la force nécessaire à l'augmentation de vitesse du train dans son entier, considérons pour système le train entier. Sa masse totale est $M=300\cdot 10^3\,kg$. Son accélération est :
|
||||
\[a=\frac{v_f-v_i}{t}=\frac{10/3,6-0}{60}=0,046\,m/s^2\]
|
||||
On peut donc écrire :
|
||||
\[F_{tot}=M\cdot a=300\cdot 10^3\cdot 0,046=13'889\,N\]
|
||||
\item Cette fois-ci, on cherche la force exercée sur une partie du train : les wagons. On ne va donc considérer comme système que les wagons. Une seule force $F$ les tire vers l'avant avec la même accélération que celle du train dans son ensemble. Leur masse est $m=250\cdot 10^3\,kg$. On a donc :
|
||||
\[F=m\cdot a=250\cdot 10^3\cdot 0,046=11'500\,N\]
|
||||
Valeur inférieure à celle du point précédent, car il ne faut pas tirer la locomotive.
|
||||
\item Ici, le système est évidemment la locomotive seule de masse $m'=50\cdot 10^3\,kg$. On peut donc calculer l'accélération :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F_{tot}&=m'\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=\frac{F_{tot}}{m'}=\frac{13'889}{50\cdot 10^3}=0,28\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
et finalement le temps :
|
||||
\[a=\frac{v_f-v_i}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{10/3,6-0}{0,28}=10\,s\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{39}
|
||||
Pendant la montée, la balle subit deux forces extérieures vers le bas : son poids $P=m\cdot g$ et la force de frottement $F_{fr}$. En prenant un axe vertical dirigé vers le haut, on peut donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sum F^{ext}=-m\cdot g-F_{fr}&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
-0,1\cdot 9,81-0,05&=0,1\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=-10,31\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
La balle a donc une décélération constante. Ainsi il s'agit d'un MRUA et, connaissant les vitesses initiale et finale et l'accélération, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
0&=2^2-2\cdot 10,31\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
h&=0,194\,m=19,4\,cm
|
||||
\end{align*}
|
||||
Évidemment, elle monte moins haut que s'il n'y avait pas de frottements.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{40}
|
||||
La première phase du mouvement se déroule à vitesse constante. La distance parcourue pendant cinq minutes, c'est-à-dire $1/12\,h$, est donc donnée par :
|
||||
\[d_{MRU}=v_o\cdot t=10'000\cdot \frac{1}{12}=833,3\,km\]
|
||||
La seconde phase du mouvement se déroule à accélération constante. En effet, la force de poussée et la masse étant constantes, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sum F^{ext}=P&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
1000&=9'000\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=0,111\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
Connaissant l'accélération, on peut ensuite calculer la distance parcourue en MRUA grâce au temps de poussée :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
d_{MRUA}&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_o\cdot t\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot 0,111\cdot 30^2+\frac{10'000}{3,6}\cdot 30\\
|
||||
&=83'383,3\,m=83,4\,km
|
||||
\end{align*}
|
||||
Au total, la distance parcourue est donc de :
|
||||
\[d_{tot}=d_{MRU}+d_{MRUA}=833,3+83,4=916,7\,km\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{41}
|
||||
Son accélération, supposée constante, est donnée par :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
(0,01\cdot 3\cdot 10^8)^2&=0^2+2\cdot a\cdot 30\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=1,5\cdot 10^{11}\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
La force totale qui s'exerce sur lui est alors donnée par :
|
||||
\[F_{tot}=m\cdot a=9,1\cdot 10^{-31}\cdot 1,5\cdot 10^{11}=1,37\cdot 10^{-19}\,N\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{42}
|
||||
Tant que l'araignée ne bouge pas, la force exercée par le fil est égale à son poids, c'est-à-dire :
|
||||
\[F=m\cdot g=0,005\cdot 9,81=0,049\,N\]
|
||||
Pendant sa chute, la seconde loi de Newton permet d'écrire, en utilisant un axe dans le sens de la chute :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sum F^{ext}=m\cdot g-F&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
0,005\cdot 9,81-0,01&=0.005\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=7,81\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
Avec une vitesse initiale nulle, le temps de chute sur une hauteur de $2\,m$ est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\;\Rightarrow\\
|
||||
t&=\sqrt{\frac{2\cdot h}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2}{7,81}}=0,716\,s
|
||||
\end{align*}
|
||||
Et la vitesse finale est alors :
|
||||
\[v=a\cdot t=7,81\cdot 0,716=5,59\,m/s\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{43}
|
||||
L'ensemble se comporte comme un système en une dimension dont l'accélération se fait dans le sens de la masse la plus grande et qui est freiné par la masse la plus faible. Si on définit le sens positif de l'axe dans le sens du mouvement, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sum F^{ext}=m_2\cdot g-m_1\cdot g&=(m_1+m_2)\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
3\cdot 9,81-2\cdot 9,81&=(2+3)\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=1,962\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{44}
|
||||
La figure \ref{ascenseur} présente la situation.
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\begin{figure}[!t]
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\centering
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||||
\caption{Un ascenseur\label{ascenseur}}
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||||
\includegraphics{Ascenseur.eps}
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\end{figure}
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||||
On choisit comme système la personne. Les forces extérieures sont alors :
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item son poids $\overrightarrow P$ et
|
||||
\item la force $\overrightarrow R$ exercée par la balance sur la personne. Sa réaction, la force exercée par la personne sur la balance, permet à cette dernière de donner une indication du poids de la personne, indiqué malheureusement en kilogrammes (et non en newton, comme cela devrait être le cas) par la balance.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Selon l'axe donné, on peut écrire :
|
||||
\[R-P=m\cdot a\;\Rightarrow\;R=m\cdot a+m\cdot g\]
|
||||
A partir de là, on peut considérer les différents cas :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Quand l'ascenseur prend de la vitesse, l'accélération vaut $2\,m/s^2$. La réaction de la balance est alors :
|
||||
\[R=70\cdot 2+70\cdot 9,81=826,7\,N\]
|
||||
et la balance indiquerait :
|
||||
\[m=\frac{826,7}{9,81}=84,3\,kg\]
|
||||
La personne a un poids plus important qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance pourrait laisser croire à ... de l'embonpoint.
|
||||
\item Pendant la phase à vitesse constante, l'accélération vaut $0\,m/s^2$. La réaction de la balance est alors :
|
||||
\[R=70\cdot 0+70\cdot 9,81=686,7\,N\]
|
||||
et la balance indiquerait :
|
||||
\[m=\frac{686,7}{9,81}=70\,kg\]
|
||||
La personne a le même poids qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance est juste.
|
||||
\item Quand l'ascenseur perd de la vitesse, l'accélération vaut $-3\,m/s^2$. La réaction de la balance est alors :
|
||||
\[R=70\cdot (-3)+70\cdot 9,81=476,7\,N\]
|
||||
et la balance indiquerait :
|
||||
\[m=\frac{476,7}{9,81}=48,6\,kg\]
|
||||
La personne a un poids moins important qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance pourrait laisser croire à ... une maladie.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
On voit qu'une balance indique quelque chose de relatif à l'état de mouvement de la personne. Elle n'indique donc pas une quantité de matière, c'est-à-dire une masse. Une balance devrait donc être graduée en newtons. Elle l'est en $kg$, car on a l'habitude de se peser à l'arrêt (bien que ... la terre tournant ...) et à la surface de la terre. Dans ce cas bien précis, il suffit en effet de diviser son indication (ou de reporter face à la graduation une indication de masse) par $g$ pour obtenir la masse.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{45}
|
||||
La loi de la gravitation universelle donne :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\\
|
||||
&=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{1\cdot 1}{0,5^2}=2,668\cdot 10^{-10}\,N
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{46}
|
||||
Le poids à la surface de la terre peut être calculé de deux manières. A l'aide de la loi de la gravitation universelle et à l'aide de sa définition $P=m\cdot g$. Il s'agit de la même force. On peut donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
m\cdot g&=G\cdot \frac{M_{terre}\cdot m}{R_{terre}^2}\;\Rightarrow\\
|
||||
g&=G\cdot \frac{M_{terre}}{R_{terre}^2}\;\Rightarrow\\
|
||||
M_{terre}&=\frac{g\cdot R_{terre}^2}{G}\\
|
||||
&=\frac{9,81\cdot (6'372\cdot 10^3)^2}{6,67\cdot 10^{-11}}=5,97\cdot 10^{24}\,kg
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{47}
|
||||
Comme au problème \ref{massedelaterre}, on a :
|
||||
\[g=G\cdot \frac{M}{R^2}\]
|
||||
Mais ici il s'agit de la lune. Ainsi :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g_{lune}&=G\cdot \frac{M_{lune}}{R_{lune}^2}\\
|
||||
&=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{7,35\cdot 10^{22}}{(1,738\cdot 10^6)^2}\\
|
||||
&=1,62\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{48}
|
||||
On a simplement :
|
||||
\[F=k\cdot x=800\cdot 0,1=80\,N\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{49}
|
||||
Une masse de $100\,g$ exerce une force
|
||||
\[F=m\cdot g=0,1\cdot 9,81=0,981\,N\]
|
||||
sur le ressort. On a donc :
|
||||
\[F=k\cdot x\;\Rightarrow\;k=\frac{F}{x}=\frac{0,981}{0,12}=8,175\,N/m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{50}
|
||||
L'accélération de la voiture est (hypothèse MRUA) :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
a&=\frac{v^2-v_o^2}{2\cdot d}=\frac{13,8^2}{2\cdot 40}\\
|
||||
&=2,41\,m/s^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
La force exercée par la route sur les pneus est donc de :
|
||||
\[F_{fr}=m\cdot a=2000\cdot 2,41=4822,5\,N\]
|
||||
Or, par définition de la force de frottement sec, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F_{fr}&=\mu\cdot R=\mu\cdot m\cdot g\;\Rightarrow\\
|
||||
\mu&=\frac{F_{fr}}{m\cdot g}=\frac{4822,5}{2000\cdot 9,81}=0,25
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{51}
|
||||
La force maximale entre les pneus et la route est donnée par :
|
||||
\[F_{fr}=\mu_{o}\cdot R=\mu_{o}\cdot m\cdot g\]
|
||||
On a alors :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Avec les roues avant uniquement, la force maximale est :
|
||||
\[F_{fr}=0,5\cdot 600\cdot 9,81=2943\,N\]
|
||||
Et l'accélération :
|
||||
\[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{2943}{1000}=2,943\,m/s^2\]
|
||||
\item Avec les roues arrière uniquement, la force maximale est :
|
||||
\[F_{fr}=0,5\cdot 400\cdot 9,81=1962\,N\]
|
||||
Et l'accélération :
|
||||
\[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{1962}{1000}=1,962\,m/s^2\]
|
||||
\item Avec les roues avant et arrière ensembles, la force maximale est :
|
||||
\[F_{fr}=0,5\cdot 1000\cdot 9,81=4905\,N\]
|
||||
Et l'accélération :
|
||||
\[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{4905}{1000}=4,905\,m/s^2\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{52}
|
||||
La seconde loi de Newton permet de calculer la valeur de la force de traction :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
F-m\cdot g&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
|
||||
F&=m\cdot a+m\cdot g\\
|
||||
&=50\cdot 4+50\cdot 9,81=690,5\,N
|
||||
\end{align*}
|
||||
La force de traction et le déplacement étant parallèles et de même sens, on a :
|
||||
\[A=\overrightarrow F\cdot \overrightarrow d=F\cdot d=690,5\cdot 100=69'050\,J\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{53}
|
||||
Par définition de l'énergie potentielle, on a :
|
||||
\[E_{pot}=m\cdot g\cdot h=50\cdot 9,81\cdot 100=49'050\,J\]
|
||||
Pour le calcul de l'énergie cinétique, si on fait l'hypothèse d'un MRUA, la vitesse de la masse au bout de $100\,m$ est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
|
||||
v&=\sqrt{2\cdot a\cdot d}=\sqrt{2\cdot 4\cdot 100}=28,3\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
et l'énergie cinétique est alors :
|
||||
\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 28,3^2=20'022,25\,J\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{54}
|
||||
Dans chacun des cas, l'énergie cinétique se calcule par :
|
||||
\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Un bon coureur met environ $10\,s$ pour parcourir $100\,m$. Sa vitesse moyenne est donc de :
|
||||
\[v=\frac{d}{t}=\frac{100}{10}=10\,m/s\]
|
||||
Son énergie cinétique est donc de :
|
||||
\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 80\cdot 10^2=4000\,J\]
|
||||
\item Simplement, on calcule l'énergie cinétique :
|
||||
\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 800\cdot 10^2=40'000\,J\]
|
||||
\item Il faut mettre la masse en $kg$ pour calculer l'énergie cinétique :
|
||||
\[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 0,01\cdot 800^2=3200\,J\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{55}
|
||||
Procédons par étapes :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item si on monte de $4\,m$, le poids et le déplacement sont opposés et le travail du poids est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A&=m\cdot g\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
|
||||
&=3\cdot 9,81\cdot 4\cdot \cos(180)=-117,72\,J
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item lors d'un déplacement horizontal, le poids et le déplacement sont perpendiculaires et le travail est nul (car $\cos(90^{\circ})=0$),
|
||||
\item si on descend de $4\,m$, le poids et le déplacement sont dans le même sens et le travail du poids est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A&=m\cdot g\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
|
||||
&=3\cdot 9,81\cdot 4\cdot \cos(0)=117,72\,J
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item lors d'un déplacement horizontal, le poids et le déplacement sont perpendiculaires et le travail est nul (car $\cos(90^{\circ})=0$).
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Ainsi, le travail total est la somme des travaux pour chaque déplacement :
|
||||
\[A_{tot}=-117,72+0+117,72+0=0\,J\]
|
||||
Le travail du poids pour un parcours fermé est donc nul. On dit d'une telle force qu'elle est ``conservative''. Ce n'est que pour de telles forces qu'il existe une énergie potentielle.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{56}
|
||||
Par définition du travail, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A&=\overrightarrow F\cdot \overrightarrow d=F\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
|
||||
&=15\cdot 20\cdot \cos(10^{\circ})=295,4\,J
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{57}
|
||||
Pour rappel, résolvons tout d'abord le problème à l'aide de l'accélération. Nous sommes dans le cas d'un MRUA. Donc, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
v&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 10}=14\,m/s=50,4\,km/h
|
||||
\end{align*}
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Pour résoudre le problème à l'aide de l'énergie, il faut considérer que toute l'énergie potentielle de la personne en haut du plongeoir se transforme graduellement en énergie cinétique pendant sa chute. Si le zéro de l'énergie potentielle est choisi au niveau de l'eau, le plongeur n'a plus d'énergie potentielle lorsqu'il l'atteint. Elle s'est entièrement transformée en énergie cinétique. On peut donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
m\cdot g\cdot h&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
|
||||
v&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 10}=14\,m/s=50,4\,km/h
|
||||
\end{align*}
|
||||
et le problème est résolu.
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Cependant, il faut remarquer que l'égalité de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique dérive du théorème de conservation de l'énergie mécanique. En effet, comme c'est le cas ici, en l'absence de forces non conservatives, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta E_{mec}&=0\\
|
||||
E_{mec f}-E_{mec i}&=0\\
|
||||
E_{pot f}+E_{cin f}-E_{pot i}-E_{cin i}&=0\\
|
||||
0+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2-m\cdot g\cdot h-0&=0\\
|
||||
\Rightarrow\;\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=m\cdot g\cdot h&
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Remarquons enfin, que le problème est ici tout aussi facile à résoudre des deux manières. Cependant, dans le premier cas, on a pu le faire car on sait qu'une chute libre est un MRUA. Pour d'autres types de mouvements, qui ne sont pas des MRUA, pour trouver la vitesse à partir de l'accélération, il faut résoudre une intégrale. Et là, cela peut être beaucoup plus difficile qu'en utilisant l'énergie.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{58}
|
||||
On utilisera pas ici la méthode newtonienne, même si le problème peut être résolu de cette manière.
|
||||
|
||||
Fixons le zéro de l'énergie potentielle là où l'objet décolle. Alors, son énergie potentielle est nulle et son énergie cinétique maximale. En montant, il perd graduellement de l'énergie cinétique au profit de l'énergie potentielle. Arrivé au sommet de sa trajectoire, il s'arrête brièvement et son énergie potentielle est maximale alors que son énergie cinétique est nulle. On peut donc dire que toute son énergie cinétique du départ s'est transformée en énergie potentielle au sommet et écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2&=m\cdot g\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
h&=\frac{v^2}{2\cdot g}=\frac{10^2}{2\cdot 9,81}=5,1\,m
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{59}
|
||||
Commençons par calculer la vitesse à laquelle la tuile quitte le toit. La conservation de l'énergie mécanique implique que :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
m\cdot g\cdot \Delta h&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
|
||||
v&=\sqrt{2\cdot g\cdot \Delta h}\\
|
||||
&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot (30-25)}=9.9\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
Cette vitesse est un vecteur qui fait avec l'horizontale un angle de $15^{\circ}$. La balistique (voir annexe \ref{balistique}) nous apprend qu'il faut décomposer le mouvement sur chaque axe. En particulier la vitesse initiale a les composantes suivantes :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v_x&=v\cdot \cos(\alpha)=9,9\cdot \cos(-15^{\circ})=9,56\,m/s\\
|
||||
v_y&=v\cdot \sin(\alpha)=9,9\cdot \sin(-15^{\circ})=-2,56\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
puisque le vecteur vitesse pointe sous l'horizontale ($\alpha<0$).
|
||||
|
||||
En choisissant un système d'axes dont l'origine est au sol et au pied du bord du toit, on peut alors écrire les équations de la position de la tuile au cours du temps :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t)&=v_x\cdot t=9,56\cdot t\\
|
||||
y(t)&=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2+v_y\cdot t+y_o\\
|
||||
&=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2-2,56\cdot t+25
|
||||
\end{align*}
|
||||
On cherche alors la position horizontale de la tuile au moment où elle arrive au sol, soit $x(t_{sol})$. Il faut donc calculer $t_{sol}$. Or, à ce moment là, $y(t_{sol})=0$. La seconde équation nous donne donc :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
0&=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t_{sol}^2-2,56\cdot t_{sol}+25\\
|
||||
&\Rightarrow\;-4,905\cdot t_{sol}^2-2,56\cdot t_{sol}+25=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est une équation du second degré à une inconnue $t_{sol}$. Sa solution est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
t_{sol}&=\frac{2,56\pm \sqrt{2,56^2+4\cdot 4,905\cdot 25}}{2\cdot (-4,905)}\\
|
||||
&=\frac{2,56\pm 22,3}{-9,81}=\begin{cases}-2,53\,s\\2\,s\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Évidemment, le temps correct est celui qui est positif.
|
||||
|
||||
Ainsi, $t_{sol}=2\,s$. La distance au pied du toit à laquelle la tuile arrivera est donc :
|
||||
\[x(t_{sol})=v_x\cdot t_{sol}=9,56\cdot 2=19,12\,m\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{60}
|
||||
Simplement, on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta E_{cin}&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_f^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_i^2\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot 2000\cdot ((\frac{10}{3,6})^2-(\frac{5}{3,6}^2))=5787\,J
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{61}
|
||||
La puissance de chute est :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h=\\
|
||||
&=0,4\cdot 30\cdot 10^{-3}\cdot 9,81\cdot 22=2,59\,kW
|
||||
\end{align*}
|
||||
La chute à donc une puissance de $2590\,W$. Son frigo et sa machine à laver ont une puissance totale de $2,2\,kW$. Reste donc $2590-2200=390\,W$ pour les ampoules. Or, $390/40=9,75\,$. Robinson pourra donc utiliser $9$ ampoules.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{62}
|
||||
Le débit de la prise d'eau est de :
|
||||
\[Q=0,05\cdot 30=1,5\,l/s=1,5\cdot 10^{-3}\,m^3/s\]
|
||||
La puissance de chute est donc de :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h=\\
|
||||
&=0,4\cdot 1,5\cdot 9,81\cdot 22=129,5\,W
|
||||
\end{align*}
|
||||
Or, faire monter une masse de $60\,kg$ d'une hauteur de deux étages, soit $4\,m$, demande une énergie de :
|
||||
\[E=m\cdot g\cdot h=60\cdot 9,81\cdot 4=2'354,4\,J\]
|
||||
Compte tenu des frottements, l'énergie totale nécessaire est de $2\cdot 2'354,4=4'708,8\,J$. Soit, pour une montée en $2\,mn$, une puissance de :
|
||||
\[P=\frac{E}{t}=\frac{4'708,8}{2\cdot 60}\simeq40\,W\]
|
||||
Ainsi, si $40\,W$ sont nécessaire, Robinson n'utilise certainement pas les quelques $130\,W$ fournis par la chute d'eau. L'ascenseur est donc réalisable.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{63}
|
||||
Le nombre de ménages est de $30'000/2,5=12'000$. Il faut donc fournir une énergie de :
|
||||
\[E=12'000\cdot 3'000=36'000'000\,kWh=36\,GWh\]
|
||||
Sur une année, cette énergie représente une puissance moyenne de :
|
||||
\[P=\frac{E}{t}=\frac{36\cdot 10^9}{365\cdot 24}=4'110\,W\]
|
||||
On a alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\;\Rightarrow\\
|
||||
Q&=\frac{P}{\eta\cdot g\cdot h}\\
|
||||
&=\frac{4'110}{0,9\cdot 9,81\cdot 74}=6,3\,m^3/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il faut donc choisir une turbine Francis.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{64}
|
||||
La puissance du vent est donnée par la relation \ref{puissvent} :
|
||||
\[P_{vent}=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3\]
|
||||
Soit avec une surface $S=\pi\cdot R^2$, une vitesse en SI $v=6\,m/s$ et les valeurs données :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 22^2\cdot 6^3\\
|
||||
&=212'333\,W=212,333\,kW
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{65}
|
||||
La vitesse linéaire en bout de pale vaut donc :
|
||||
\[v=\frac{277,2}{3,6}=77\,m/s\]
|
||||
Or, un tour représente une distance en bout de pale : $d=2\cdot \pi\cdot 30=188,5\,m$. La vitesse de rotation est donc de :
|
||||
\[v=\frac{77}{188,5}=0,41\,tr/s\]
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
La puissance du vent vaut, selon l'équation \ref{puissvent} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 30^2\cdot (\frac{32,4}{3,6})^3 \\
|
||||
&=1'332'565\,W=1'332,6\,kW
|
||||
\end{align*}
|
||||
Comme l'éolienne tourne à $\eta=90\%$ de la limite de Betz, on a, selon l'équation \ref{puissdebetz} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta P&=\eta\cdot \frac{16}{27}\cdot P_{vent} \\
|
||||
&=0,9\cdot 0,593\cdot 1'332'565= \\
|
||||
&=710'701\,W=710\,kW
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{66}
|
||||
On a, selon l'équation \ref{puissdebetz}, que :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta P&=\eta\cdot \frac{16}{27}\cdot P_{vent}\;\Rightarrow \\
|
||||
P_{vent}&=\frac{27\cdot \Delta P}{16\cdot \eta} \\
|
||||
&=\frac{27\cdot 40}{16\cdot 0,4}=168,75\,W
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il s'agit de la puissance du vent nécessaire pour alimenter l'ampoule. On a donc, selon l'équation \ref{puissvent} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3 \\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot \pi\cdot R^2\cdot v^3\;\Rightarrow \\
|
||||
R&=\sqrt{\frac{2\cdot P_{vent}}{\rho\cdot \pi\cdot v^3}} \\
|
||||
&=\sqrt{\frac{2\cdot 168,75}{1,293\cdot \pi\cdot 4^3}} \\
|
||||
&=1,14\,m
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il faut donc utiliser une petite éolienne de $1,14\,m$ de rayon.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{67}
|
||||
L'équation \ref{thermique} permet de calculer la puissance $\Delta P$ nécessaire pour chauffer une masse de $100\,kg$ d'eau :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta P&=\frac{E}{t}=\frac{m\cdot c_{eau}\cdot \Delta \theta}{t} \\
|
||||
&=\frac{100\cdot 4'180\cdot 20}{4\cdot 3600}=581\,W
|
||||
\end{align*}
|
||||
L'équation \ref{puisssolthermique} nous donne alors la surface cherchée $S$ :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta P&=S\cdot (B\cdot P-K\cdot \Delta \theta)\;\Rightarrow \\
|
||||
S&=\frac{\Delta P}{B\cdot P-K\cdot \Delta \theta} \\
|
||||
&=\frac{581}{0,8\cdot 120-3\cdot 20}=16,2\,m^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{68}
|
||||
On calcule tout d'abord la puissance fournie par les capteurs :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta P&=S\cdot (B\cdot P-K\cdot \Delta \theta)\;\Rightarrow \\
|
||||
&=5\cdot (0,7\cdot 150-2\cdot 15)=375\,W
|
||||
\end{align*}
|
||||
Cela signifie que les capteurs produisent une énergie $E=375\,J/s$. Chaque seconde, il faut donc évacuer cette énergie. La masse d'eau nécessaire pour cela est donnée par l'équation \ref{thermique} :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E&=m\cdot c_{eau}\cdot \Delta \theta\;\Rightarrow \\
|
||||
m&=\frac{E}{c_{eau}\cdot \Delta \theta} \\
|
||||
&=\frac{375}{4'180\cdot 15}=6\,g
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est une masse qui correspond à un volume de :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\rho&=\frac{m}{V}\;\Rightarrow \\
|
||||
V&=\frac{m}{\rho}=\frac{6\cdot 10^{-3}}{1}=6\,ml
|
||||
\end{align*}
|
||||
En effet, la masse volumique de l'eau est de $1\,kg/l$. Le débit est donc très faible et vaut $D=6\,ml/s=21,6\,l/h$.
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
\begin{Solution}{69}
|
||||
L'énergie annuelle produite par les $8\,m^2$ de cellules est, compte tenu d'un rendement d'environ $15\%$, c'est-à-dire $20\,W/m^2$ :
|
||||
\[E=8\cdot 20\cdot 24\cdot 365=1'401,6\,kWh\]
|
||||
La couverture solaire ne suffit donc pas. Il manque $2'500-1'401,6=1'098,4\,kWh$. Cela représente une puissance de :
|
||||
\[P=\frac{E}{t}=\frac{1'098,4}{24\cdot 365}=125,4\,kW\]
|
||||
|
||||
\end{Solution}
|
||||
48
Annexe-Incertitudes/Annexe-Incertitudes.aux
Normal file
48
Annexe-Incertitudes/Annexe-Incertitudes.aux
Normal file
@ -0,0 +1,48 @@
|
||||
\relax
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {M}Ordre de grandeur, erreur et incertitudes}{221}}
|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {M.1}Ordre de grandeur}{221}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {M.2}\IeC {\'E}cart et erreur}{221}}
|
||||
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {M.1}{\ignorespaces La longueur des baguettes de pain\relax }}{221}}
|
||||
\newlabel{baguettepain}{{M.1}{221}}
|
||||
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {M.2}{\ignorespaces La longueur d'autres baguettes de pain\relax }}{222}}
|
||||
\newlabel{baguettepain2}{{M.2}{222}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {M.3}Incertitude}{222}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-Incertitudes/Annexe-Incertitudes}{
|
||||
\setcounter{page}{223}
|
||||
\setcounter{equation}{1}
|
||||
\setcounter{enumi}{3}
|
||||
\setcounter{enumii}{0}
|
||||
\setcounter{enumiii}{0}
|
||||
\setcounter{enumiv}{0}
|
||||
\setcounter{footnote}{0}
|
||||
\setcounter{mpfootnote}{0}
|
||||
\setcounter{part}{0}
|
||||
\setcounter{chapter}{13}
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||||
\setcounter{section}{3}
|
||||
\setcounter{subsection}{0}
|
||||
\setcounter{subsubsection}{0}
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||||
\setcounter{paragraph}{0}
|
||||
\setcounter{subparagraph}{0}
|
||||
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|
||||
\setcounter{table}{2}
|
||||
\setcounter{FancyVerbLine}{0}
|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
\setcounter{lotdepth}{1}
|
||||
\setcounter{parentequation}{0}
|
||||
\setcounter{ContinuedFloat}{0}
|
||||
\setcounter{endnote}{109}
|
||||
\setcounter{NAT@ctr}{0}
|
||||
\setcounter{OptionTest}{0}
|
||||
\setcounter{DefaultLines}{2}
|
||||
\setcounter{L@lines}{3}
|
||||
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|
||||
\setcounter{Solution}{71}
|
||||
\setcounter{exc}{71}
|
||||
\setcounter{lstlisting}{0}
|
||||
}
|
||||
83
Annexe-Incertitudes/Annexe-Incertitudes.tex
Normal file
83
Annexe-Incertitudes/Annexe-Incertitudes.tex
Normal file
@ -0,0 +1,83 @@
|
||||
\myclearpage
|
||||
|
||||
\chapter{Ordre de grandeur, erreur et incertitudes}
|
||||
|
||||
\section{Ordre de grandeur}
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|
||||
\section{Écart et erreur}
|
||||
On peut facilement déterminer l'écart entre deux valeurs $a$ et $b$ par leur différence $a-b$. On peut, par exemple, mesurer la longueur $L$ des baguettes de pain vendues par un boulanger et déterminer les différents écarts entre elles. Par exemple, on pourrait avoir une série de mesures telles que celle données dans le tableau \ref{baguettepain}.
|
||||
|
||||
\begin{table}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{La longueur des baguettes de pain}\label{baguettepain}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{L} & \textbf{Écart} & \textbf{Écart} & \textbf{Erreur} & \textbf{Erreur}\\
|
||||
\centi\metre &\centi\metre &\% &\centi\metre &\%\\
|
||||
\hline
|
||||
60 &-2 &-3.2 &0 &0.0\\
|
||||
65 &3 &4.8 &5 &8.3\\
|
||||
64 &2 &3.2 &4 &6.7\\
|
||||
58 &-4 &-6.5 &-2 &-3.3\\
|
||||
61 &-1 &-1.6 &1 &1.7\\
|
||||
57 &-5 &-8.1 &-3 &-5.0\\
|
||||
60 &-2 &-3.2 &0 &0.0\\
|
||||
64 &2 &3.2 &4 &6.7\\
|
||||
62 &0 &0.0 &2 &3.3\\
|
||||
65 &3 &4.8 &5 &8.3\\
|
||||
63 &1 &1.6 &3 &5.0\\
|
||||
60 &-2 &-3.2 &0 &0.0\\
|
||||
64 &2 &3.2 &4 &6.7\\
|
||||
65 &3 &4.8 &5 &8.3\\
|
||||
\hline
|
||||
\multicolumn{5}{|c|}{Moyennes}\\
|
||||
\hline
|
||||
62 &0.0 &0.0 &2.0 &3.3\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
On voit immédiatement que le calcul des écarts pose un problème : il faut déterminer les écarts entre chaque baguettes deux par deux. On peut le faire. Mais quel sens cela a-t-il ?
|
||||
|
||||
Par contre, déterminer quel est l'écart à la moyenne des baguettes est plus instructif. La moyenne vaut \unit{62}{\centi\metre} et la seconde colonne du tableau \ref{baguettepain} présente les écarts. On voit alors facilement que l'écart ne dépasse pas \unit{5}{\centi\metre}. Ce qui peut avoir de l'importance si on a faim.
|
||||
|
||||
Par ailleurs, si on sait que le boulanger avait décidé de faire des baguettes de \unit{60}{\centi\metre}, on peut se poser une autre question : quel est l'écart à cette valeur ? La quatrième colonne y apporte une réponse. Comme on utilise ce qu'on peut appeler une référence, on parlera d'\emph{erreur}, plutôt que d'écart. Ce qui est alors intéressant, c'est qu'on voit que le boulanger à tendance à faire des baguettes trop grandes. Cela peut avoir une importance pour lui s'il a prévu un budget précis de matières premières pour des baguettes de \unit{60}{\centi\metre}. Cela permet aussi de s'interroger sur la règle utilisée par le boulanger pour estimer la longueur des baguettes. Comme ses baguettes sont trop longues, on peut penser que sa règle est aussi trop longue, ce qui peut avoir pour conséquence une mauvaise estimation de la longueur de la baguette par le boulanger. On parlera alors d'une \emph{erreur systèmatique}\index{erreur systématique} induite par un matériel mal calibré. Ce type d'erreur se détecte par la présence d'une importante quantité de signes systématiquement positifs ou systématiquement négatifs dans les écarts. En effet, si la règle avait une longueur correcte, l'erreur faite par le boulanger devrait être aléatoirement répartie autour de la valeur de \unit{60}{\centi\metre} et les signes positifs et négatifs des écarts devraient être en nombres à peu près identiques.
|
||||
|
||||
Figurent aussi dans le tableau \ref{baguettepain} les écarts et erreurs relatifs en pourcents. Il s'agit du rapport entre l'écart et la valeur de référence : la moyenne pour l'écart et \unit{60}{\centi\metre} pour l'erreur. Autant pour l'écart que pour l'erreur, on a donc :
|
||||
\begin{equation}
|
||||
e=\frac{val-val_{ref}}{val_{ref}}\cdot 100
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\begin{table}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{La longueur d'autres baguettes de pain}\label{baguettepain2}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{L} & \textbf{Écart} & \textbf{Écart} & \textbf{Erreur} & \textbf{Erreur}\\
|
||||
\centi\metre &\centi\metre &\% &\centi\metre &\%\\
|
||||
\hline
|
||||
40 &-2 &-4.8 &0 &0.0\\
|
||||
44 &2 &4.8 &4 &10.0\\
|
||||
41 &-1 &-2.4 &1 &2.5\\
|
||||
44 &2 &4.8 &4 &10.0\\
|
||||
43 &1 &2.4 &3 &7.5\\
|
||||
42 &0 &0.0 &2 &5.0\\
|
||||
44 &2 &4.8 &4 &10.0\\
|
||||
42 &0 &0.0 &2 &5.0\\
|
||||
42 &0 &0.0 &2 &5.0\\
|
||||
43 &1 &2.4 &3 &7.5\\
|
||||
43 &1 &2.4 &3 &7.5\\
|
||||
41 &-1 &-2.4 &1 &2.5\\
|
||||
40 &-2 &-4.8 &0 &0.0\\
|
||||
39 &-3 &-7.1 &-1 &-2.5\\
|
||||
\hline
|
||||
\multicolumn{5}{|c|}{Moyennes}\\
|
||||
\hline
|
||||
42 &0.0 &0.0 &2.0 &5.0\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
Ces indications sont importantes si on désire comparer la production de deux boulangers dont la longueur de la baguette de référence n'est pas la même. Considérons le tableau \ref{baguettepain2} qui décrit la production d'un boulanger dont la baguette de référence est de \unit{40}{\centi\metre}. On voit que la moyenne des écarts est nulle comme pour le boulanger précédent. Ce qui est normal en raison du choix de la valeur moyenne comme référence. On voit aussi que la moyenne des erreurs est la même et qu'il y a une grande systématique dans celle-ci, puisqu'elles sont pratiquement toutes positives. Cela signifie probablement, comme précédemment, que l'appareil de mesure à un bied, que la règle utilisée est trop longue. Par contre, on voit grâce à la dernière colonne donnant l'erreur relative que celle-ci est plus importante pour le second boulanger. Cela s'explique facilement. En effet, l'erreur moyenne est la même, mais la baguette de référence du second boulanger est plus courte (\unit{40}{\centi\metre}). Ainsi, malgré la différence de longueur de la baguette de référence, l'erreur relative permet de comparer les erreurs des deux boulangers.
|
||||
|
||||
\section{Incertitude}
|
||||
51
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.aux
Normal file
51
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.aux
Normal file
@ -0,0 +1,51 @@
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||||
\relax
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {F}MRUA d\IeC {\'e}veloppements}{177}}
|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {F.1}La position}{177}}
|
||||
\newlabel{demo}{{F.1}{177}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {F.1}{\ignorespaces \emph {Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galil\IeC {\'e}e}}{177}}
|
||||
\newlabel{deuxsciences}{{F.1}{177}}
|
||||
\newlabel{pratique}{{F.2}{177}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {F.2}Une autre relation bien pratique}{177}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {F.2.1}Cin\IeC {\'e}matique}{177}}
|
||||
\newlabel{sanst}{{F.2}{178}}
|
||||
\newlabel{demo2}{{F.2.1}{178}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {F.2.2}\IeC {\'E}nergie}{178}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-MRUA/Annexe-MRUA}{
|
||||
\setcounter{page}{179}
|
||||
\setcounter{equation}{2}
|
||||
\setcounter{enumi}{2}
|
||||
\setcounter{enumii}{0}
|
||||
\setcounter{enumiii}{0}
|
||||
\setcounter{enumiv}{0}
|
||||
\setcounter{footnote}{0}
|
||||
\setcounter{mpfootnote}{0}
|
||||
\setcounter{part}{0}
|
||||
\setcounter{chapter}{6}
|
||||
\setcounter{section}{2}
|
||||
\setcounter{subsection}{2}
|
||||
\setcounter{subsubsection}{0}
|
||||
\setcounter{paragraph}{0}
|
||||
\setcounter{subparagraph}{0}
|
||||
\setcounter{figure}{1}
|
||||
\setcounter{table}{0}
|
||||
\setcounter{FancyVerbLine}{0}
|
||||
\setcounter{float@type}{8}
|
||||
\setcounter{r@tfl@t}{4}
|
||||
\setcounter{subfigure}{0}
|
||||
\setcounter{lofdepth}{1}
|
||||
\setcounter{subtable}{0}
|
||||
\setcounter{lotdepth}{1}
|
||||
\setcounter{parentequation}{0}
|
||||
\setcounter{ContinuedFloat}{0}
|
||||
\setcounter{endnote}{98}
|
||||
\setcounter{NAT@ctr}{0}
|
||||
\setcounter{OptionTest}{0}
|
||||
\setcounter{DefaultLines}{2}
|
||||
\setcounter{L@lines}{3}
|
||||
\setcounter{lstnumber}{1}
|
||||
\setcounter{Solution}{0}
|
||||
\setcounter{exc}{0}
|
||||
\setcounter{lstlisting}{0}
|
||||
}
|
||||
87
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.tex
Normal file
87
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.tex
Normal file
@ -0,0 +1,87 @@
|
||||
\myclearpage
|
||||
|
||||
\chapter{MRUA développements}
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||||
\section{La position\index{position}}
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\lettrine{P}{our un MRUA}, la position est donnée par \label{demo}:
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||||
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||||
\begin{equation}
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||||
\fbox{$\displaystyle x=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
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||||
Démonstration :
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||||
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||||
Par définition la vitesse moyenne est :
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||||
\[\overline{v}=\frac{x-x_{o}}{t}\;\Rightarrow\; x=\overline{v}\cdot t+x_{o}\]
|
||||
|
||||
Mais, la vitesse moyenne peut aussi s'exprimer par :
|
||||
\[\overline{v}=\frac{v+v_{o}}{2}\]
|
||||
|
||||
Ainsi, on a :
|
||||
\[x=\overline{v}\cdot t+v_{o}=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}\]
|
||||
|
||||
Or, par définition de l'accélération (constante) :
|
||||
\[\overline{a}=a_{o}=\frac{v-v_{o}}{t}\;\Rightarrow\; v=a_{o}\cdot t+v_{o}\]
|
||||
|
||||
Donc, on a :
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x&=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}=\frac{a_{o}\cdot t+v_{o}+v_{o}}{2}+x_{o}\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
C'est ce qu'il fallait démontrer.
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||||
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||||
\begin{figure}[t]
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||||
\centering
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||||
\caption[\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée]{\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée\label{deuxsciences} \par \scriptsize{Discours dans lesquels Galilée présente ses expériences sur la chute des corps et fonde la mécanique. Il tente aussi d'y créer une science de la résistance des matériaux\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Galileo_Galilei\%2C_Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche_Intorno_a_Due_Nuove_Scienze\%2C_1638_\%281400x1400\%29.png=.}}}
|
||||
\includegraphics[width=6cm]{Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche.eps}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\section{Une autre relation bien pratique\label{pratique}}
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\subsection{Cinématique}
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Jusqu'à présent, les relations obtenues (la vitesse et la position) sont fonctions du temps. Il est néanmoins pratique dans bien des cas de disposer d'une relation où le facteur temps n'apparaît pas. Cette relation est facilement obtenue en éliminant le temps des deux équations de la vitesse et de la position. Pour le calcul on part de équations du MRUA suivantes :
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\begin{align*}
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||||
v&=a_{o}\cdot t+v_{o}\\
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||||
x&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
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||||
\end{align*}
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||||
Elles constituent généralement un système de deux équations à deux inconnues, dont le temps $t$ est l'une d'elles. Pour résoudre ce système et éliminer le temps par substitution, on tire $t$ de la première équation :
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\[t=\frac{v-v_{o}}{a_{o}}\]
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et on le remplace dans la seconde (faire le contraire est aussi réalisable, mais mathématiquement plus complexe) :
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\begin{align*}
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||||
x&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot(\frac{v-v_{o}}{a_{o}})^{2}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot\frac{(v-v_{o})^{2}}{a_{o}^{2}}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}}{a_{o}}+\frac{v\cdot v_{o}-v_{o}^{2}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}+2\cdot v\cdot v_{o}-2\cdot v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\[\Rightarrow\; x=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}\;\Rightarrow\]
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\begin{equation}\label{sanst}
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||||
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
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||||
\end{equation}
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||||
Cette relation\label{demo2} est indépendante du temps $t$. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.
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||||
\subsection{Énergie}
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||||
Il faut relever que la relation \ref{sanst} peut aussi être obtenue grâce au théorème de conservation de l'énergie. En effet, imaginons un objet de masse \(m\) à une hauteur \(h\) qu'on lance à une vitesse \(v_o\) vers le bas. Son énergie cinétique initiale est non nulle, de même que son énergie potentielle initiale. Son énergie potentielle finale est nulle. Par contre, son énergie cinétique finale ne l'est pas. Par conservation de l'énergie, on peut écrire :
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||||
\begin{gather*}
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||||
E_{cin}^i+E_{pot}^i=E_{cin}^f+E_{pot}^f\;\Rightarrow\\
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||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_o^2+m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
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||||
v^2=v_o^2+2\cdot g\cdot h
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||||
\end{gather*}
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||||
Soit, de manière plus générale, en posant \(g=a\) et \(h=x-x_o\), ce qu'il fallait démontrer :
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||||
\begin{equation*}
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||||
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
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\end{equation*}
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87
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.tex~
Normal file
87
Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.tex~
Normal file
@ -0,0 +1,87 @@
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\myclearpage
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\chapter{MRUA développements}
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\section{La position\index{position}}
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Pour un MRUA, la position est donnée par \label{demo}:
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\begin{equation}
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\fbox{$\displaystyle x=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}$}
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\end{equation}
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Démonstration :
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Par définition la vitesse moyenne est :
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\[\overline{v}=\frac{x-x_{o}}{t}\;\Rightarrow\; x=\overline{v}\cdot t+x_{o}\]
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Mais, la vitesse moyenne peut aussi s'exprimer par :
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\[\overline{v}=\frac{v+v_{o}}{2}\]
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Ainsi, on a :
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\[x=\overline{v}\cdot t+v_{o}=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}\]
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Or, par définition de l'accélération (constante) :
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\[\overline{a}=a_{o}=\frac{v-v_{o}}{t}\;\Rightarrow\; v=a_{o}\cdot t+v_{o}\]
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||||
Donc, on a :
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\begin{align*}
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||||
x&=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}=\frac{a_{o}\cdot t+v_{o}+v_{o}}{2}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
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\end{align*}
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||||
C'est ce qu'il fallait démontrer.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée]{\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée\label{deuxsciences} \par \scriptsize{Discours dans lesquels Galilée présente ses expériences sur la chute des corps et fonde la mécanique. Il tente aussi d'y créer une science de la résistance des matériaux\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Galileo_Galilei\%2C_Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche_Intorno_a_Due_Nuove_Scienze\%2C_1638_\%281400x1400\%29.png=.}}}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche.eps}
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\end{figure}
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\section{Une autre relation bien pratique\label{pratique}}
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\subsection{Cinématique}
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||||
Jusqu'à présent, les relations obtenues (la vitesse et la position) sont fonctions du temps. Il est néanmoins pratique dans bien des cas de disposer d'une relation où le facteur temps n'apparaît pas. Cette relation est facilement obtenue en éliminant le temps des deux équations de la vitesse et de la position. Pour le calcul on part de équations du MRUA suivantes :
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
v&=a_{o}\cdot t+v_{o}\\
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||||
x&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
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||||
\end{align*}
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||||
|
||||
Elles constituent généralement un système de deux équations à deux inconnues, dont le temps $t$ est l'une d'elles. Pour résoudre ce système et éliminer le temps par substitution, on tire $t$ de la première équation :
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||||
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||||
\[t=\frac{v-v_{o}}{a_{o}}\]
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||||
et on le remplace dans la seconde (faire le contraire est aussi réalisable, mais mathématiquement plus complexe) :
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\begin{align*}
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x&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot(\frac{v-v_{o}}{a_{o}})^{2}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot\frac{(v-v_{o})^{2}}{a_{o}^{2}}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}}{a_{o}}+\frac{v\cdot v_{o}-v_{o}^{2}}{a_{o}}+x_{o}\\
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||||
&=\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}+2\cdot v\cdot v_{o}-2\cdot v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}
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||||
\end{align*}
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||||
\[\Rightarrow\; x=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}\;\Rightarrow\]
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||||
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||||
\begin{equation}\label{sanst}
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||||
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
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||||
\end{equation}
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||||
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||||
Cette relation\label{demo2} est indépendante du temps $t$. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.
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||||
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||||
\subsection{Énergie}
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|
||||
Il faut relever que la relation \ref{sanst} peut aussi être obtenue grâce au théorème de conservation de l'énergie. En effet, imaginons un objet de masse \(m\) à une hauteur \(h\) qu'on lance à une vitesse \(v_o\) vers le bas. Son énergie cinétique initiale est non nulle, de même que son énergie potentielle initiale. Son énergie potentielle finale est nulle. Par contre, son énergie cinétique finale ne l'est pas. Par conservation de l'énergie, on peut écrire :
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||||
\begin{gather*}
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||||
E_{cin}^i+E_{pot}^i=E_{cin}^f+E_{pot}^f\;\Rightarrow\\
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||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_o^2+m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
|
||||
v^2=v_o^2+2\cdot g\cdot h
|
||||
\end{gather*}
|
||||
Soit, de manière plus générale, en posant \(g=a\) et \(h=x-x_o\), ce qu'il fallait démontrer :
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||||
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||||
\begin{equation*}
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||||
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
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||||
\end{equation*}
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||||
11429
Annexe-MRUA/Images/Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche.eps
Normal file
11429
Annexe-MRUA/Images/Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche.eps
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
83
Annexe-Maree/Annexe-Maree.aux
Normal file
83
Annexe-Maree/Annexe-Maree.aux
Normal file
@ -0,0 +1,83 @@
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||||
\relax
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.1}{\ignorespaces Mar\IeC {\'e}e}}{187}}
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||||
\newlabel{maree}{{J.1}{187}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {J}Mar\IeC {\'e}es}{187}}
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||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\newlabel{chapmarees}{{J}{187}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.1}Introduction}{187}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.2}Centre de gravit\IeC {\'e}}{187}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.2}{\ignorespaces Syst\IeC {\`e}me Terre-Lune\relax }}{188}}
|
||||
\newlabel{systterrelune}{{J.2}{188}}
|
||||
\newlabel{distgrav}{{J.1}{188}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.3}Force d'inertie}{188}}
|
||||
\newlabel{acccentr}{{J.2}{188}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.3.1}Vitesse angulaire}{188}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.3}{\ignorespaces Syst\IeC {\`e}me Terre-Lune-eau\relax }}{188}}
|
||||
\newlabel{systterreluneeau}{{J.3}{188}}
|
||||
\newlabel{omega}{{J.3}{188}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.3.2}Force d'inertie}{188}}
|
||||
\newlabel{forceinertie}{{J.4}{188}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.4}Poids relatif}{189}}
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||||
\newlabel{Newacc}{{J.5}{189}}
|
||||
\newlabel{DLmaree}{{J.6}{189}}
|
||||
\newlabel{secondeloimaree}{{J.7}{189}}
|
||||
\newlabel{forcedemareebalance}{{J.8}{189}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.5}Analyse diff\IeC {\'e}rentielle}{189}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.6}Autres rythmes}{189}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.4}{\ignorespaces D\IeC {\'e}calage horaire}}{190}}
|
||||
\newlabel{decalage}{{J.4}{190}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.1}D\IeC {\'e}calages}{190}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.2}Mar\IeC {\'e}es de vives et mortes eaux}{190}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.5}{\ignorespaces Vives et mortes eaux}}{190}}
|
||||
\newlabel{vivemorteeau}{{J.5}{190}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.3}Mar\IeC {\'e}es d'\IeC {\'e}quinoxes}{190}}
|
||||
\citation{BS07}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.4}Mar\IeC {\'e}es de p\IeC {\'e}rig\IeC {\'e}e et p\IeC {\'e}rih\IeC {\'e}lie}{191}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.5}Mar\IeC {\'e}es de d\IeC {\'e}clinaison}{191}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.6.6}Retards et mar\IeC {\'e}es c\IeC {\^o}ti\IeC {\`e}res}{191}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {J.7}Limite de Roche}{191}}
|
||||
\newlabel{limroche}{{J.7}{191}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.6}{\ignorespaces Limite de Roche}}{192}}
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||||
\newlabel{roche}{{J.6}{192}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.7.1}Mod\IeC {\`e}le simplifi\IeC {\'e}}{192}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {J.7}{\ignorespaces Limite de Roche}}{193}}
|
||||
\newlabel{limitederoche}{{J.7}{193}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {J.7.2}Exemples}{193}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-Maree/Annexe-Maree}{
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||||
\setcounter{page}{194}
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||||
\setcounter{equation}{10}
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\setcounter{enumi}{2}
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\setcounter{enumii}{0}
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\setcounter{enumiii}{0}
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\setcounter{enumiv}{0}
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\setcounter{footnote}{0}
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\setcounter{mpfootnote}{0}
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\setcounter{part}{0}
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\setcounter{chapter}{10}
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\setcounter{section}{7}
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\setcounter{subsection}{2}
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\setcounter{subsubsection}{0}
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\setcounter{paragraph}{0}
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\setcounter{subparagraph}{0}
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\setcounter{figure}{7}
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\setcounter{table}{0}
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\setcounter{FancyVerbLine}{0}
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\setcounter{float@type}{8}
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\setcounter{r@tfl@t}{4}
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\setcounter{subfigure}{0}
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\setcounter{lofdepth}{1}
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\setcounter{subtable}{0}
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\setcounter{lotdepth}{1}
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\setcounter{parentequation}{0}
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\setcounter{ContinuedFloat}{0}
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\setcounter{endnote}{104}
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\setcounter{NAT@ctr}{0}
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\setcounter{OptionTest}{0}
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\setcounter{DefaultLines}{2}
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\setcounter{lstnumber}{1}
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}
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260
Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex
Normal file
260
Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex
Normal file
@ -0,0 +1,260 @@
|
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\myclearpage
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\chapter{Marées\index{maree@marée}}\label{chapmarees}
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||||
\section{Introduction}
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\lettrine{L}{'origine des marées} est un phénomène à la fois simple et complexe. Simple, car il suit d'assez près le mouvement de la Lune pour qu'on puisse naturellement le lui attribuer. Complexe, car il se produit aussi sur la Terre à l'opposé du zénith\index{zenith@zénith} de la Lune et il est souvent en retard sur son passage.
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||||
|
||||
Nous allons ici rappeler la simplicité du phénomène et expliquer pourquoi il se produit à la fois du côté de la Terre où se trouve la Lune et à l'opposé. L'explication des différents retards des marées sur le passage de la Lune ne sera pas abordée ici, car elle est très complexe. Une description du phénomène ayant été faite précédemment (voir paragraphe \ref{paramarees}), nous nous intéresserons ici plus particulièrement à l'aspect mathématique du phénomène, tout en expliquant le plus simplement les choses.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Marée]{Marée\label{maree}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Bay_of_Fundy.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Samuel Wantman.}}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Maree.eps}
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\end{figure}
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\medskip
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L'analyse se fait en trois étapes. Tout d'abord, la détermination du centre de gravité\index{centre de gravité} du système Terre-Lune. Puis, le calcul de la force d'inertie\index{force!d'inertie} sur un élément de masse d'eau que l'application de la seconde loi de Newton modifiée pour des référentiels en rotation\index{referentiel@référentiel!tournant} (voir annexe \ref{relativite}) nécessite ou, d'un autre point de vue, le calcul de la pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force!centrifuge} exercée sur cet élément et enfin le calcul de son poids relatif\index{poids!relatif}. L'analyse des termes constituant le poids relatif permettra alors de préciser l'influence de la Lune et d'expliquer la présence de deux marées par jour.
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||||
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||||
\section{Centre de gravité\index{centre de gravité}}
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||||
Une partie du problème des marées se trouve dans le fait que le système Terre-Lune a un centre de gravité qui ne coïncide pas avec le centre de la Terre, comme le montre la figure \ref{systterrelune}.
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||||
|
||||
La notion de centre de gravité est ici relativement aisée à saisir. Imaginons deux masses \(m\) identiques situées à une distance \(d\) l'une de l'autre. On comprend bien que le centre de gravité de ce système se trouve exactement au milieu entre les masses. Maintenant, si l'une des masses double (\(M=2\cdot m\)), le centre de gravité va se rapprocher d'elle. La masse totale du système valant \(3\cdot m\), on comprend bien que la plus grande des masses compte pour deux tiers et la plus petite pour un tiers. Le centre de gravité se trouve donc à un tiers de la distance entre les corps, du côté de la plus grande masse. Depuis le centre de la plus grande masse, la distance \(r\) au centre de gravité se calcule donc ainsi :
|
||||
\begin{equation}\label{distgrav}
|
||||
r=\frac{m}{M+m}\cdot d
|
||||
\end{equation}
|
||||
(depuis le centre de la plus petite masse, la distance au centre de gravité se calcule de la même manière en remplaçant le \(m\) du numérateur de la fraction par \(M\)).
|
||||
|
||||
\section{Force d'inertie}
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||||
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||||
\begin{figure}[t]
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\centering
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||||
\caption{Système Terre-Lune\label{systterrelune}}
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\input{Annexe-Maree/Images/Systterrelune.pst}
|
||||
\end{figure}
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||||
|
||||
En substance, le problème des marées est posé par la rotation d'une masse \(m\) d'eau non pas autour du centre de la Terre, mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Il s'agit d'un mouvent circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire uniforme} et l'une des composantes de la seconde loi de Newton est l'accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète} \(a_c\) de cette masse. On peut l'exprimer sous différentes formes présentées dans l'équation \ref{acccentr} :
|
||||
\begin{equation}\label{acccentr}
|
||||
a_c=\frac{v^2}{R}=\omega^2\cdot R
|
||||
\end{equation}
|
||||
où \(v\) est la vitesse linéaire\index{vitesse!linéaire} de la masse \(m\) d'eau, \(R\) la distance du centre de gravité à la masse \(m\) et \(\omega\) sa vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}. En effet, l'équation \ref{vomegar}, page \pageref{vomegar} montre que la vitesse linéaire d'un corps tournant en mouvement circulaire uniforme vaut \(v=\omega\cdot R\) avec pour unité \([\omega]=\radian\per\second\).
|
||||
|
||||
\subsection{Vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}}
|
||||
|
||||
Or, la vitesse linéaire de la masse d'eau n'est pas celle qui résulte de sa rotation diurne autour du centre de la Terre, mais celle correspondant au déplacement de \(m\) sous l'influence de la Lune, c'est-à-dire celle correspondant à sa rotation autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Avec les grandeurs présentées à la figure \ref{systterrelune} et l'équation \ref{distgrav}, le calcul de la vitesse angulaire \(\omega\) de ce dernier est le suivant :
|
||||
\begin{align}
|
||||
F&=M_L\cdot \omega^2\cdot R\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-r)\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-\frac{M_L\cdot d_{T-L}}{M_L+M_T})\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^2}&=\omega^2\cdot d_{T-L}\cdot (1-\frac{M_L}{M_L+M_T})\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_L+M_T-M_L}{M_L+M_T}\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_T}{M_L+M_T}\nonumber\\
|
||||
\omega^2&=G\cdot \frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\label{omega}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[t]
|
||||
\centering
|
||||
\caption{Système Terre-Lune-eau\label{systterreluneeau}}
|
||||
\input{Annexe-Maree/Images/Systterreluneeau.pst}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
On peut alors calculer la force d'inertie à ajouter à la seconde loi de Newton dans le cas de référentiels en rotation, puisque le référentiel lié au centre de la Terre est en rotation autour du centre de masse du système Terre-Lune. En considérant la distance du centre de gravité au centre de la Terre :
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||||
\[r=\frac{M_L}{M_T+M_L}\cdot d_{T-L}\]
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et l'équation \ref{omega}, on peut écrire cette force sous la forme :
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\begin{align}
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F_{in}&=m\cdot \omega^2\cdot r\nonumber\\
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&=m\cdot G\frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\cdot \frac{M_L}{M_L+M_T}\cdot d_{T-L}\nonumber\\
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||||
&=m\cdot G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}\label{forceinertie}
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\end{align}
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\section{Poids relatif\index{poids!relatif}}
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On peut maintenant calculer le poids relatif à l'aide de la seconde loi de Newton. La masse d'eau \(m\) est en équilibre statique dans le référentiel lié au centre de la Terre et son accélération est nulle. On peut s'imaginer cette masse comme posée sur une balance. Les forces qui s'exercent sur elle sont son poids \(P\), correspondant à l'attraction de la Terre, l'attraction \(F_L\) de la Lune, la force d'inertie\index{force!d'inertie} \(F_{in}\) et la réaction \(R\) de la balance\index{balance} qui constitue le poids apparent de la masse d'eau. Si on choisit un axe dirigé vers le centre de la Terre, on peut ainsi écrire :
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\begin{equation}\label{Newacc}
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\sum F=P-R-F_L+F_{in}=0(=m\cdot a_m)
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\end{equation}
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Soit, en utilisant la loi de la gravitation universelle et l'équation \ref{forceinertie} dans l'équation \ref{Newacc} :
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\begin{align}
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P-R-G\frac{M_L\cdot m}{(d_{T-L}-R_T)^2}+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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P-R-\nonumber\\
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||||
G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\label{DLmaree}\\
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||||
P-R-G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}-\nonumber\\
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||||
2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T+G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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P-R-2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T&=0\label{secondeloimaree}
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\end{align}
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Pour établir l'équation \ref{DLmaree}, on a utilisé le développement limité : \((1+x)^p\simeq1+p\cdot x\).
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\begin{align*}
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\frac{1}{(d_{T-L}-R_T)^2}&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot \frac{1}{(1-R_T/d_{T-L})^2}\\
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&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1-R_T/d_{T-L})^{-2}\\
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||||
&\simeq \frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+(-2)\cdot (-\frac{R_T}{d_{T-L}}))\\
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||||
&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})
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||||
\end{align*}
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En réorganisant les termes de l'équation \ref{secondeloimaree}, on obtient finalement la force de réaction d'une balance qu'on placerait sous la masse \(m\) d'eau :
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\begin{equation}\label{forcedemareebalance}
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R=P-2\cdot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T
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\end{equation}
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Cette équation se comprend par l'action du poids \(P\) sur la masse d'eau \(m\) et par une force, dite force de marée\index{force!de marée}, opposée au poids et qui soulève la masse.
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\bigskip
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La force de marée de l'équation \ref{forcedemareebalance} correspond à la force donnée par l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et le développement ci-dessus en constitue une démonstration.
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L'analyse du rapport des forces de marées lunaire et solaire qui suit l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et qui est issue de la forme de l'équation \ref{forcedemareebalance}, constitue aussi une suite logique au calcul présenté ci-dessus que nous ne reprendrons pas ici.
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\section{Analyse différentielle}
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Le cadre de l'analyse présentée ci-dessus est celui de la seconde loi de Newton. Insistons sur le fait que l'ensemble des forces considérées s'exercent sur le même système, soit la masse $m$ d'eau. Cette analyse est donc cohérente avec la formulation de la seconde loi qui s'applique sur un système de masse \(m\).
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On va maintenant présenter une autre analyse du problème qui est moins consistante puisque les forces qu'elle utilise ne s'appliquent pas sur un système unique. Cependant, non seulement elle mène au même résultat, mais encore elle permet de mettre en évidence le caractère différentiel des forces de marées, caractère qui apparaitra alors plus clair dans l'étude des forces de marées exercées sur des satellites comme Io autour de Jupiter. La notion de limite de Roche pourra donc être mieux abordée au paragraphe \ref{limroche}.
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\section{Autres rythmes}
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L'explication de la présence de deux marées par jour (\emph{dites de pleines\index{pleine mer} et basses mers\index{basse mer}}) ne constitue qu'une partie de la compréhension du phénomène de marée. Même dans le cadre de la théorie de Newton, et sans entrer dans la théorie ondulatoire, d'autres périodes sont associées aux marées. Dans ce paragraphe on va entrer dans ce qu'on peut appeler la dimension astronomique du phénomène. Évidemment, c'est la gravitation qui reste le moteur des influences. Mais celles-ci varient en fonction de la position des astres.
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\subsection{Décalages}
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Une première conséquence du mouvement relatif de la Lune sur les marées se présente sous la forme d'un déplacement perpétuel des heure de pleine et basse mer. Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, les pleine\index{pleine mer} et basse\index{basse mer} mer auraient lieu toujours au même moment dans la journée. Ce n'est pas le cas en raison du déplacement de la Lune autour de la Terre. En effet, comme le montre la figure \ref{decalage}, pendant que la Terre fait un tour sur elle-même en vingtquatre heures, la lune se déplace. Comme cette dernière fait un tour autour de la Terre en trente jours, en vingt quatre heures, c'est-à-dire en une journée, la Lune parcours un angle de \(360/30=12^{\circ}\). Au bout de vingt quatre heures, une personne située au point \(P\) ne verrait plus la Lune au zénith\index{zenith@zénith} (au-dessus d'elle). Il lui faudrait parcourir encore un angle de \(12^{\circ}\) pour cela. Comme la terre parcours \unit{360}{\degree} en vingt quatre heures, il lui faut encore attendre \unit{48}{minutes} pour se retrouver en situation de pleine mer. Chaque jour, les pleines et basses mers se produisent avec environ cinquante minutes de retard sur le jour précédent.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Décalage horaire]{Décalage horaire de la marée\label{decalage} \par \scriptsize{Une cinquantaine de minutes chaque jour.}}
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\includegraphics[width=6cm]{Decalages.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Marées de vives et mortes eaux\index{maree@marée!de vives et mortes eaux}}
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Le marnage\index{marnage}, la différence de hauteur d'eau entre une pleine et une basse mer, varie dans le temps. Chaque mois, on constate un marnage maximum (marée de vive eau\index{vive eau}) et un minimum (marée de morte eau\index{morte eau}). On remarque aussi que ces marées particulières correspondent à certaines phases de la lune (voir la figure \ref{phasesdelalune}, page \pageref{phasesdelalune}) : lors des nouvelle\index{nouvelle lune} et pleine lune\index{pleine lune}, la marée est de vive eau et lors des quartiers, elle est de morte eau.
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Comme les phases de la Lune correspondent à des positions particulières de notre satellite par rapport à l'axe Terre-Soleil, on peut en trouver une explication dans le rapport des actions gravifiques de la Lune et du Soleil. Comme on l'a vu (voir \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}), ce rapport est défavorable au Soleil, dont la masse est plus grande que celle de la Lune, mais qui se trouve plus loin que la Lune, en raison de la dépendance en \(1/d^3\) de la force de marée. Mais, même si elle est moins importante que celle de la Lune, l'action du Soleil existe.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Vives et mortes eaux]{Marées de vives et mortes eaux\label{vivemorteeau} \par \scriptsize{Représentation dans le plan écliptique.}}
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\includegraphics[width=6cm]{ViveMorteEau.eps}
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\end{figure}
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L'explication est simple. Comme le montre la figure \ref{vivemorteeau}, quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés, les forces lunaires et solaires s'additionnent. On a des marées de vives eaux à la nouvelle et à la pleine lune. Par contre, aux premiers et derniers quartiers, les actions de la Lune et du Soleil ne se produisent pas dans le même axe et les marées sont de basses eaux.
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\subsection{Marées d'équinoxes\index{maree@marée!d'équinoxe}}
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On entend souvent parler des ``grandes marées d'équinoxes''. On se limitera ici à évoquer le phénomène, car il ne trouve une explication convainquante que dans la théorie ondulatoire des marées. Tout se passe comme si la force de marée exercée par le Soleil était maximale quand l'axe de rotation de la Terre est perpendiculaire à la direction Terre-Soleil. Si on considère que la direction de cet axe reste fixe dans l'espace, la figure \ref{saisonsperso}, page \pageref{saisonsperso}, présente la situation : aux solstices\index{solstice}, l'angle \(\alpha\simeq \unit{66,5}{\degree}\), alors qu'aux équinoxes\index{equinoxe@équinoxe}, il vaut \unit{90}{\degree}. Pour bien s'en rendre compte, il faut considérer le plan constitué par l'axe de rotation de la Terre et le Soleil aux solstices. Ce plan est perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Mais si aux solstices l'axe de rotation de la Terre fait un angle non droit avec la direction Terre-Soleil, aux équinoxes cet angle est droit car ce plan est perpendiculaire à l'écliptique.
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\subsection{Marées de périgée et périhélie\index{maree@marée!de périgée}\index{maree@marée!de périhélie}}
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On sait grâce à Kepler (voir le paragraphe \ref{loiskepler}, page \pageref{loiskepler}) que l'orbite de la Lune est une ellipse\index{ellipse}. Cela signifie que la distance Terre-Lune varie. On nomme \emph{périgée}\index{perigee@périgée} le point de l'orbite de la Lune où cette distance est minimale et \emph{apogée}\index{apogee@apogée} celui où elle est maximale.
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Au périgée, la distance Terre-Lune vaut : \unit{3,654\cdot 10^8}{\metre} et à l'apogée \unit{4,067\cdot 10^8}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée lunaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{lunaire}&=\frac{d_{p\acute erig\acute ee}^{-3}-d_{apog\acute ee}^{-3}}{d_{apo\acute ee}^{-3}}\\
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&=\frac{(3,654\cdot 10^8)^{-3}-(4,067\cdot 10^8)^{-3}}{(4,067\cdot 10^8)^{-3}}\\
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&\simeq0,38\equiv 38\%
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\end{align*}
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Ce rapport n'est de loin pas négligeable et il faut en tenir compte.
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\medskip
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L'orbite de la Terre autour du Soleil est aussi une ellipse\index{ellipse} et la distance Terre-Soleil varie aussi. On nome \emph{périhélie}\index{perihelie@périhélie} le point de l'orbite de la terre où cette distance est minimale et \emph{aphélie}\index{aphelie@aphélie} le point le plus éloigné.
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Au périhélie (le 3 janvier) la distance Terre-Soleil vaut : \unit{1,471\cdot 10^{11}}{\metre} et à l'aphélie (le 3 juillet) \unit{1,521\cdot 10^{11}}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée solaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{solaire}&=\frac{d_{p\acute erih\acute elie}^{-3}-d_{aph\acute elie}^{-3}}{d_{aph\acute elie}^{-3}}\\
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&=\frac{(1,471\cdot 10^{11})^{-3}-(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}{(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}\\
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&\simeq0,1\equiv 10\%
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\end{align*}
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Bien que plus faible que pour la Lune, ce rapport n'est pas non plus négligeable et il faut en tenir compte.
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\subsection{Marées de déclinaison\index{maree@marée!de déclinaison}}
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Jusque là, on a considéré que la lune tournait dans le plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Ce n'est en réalité pas le cas. Elle tourne dans un plan dont l'inclinaison par rapport à l'écliptique varie de \(5^{\circ}\) à \(5^{\circ}17'\) en oscillant sur une période de 173 jours. La symétrie axiale du champ de force de marée présentée à la figure \ref{mareechampforce}, page \pageref{mareechampforce}, évolue donc de part et d'autre de l'Équateur au cours du temps.
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C'est un rythme de plus \dots
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\subsection{Retards et marées côtières\index{maree@marée!côtière}}
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La théorie newtonienne des marées, analysée à la lumière de l'astronomie de position, permet donc une première compréhension du phénomène de marée. Elle démontre clairement que le principal acteur qui l'explique est la Lune. Mais, elle n'explique de loin pas tout. En effet, on peut noter des décalages systématiques de plusieurs dizaines d'heures entre les marées de vive (ou morte) eau et les phases de la Lune. Ce retard ne s'explique qu'en terme d'ondes.
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De plus, si les prédictions de la théorie newtonienne sont bons en haute mer, ils sont largement insuffisant près des côtes où des effets ondulatoires sont à prendre en compte.
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La théorie ondulatoire de la marée repose sur de complexes équations dites de Laplace et inaccessible dans le cadre de ce cours. Mais on peut trouver une bonne description mathématique de cette théorie dans \cite{BS07}.
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\section{Limite de Roche\index{limite de Roche}}\label{limroche}
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Les effets de marée présentés ci-dessus sont bien connus de tous puisqu'ils se manifestent clairement à nous sur les plages. Il faut aussi dire qu'il existe des marées terrestres : simultanément à la surface océanique, la Lune déforme la croute terrestre\index{croute terrestre}. Et il faut savoir que ces effets sont réciproques. Si la Lune exerce son influence sur la Terre, la Terre exerce aussi des forces de marée sur la Lune et celle-ci se déforme sous leurs effets. De la même manière, le satellite Io\index{Io} a un volcanisme\index{volcanisme} très actif dû aux effets de marées produits sur lui par la planète Jupiter.
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Tant qu'un satellite est assez éloigné de la planète qui l'attire, les effets de marée se limitent à des frictions et à des déformations. Par contre, si le satellite s'en approche trop, il peut être détruit par les tensions internes qu'il va subir. C'est ce qui explique en partie pourquoi les anneaux d'astèroïdes\index{anneau d'astéroïdes}, comme ceux de Saturne\index{Saturne}, ne donnent pas naissance à des satellites sous l'effet de leur attraction mutuelle. La distance à partir de laquelle cela se produit est complexe à déterminer. Cependant, à l'aide de quelques approximations judicieuses, il est possible d'évaluer cette distance, qui porte le nom de \emph{limite de Roche} en hommage au physicien qui la découvrit.
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\subsection{Modèle simplifié}
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L'idée est de considérer un satellite situé à une distance \(d\) d'une planète comme composé de deux corps distincts maintenus ensemble par leur action gravifique mutuelle. La figure \ref{roche} présente la situation.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{roche}}
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\includegraphics[width=6cm]{Roche.eps}
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\end{figure}
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En raison de sa plus grande proximité, la force de gravitation exercée par la planète sur la partie du satellite la plus proche d'elle est plus importante que celle exercée sur la partie la plus éloignée. En supposant que les centres de masse des deux parties du satellite sont séparés par une distance \(2\cdot r\), on peut calculer la différence de force qui s'exerce :
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\[\Delta F=G\cdot \frac{M\cdot m}{(d-r)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{(d+r)^2}\]
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Pour simplifier cette expression, on peut écrire :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{m\cdot m}{d^2\cdot (1-r/d)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2\cdot (1+r/d)^2} \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1-r/d)^{-2})-(1+r/d)^{-2})
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\end{align*}
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En raison de la relation (de développement limité) suivante :
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\[(1+x)^p\simeq 1+p\cdot x\]
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et du fait que \(r\ll d\), on peut réécrire la différence de force :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1+2\cdot r/d)-(1-2\cdot r/d)) \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot 4\cdot r/d \\
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&=4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r
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||||
\end{align*}
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\medskip
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D'autre part, la force de cohésion gravitationnelle entre les deux parties du satellite est donnée par :
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\[F_c=G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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Mais, le satellite est détruit quand la différence de force gravitationnelle (force de marée) produite par la planète sur le satellite est plus grande que la force de cohésion, c'est-à-dire :
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\[4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r > G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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En utilisant les masses volumiques des deux corps, \(\rho_p\) pour la planète et \(\rho_s\) pour le satellite, on a :
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\begin{align*}
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M&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3\cdot \rho_p \\
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||||
m&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot \rho_s
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\end{align*}
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||||
où \(R\) est le rayon de la planète. Cela permet d'écrire :
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\begin{align*}
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4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p\cdot r^3\cdot \rho_s}{d^3}\cdot r &> \frac{(r^3\cdot \rho_s)^2}{4\cdot r^2} \\
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||||
4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p}{d^3} &> \frac{\rho_s}{4} \\
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||||
16\cdot R^3\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s} &> d^3 \\
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d &< R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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||||
\end{align*}
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avec finalement l'expression de la limite de Roche, c'est-à-dire la distance minimale, par rapport à la planète, à laquelle le satellite est détruit :
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\begin{equation}
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d_{Roche} = R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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\end{equation}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{limitederoche}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_de_Roche} notamment pour le copyright de l'image.}}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche1.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche2.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche3.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche4.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche5.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Exemples}
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L'une des planètes les plus intéressantes du point de vue de la limite de Roche est certainement Saturne en raison des ses satellites et de ses anneaux. Pour se faire une idée numérique du calcul de la limite de Roche, considérons par exemple Épiméthée, l'un de ses satellites dont la masse volumique vaut :
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\[\rho_s=\unit{0,61\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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Comme la masse volumique de Saturne vaut :
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\[\rho_p=\unit{0,6873\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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et que son rayon équatorial est \(R=\unit{60'268}{\kilo\metre}\), on peut calculer la limite de Roche :
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\begin{align*}
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d_{Roche} &= R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}\\
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&= 60'268\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{0,6873\cdot 10^3}{0,61\cdot 10^3}}=\unit{158'027}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Sachant que le rayon de l'orbite d'Épiméthée est de 2,51 fois le rayon de Saturne, soit environ \unit{151'400}{\kilo\metre}, on peut calculer le rapport \(r\) de la distance d'Épiméthée-Saturne à la distance de Roche :
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\[r=\frac{151'400}{158'027}=0,96\]
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Épiméthée est donc à une distance de Saturne correspondant à 96\% de la limite de Roche. Cela peut s'expliquer par le fait que d'autres forces de cohésion que la gravité s'exercent dans le satellite.
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Il est aussi intéressant de constater que les anneaux G et E de Saturne, situés respectivement de \unit{170'000}{} à \unit{175'000}{\kilo\metre} et de \unit{181'000}{} à \unit{483'000}{\kilo\metre} de Saturne, sont bien au-delà de la limite de Roche. Pour l'anneau E, il pourrait s'agir de matière volcanique éjectée par Encelade, l'un des satellites de Saturne.
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En réalité le calcul de la limite de Roche réelle est plus compliqué que celui présenté ci-dessus et il mène à la distance suivante :
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\begin{equation}
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d_{roche} = 2,422649865\cdot R\cdot \sqrt[3]{\frac{\rho_p}{\rho_s}}
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\end{equation}
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soit pour Épiméthée la valeur de \unit{151'932}{\kilo\metre}.
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Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex.backup
Normal file
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Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex.backup
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@ -0,0 +1,260 @@
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\myclearpage
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\chapter{Marées\index{maree@marée}}\label{chapmarees}
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\section{Introduction}
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\lettrine{L}{'origine des marées} est un phénomène à la fois simple et complexe. Simple, car il suit d'assez près le mouvement de la Lune pour qu'on puisse naturellement le lui attribuer. Complexe, car il se produit aussi sur la Terre à l'opposé du zénith\index{zenith@zénith} de la Lune et il est souvent en retard sur son passage.
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Nous allons ici rappeler la simplicité du phénomène et expliquer pourquoi il se produit à la fois du côté de la Terre où se trouve la Lune et à l'opposé. L'explication des différents retards des marées sur le passage de la Lune ne sera pas abordée ici, car elle est très complexe. Une description du phénomène ayant été faite précédemment (voir paragraphe \ref{paramarees}), nous nous intéresserons ici plus particulièrement à l'aspect mathématique du phénomène, tout en expliquant le plus simplement les choses.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Marée]{Marée\label{maree}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Bay_of_Fundy.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Samuel Wantman.}}
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\includegraphics[width=6cm]{Maree.eps}
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\end{figure}
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L'analyse se fait en trois étapes. Tout d'abord, la détermination du centre de gravité\index{centre de gravité} du système Terre-Lune. Puis, le calcul de la force d'inertie\index{force!d'inertie} sur un élément de masse d'eau que l'application de la seconde loi de Newton modifiée pour des référentiels en rotation\index{referentiel@référentiel!tournant} (voir annexe \ref{relativite}) nécessite ou, d'un autre point de vue, le calcul de la pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force!centrifuge} exercée sur cet élément et enfin le calcul de son poids relatif\index{poids!relatif}. L'analyse des termes constituant le poids relatif permettra alors de préciser l'influence de la Lune et d'expliquer la présence de deux marées par jour.
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\section{Centre de gravité\index{centre de gravité}}
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Une partie du problème des marées se trouve dans le fait que le système Terre-Lune a un centre de gravité qui ne coïncide pas avec le centre de la Terre, comme le montre la figure \ref{systterrelune}.
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La notion de centre de gravité est ici relativement aisée à saisir. Imaginons deux masses \(m\) identiques situées à une distance \(d\) l'une de l'autre. On comprend bien que le centre de gravité de ce système se trouve exactement au milieu entre les masses. Maintenant, si l'une des masses double (\(M=2\cdot m\)), le centre de gravité va se rapprocher d'elle. La masse totale du système valant \(3\cdot m\), on comprend bien que la plus grande des masses compte pour deux tiers et la plus petite pour un tiers. Le centre de gravité se trouve donc à un tiers de la distance entre les corps, du côté de la plus grande masse. Depuis le centre de la plus grande masse, la distance \(r\) au centre de gravité se calcule donc ainsi :
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\begin{equation}\label{distgrav}
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r=\frac{m}{M+m}\cdot d
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\end{equation}
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(depuis le centre de la plus petite masse, la distance au centre de gravité se calcule de la même manière en remplaçant le \(m\) du numérateur de la fraction par \(M\)).
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\section{Force d'inertie}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Système Terre-Lune\label{systterrelune}}
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\input{Annexe-Maree/Images/Systterrelune.pst}
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\end{figure}
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En substance, le problème des marées est posé par la rotation d'une masse \(m\) d'eau non pas autour du centre de la Terre, mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Il s'agit d'un mouvent circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire uniforme} et l'une des composantes de la seconde loi de Newton est l'accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète} \(a_c\) de cette masse. On peut l'exprimer sous différentes formes présentées dans l'équation \ref{acccentr} :
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\begin{equation}\label{acccentr}
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a_c=\frac{v^2}{R}=\omega^2\cdot R
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\end{equation}
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où \(v\) est la vitesse linéaire\index{vitesse!linéaire} de la masse \(m\) d'eau, \(R\) la distance du centre de gravité à la masse \(m\) et \(\omega\) sa vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}. En effet, l'équation \ref{vomegar}, page \pageref{vomegar} montre que la vitesse linéaire d'un corps tournant en mouvement circulaire uniforme vaut \(v=\omega\cdot R\) avec pour unité \([\omega]=\radian\per\second\).
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\subsection{Vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}}
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Or, la vitesse linéaire de la masse d'eau n'est pas celle qui résulte de sa rotation diurne autour du centre de la Terre, mais celle correspondant au déplacement de \(m\) sous l'influence de la Lune, c'est-à-dire celle correspondant à sa rotation autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Avec les grandeurs présentées à la figure \ref{systterrelune} et l'équation \ref{distgrav}, le calcul de la vitesse angulaire \(\omega\) de ce dernier est le suivant :
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\begin{align}
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F&=M_L\cdot \omega^2\cdot R\nonumber\\
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G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-r)\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-\frac{M_L\cdot d_{T-L}}{M_L+M_T})\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^2}&=\omega^2\cdot d_{T-L}\cdot (1-\frac{M_L}{M_L+M_T})\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_L+M_T-M_L}{M_L+M_T}\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_T}{M_L+M_T}\nonumber\\
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||||
\omega^2&=G\cdot \frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\label{omega}
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\end{align}
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\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Système Terre-Lune-eau\label{systterreluneeau}}
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\input{Annexe-Maree/Images/Systterreluneeau.pst}
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\end{figure}
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On peut alors calculer la force d'inertie à ajouter à la seconde loi de Newton dans le cas de référentiels en rotation, puisque le référentiel lié au centre de la Terre est en rotation autour du centre de masse du système Terre-Lune. En considérant la distance du centre de gravité au centre de la Terre :
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\[r=\frac{M_L}{M_T+M_L}\cdot d_{T-L}\]
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et l'équation \ref{omega}, on peut écrire cette force sous la forme :
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\begin{align}
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F_{in}&=m\cdot \omega^2\cdot r\nonumber\\
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&=m\cdot G\frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\cdot \frac{M_L}{M_L+M_T}\cdot d_{T-L}\nonumber\\
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||||
&=m\cdot G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}\label{forceinertie}
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\end{align}
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\section{Poids relatif\index{poids!relatif}}
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On peut maintenant calculer le poids relatif à l'aide de la seconde loi de Newton. La masse d'eau \(m\) est en équilibre statique dans le référentiel lié au centre de la Terre et son accélération est nulle. On peut s'imaginer cette masse comme posée sur une balance. Les forces qui s'exercent sur elle sont son poids \(P\), correspondant à l'attraction de la Terre, l'attraction \(F_L\) de la Lune, la force d'inertie\index{force!d'inertie} \(F_{in}\) et la réaction \(R\) de la balance\index{balance} qui constitue le poids apparent de la masse d'eau. Si on choisit un axe dirigé vers le centre de la Terre, on peut ainsi écrire :
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\begin{equation}\label{Newacc}
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\sum F=P-R-F_L+F_{in}=0(=m\cdot a_m)
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\end{equation}
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Soit, en utilisant la loi de la gravitation universelle et l'équation \ref{forceinertie} dans l'équation \ref{Newacc} :
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\begin{align}
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P-R-G\frac{M_L\cdot m}{(d_{T-L}-R_T)^2}+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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||||
P-R-\nonumber\\
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||||
G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\label{DLmaree}\\
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||||
P-R-G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}-\nonumber\\
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||||
2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T+G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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||||
P-R-2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T&=0\label{secondeloimaree}
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||||
\end{align}
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Pour établir l'équation \ref{DLmaree}, on a utilisé le développement limité : \((1+x)^p\simeq1+p\cdot x\).
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\begin{align*}
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\frac{1}{(d_{T-L}-R_T)^2}&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot \frac{1}{(1-R_T/d_{T-L})^2}\\
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&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1-R_T/d_{T-L})^{-2}\\
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||||
&\simeq \frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+(-2)\cdot (-\frac{R_T}{d_{T-L}}))\\
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||||
&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})
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||||
\end{align*}
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En réorganisant les termes de l'équation \ref{secondeloimaree}, on obtient finalement la force de réaction d'une balance qu'on placerait sous la masse \(m\) d'eau :
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\begin{equation}\label{forcedemareebalance}
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R=P-2\cdot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T
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\end{equation}
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Cette équation se comprend par l'action du poids \(P\) sur la masse d'eau \(m\) et par une force, dite force de marée\index{force!de marée}, opposée au poids et qui soulève la masse.
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La force de marée de l'équation \ref{forcedemareebalance} correspond à la force donnée par l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et le développement ci-dessus en constitue une démonstration.
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L'analyse du rapport des forces de marées lunaire et solaire qui suit l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et qui est issue de la forme de l'équation \ref{forcedemareebalance}, constitue aussi une suite logique au calcul présenté ci-dessus que nous ne reprendrons pas ici.
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\section{Analyse différentielle}
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Le cadre de l'analyse présentée ci-dessus est celui de la seconde loi de Newton. Insistons sur le fait que l'ensemble des forces considérées s'exercent sur le même système, soit la masse $m$ d'eau. Cette analyse est donc cohérente avec la formulation de la seconde loi qui s'applique sur un système de masse \(m\).
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On va maintenant présenter une autre analyse du problème qui est moins consistante puisque les forces qu'elle utilise ne s'appliquent pas sur un système unique. Cependant, non seulement elle mène au même résultat, mais encore elle permet de mettre en évidence le caractère différentiel des forces de marées, caractère qui apparaitra alors plus clair dans l'étude des forces de marées exercées sur des satellites comme Io autour de Jupiter. La notion de limite de Roche pourra donc être mieux abordée au paragraphe \ref{limroche}.
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\section{Autres rythmes}
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L'explication de la présence de deux marées par jour (\emph{dites de pleines\index{pleine mer} et basses mers\index{basse mer}}) ne constitue qu'une partie de la compréhension du phénomène de marée. Même dans le cadre de la théorie de Newton, et sans entrer dans la théorie ondulatoire, d'autres périodes sont associées aux marées. Dans ce paragraphe on va entrer dans ce qu'on peut appeler la dimension astronomique du phénomène. Évidemment, c'est la gravitation qui reste le moteur des influences. Mais celles-ci varient en fonction de la position des astres.
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\subsection{Décalages}
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Une première conséquence du mouvement relatif de la Lune sur les marées se présente sous la forme d'un déplacement perpétuel des heure de pleine et basse mer. Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, les pleine\index{pleine mer} et basse\index{basse mer} mer auraient lieu toujours au même moment dans la journée. Ce n'est pas le cas en raison du déplacement de la Lune autour de la Terre. En effet, comme le montre la figure \ref{decalage}, pendant que la Terre fait un tour sur elle-même en vingtquatre heures, la lune se déplace. Comme cette dernière fait un tour autour de la Terre en trente jours, en vingt quatre heures, c'est-à-dire en une journée, la Lune parcours un angle de \(360/30=12^{\circ}\). Au bout de vingt quatre heures, une personne située au point \(P\) ne verrait plus la Lune au zénith\index{zenith@zénith} (au-dessus d'elle). Il lui faudrait parcourir encore un angle de \(12^{\circ}\) pour cela. Comme la terre parcours \unit{360}{\degree} en vingt quatre heures, il lui faut encore attendre \unit{48}{minutes} pour se retrouver en situation de pleine mer. Chaque jour, les pleines et basses mers se produisent avec environ cinquante minutes de retard sur le jour précédent.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Décalage horaire]{Décalage horaire de la marée\label{decalage} \par \scriptsize{Une cinquantaine de minutes chaque jour.}}
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\includegraphics[width=6cm]{Decalages.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Marées de vives et mortes eaux\index{maree@marée!de vives et mortes eaux}}
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Le marnage\index{marnage}, la différence de hauteur d'eau entre une pleine et une basse mer, varie dans le temps. Chaque mois, on constate un marnage maximum (marée de vive eau\index{vive eau}) et un minimum (marée de morte eau\index{morte eau}). On remarque aussi que ces marées particulières correspondent à certaines phases de la lune (voir la figure \ref{phasesdelalune}, page \pageref{phasesdelalune}) : lors des nouvelle\index{nouvelle lune} et pleine lune\index{pleine lune}, la marée est de vive eau et lors des quartiers, elle est de morte eau.
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Comme les phases de la Lune correspondent à des positions particulières de notre satellite par rapport à l'axe Terre-Soleil, on peut en trouver une explication dans le rapport des actions gravifiques de la Lune et du Soleil. Comme on l'a vu (voir \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}), ce rapport est défavorable au Soleil, dont la masse est plus grande que celle de la Lune, mais qui se trouve plus loin que la Lune, en raison de la dépendance en \(1/d^3\) de la force de marée. Mais, même si elle est moins importante que celle de la Lune, l'action du Soleil existe.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Vives et mortes eaux]{Marées de vives et mortes eaux\label{vivemorteeau} \par \scriptsize{Représentation dans le plan écliptique.}}
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\includegraphics[width=6cm]{ViveMorteEau.eps}
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\end{figure}
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L'explication est simple. Comme le montre la figure \ref{vivemorteeau}, quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés, les forces lunaires et solaires s'additionnent. On a des marées de vives eaux à la nouvelle et à la pleine lune. Par contre, aux premiers et derniers quartiers, les actions de la Lune et du Soleil ne se produisent pas dans le même axe et les marées sont de basses eaux.
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\subsection{Marées d'équinoxes\index{maree@marée!d'équinoxe}}
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On entend souvent parler des ``grandes marées d'équinoxes''. On se limitera ici à évoquer le phénomène, car il ne trouve une explication convainquante que dans la théorie ondulatoire des marées. Tout se passe comme si la force de marée exercée par le Soleil était maximale quand l'axe de rotation de la Terre est perpendiculaire à la direction Terre-Soleil. Si on considère que la direction de cet axe reste fixe dans l'espace, la figure \ref{saisonsperso}, page \pageref{saisonsperso}, présente la situation : aux solstices\index{solstice}, l'angle \(\alpha\simeq \unit{66,5}{\degree}\), alors qu'aux équinoxes\index{equinoxe@équinoxe}, il vaut \unit{90}{\degree}. Pour bien s'en rendre compte, il faut considérer le plan constitué par l'axe de rotation de la Terre et le Soleil aux solstices. Ce plan est perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Mais si aux solstices l'axe de rotation de la Terre fait un angle non droit avec la direction Terre-Soleil, aux équinoxes cet angle est droit car ce plan est perpendiculaire à l'écliptique.
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\subsection{Marées de périgée et périhélie\index{maree@marée!de périgée}\index{maree@marée!de périhélie}}
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On sait grâce à Kepler (voir le paragraphe \ref{loiskepler}, page \pageref{loiskepler}) que l'orbite de la Lune est une ellipse\index{ellipse}. Cela signifie que la distance Terre-Lune varie. On nomme \emph{périgée}\index{perigee@périgée} le point de l'orbite de la Lune où cette distance est minimale et \emph{apogée}\index{apogee@apogée} celui où elle est maximale.
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Au périgée, la distance Terre-Lune vaut : \unit{3,654\cdot 10^8}{\metre} et à l'apogée \unit{4,067\cdot 10^8}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée lunaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{lunaire}&=\frac{d_{p\acute erig\acute ee}^{-3}-d_{apog\acute ee}^{-3}}{d_{apo\acute ee}^{-3}}\\
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&=\frac{(3,654\cdot 10^8)^{-3}-(4,067\cdot 10^8)^{-3}}{(4,067\cdot 10^8)^{-3}}\\
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&\simeq0,38\equiv 38\%
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\end{align*}
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Ce rapport n'est de loin pas négligeable et il faut en tenir compte.
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\medskip
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L'orbite de la Terre autour du Soleil est aussi une ellipse\index{ellipse} et la distance Terre-Soleil varie aussi. On nome \emph{périhélie}\index{perihelie@périhélie} le point de l'orbite de la terre où cette distance est minimale et \emph{aphélie}\index{aphelie@aphélie} le point le plus éloigné.
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Au périhélie (le 3 janvier) la distance Terre-Soleil vaut : \unit{1,471\cdot 10^{11}}{\metre} et à l'aphélie (le 3 juillet) \unit{1,521\cdot 10^{11}}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée solaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{solaire}&=\frac{d_{p\acute erih\acute elie}^{-3}-d_{aph\acute elie}^{-3}}{d_{aph\acute elie}^{-3}}\\
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&=\frac{(1,471\cdot 10^{11})^{-3}-(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}{(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}\\
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||||
&\simeq0,1\equiv 10\%
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\end{align*}
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Bien que plus faible que pour la Lune, ce rapport n'est pas non plus négligeable et il faut en tenir compte.
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\subsection{Marées de déclinaison\index{maree@marée!de déclinaison}}
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Jusque là, on a considéré que la lune tournait dans le plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Ce n'est en réalité pas le cas. Elle tourne dans un plan dont l'inclinaison par rapport à l'écliptique varie de $5^{\circ}$ à $5^{\circ}17'$ en oscillant sur une période de 173 jours. La symétrie axiale du champ de force de marée présentée à la figure \ref{mareechampforce}, page \pageref{mareechampforce}, évolue donc de part et d'autre de l'Équateur au cours du temps.
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C'est un rythme de plus \dots
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\subsection{Retards et marées côtières\index{maree@marée!côtière}}
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La théorie newtonienne des marées, analysée à la lumière de l'astronomie de position, permet donc une première compréhension du phénomène de marée. Elle démontre clairement que le principal acteur qui l'explique est la Lune. Mais, elle n'explique de loin pas tout. En effet, on peut noter des décalages systématiques de plusieurs dizaines d'heures entre les marées de vive (ou morte) eau et les phases de la Lune. Ce retard ne s'explique qu'en terme d'ondes.
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De plus, si les prédictions de la théorie newtonienne sont bons en haute mer, ils sont largement insuffisant près des côtes où des effets ondulatoires sont à prendre en compte.
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La théorie ondulatoire de la marée repose sur de complexes équations dites de Laplace et inaccessible dans le cadre de ce cours. Mais on peut trouver une bonne description mathématique de cette théorie dans \cite{BS07}.
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\section{Limite de Roche\index{limite de Roche}}\label{limroche}
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Les effets de marée présentés ci-dessus sont bien connus de tous puisqu'ils se manifestent clairement à nous sur les plages. Il faut aussi dire qu'il existe des marées terrestre : simultanément à la surface océanique, la lune déforme la croute terrestre\index{croute terrestre}. Et il faut savoir que ces effets sont réciproques. Si la lune exerce son influence sur la terre, la terre exerce aussi des forces de marées sur la lune et celle-ci se déforme sous leurs effets. De la même manière, le satellite io\index{io} a un volcanisme\index{volcanisme} très actif dû aux effets de marées produits sur lui par la planète jupiter.
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Tant qu'un satellite est assez éloigné de la planète qui l'attire, les effets de marée se limitent à des frictions et à des déformations. Par contre, si le satellite s'en approche trop, il peut être détruit par les tensions internes qu'il va subir. C'est ce qui explique en partie pourquoi les anneaux d'astèroïdes\index{anneaux d'astéroïde}, comme ceux de saturne\index{saturne}, ne donnent pas naissance à des satellites sous l'effet de leur attraction mutuelle. La distance à partir de laquelle cela se produit est complexe à déterminer. Cependant, à l'aide de quelques approximations judicieuses, il est possible d'évaluer cette distance qui porte le nom de \emph{limite de Roche}, en hommage au physicien qui la découvrit.
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\subsection{Modèle simplifié}
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L'idée est de considérer un satellite situé à une distance $d$ d'une planète comme composé de deux corps distincts maintenus ensemble par leur action gravifique mutuelle. La figure \ref{roche} présente la situation.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{roche}}
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\includegraphics[width=6cm]{Roche.eps}
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\end{figure}
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En raison de sa plus grande proximité, la force de gravitation exercée par la planète sur la partie la plus proche du satellite est plus importante que celle exercée sur la partie la plus éloignée. En supposant que les centres de masse des deux parties du satellite sont séparés d'une distance $2\cdot r$, on peut calculer la différence de force qui s'exerce par :
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\[\Delta F=G\cdot \frac{M\cdot m}{(d-r)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{(d+r)^2}\]
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Pour simplifier cette expression, on peut écrire :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{m\cdot m}{d^2\cdot (1-r/d)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2\cdot (1+r/d)^2} \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1-r/d)^{-2})-(1+r/d)^{-2})
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\end{align*}
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En raison de la relation (de développement limité) suivante :
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\[(1+x)^p\simeq 1+p\cdot x\]
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et du fait que $r\ll d$, on peut réécrire la différence de force :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1+2\cdot r/d)-(1-2\cdot r/d)) \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot 4\cdot r/d \\
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&=4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r
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||||
\end{align*}
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\medskip
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||||
D'autre part, la force de cohésion gravitationnelle entre les deux parties du satellite est donnée par :
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\[F_c=G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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||||
Mais, le satellite est détruit quand la différence de force gravitationnelle (force de marée) produite par la planète sur le satellite est plus grande que la force de cohésion, c'est-à-dire :
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||||
\[4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r > G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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||||
En utilisant les masses volumiques des deux corps $\rho_p$, pour la planète et $\rho_s$, pour le satellite, on a :
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\begin{align*}
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M&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3\cdot \rho_p \\
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m&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot \rho_s
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\end{align*}
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||||
où $R$ est le rayon de la planète. Cela permet d'écrire :
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\begin{align*}
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4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p\cdot r^3\cdot \rho_s}{d^3}\cdot r &> \frac{(r^3\cdot \rho_s)^2}{4\cdot r^2} \\
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||||
4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p}{d^3} &> \frac{\rho_s}{4} \\
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||||
16\cdot R^3\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s} &> d^3 \\
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||||
d &< R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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||||
\end{align*}
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avec finalement l'expression de la limite de Roche, c'est-à-dire la distance minimale par rapport à la planète à laquelle le satellite est détruit :
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\begin{equation}
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d_{roche} = R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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\end{equation}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{limitederoche}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_de_Roche} notamment pour le copyright de l'image.}}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche1.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche2.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche3.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche4.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche5.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Exemples}
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L'une des planètes les plus intéressantes du point de vue de la limite de Roche est certainement saturne en raison des ses satellites et de ses anneaux. Pour se faire une idée numérique du calcul de la limite de Roche, considérons par exemple épiméthée, l'un de ses satellites dont la masse volumique vaut :
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\[\rho_s=\unit{0,61\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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Comme la masse volumique de saturne vaut :
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\[\rho_p=\unit{0,6873\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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et que son rayon équatorial est $R=\unit{60'268}{\kilo\metre}$, on peut calculer la limite de roche :
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\begin{align*}
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d_{roche} &= R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}\\
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&= 60'268\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{0,6873\cdot 10^3}{0,61\cdot 10^3}}=\unit{158'027}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Sachant que le rayon de l'orbite d'épiméthée est de 2,51 fois le rayon de saturne, soit environ \unit{151'400}{\kilo\metre}, on peut calculer la distance d'épiméthée à saturne comme un multiple de la distance de Roche :
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\[d_{p-s}=\frac{151'400}{158'027}=0,96\]
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Épiméthée est donc à une distance de saturne correspondant à 98\% de la limite de Roche. Cela peut s'expliquer par le fait que d'autres forces de cohésion que la gravité s'exercent dans le satellite.
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Il est aussi intéressant de constater que les anneaux G et E de saturne, situés respectivement de \unit{170'000}{} à \unit{175'000}{\kilo\metre} et de \unit{181'000}{} à \unit{483'000}{\kilo\metre} de saturne, sont bien au-delà de la limite de Roche. Pour l'anneau E, il pourrait s'agir de matière volcanique éjectée par l'un des satellites de saturne : encelade.
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En réalité le calcul de la limite de Roche réelle est plus compliqué que celui présenté ci-dessus et il mène à la distance suivante :
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\begin{equation}
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d_{roche} = 2,422649865\cdot R\cdot \sqrt[3]{\frac{\rho_p}{\rho_s}}
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\end{equation}
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soit pour épiméthée la valeur de \unit{151'932}{\kilo\metre}.
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Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex~
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Annexe-Maree/Annexe-Maree.tex~
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\myclearpage
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\chapter{Marées\index{maree@marée}}\label{chapmarees}
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\section{Introduction}
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\lettrine{L}{'origine des marées} est un phénomène à la fois simple et complexe. Simple, car il suit d'assez près le mouvement de la Lune pour qu'on puisse naturellement le lui attribuer. Complexe, car il se produit aussi sur la Terre à l'opposé du zénith\index{zenith@zénith} de la Lune et il est souvent en retard sur son passage.
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Nous allons ici rappeler la simplicité du phénomène et expliquer pourquoi il se produit à la fois du côté de la Terre où se trouve la Lune et à l'opposé. L'explication des différents retards des marées sur le passage de la Lune ne sera pas abordée ici, car elle est très complexe. Une description du phénomène ayant été faite précédemment (voir paragraphe \ref{paramarees}), nous nous intéresserons ici plus particulièrement à l'aspect mathématique du phénomène, tout en expliquant le plus simplement les choses.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Marée]{Marée\label{maree}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Bay_of_Fundy.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Samuel Wantman.}}
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\includegraphics[width=6cm]{Maree.eps}
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\end{figure}
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L'analyse se fait en trois étapes. Tout d'abord, la détermination du centre de gravité\index{centre de gravité} du système Terre-Lune. Puis, le calcul de la force d'inertie\index{force!d'inertie} sur un élément de masse d'eau que l'application de la seconde loi de Newton modifiée pour des référentiels en rotation\index{referentiel@référentiel!tournant} (voir annexe \ref{relativite}) nécessite ou, d'un autre point de vue, le calcul de la pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force!centrifuge} exercée sur cet élément et enfin le calcul de son poids relatif\index{poids!relatif}. L'analyse des termes constituant le poids relatif permettra alors de préciser l'influence de la Lune et d'expliquer la présence de deux marées par jour.
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\section{Centre de gravité\index{centre de gravité}}
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Une partie du problème des marées se trouve dans le fait que le système Terre-Lune a un centre de gravité qui ne coïncide pas avec le centre de la Terre, comme le montre la figure \ref{systterrelune}.
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La notion de centre de gravité est ici relativement aisée à saisir. Imaginons deux masses \(m\) identiques situées à une distance \(d\) l'une de l'autre. On comprend bien que le centre de gravité de ce système se trouve exactement au milieu entre les masses. Maintenant, si l'une des masses double (\(M=2\cdot m\)), le centre de gravité va se rapprocher d'elle. La masse totale du système valant \(3\cdot m\), on comprend bien que la plus grande des masses compte pour deux tiers et la plus petite pour un tiers. Le centre de gravité se trouve donc à un tiers de la distance entre les corps, du côté de la plus grande masse. Depuis le centre de la plus grande masse, la distance \(r\) au centre de gravité se calcule donc ainsi :
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\begin{equation}\label{distgrav}
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r=\frac{m}{M+m}\cdot d
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\end{equation}
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(depuis le centre de la plus petite masse, la distance au centre de gravité se calcule de la même manière en remplaçant le \(m\) du numérateur de la fraction par \(M\)).
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\section{Force d'inertie}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Système Terre-Lune\label{systterrelune}}
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\input{Annexe-Maree/Images/Systterrelune.pst}
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\end{figure}
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En substance, le problème des marées est posé par la rotation d'une masse \(m\) d'eau non pas autour du centre de la Terre, mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Il s'agit d'un mouvent circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire uniforme} et l'une des composantes de la seconde loi de Newton est l'accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète} \(a_c\) de cette masse. On peut l'exprimer sous différentes formes présentées dans l'équation \ref{acccentr} :
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\begin{equation}\label{acccentr}
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a_c=\frac{v^2}{R}=\omega^2\cdot R
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\end{equation}
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où \(v\) est la vitesse linéaire\index{vitesse!linéaire} de la masse \(m\) d'eau, \(R\) la distance du centre de gravité à la masse \(m\) et \(\omega\) sa vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}. En effet, l'équation \ref{vomegar}, page \pageref{vomegar} montre que la vitesse linéaire d'un corps tournant en mouvement circulaire uniforme vaut \(v=\omega\cdot R\) avec pour unité \([\omega]=\radian\per\second\).
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\subsection{Vitesse angulaire\index{vitesse!angulaire}}
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Or, la vitesse linéaire de la masse d'eau n'est pas celle qui résulte de sa rotation diurne autour du centre de la Terre, mais celle correspondant au déplacement de \(m\) sous l'influence de la Lune, c'est-à-dire celle correspondant à sa rotation autour du centre de gravité du système Terre-Lune. Avec les grandeurs présentées à la figure \ref{systterrelune} et l'équation \ref{distgrav}, le calcul de la vitesse angulaire \(\omega\) de ce dernier est le suivant :
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\begin{align}
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F&=M_L\cdot \omega^2\cdot R\nonumber\\
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G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-r)\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2}&=M_L\cdot \omega^2\cdot (d_{T-L}-\frac{M_L\cdot d_{T-L}}{M_L+M_T})\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^2}&=\omega^2\cdot d_{T-L}\cdot (1-\frac{M_L}{M_L+M_T})\nonumber\\
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||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_L+M_T-M_L}{M_L+M_T}\nonumber\\
|
||||
G\cdot \frac{M_T}{d_{T-L}^3}&=\omega^2\cdot \frac{M_T}{M_L+M_T}\nonumber\\
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||||
\omega^2&=G\cdot \frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\label{omega}
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||||
\end{align}
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\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Système Terre-Lune-eau\label{systterreluneeau}}
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\input{Annexe-Maree/Images/Systterreluneeau.pst}
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\end{figure}
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On peut alors calculer la force d'inertie à ajouter à la seconde loi de Newton dans le cas de référentiels en rotation, puisque le référentiel lié au centre de la Terre est en rotation autour du centre de masse du système Terre-Lune. En considérant la distance du centre de gravité au centre de la Terre :
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\[r=\frac{M_L}{M_T+M_L}\cdot d_{T-L}\]
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||||
et l'équation \ref{omega}, on peut écrire cette force sous la forme :
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\begin{align}
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||||
F_{in}&=m\cdot \omega^2\cdot r\nonumber\\
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||||
&=m\cdot G\frac{M_L+M_T}{d_{T-L}^3}\cdot \frac{M_L}{M_L+M_T}\cdot d_{T-L}\nonumber\\
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||||
&=m\cdot G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}\label{forceinertie}
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||||
\end{align}
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\section{Poids relatif\index{poids!relatif}}
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On peut maintenant calculer le poids relatif à l'aide de la seconde loi de Newton. La masse d'eau \(m\) est en équilibre statique dans le référentiel lié au centre de la Terre et son accélération est nulle. On peut s'imaginer cette masse comme posée sur une balance. Les forces qui s'exercent sur elle sont son poids \(P\), correspondant à l'attraction de la Terre, l'attraction \(F_L\) de la Lune, la force d'inertie\index{force!d'inertie} \(F_{in}\) et la réaction \(R\) de la balance\index{balance} qui constitue le poids apparent de la masse d'eau. Si on choisit un axe dirigé vers le centre de la Terre, on peut ainsi écrire :
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\begin{equation}\label{Newacc}
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\sum F=P-R-F_L+F_{in}=0(=m\cdot a_m)
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\end{equation}
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||||
Soit, en utilisant la loi de la gravitation universelle et l'équation \ref{forceinertie} dans l'équation \ref{Newacc} :
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\begin{align}
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||||
P-R-G\frac{M_L\cdot m}{(d_{T-L}-R_T)^2}+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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||||
P-R-\nonumber\\
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||||
G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})+G\frac{M_L}{d_{T-L}^2}&=0\label{DLmaree}\\
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||||
P-R-G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}-\nonumber\\
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||||
2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T+G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^2}&=0\nonumber\\
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||||
P-R-2\dot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T&=0\label{secondeloimaree}
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||||
\end{align}
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Pour établir l'équation \ref{DLmaree}, on a utilisé le développement limité : \((1+x)^p\simeq1+p\cdot x\).
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\begin{align*}
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\frac{1}{(d_{T-L}-R_T)^2}&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot \frac{1}{(1-R_T/d_{T-L})^2}\\
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&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1-R_T/d_{T-L})^{-2}\\
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||||
&\simeq \frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+(-2)\cdot (-\frac{R_T}{d_{T-L}}))\\
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||||
&=\frac{1}{d_{T-L}^2}\cdot (1+\frac{2\cdot R_T}{d_{T-L}})
|
||||
\end{align*}
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||||
En réorganisant les termes de l'équation \ref{secondeloimaree}, on obtient finalement la force de réaction d'une balance qu'on placerait sous la masse \(m\) d'eau :
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\begin{equation}\label{forcedemareebalance}
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R=P-2\cdot G\frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T
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\end{equation}
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Cette équation se comprend par l'action du poids \(P\) sur la masse d'eau \(m\) et par une force, dite force de marée\index{force!de marée}, opposée au poids et qui soulève la masse.
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\bigskip
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La force de marée de l'équation \ref{forcedemareebalance} correspond à la force donnée par l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et le développement ci-dessus en constitue une démonstration.
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L'analyse du rapport des forces de marées lunaire et solaire qui suit l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et qui est issue de la forme de l'équation \ref{forcedemareebalance}, constitue aussi une suite logique au calcul présenté ci-dessus que nous ne reprendrons pas ici.
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\section{Analyse différentielle}
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Le cadre de l'analyse présentée ci-dessus est celui de la seconde loi de Newton. Insistons sur le fait que l'ensemble des forces considérées s'exercent sur le même système, soit la masse $m$ d'eau. Cette analyse est donc cohérente avec la formulation de la seconde loi qui s'applique sur un système de masse \(m\).
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On va maintenant présenter une autre analyse du problème qui est moins consistante puisque les forces qu'elle utilise ne s'appliquent pas sur un système unique. Cependant, non seulement elle mène au même résultat, mais encore elle permet de mettre en évidence le caractère différentiel des forces de marées, caractère qui apparaitra alors plus clair dans l'étude des forces de marées exercées sur des satellites comme Io autour de Jupiter. La notion de limite de Roche pourra donc être mieux abordée au paragraphe \ref{limroche}.
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\section{Autres rythmes}
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L'explication de la présence de deux marées par jour (\emph{dites de pleines\index{pleine mer} et basses mers\index{basse mer}}) ne constitue qu'une partie de la compréhension du phénomène de marée. Même dans le cadre de la théorie de Newton, et sans entrer dans la théorie ondulatoire, d'autres périodes sont associées aux marées. Dans ce paragraphe on va entrer dans ce qu'on peut appeler la dimension astronomique du phénomène. Évidemment, c'est la gravitation qui reste le moteur des influences. Mais celles-ci varient en fonction de la position des astres.
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\subsection{Décalages}
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Une première conséquence du mouvement relatif de la Lune sur les marées se présente sous la forme d'un déplacement perpétuel des heure de pleine et basse mer. Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, les pleine\index{pleine mer} et basse\index{basse mer} mer auraient lieu toujours au même moment dans la journée. Ce n'est pas le cas en raison du déplacement de la Lune autour de la Terre. En effet, comme le montre la figure \ref{decalage}, pendant que la Terre fait un tour sur elle-même en vingtquatre heures, la lune se déplace. Comme cette dernière fait un tour autour de la Terre en trente jours, en vingt quatre heures, c'est-à-dire en une journée, la Lune parcours un angle de \(360/30=12^{\circ}\). Au bout de vingt quatre heures, une personne située au point \(P\) ne verrait plus la Lune au zénith\index{zenith@zénith} (au-dessus d'elle). Il lui faudrait parcourir encore un angle de \(12^{\circ}\) pour cela. Comme la terre parcours \unit{360}{\degree} en vingt quatre heures, il lui faut encore attendre \unit{48}{minutes} pour se retrouver en situation de pleine mer. Chaque jour, les pleines et basses mers se produisent avec environ cinquante minutes de retard sur le jour précédent.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Décalage horaire]{Décalage horaire de la marée\label{decalage} \par \scriptsize{Une cinquantaine de minutes chaque jour.}}
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\includegraphics[width=6cm]{Decalages.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Marées de vives et mortes eaux\index{maree@marée!de vives et mortes eaux}}
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Le marnage\index{marnage}, la différence de hauteur d'eau entre une pleine et une basse mer, varie dans le temps. Chaque mois, on constate un marnage maximum (marée de vive eau\index{vive eau}) et un minimum (marée de morte eau\index{morte eau}). On remarque aussi que ces marées particulières correspondent à certaines phases de la lune (voir la figure \ref{phasesdelalune}, page \pageref{phasesdelalune}) : lors des nouvelle\index{nouvelle lune} et pleine lune\index{pleine lune}, la marée est de vive eau et lors des quartiers, elle est de morte eau.
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Comme les phases de la Lune correspondent à des positions particulières de notre satellite par rapport à l'axe Terre-Soleil, on peut en trouver une explication dans le rapport des actions gravifiques de la Lune et du Soleil. Comme on l'a vu (voir \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}), ce rapport est défavorable au Soleil, dont la masse est plus grande que celle de la Lune, mais qui se trouve plus loin que la Lune, en raison de la dépendance en \(1/d^3\) de la force de marée. Mais, même si elle est moins importante que celle de la Lune, l'action du Soleil existe.
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\begin{figure}[t]
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\caption[Vives et mortes eaux]{Marées de vives et mortes eaux\label{vivemorteeau} \par \scriptsize{Représentation dans le plan écliptique.}}
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\includegraphics[width=6cm]{ViveMorteEau.eps}
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\end{figure}
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L'explication est simple. Comme le montre la figure \ref{vivemorteeau}, quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés, les forces lunaires et solaires s'additionnent. On a des marées de vives eaux à la nouvelle et à la pleine lune. Par contre, aux premiers et derniers quartiers, les actions de la Lune et du Soleil ne se produisent pas dans le même axe et les marées sont de basses eaux.
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\subsection{Marées d'équinoxes\index{maree@marée!d'équinoxe}}
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On entend souvent parler des ``grandes marées d'équinoxes''. On se limitera ici à évoquer le phénomène, car il ne trouve une explication convainquante que dans la théorie ondulatoire des marées. Tout se passe comme si la force de marée exercée par le Soleil était maximale quand l'axe de rotation de la Terre est perpendiculaire à la direction Terre-Soleil. Si on considère que la direction de cet axe reste fixe dans l'espace, la figure \ref{saisonsperso}, page \pageref{saisonsperso}, présente la situation : aux solstices\index{solstice}, l'angle \(\alpha\simeq \unit{66,5}{\degree}\), alors qu'aux équinoxes\index{equinoxe@équinoxe}, il vaut \unit{90}{\degree}. Pour bien s'en rendre compte, il faut considérer le plan constitué par l'axe de rotation de la Terre et le Soleil aux solstices. Ce plan est perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Mais si aux solstices l'axe de rotation de la Terre fait un angle non droit avec la direction Terre-Soleil, aux équinoxes cet angle est droit car ce plan est perpendiculaire à l'écliptique.
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\subsection{Marées de périgée et périhélie\index{maree@marée!de périgée}\index{maree@marée!de périhélie}}
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On sait grâce à Kepler (voir le paragraphe \ref{loiskepler}, page \pageref{loiskepler}) que l'orbite de la Lune est une ellipse\index{ellipse}. Cela signifie que la distance Terre-Lune varie. On nomme \emph{périgée}\index{perigee@périgée} le point de l'orbite de la Lune où cette distance est minimale et \emph{apogée}\index{apogee@apogée} celui où elle est maximale.
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Au périgée, la distance Terre-Lune vaut : \unit{3,654\cdot 10^8}{\metre} et à l'apogée \unit{4,067\cdot 10^8}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée lunaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{lunaire}&=\frac{d_{p\acute erig\acute ee}^{-3}-d_{apog\acute ee}^{-3}}{d_{apo\acute ee}^{-3}}\\
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&=\frac{(3,654\cdot 10^8)^{-3}-(4,067\cdot 10^8)^{-3}}{(4,067\cdot 10^8)^{-3}}\\
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&\simeq0,38\equiv 38\%
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\end{align*}
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Ce rapport n'est de loin pas négligeable et il faut en tenir compte.
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\medskip
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L'orbite de la Terre autour du Soleil est aussi une ellipse\index{ellipse} et la distance Terre-Soleil varie aussi. On nome \emph{périhélie}\index{perihelie@périhélie} le point de l'orbite de la terre où cette distance est minimale et \emph{aphélie}\index{aphelie@aphélie} le point le plus éloigné.
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Au périhélie (le 3 janvier) la distance Terre-Soleil vaut : \unit{1,471\cdot 10^{11}}{\metre} et à l'aphélie (le 3 juillet) \unit{1,521\cdot 10^{11}}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée solaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut :
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\begin{align*}
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\Delta F_{mar\acute ee}^{solaire}&=\frac{d_{p\acute erih\acute elie}^{-3}-d_{aph\acute elie}^{-3}}{d_{aph\acute elie}^{-3}}\\
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&=\frac{(1,471\cdot 10^{11})^{-3}-(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}{(1,521\cdot 10^{11})^{-3}}\\
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||||
&\simeq0,1\equiv 10\%
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||||
\end{align*}
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Bien que plus faible que pour la Lune, ce rapport n'est pas non plus négligeable et il faut en tenir compte.
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\subsection{Marées de déclinaison\index{maree@marée!de déclinaison}}
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Jusque là, on a considéré que la lune tournait dans le plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Ce n'est en réalité pas le cas. Elle tourne dans un plan dont l'inclinaison par rapport à l'écliptique varie de \(5^{\circ}\) à \(5^{\circ}17'\) en oscillant sur une période de 173 jours. La symétrie axiale du champ de force de marée présentée à la figure \ref{mareechampforce}, page \pageref{mareechampforce}, évolue donc de part et d'autre de l'Équateur au cours du temps.
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C'est un rythme de plus \dots
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\subsection{Retards et marées côtières\index{maree@marée!côtière}}
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La théorie newtonienne des marées, analysée à la lumière de l'astronomie de position, permet donc une première compréhension du phénomène de marée. Elle démontre clairement que le principal acteur qui l'explique est la Lune. Mais, elle n'explique de loin pas tout. En effet, on peut noter des décalages systématiques de plusieurs dizaines d'heures entre les marées de vive (ou morte) eau et les phases de la Lune. Ce retard ne s'explique qu'en terme d'ondes.
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De plus, si les prédictions de la théorie newtonienne sont bons en haute mer, ils sont largement insuffisant près des côtes où des effets ondulatoires sont à prendre en compte.
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La théorie ondulatoire de la marée repose sur de complexes équations dites de Laplace et inaccessible dans le cadre de ce cours. Mais on peut trouver une bonne description mathématique de cette théorie dans \cite{BS07}.
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\section{Limite de Roche\index{limite de Roche}}\label{limroche}
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Les effets de marée présentés ci-dessus sont bien connus de tous puisqu'ils se manifestent clairement à nous sur les plages. Il faut aussi dire qu'il existe des marées terrestres : simultanément à la surface océanique, la Lune déforme la croute terrestre\index{croute terrestre}. Et il faut savoir que ces effets sont réciproques. Si la Lune exerce son influence sur la Terre, la Terre exerce aussi des forces de marée sur la Lune et celle-ci se déforme sous leurs effets. De la même manière, le satellite Io\index{Io} a un volcanisme\index{volcanisme} très actif dû aux effets de marées produits sur lui par la planète Jupiter.
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Tant qu'un satellite est assez éloigné de la planète qui l'attire, les effets de marée se limitent à des frictions et à des déformations. Par contre, si le satellite s'en approche trop, il peut être détruit par les tensions internes qu'il va subir. C'est ce qui explique en partie pourquoi les anneaux d'astèroïdes\index{anneaux d'astéroïde}, comme ceux de Saturne\index{Saturne}, ne donnent pas naissance à des satellites sous l'effet de leur attraction mutuelle. La distance à partir de laquelle cela se produit est complexe à déterminer. Cependant, à l'aide de quelques approximations judicieuses, il est possible d'évaluer cette distance, qui porte le nom de \emph{limite de Roche} en hommage au physicien qui la découvrit.
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\subsection{Modèle simplifié}
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L'idée est de considérer un satellite situé à une distance \(d\) d'une planète comme composé de deux corps distincts maintenus ensemble par leur action gravifique mutuelle. La figure \ref{roche} présente la situation.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{roche}}
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\includegraphics[width=6cm]{Roche.eps}
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\end{figure}
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En raison de sa plus grande proximité, la force de gravitation exercée par la planète sur la partie du satellite la plus proche d'elle est plus importante que celle exercée sur la partie la plus éloignée. En supposant que les centres de masse des deux parties du satellite sont séparés par une distance \(2\cdot r\), on peut calculer la différence de force qui s'exerce :
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\[\Delta F=G\cdot \frac{M\cdot m}{(d-r)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{(d+r)^2}\]
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Pour simplifier cette expression, on peut écrire :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{m\cdot m}{d^2\cdot (1-r/d)^2}-G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2\cdot (1+r/d)^2} \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1-r/d)^{-2})-(1+r/d)^{-2})
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\end{align*}
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En raison de la relation (de développement limité) suivante :
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\[(1+x)^p\simeq 1+p\cdot x\]
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et du fait que \(r\ll d\), on peut réécrire la différence de force :
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\begin{align*}
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\Delta F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot ((1+2\cdot r/d)-(1-2\cdot r/d)) \\
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||||
&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\cdot 4\cdot r/d \\
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||||
&=4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r
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||||
\end{align*}
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\medskip
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||||
D'autre part, la force de cohésion gravitationnelle entre les deux parties du satellite est donnée par :
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\[F_c=G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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Mais, le satellite est détruit quand la différence de force gravitationnelle (force de marée) produite par la planète sur le satellite est plus grande que la force de cohésion, c'est-à-dire :
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\[4\cdot G\cdot \frac{M\cdot m}{d^3}\cdot r > G\cdot \frac{m\cdot m}{(2\cdot r)^2}\]
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\medskip
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||||
En utilisant les masses volumiques des deux corps, \(\rho_p\) pour la planète et \(\rho_s\) pour le satellite, on a :
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\begin{align*}
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M&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3\cdot \rho_p \\
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||||
m&=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot \rho_s
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||||
\end{align*}
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||||
où \(R\) est le rayon de la planète. Cela permet d'écrire :
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||||
\begin{align*}
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4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p\cdot r^3\cdot \rho_s}{d^3}\cdot r &> \frac{(r^3\cdot \rho_s)^2}{4\cdot r^2} \\
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||||
4\cdot \frac{R^3\cdot \rho_p}{d^3} &> \frac{\rho_s}{4} \\
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||||
16\cdot R^3\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s} &> d^3 \\
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||||
d &< R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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||||
\end{align*}
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||||
avec finalement l'expression de la limite de Roche, c'est-à-dire la distance minimale, par rapport à la planète, à laquelle le satellite est détruit :
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||||
\begin{equation}
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||||
d_{Roche} = R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}
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||||
\end{equation}
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Limite de Roche]{Limite de Roche\label{limitederoche}\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_de_Roche} notamment pour le copyright de l'image.}}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche1.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche2.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche3.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche4.eps}
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\includegraphics[width=6cm]{LimiteRoche5.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Exemples}
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L'une des planètes les plus intéressantes du point de vue de la limite de Roche est certainement Saturne en raison des ses satellites et de ses anneaux. Pour se faire une idée numérique du calcul de la limite de Roche, considérons par exemple Épiméthée, l'un de ses satellites dont la masse volumique vaut :
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\[\rho_s=\unit{0,61\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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||||
Comme la masse volumique de Saturne vaut :
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||||
\[\rho_p=\unit{0,6873\cdot 10^3}{\kilogrampercubicmetre}\]
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||||
et que son rayon équatorial est \(R=\unit{60'268}{\kilo\metre}\), on peut calculer la limite de Roche :
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\begin{align*}
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d_{Roche} &= R\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{\rho_p}{\rho_s}}\\
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||||
&= 60'268\cdot \sqrt[3]{16\cdot \frac{0,6873\cdot 10^3}{0,61\cdot 10^3}}=\unit{158'027}{\kilo\metre}
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||||
\end{align*}
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||||
Sachant que le rayon de l'orbite d'Épiméthée est de 2,51 fois le rayon de Saturne, soit environ \unit{151'400}{\kilo\metre}, on peut calculer le rapport \(r\) de la distance d'Épiméthée-Saturne à la distance de Roche :
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||||
\[r=\frac{151'400}{158'027}=0,96\]
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Épiméthée est donc à une distance de Saturne correspondant à 96\% de la limite de Roche. Cela peut s'expliquer par le fait que d'autres forces de cohésion que la gravité s'exercent dans le satellite.
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||||
Il est aussi intéressant de constater que les anneaux G et E de Saturne, situés respectivement de \unit{170'000}{} à \unit{175'000}{\kilo\metre} et de \unit{181'000}{} à \unit{483'000}{\kilo\metre} de Saturne, sont bien au-delà de la limite de Roche. Pour l'anneau E, il pourrait s'agir de matière volcanique éjectée par Encelade, l'un des satellites de Saturne.
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||||
En réalité le calcul de la limite de Roche réelle est plus compliqué que celui présenté ci-dessus et il mène à la distance suivante :
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\begin{equation}
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d_{roche} = 2,422649865\cdot R\cdot \sqrt[3]{\frac{\rho_p}{\rho_s}}
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\end{equation}
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soit pour Épiméthée la valeur de \unit{151'932}{\kilo\metre}.
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|
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|
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|
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|
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|
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43.431915 32.949051 lineto
|
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|
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|
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|
||||
41.869414 32.724445 41.875924 32.763508 41.888947 32.812332 curveto
|
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|
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41.908477 33.045083 41.817331 33.152505 41.63504 33.246902 curveto
|
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|
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|
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41.112579 32.804198 41.29487 32.44938 41.659454 32.172684 curveto
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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49.633087 35.678543 lineto
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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153.15275 35.449093 153.20158 35.331906 153.29924 35.234245 curveto
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153.40015 35.133338 153.52059 35.082882 153.66057 35.082878 curveto
|
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153.79729 35.082882 153.91447 35.133338 154.01213 35.234245 curveto
|
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154.11304 35.331906 154.1635 35.449093 154.1635 35.585808 curveto
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|
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156.54631 39.09655 156.76604 39.272331 157.20549 39.272331 curveto
|
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|
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|
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\ifx\JPicScale\undefined\def\JPicScale{1}\fi
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|
||||
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|
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|
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|
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|
||||
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|
||||
\psline[linewidth=0.15]{<->}(15.3,12.1)(23.7,12.1)
|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
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196
Annexe-Maree/Images/Systterreluneeau.pst
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196
Annexe-Maree/Images/Systterreluneeau.pst
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||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(29.5,8.5)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$R$
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||||
%</text>
|
||||
%</jpic>
|
||||
%%End JPIC-XML
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||||
%PSTricks content-type (pstricks.sty package needed)
|
||||
%Add \usepackage{pstricks} in the preamble of your LaTeX file
|
||||
%You can rescale the whole picture (to 80% for instance) by using the command \def\JPicScale{0.8}
|
||||
\ifx\JPicScale\undefined\def\JPicScale{1}\fi
|
||||
\psset{unit=\JPicScale mm}
|
||||
\psset{linewidth=0.3,dotsep=1,hatchwidth=0.3,hatchsep=1.5,shadowsize=1,dimen=middle}
|
||||
\psset{dotsize=0.7 2.5,dotscale=1 1,fillcolor=black}
|
||||
\psset{arrowsize=1 2,arrowlength=1,arrowinset=0.25,tbarsize=0.7 5,bracketlength=0.15,rbracketlength=0.15}
|
||||
\begin{pspicture}(0,0)(57.8,29.36)
|
||||
\rput{0}(15.23,15.18){\psellipse[](0,0)(14.18,14.18)}
|
||||
\rput{0}(54.7,14.8){\psellipse[](0,0)(3.1,3.1)}
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{<->}(15.6,20.4)(55.4,20.4)
|
||||
\psline[linewidth=0.2,linestyle=dashed,dash=1 1](23.8,29.1)(23.8,1)
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{<->}(14.7,14.4)(5.8,5.5)
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{<->}(14.8,14.6)(23.2,14.6)
|
||||
\rput{0}(23.8,14.66){\psellipse[fillstyle=solid](0,0)(0.36,0.36)}
|
||||
\rput(11.1,22.9){$M_T$}
|
||||
\rput(19.4,13.3){$r$}
|
||||
\rput(41,22.5){$d_{T-L}$}
|
||||
\rput(54.7,9.1){$M_L$}
|
||||
\rput{0}(23.88,24.02){\psellipticarc[linewidth=0.15](0,0)(2.38,2.38){-160.85}{-19.15}}
|
||||
\rput(7.7,11.6){$R_T$}
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{->}(25.6,22.4)(26.1,23.2)
|
||||
\pspolygon[](29.3,16.9)(30.2,16.9)(30.2,12.4)(29.3,12.4)
|
||||
\rput{0}(31.9,14.7){\psellipse[](0,0)(1.6,1.6)}
|
||||
\psline{->}(31.9,14.7)(26.1,14.7)
|
||||
\psline{->}(31.8,15.6)(36,15.6)
|
||||
\psline{->}(31.7,13.9)(41.3,13.9)
|
||||
\rput(37.6,16.6){$\overrightarrow{R}$}
|
||||
\rput(44.3,14.2){$\overrightarrow{F_L}$}
|
||||
\rput(26.7,17.4){$\overrightarrow{P}$}
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{<->}(24,10.7)(32,10.7)
|
||||
\rput(29.5,8.5){$R$}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
2766
Annexe-Maree/Images/ViveMorteEau.eps
Normal file
2766
Annexe-Maree/Images/ViveMorteEau.eps
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@ -0,0 +1,71 @@
|
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\relax
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\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {N}M\IeC {\'e}canique diff\IeC {\'e}rentielle}{181}}
|
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
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|
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|
||||
\newlabel{cinemadiff}{{N.2}{181}}
|
||||
\newlabel{posvitaccdiff}{{N.4}{181}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {N.2.1}Exemples}{182}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Mouvement rectiligne uniform\IeC {\'e}ment acc\IeC {\'e}l\IeC {\'e}r\IeC {\'e} : MRUA}{182}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Port\IeC {\'e} maximum en balistique}{182}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {N.3}Dynamique}{183}}
|
||||
\newlabel{diffma}{{N.7}{183}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {N.3.1}Int\IeC {\'e}gration}{183}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Chute libre}{183}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Freinage}{183}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {N.3.2}\IeC {\'E}quation diff\IeC {\'e}rentielle}{184}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Chute dans un fluide visqueux}{184}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {N.1}{\ignorespaces Chute soumise \IeC {\`a} un frottement visqueux}}{184}}
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\newlabel{chutevisqueuse}{{N.1}{184}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Mouvement harmonique}{185}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {N.2}{\ignorespaces Chute visqueuse}}{185}}
|
||||
\newlabel{figchutevisqueuse}{{N.2}{185}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {N.3}{\ignorespaces Masse oscillante}}{185}}
|
||||
\newlabel{masseoscillante}{{N.3}{185}}
|
||||
\newlabel{cond_init}{{N.8}{186}}
|
||||
\newlabel{ressortposition}{{N.9}{186}}
|
||||
\newlabel{ressortvitesse}{{N.10}{186}}
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||||
\newlabel{ressort1ersol}{{N.11}{186}}
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||||
\newlabel{ressortvitmax}{{N.12}{186}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Mouvement harmonique d'une masse pendante}{187}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {N.4}{\ignorespaces Masse suspendue}}{187}}
|
||||
\newlabel{massesuspendue}{{N.4}{187}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {N.5}{\ignorespaces Masse oscillante suspendue}}{187}}
|
||||
\newlabel{masseoscillantesuspendue}{{N.5}{187}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Mouvement non lin\IeC {\'e}aire}{187}}
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||||
\newlabel{non-lineaire}{{N.14}{187}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-MecaniqueDifferentielle/Annexe-MecaniqueDifferentielle}{
|
||||
\setcounter{page}{189}
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\setcounter{equation}{14}
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}
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||||
@ -0,0 +1,343 @@
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\myclearpage
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||||
\chapter{Mécanique différentielle}
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%\minitoc
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||||
\section{Introduction}
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||||
Newton,avec Leibnitz, est considéré comme l'un des deux premiers auteurs du calcul différentiel et intégral. La théorie physique qu'il a développée nécessitait en effet de nouveaux outils pour apréhender les relations entre position, vitesse et accélération. Nous allons développer dans ce chapitre cette approche particulière de la mécanique. Naturellement, elle nécessite des connaissances en mathématiques qui peuvent être assez avancées. Celles-ci seront supposées connues, car il est impossible d'en faire l'exposé dans ce cours.
|
||||
|
||||
\section{Cinématique}\label{cinemadiff}
|
||||
Les rapports mathématiques entretenu entre la position, la vitesse et l'accélération ont été esquissés à travers les équations \ref{vitinstant} et \ref{accinstant} qui sont rappelées ci-dessous :
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||||
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||||
\begin{equation}
|
||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Mathématiquement, ces deux limites représentent des dérivées. Plus précisément, on peut dire que la vitesse est la dérivée de la position en fonction du temps et que l'accélération est la dérivée de la vitesse en fonction du temps. Dans les deux cas, la variable par rapport à laquelle on dérive est le temps.\\
|
||||
C'est une des raison de la notation $\frac{d}{dt}$ qui précise que la dérivée se fait par rapport au temps. Une autre notation existe. On la dit de Newton. Mais elle ne fait que sous entendre la dérivation par rapport au temps : $\dot x$ et $\dot v$. Évidemment, si la vitesse est la dérivée de la position et que l'accélération est la dérivée de la vitesse, l'accélération est la seconde dérivée de la position par rapport au temps, ce qui s'exprime ainsi :
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
v(t)=\frac{dx}{dt}\;\mbox{ et }\;a(t)=\frac{dv}{dt}\;\Rightarrow\;a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
ou en notation de Newton :
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
v(t)=\dot x\;\mbox{ et }\;a(t)=\dot v\;\Rightarrow\;a(t)=\ddot x \label{posvitaccdiff}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
|
||||
D'autre part, autant on peut dériver pour passer de la position à l'accélération, autant on peut intégrer pour passer de l'accélération à la position. Le fait que l'intégration constitue l'opération inverse de la dérivée le justifie. Ainsi, on a :
|
||||
\begin{equation}
|
||||
v(t)=\int a(t)dt+v_o\;\mbox{ et }\;x(t)=\int v(t)dt+x_o
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Ou $v_o$ et $x_o$ sont les constantes inévitables d'un intégration indéfinie et représentent la vitesse et la position initiales. Bien entendu, on peut intégrer deux fois l'accélération pour obtenir la position.\\
|
||||
Il faut relever aussi la possibilité d'utiliser une intégrale définie :
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
v(t)=\int_{t_o}^t a(t)dt\;\mbox{ et }\;x(t)=\int_{t_o}^t v(t)dt
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Le fait qu'on puisse calculer la position, respectivement la vitesse, en intégrant la vitesse, respectivement l'accélératrion, constitue une généralisation du porblème du calcul de celui-ci par l'aire sous le graphe horaire de la vitesse, respectivement de l'accélération. En effet, calculer l'intégrale définie de la vitesse, respectivement de l'accélération, n'est en fin de compte que calculer l'aire sous leurs graphes horaires entre deux instants $t$ et $t_o$ donnés. Cela constitue une des propriétés mathématiques de l'intégrale. La généralisation tient au fait que l'horaire de la vitesse ou de l'accélération peut être n'importe quelle fonction, alors que précédemment, nous avions dû nous limiter aux fonctions simples telles que les fonctions constantes, linéaires et affines.
|
||||
|
||||
\subsection{Exemples}
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\subsubsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré : MRUA}
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||||
Déterminons les équations de son mouvement.
|
||||
On a :
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||||
\[a(t)=a_o=constante\]
|
||||
Ainsi, par intégration définie entre $t_o$ et $t$ :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v(t)&=\int_{t_o}^t a_o dt=a_0 \int_{t_o}^t dt=a_o\cdot t|_{t_o}^t=\\
|
||||
&=a_o (t-t_o)=a_o t-a_o t_o=a_o t+v_o
|
||||
\end{align*}
|
||||
car, à $t=0$, on a que $v(t)=v_o$, et par conséquent $-a_o t_o=v_o$.
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Ainsi, on obtient bien :
|
||||
\[v(t)=a_o\cdot t + v_o\]
|
||||
|
||||
Ce qui donne pour la position :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t)&=\int_{t_o}^t (a_o t+v_o)dt\\
|
||||
&=a_o \int_{t_o}^t t\cdot dt+\int_{t_o}^t v_o\cdot dt=\\
|
||||
&=\frac{1}{2}a_o t^2|_{t_o}^t+v_o t|_{t_o}^t=\\
|
||||
&=\frac{1}{2}a_o (t^2-t_o^2)+v_o (t-t_o)=\\
|
||||
&=\frac{1}{2}a_o t^2+v_o t-\frac{1}{2}a_o t_o^2-v_o t_o=\\
|
||||
&=\frac{1}{2}a_o t^2+v_o t+x_o
|
||||
\end{align*}
|
||||
car, à $t=0$, on a que $x(t)=x_0$, et par conséquent $-\frac{1}{2}a_o t_o^2-v_o t_o=x_0$.
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Ainsi, on obtient bien :
|
||||
\[x(t)=\frac{1}{2}a_o t^2+v_o t+x_o\]
|
||||
|
||||
\subsubsection{Porté maximum en balistique}
|
||||
Si le calcul différentiel est intimement lié aux notions de position, vitesse et accélération, il existe des cas où son utilisation relève simplement d'un problème mathématique. Du point de vue de la physique, ces cas sont moins intéressants. Cependant, ils sont assez courant pour qu'on en donne ici un exemple simple.\\
|
||||
Il s'agit de trouver sous quel angle on doit projetter un objet soumis exclusivement à son poids (mouvement balistique : voir paragraphes \ref{balistique} et \ref{tirbalistique}) pour que sa portée soit maximale.\\
|
||||
Selon l'équation \ref{Portée}, on a :
|
||||
\[x_P=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(2\cdot \alpha)\]
|
||||
Il s'agit ici de maximiser cette portée. Plus précisément de trouver l'angle $\alpha_{max}$ pour lequel celle-ci est maximale. La fonction est ainsi la portée $x_P$ et la variable $\alpha$. On doit donc dériver $x_P$ en fonction de $\alpha$ et l'annuler :
|
||||
\[\frac{d}{d\alpha}x_P(\alpha)=0\]
|
||||
On obtient alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{dx_P}{d\alpha}&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \frac{d}{d\alpha} \sin(2\cdot \alpha)\\
|
||||
&=\frac{v_o^2}{g}\cdot 2\cdot \cos(2\cdot \alpha)=0\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
c'est-à-dire :
|
||||
\[\cos(2\cdot \alpha)=0\]
|
||||
d'où finalement :
|
||||
\[2\cdot \alpha=\pi{}\;\;\Rightarrow\;\;\alpha=\pi{}/2=45^\circ\]
|
||||
Bien évidemment ce résultat n'est valable que pour un mouvement balistique, pour lequel l'objet n'est soumis à aucun frottement.
|
||||
|
||||
\section{Dynamique}
|
||||
Le rapport différentiel entre la position, la vitesse et l'accélération implique deux types de traitement mathématique de la seconde loi de Newton pour déterminer la vitesse ou la position d'un objet à partir de la connaissance des forces qui s'exercent sur lui.
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Pour bien les comprendre, relevons tout d'abord encore une fois l'expression de la seconde loi de Newton. On a :
|
||||
\[\sum F^{ext}=m\cdot a\]
|
||||
Cela peut aussi s'écrire :
|
||||
\[m\cdot a=\sum F^{ext}\]
|
||||
ou, en raison des relations différentielles \ref{posvitaccdiff} entre la position, la vitesse et l'accélération :
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\fbox{$\displaystyle m\cdot \dot v=m\cdot \ddot x=\sum F^{ext}$} \label{diffma}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Manifestement, cette équation est différentielle. Si le membre de droite de l'équation ne dépend ni de la vitesse, ni de la position, sa résolution se fait simplement par intérgration. Par contre, s'il dépend de l'une ou l'autre de ces deux grandeurs, on aura alors à traiter une équation différentielle.
|
||||
|
||||
\subsection{Intégration}
|
||||
C'est le cas le plus simple. La partie gauche de l'équation \ref{diffma} est une fonction explicite du temps. On peut donc écrire :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
m\cdot \dot v&=\sum F^{ext}\;\;\Rightarrow \\
|
||||
v&=\frac{1}{m}\cdot \int \sum F^{ext} dt\;\;\Rightarrow \\
|
||||
x&=\int v\cdot dt
|
||||
\end{align*}
|
||||
Mais, pour mieux le comprendre, considérons des exemples simples.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Chute libre}
|
||||
Dans ce cas l'équation \ref{diffma} s'écrit :
|
||||
\[m\cdot \dot v=m\cdot g\]
|
||||
D'où, par intégration :
|
||||
\[v=\int g\cdot dt+c=g\cdot t+v_o\]
|
||||
en raison des conditions initiales qui impliquent par exemple que :
|
||||
\[v(t=0)=v_o\]
|
||||
Puis, on intégre un fois de plus :
|
||||
\[x=\int (g\cdot t+v_o)\cdot dt+c'=\frac{1}{2}gt^2+v_ot+x_o\]
|
||||
toujours en raison des conditions initiales.
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||||
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\subsubsection{Freinage}
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On considère une voiture par exemple qui décélère sous l'effet de la force de frottement exercée par la route sur les pneux. On peut écrire :
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\[m\cdot \dot v=-\mu_o\cdot mg\]
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||||
D'où, par intégration :
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\[v=-\frac{1}{m}\int \mu_o\cdot mg\cdot dt+c=-\mu_o\cdot g\cdot t+v_o\]
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et :
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\[x=-\frac{1}{2}\mu_og\cdot t^2+v_o\cdot t+x_o\]
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\subsection{Équation différentielle}
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Le cas se complique si la partie gauche de l'équation \ref{diffma} est une fonction de la vitesse ou de la position. Plusieurs cas sont à considérer selon le type de fonction. C'est pourquoi nous allons considérer les exemples suivants.
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\subsubsection{Chute dans un fluide visqueux}
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Il s'agit de la chute d'un objet de masse $m$ sous l'effet de son poids et d'une force de frottement de type visqueux de la forme $F_{fr}=k\cdot v$. La situation est présentée à la figure \ref{chutevisqueuse}.
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\begin{figure}[htbp]
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\caption{Chute soumise à un frottement visqueux\label{chutevisqueuse}}
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\begin{center}\includegraphics{Chutevisqueuse.eps}\end{center}
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\end{figure}
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||||
La seconde loi de Newton, s'écrit selon l'axe de la figure \ref{chutevisqueuse} :
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||||
\[P-F_{fr}=m\cdot a\]
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||||
Avec une force de frottement dépendant linéairement de la vitesse, on a :
|
||||
\[m\cdot g-k\cdot v=m\cdot a\]
|
||||
D'un point de vue différentiel, cette équation donne :
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||||
\[m\cdot g-k\cdot v=m\cdot \dot v\]
|
||||
C'est une équation différentielle du premier ordre linéaire en $v$. On peut l'écrire sous forme canonique :
|
||||
\[\dot v+\frac{k}{m}\cdot v=g\]
|
||||
La solution de cette équation différentielle est alors donnée par la somme de la solution générale de l'équation homogène (ou équation sans second membre) avec une solution particulière de l'équation complète (équation avec second membre).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Solution générale de l'équation homogène :
|
||||
\[\dot v+\frac{k}{m}\cdot v=0\]
|
||||
Techniquement, pour trouver la solution de cette équation, il vaut mieux écrire :
|
||||
\[\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}\cdot v=0\]
|
||||
Ainsi,on peut séparer les variables ($v$ et $t$) de chaque côté de l'équation :
|
||||
\begin{align*}
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||||
\frac{dv}{dt}&=-\frac{k}{m}\cdot v\;\;\Rightarrow\\
|
||||
dv&=-\frac{k}{m}\cdot v\cdot dt\;\;\Rightarrow\\
|
||||
\frac{dv}{v}&=-\frac{k}{m}\cdot dt
|
||||
\end{align*}
|
||||
Et il ne reste alors plus qu'à intégrer des deux côtés de l'équation :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int \frac{dv}{v}&=-\int \frac{k}{m}\cdot dt\;\;\Rightarrow\\
|
||||
\int \frac{1}{v}\cdot dv&=-\frac{k}{m}\int dt\;\;\Rightarrow\\
|
||||
\ln (v)&=-\frac{k}{m}\cdot t+C\;\;\Rightarrow\\
|
||||
e^{\ln (v)}&=e^{-\frac{k}{m}\cdot t+C}\;\;\Rightarrow\\
|
||||
v(t)&=e^{-\frac{k}{m}\cdot t}\cdot e^{C}\;\;\Rightarrow\\
|
||||
v(t)&=D\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot t}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Où $C$ et $D$ sont des constantes.
|
||||
\item Solution particulière de l'équation différentielle :
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||||
Deux méthodes se proposent à nous : la variation des constantes ou un essai "inspiré". Nous verrons plus loin un exemple de la première méthode. Utilisons la seconde en tentant la solution particulière :
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||||
\[v(t)=A\]
|
||||
On remplace donc cette solution, et sa dérivée $\dot v=0$, dans l'équation différentielle :
|
||||
\begin{align*}
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||||
\dot v+\frac{k}{m}\cdot v&=g\;\;\Rightarrow\\
|
||||
0+\frac{k}{m}\cdot A&=g\;\;\Rightarrow\\
|
||||
A&=\frac{m}{k}\cdot g
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Finalement, on construit la solution générale de l'équation différentielle par addition de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière trouvée :
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||||
\[v(t)=D\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot t}+\frac{m}{k}\cdot g\]
|
||||
Reste à déterminer la valeur de la constante D. Pour cela, utilisons les conditions initiales en imaginant qu'à $t=0$ la vitesse $v=0$. On a alors :
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||||
\begin{align*}
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||||
0&=D\cdot e^0+\frac{m}{k}\cdot g\;\;\Rightarrow\\
|
||||
D&=-\frac{m}{k}\cdot g
|
||||
\end{align*}
|
||||
Enfin, on peut écrire :
|
||||
\begin{align*}
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||||
v(t)&=-\frac{m}{k}\cdot g\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot t}+\frac{m}{k}\cdot g\\
|
||||
&=-\frac{m}{k}\cdot g\cdot (e^{-\frac{k}{m}\cdot t}-1)
|
||||
\end{align*}
|
||||
On vérifie bien qu'à $t=0$ la vitesse est nulle. On voit, par ailleurs, que pour $t\rightarrow\infty$, $e^{-\frac{k}{m}\cdot t}\rightarrow 0$ et la vitesse se stabilise à une valeur de
|
||||
\[v=\frac{m}{k}\cdot g\]
|
||||
A ce moment là, la force de frottement compense exactement le poids
|
||||
\[F_{fr}=k\cdot v=k\cdot \frac{m}{k}\cdot g=m\cdot g\]
|
||||
et la vitesse devient constante.\\
|
||||
On peut ainsi représenter l'évolution de la vitesse en fonction du temps de la manière présentée sur la figure \ref{figchutevisqueuse}.
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{figure}[t]
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||||
\caption{Chute visqueuse\label{figchutevisqueuse}}
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=4cm,angle=-90]{ChuteVisqueuse.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
\end{center}
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||||
\subsubsection{Mouvement harmonique}
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Le mouvement que suit une masse oscillante attachée au bout d'un ressort est utile dans bien des cas, notamment en physique du solide. C'est un mouvement qui se déroule sur un seul axe. Il est pourtant complexe, car son analyse nécessite le calcul différentiel.\\
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||||
Considérons donc la figure \ref{masseoscillante}.
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\begin{figure}[htbp]
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||||
\caption{Masse oscillante\label{masseoscillante}}
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\begin{center}\includegraphics{Masseoscillante.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
Considérons un ressort dont on marque la position détendue par o. On attache à l'extrémité de celui-ci une masse $m$ et on comprime le ressort d'une distance $x_0$. Au départ sa vitesse est nulle. On le lâche alors en même temps qu'on enclanche le chronomètre.\\
|
||||
L'équation du mouvement pour un tel système est unidimentionnelle. Elle s'écrit :
|
||||
\[\sum F^{ext}=F=-k\cdot x=m\cdot a\]
|
||||
avec un signe négatif pour la force car la situation de la figure \ref{masseoscillante} décrit une position négative de la masse. Ainsi, pour que la force soit positive, le signe négatif est nécessaire.
|
||||
En raison de la dépendance de la force en fonction de la position, il s'agit d'une équation différentielle qu'on peut réécrire ainsi :
|
||||
\[m\cdot \ddot x+k\cdot x=0\]
|
||||
Cette équation est linéaire du second ordre à coefficients constants. Elle n'a pas de second membre. On parle d'équation homogène. Sa solution passe donc uniquement par la solution de l'équation caractéristique suivante :
|
||||
\[m\cdot r^2+k=0\]
|
||||
qui se trouve être double et complexe :
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||||
\[r=\pm \sqrt{-\frac{k}{m}}=\pm \sqrt{i^2\cdot \frac{k}{m}}=\pm i\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\]
|
||||
Ainsi, la solution de l'équation différentielle se présente sous la forme :
|
||||
\[x(t)=c_1\cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)\]
|
||||
où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes à déterminer avec les conditions initiales.
|
||||
Pour cela, on peut poser :
|
||||
\begin{equation}\label{cond_init}
|
||||
x(t=0)=-x_o\;\;et\;\;v(t=0)=0
|
||||
\end{equation}
|
||||
A l'aide de la première relation \ref{cond_init}, on a :
|
||||
\[c_1=-x_o\]
|
||||
et en dérivant la position par rapport au temps pour obtenir la vitesse :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v(t)&=\frac{d}{dt}(c_1\cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t))\\
|
||||
&=-c_1\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)\\
|
||||
&+c_2\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)
|
||||
\end{align*}
|
||||
on peut aussi utiliser la seconde équation \ref{cond_init} :
|
||||
\[c_2\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}=0\;\;\Rightarrow\;\;c_2=0\]
|
||||
Ainsi, on a pour solution finale :
|
||||
\begin{equation}\label{ressortposition}
|
||||
x(t)=-x_o\cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)
|
||||
\end{equation}
|
||||
et pour la vitesse :
|
||||
\begin{equation}\label{ressortvitesse}
|
||||
v(t)=x_o\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t)
|
||||
\end{equation}
|
||||
Maintenant que nous avons les équations du mouvement, nous pouvons nous intéresser à la vitesse maximale de la masse par exemple. Deux solutions s'offrent à nous :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Par symétrie, la vitesse maximale doit être atteinte quand la masse passe par l'origine. On a donc cette vitesse $v_{max}$ quand :
|
||||
\[x(t_{max})=0\]
|
||||
Ainsi, on peut écrire à l'aide de l'équation \ref{ressortposition} :
|
||||
\[\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max})=0\]
|
||||
ce qui implique une première solution pour :
|
||||
\begin{align}\label{ressort1ersol}
|
||||
\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max}=\frac{\pi}{2}
|
||||
\end{align}
|
||||
soit un temps :
|
||||
\[t_{max}=\frac{\pi}{2}\cdot \sqrt{\frac{m}{k}}\]
|
||||
Ensuite, on peut calculer la vitesse maximale $v_{max}$ à l'aide de l'équation \ref{ressortvitesse} pour le temps $t_{max}$ :
|
||||
\begin{align}
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||||
v(t_{max})&=x_o\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max}) \nonumber \\
|
||||
&=x_o\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\frac{\pi}{2}) \nonumber \\
|
||||
&=x_o\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \label{ressortvitmax}
|
||||
\end{align}
|
||||
\item Par annulation de la dérivée de l'équation \ref{ressortvitesse}, on peut aussi obtenir la vitesse maximale $v_{max}$ :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{d}{dt}(x_o\cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max}))&=0\;\Rightarrow\\
|
||||
\frac{d}{dt}(\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max}))&=0\;\Rightarrow\\
|
||||
\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max})&=0\;\Rightarrow\\
|
||||
\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t_{max}&=\frac{\pi}{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Or cette condition est précisément celle obtenue en \ref{ressort1ersol}. La vitesse maximale est donc la même que celle en \ref{ressortvitmax}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
\subsubsection{Mouvement harmonique d'une masse pendante}
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||||
Parfois, l'équation différentielle du mouvement n'est pas homogène, c'est-à-dire qu'elle comporte un seconde membre. C'est le cas pour le système d'une masse oscillante suspendue à un ressort. Considérons donc la figure \ref{masseoscillantesuspendue}.
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||||
\begin{figure}[htbp]
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||||
\caption{Masse suspendue\label{massesuspendue}}
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||||
\begin{center}\includegraphics{Massesuspendue.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
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||||
La position d'équilibre, autour de laquelle la masse va osciller, est satisfaite par la condition d'équilibre statique :
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||||
\[-k\cdot x_{\acute eq} + m\cdot g = 0\]
|
||||
qui nous donne une position :
|
||||
\[x_{\acute eq}=\frac{m\cdot g}{k}\]
|
||||
|
||||
En considérant maintenant la figure \ref{masseoscillantesuspendue}
|
||||
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||||
\begin{figure}[htbp]
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||||
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||||
\caption{Masse oscillante suspendue\label{masseoscillantesuspendue}}
|
||||
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||||
\begin{center}\includegraphics{Masseoscillantesuspendue.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
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||||
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||||
on peut définir une nouvelle coordonnée $x'$ qui va nous permettre d'obtenir une solution oscillant autour de la position d'équilibre. On peut donc naturellement poser :
|
||||
\[x=x'+x_{\acute eq}=x'+\frac{m\cdot g}{k}\]
|
||||
L'équation du mouvement devient alors :
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||||
\[mg-kx=mg-k(x'+\frac{m\cdot g}{k})=m\cdot a\]
|
||||
C'est une équation différentielle, à coefficients constants, du second degré. Elle peut s'écrire, en terme de position :
|
||||
\[m\cdot \ddot x+k\cdot x+\frac{m\cdot g}{k}-m\cdot g=0\]
|
||||
ou, sous forme canonique :
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ddot x+\frac{k}{m}\cdot x+\frac{1-k}{k}\cdot g=0
|
||||
\end{equation}
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||||
|
||||
\subsubsection{Mouvement non linéaire}
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||||
Le dernier type de mouvement auquel nous allons nous intéresser est celui d'une masse soumise à une force de frottement non-linéaire : $F_{fr}=-k\cdot v^2$. C'est typiquement le type de force de frottement qui apparaît quand un objet tombe à grande vitesse dans l'air. Imaginons donc une masse $m$ soumise à son poids et à une telle force de frottement. La seconde loi de Newton peut s'écrire, selon un axe orienté dans le même sens que le poids :
|
||||
\[m\cdot g-k\cdot v^2=m\cdot a\]
|
||||
ou sous forme différentielle :
|
||||
|
||||
\begin{equation}\label{non-lineaire}
|
||||
m\cdot \ddot x+k\cdot \dot x^2-m\cdot g=0
|
||||
\end{equation}
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||||
|
||||
Cette équation est du second degré et non linéaire en raison de la présence de $\dot x^2$. Elle ne possède aucune solution analytique et il faut utilier l'ordinateur pour la résoudre.\\
|
||||
Cependant, pendant la chute, la force de frottement augmente progressivement jusqu'à compenser le poids. Alors la vitesse de l'objet devient constante. On la nomme vitesse limite de chute et on peut la calculer. En effet, si $v=const$, alors $a=0$ et $\ddot x=0$. L'équation \ref{non-lineaire} devient alors :
|
||||
\[k\cdot \dot x^2=m\cdot g\,\Rightarrow\,k\cdot \dot x^2=\frac{m\cdot g}{k}\]
|
||||
soit finalement :
|
||||
\[v=\dot x=\sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\]
|
||||
3722
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0 slc
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 969 596 m
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|
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% arrowhead
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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965 753 m
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gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 127.00 scf sf
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gs 1 -1 sc (fr) col0 sh gr
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% Polyline
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 980 2035 m
|
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1070 2035 l gs col0 s gr gr
|
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|
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% arrowhead
|
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n 1030 2042 m 1049 2035 l 1030 2027 l 1034 2035 l 1030 2042 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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980 2186 m
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gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
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n 900 1215 225 225 0 360 DrawEllipse gs col0 s gr
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% Polyline
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 900 1440 m
|
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900 2610 l gs col0 s gr gr
|
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|
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% arrowhead
|
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n 877 2483 m 900 2577 l 922 2483 l 900 2502 l 877 2483 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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gs clippath
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|
||||
eoclip
|
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n 900 990 m
|
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|
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|
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% arrowhead
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
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% Polyline
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 552 549 m
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552 2124 l gs col0 s gr gr
|
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|
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% arrowhead
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n 529 1997 m 552 2091 l 574 1997 l 552 2016 l 529 1997 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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gs 1 -1 sc (+) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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%%Trailer
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280
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Normal file
280
Annexe-MecaniqueDifferentielle/Images/Masseoscillante.eps
Normal file
@ -0,0 +1,280 @@
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%%EndComments
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end
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%
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%
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%
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% here starts figure with depth 50
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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405 630 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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|
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% Polyline
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% Polyline
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n 2025 1080 m
|
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1980 1170 l gs col0 s gr
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% Polyline
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n 2115 1080 m
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% Polyline
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n 2205 1080 m
|
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|
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% Polyline
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n 2295 1080 m
|
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|
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% Polyline
|
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n 2385 1080 m
|
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2340 1170 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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n 450 990 m
|
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495 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
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n 495 990 m 540 945 l 630 1035 l
|
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675 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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n 675 990 m 720 945 l 810 1035 l
|
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855 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
||||
n 855 990 m 900 945 l 990 1035 l
|
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1035 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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n 1035 990 m 1080 945 l 1170 1035 l
|
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1215 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
||||
n 1215 990 m 1260 945 l 1350 1035 l
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1395 990 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 450 405 m 450 1080 l
|
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2565 1080 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2463 1102 m 2538 1080 l 2463 1057 l 2478 1080 l 2463 1102 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1833 1012 m 1950 1012 l 1950 967 l 1833 967 l 1833 967 l 1908 990 l 1833 1012 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1395 990 m
|
||||
1935 990 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1833 1012 m 1908 990 l 1833 967 l 1848 990 l 1833 1012 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 2160 1035 m
|
||||
2160 1125 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
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gs clippath
|
||||
2101 735 m 2175 735 l 2175 705 l 2101 705 l 2101 705 l 2139 720 l 2101 735 l cp
|
||||
1453 705 m 1380 705 l 1380 735 l 1453 735 l 1453 735 l 1416 720 l 1453 705 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1395 720 m
|
||||
2160 720 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1453 705 m 1416 720 l 1453 735 l 1446 720 l 1453 705 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2101 735 m 2139 720 l 2101 705 l 2109 720 l 2101 735 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1944 807 m 1999 807 l 1999 791 l 1944 791 l 1944 791 l 1963 799 l 1944 806 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1894 799 m
|
||||
1984 799 l gs col0 s gr gr
|
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|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1944 806 m 1963 799 l 1944 791 l 1948 799 l 1944 806 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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765 945 m
|
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gs 1 -1 sc (k) col0 sh gr
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||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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1485 855 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1665 630 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1890 945 m
|
||||
gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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2115 990 m
|
||||
gs 1 -1 sc (o) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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2430 1035 m
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gs 1 -1 sc (+) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 127.00 scf sf
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gs 1 -1 sc (o) col0 sh gr
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% here ends figure;
|
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$F2psEnd
|
||||
rs
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showpage
|
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%%Trailer
|
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end
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
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{ exch newfont 3 1 roll put } ifelse } { pop pop } ifelse } forall
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|
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128 1 255 { newfont /Encoding get exch /.notdef put } for
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newfontname newfont definefont pop end } def
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/isovec [
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|
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8#255 /hyphen 8#256 /registered 8#257 /macron 8#260 /degree 8#261 /plusminus
|
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8#262 /twosuperior 8#263 /threesuperior 8#264 /acute 8#265 /mu 8#266 /paragraph
|
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8#267 /periodcentered 8#270 /cedilla 8#271 /onesuperior 8#272 /ordmasculine
|
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8#273 /guillemotright 8#274 /onequarter 8#275 /onehalf
|
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8#276 /threequarters 8#277 /questiondown 8#300 /Agrave 8#301 /Aacute
|
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8#302 /Acircumflex 8#303 /Atilde 8#304 /Adieresis 8#305 /Aring
|
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8#306 /AE 8#307 /Ccedilla 8#310 /Egrave 8#311 /Eacute
|
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8#312 /Ecircumflex 8#313 /Edieresis 8#314 /Igrave 8#315 /Iacute
|
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8#316 /Icircumflex 8#317 /Idieresis 8#320 /Eth 8#321 /Ntilde 8#322 /Ograve
|
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8#323 /Oacute 8#324 /Ocircumflex 8#325 /Otilde 8#326 /Odieresis 8#327 /multiply
|
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8#330 /Oslash 8#331 /Ugrave 8#332 /Uacute 8#333 /Ucircumflex
|
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8#334 /Udieresis 8#335 /Yacute 8#336 /Thorn 8#337 /germandbls 8#340 /agrave
|
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8#341 /aacute 8#342 /acircumflex 8#343 /atilde 8#344 /adieresis 8#345 /aring
|
||||
8#346 /ae 8#347 /ccedilla 8#350 /egrave 8#351 /eacute
|
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8#352 /ecircumflex 8#353 /edieresis 8#354 /igrave 8#355 /iacute
|
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8#356 /icircumflex 8#357 /idieresis 8#360 /eth 8#361 /ntilde 8#362 /ograve
|
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8#363 /oacute 8#364 /ocircumflex 8#365 /otilde 8#366 /odieresis 8#367 /divide
|
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8#370 /oslash 8#371 /ugrave 8#372 /uacute 8#373 /ucircumflex
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8#374 /udieresis 8#375 /yacute 8#376 /thorn 8#377 /ydieresis] def
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/Times-Roman /Times-Roman-iso isovec ReEncode
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/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
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$F2psBegin
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10 setmiterlimit
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%
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% Fig objects follow
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%
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%
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% here starts figure with depth 50
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0 slc
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% Polyline
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[60] 0 sd
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|
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eoclip
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n 1536 1703 m
|
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1535 3154 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
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% arrowhead
|
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n 1512 3051 m 1535 3127 l 1557 3052 l 1535 3067 l 1512 3051 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
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gs clippath
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|
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eoclip
|
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n 2139 2704 m
|
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2139 3180 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
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% arrowhead
|
||||
n 2116 3078 m 2139 3153 l 2161 3078 l 2139 3093 l 2116 3078 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
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|
||||
eoclip
|
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n 2139 2652 m
|
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2139 2147 l gs col0 s gr gr
|
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|
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% arrowhead
|
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n 2161 2249 m 2139 2174 l 2116 2249 l 2139 2234 l 2161 2249 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
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|
||||
eoclip
|
||||
n 2349 2931 m
|
||||
2452 2931 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2412 2938 m 2431 2931 l 2412 2923 l 2416 2931 l 2412 2938 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
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|
||||
eoclip
|
||||
n 2341 2327 m
|
||||
2444 2327 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2404 2334 m 2423 2327 l 2404 2319 l 2408 2327 l 2404 2334 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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n 1479 2648 m
|
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1591 2648 l gs col0 s gr
|
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/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
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1102 1285 m
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gs 1 -1 sc (k) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
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2213 2447 m
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gs 1 -1 sc (-kx) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
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2233 3042 m
|
||||
gs 1 -1 sc (mg) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
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1475 1650 m
|
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gs 1 -1 sc (O) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
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1938 2708 m
|
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gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
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1394 3128 m
|
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gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 158.75 scf sf
|
||||
1240 2626 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman-iso ff 127.00 scf sf
|
||||
1321 2717 m
|
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|
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% here ends figure;
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%
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% here starts figure with depth 2
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% Polyline
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% Polyline
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n 2140 2235 m
|
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|
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% Polyline
|
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|
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|
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% Polyline
|
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n 925 1537 m
|
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925 1703 l gs col0 s gr
|
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% here ends figure;
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 0
|
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% Polyline
|
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0 slc
|
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7.500 slw
|
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n 2140 1110 m 2143 1111 l 2148 1112 l 2157 1115 l 2169 1119 l 2182 1125 l
|
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2194 1131 l 2207 1140 l 2217 1150 l 2226 1163 l 2233 1180 l
|
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2235 1201 l 2233 1221 l 2229 1239 l 2224 1256 l 2219 1270 l
|
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2214 1282 l 2208 1292 l 2203 1301 l 2198 1310 l 2191 1319 l
|
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|
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|
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2091 1387 l 2086 1385 l 2082 1382 l 2078 1379 l 2074 1375 l
|
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2070 1372 l 2066 1368 l 2062 1364 l 2058 1359 l 2054 1354 l
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
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|
||||
2062 1543 l 2058 1538 l 2054 1533 l 2051 1527 l 2048 1521 l
|
||||
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|
||||
2072 1462 l 2078 1454 l 2084 1447 l 2091 1439 l 2100 1432 l
|
||||
2111 1427 l 2125 1423 l 2140 1424 l 2153 1429 l 2165 1436 l
|
||||
2176 1443 l 2184 1451 l 2191 1457 l 2198 1463 l 2203 1468 l
|
||||
2208 1474 l 2214 1481 l 2219 1490 l 2224 1502 l 2229 1517 l
|
||||
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Annexe-MecaniqueDim/Annexe-MecaniqueDim.aux
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\newlabel{parabolesecurite}{{M.6}{174}}
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|
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|
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|
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {M.7}{\ignorespaces Mouvement circulaire uniforme}}{175}}
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\newlabel{MCU}{{M.7}{175}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Dynamique}{176}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Virages inclin\IeC {\'e}s}{176}}
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|
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\newlabel{viragesvmin0}{{M.8}{176}}
|
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|
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\newlabel{viragesvminpas0}{{M.9}{176}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {paragraph}{Vitesses maximales}{177}}
|
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {M.10}{\ignorespaces Virages inclin\IeC {\'e} : vitesse maximale}}{177}}
|
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\newlabel{viragesvmaxfinie}{{M.10}{177}}
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\citation{GC88}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {M.4.5}Satellite en orbite g\IeC {\'e}ostationnaire}{178}}
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\newlabel{geostat}{{M.4.5}{178}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Introduction}{178}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Th\IeC {\'e}oriquement}{178}}
|
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|
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{Mouvement kepleriens}{179}}
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\@setckpt{Annexe-MecaniqueDim/Annexe-MecaniqueDim}{
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\setcounter{chapter}{13}
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\setcounter{section}{4}
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\setcounter{subsection}{6}
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\setcounter{subsubsection}{0}
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\setcounter{paragraph}{0}
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\setcounter{subparagraph}{0}
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\setcounter{figure}{10}
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\setcounter{table}{0}
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\setcounter{FancyVerbLine}{0}
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\setcounter{float@type}{8}
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\setcounter{r@tfl@t}{4}
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\setcounter{subfigure}{0}
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\setcounter{lofdepth}{1}
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\setcounter{subtable}{0}
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\setcounter{lotdepth}{1}
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\setcounter{parentequation}{0}
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\setcounter{endnote}{65}
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\setcounter{lstlisting}{0}
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\setcounter{ex}{71}
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}
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719
Annexe-MecaniqueDim/Annexe-MecaniqueDim.tex
Normal file
719
Annexe-MecaniqueDim/Annexe-MecaniqueDim.tex
Normal file
@ -0,0 +1,719 @@
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\myclearpage
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\chapter{Mécanique en plusieurs dimensions\label{Mvt2dim}}
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%\minitoc
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\section{Préliminaires}
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La cinématique en plusieurs dimensions présente un changement important dans les outils nécessaires pour son traitement par rapport à celle en une dimension. En effet, la présence de plusieurs dimensions nécessite un traitement vectoriel des équations. Celui-ci peut être assez complexe. C'est pourquoi, nous allons maintenant traiter de cet aspect de la mécanique.
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\subsection{Dimensions\index{dimension}}
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On dira du mouvement d'un système qu'il est bidimentionnel ou en deux dimensions quand il se fait dans un plan.
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On dira du mouvement d'un système qu'il est tridementionnel ou en trois dimensions quand il se fait dans tout l'espace.
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\subsection{Système d'axes\index{système d'axes}}
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Le système d'axes généralement utilisé pour décrire le mouvement en deux dimensions est cartésien, c'est-à-dire qu'il est composé de deux axes perpendiculaires notés $x$ et $y$ et d'une unité identique pour les deux axes. On dit aussi que ce système est orthonormé.
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||||
Le système d'axes généralement utilisé pour décrire le mouvement en trois dimensions est cartésien, c'est-à-dire qu'il est composé de trois axes perpendiculaires notés $x$, $y$ et $z$ et d'une unité identique pour les trois axes. On dit aussi que ce système est orthonormé.
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\section{Notion de vecteur en physique}
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Sans entrer dans une définition mathématique rigoureuse de la notion de vecteur, nous pouvons définir un vecteur comme un objet mathématique ayant les propriétés suivantes : une direction, un sens et une grandeur. On peut facilement se représenter cet objet en pensant à une flèche.\\
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||||
Beaucoup de grandeurs physique peuvent être représentées par des vecteurs. Cela concerne les grandeurs qui ont une direction, un sens et une intensité. Un exemple simple est celui de la vitesse. Celle-ci à manifestement une direction, un sens et une grandeur.
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\subsection{Norme d'un vecteur}
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On parle de grandeur pour exprimer de la norme du vecteur. On parle aussi de la valeur, de l'intensité voire de la longueur du vecteur, même s'il ne s'agit pas à proprement parler de la longueur du vecteur, mais de sa norme. Dans le cas du vecteur vitesse, par exemple, elle s'exprimerait em $m/s$, et non dans les unités d'une longueur.
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||||
En physique, par souci de simplicité, on note la norme d'un vecteur $\overrightarrow{F}$ sous la forme $F$. On a donc l'équivalence suivante : $F=||\overrightarrow{F}||$. Ainsi, le symbole d'un vecteur noté sans flèche au-dessus de lui représente sa norme.
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\subsection{Opérations vectorielles}
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Nous aurons besoin par la suite des deux opérations mathématiques entre vecteurs. L'une opère un produit entre deux vecteurs qui donne un nombre. C'est le produit scalaire. Il existe pour des vecteurs à deux dimensions. L'autre opère un produit entre deux vecteurs qui donne un vecteur. C'est le produit vectoriel. Comme le vecteur produit est perpendiculaire aux deux vecteurs utilisés, il n'existe qu'en trois dimensions. C'est pourquoi nous ne le traiterons pas dans ce chapitre.
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\subsubsection{produit scalaire}
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Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ se note $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$. C'est un nombre qu'on peut noter A, par exemple.
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\medskip
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||||
Il esiste alors, compte tenu de la remarque qui précède, deux manière de calculer A à partir de $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$.
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\smallskip
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||||
Premièrement, on a :
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||||
\[A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=F \cdot d \cdot \cos(\alpha)\]
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||||
où l'angle $\alpha$ est l'angle aigu entre les deux vecteurs $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$.
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||||
\medskip
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||||
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||||
Secondement, on a :
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||||
\[A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}
|
||||
F_x\\
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||||
F_y\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}
|
||||
d_x\\
|
||||
d_y\end{array}\right)=F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y\]
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||||
|
||||
Bien évidemment les unités de la grandeur obtenue par un produit scalaire sont la simple multiplication des unités des grandeurs conposant l'opération.
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\subsubsection{Produit vectoriel}
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Le produit vectoriel de deux vecteurs $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ se note $\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}$. C'est un vecteur qu'on peut noter $\overrightarrow{M}$, par exemple.
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||||
\smallskip
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||||
|
||||
Il esiste alors, compte tenu de la remarque qui précède, deux manière de calculer $\overrightarrow{M}$ à partir de $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$.
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||||
\medskip
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||||
|
||||
Premièrement, on a :
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||||
\[M=||\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}||=F \cdot d \cdot \sin(\alpha)\]
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||||
où l'angle $\alpha$ est l'angle aigu entre les deux vecteurs $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$.
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||||
\medskip
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||||
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||||
Secondement, on a :
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
\overrightarrow{M}&=\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}
|
||||
F_x\\
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||||
F_y\\
|
||||
F_z\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}
|
||||
d_x\\
|
||||
d_y\\
|
||||
d_z\end{array}\right)\\
|
||||
&=\left(\begin{array}{c}
|
||||
F_y\cdot d_z-F_z\cdot d_y\\
|
||||
F_z\cdot d_x-F_x\cdot d_z\\
|
||||
F_x\cdot d_y-F_y\cdot d_x\end{array}\right)
|
||||
\end{align*}
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||||
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||||
Bien évidemment les unités de la grandeur obtenue par un produit scalaire sont la simple multiplication des unités des grandeurs conposant l'opération.
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\section{Mécanique}
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||||
Beaucoup de grandeurs physiques sont vectorielles. Nous avons déjà vu de les grandeurs cinématiques de position $\overrightarrow{x}$, de vitesse $\overrightarrow{v}$ et d'accélération $\overrightarrow{a}$ sont vectorielles. La notion de force $\overrightarrow{F}$ l'est aussi, comme celle de moment $\overrightarrow{M}$ ou de quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$. La mécanique en plusieures dimensions est donc en cela différente de celle en une dimension. Nous allons voir maintenant dans quelle mesure seuls les termes changent et dans quelles mesure les concepts changent aussi.
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\subsection{Cinématique}
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\subsubsection{Position}
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La position d'un point dans un plan est donnée par un vecteur noté $\overrightarrow{r}$, dont les composantes sont les deux coordonnées du point.
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Par exemple, on pourrait avoir :
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||||
\begin{flushleft}\[
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||||
\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}
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||||
3\\
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||||
4\end{array}\right)\; cm\]
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||||
\end{flushleft}
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|
||||
On trouve aussi la notation $\overrightarrow{x}$ qui est délicate car on note aussi $x$ la première coordonnée du vecteur $\overrightarrow{x}$. Ainsi, on écrirait :
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||||
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||||
\begin{flushleft}\[
|
||||
\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}
|
||||
x\\
|
||||
y\end{array}\right)\; cm\]
|
||||
\end{flushleft}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Vitesse}
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||||
La vitesse d'un objet dans un plan est donnée par un vecteur noté $\overrightarrow{v}$. Ainsi, on pourrait avoir :
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||||
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||||
\begin{flushleft}\[
|
||||
\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}
|
||||
3,5\\
|
||||
7\end{array}\right)\; m/s \]
|
||||
\end{flushleft}
|
||||
|
||||
La définition de la vitesse moyenne $\overrightarrow{\overline v}$ devient donc :
|
||||
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||||
\begin{equation}
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||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{\overline v}=\frac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}$}
|
||||
\end{equation}
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||||
|
||||
et celle de la vitesse instantannée $\overrightarrow{v}$ :
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||||
|
||||
\begin{equation}\label{vitinstant}
|
||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Accélération}
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||||
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||||
Bien évidemment, l'accélération est aussi donnée par un vecteur noté $\overrightarrow{a}$.
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||||
La définition de l'accélération moyenne $\overrightarrow{\overline a}$ devient donc :
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||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{\overline a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
et celle de l'accélération instantannée $\overrightarrow{a}$ :
|
||||
|
||||
\begin{equation}\label{accinstant}
|
||||
\fbox{$\displaystyle \overrightarrow{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Ainsi, toute la cinématique peut être traité vectoriellement. De plus, naturellement, la représentation d'un vecteur en deux dimensions est la même que celle d'un vecteur en trois (ou quatre, pour la relativité) dimensions.
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\subsection{Dynamique}
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||||
Bien évidemment, les trois lois de Newton s'expriment sous forme vectorielle. La force $\overrightarrow{F}$ et l'accélération $\overrightarrow{a}$, comme nous l'avons déjà vu, sont des grandeurs vectorielles. On peut donc exprimer cet trois lois ainsi :
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||||
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\subsubsection{Première loi}
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||||
\begin{center}
|
||||
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
|
||||
\begin{equation}
|
||||
MRU\;\Leftrightarrow\;\sum\overrightarrow{F^{ext}}=0
|
||||
\end{equation}
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||||
}}}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Seconde loi}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sum\overrightarrow{F^{ext}}=m\overrightarrow{\cdot a}
|
||||
\end{equation}
|
||||
}}}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Troisième loi}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\overrightarrow{Action}= - \overrightarrow{R\acute eaction}
|
||||
\end{equation}
|
||||
}}}
|
||||
\end{center}
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||||
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||||
\section{Exemples}
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Le caractère vectoriel de ces trois lois a de nombreuses conséquences que nous allons maintenant illustrer à travers différents exemples. Relevons aussi que le caractère vectoriel des relations utilisée implique une importante utilisation de la trigonométrie. Nous renvoyons le lecteur à des cours de mathématiques pour aborder ce domaine que nous supposons ici connu.
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\subsection{Statique}
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\begin{center}
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\begin{figure}[t]
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||||
\caption{Équilibre statique\label{ballon}}
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||||
%\psfrag{P}{$\overrightarrow{P}$}
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Ballon.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
Dans le cas où le système ne bouge pas, l'accélération est nulle et la seconde loi de Newton s'écrit :
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||||
\[\sum \overrightarrow{F^{ext}}=\overrightarrow{0}\]
|
||||
Ce sont les équations qui régissent l'équilibre statique des forces. Un exemple plus précis peut être donné en considérant un ballon attachée au sol par deux cordes qui font des angles $\alpha$ et $\beta$ respectivement avec le sol, comme décrit par la figure \ref{ballon}. Connaissant la masse du ballon $m=100\,kg$ et la poussée $\overrightarrow{F}$ du gaz sur le ballon, on peut se demander quelle est la valeur des forces $\overrightarrow{T_1}$ et $\overrightarrow{T_2}$ exercées sur les cordes qui le retiennent au sol. On considère que celles-ci sont souples et par conséquent que les forces $\overrightarrow{T_1}$ et $\overrightarrow{T_2}$ leur sont parallèles.\\
|
||||
Réponse :\\
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||||
Il faut écrire les équations de la seconde loi de Newton sur chaque axe :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&\sum F_x=0\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&\sum F_y=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Pour cela, il faut trouver les composantes de chaques forces sur les axes. Le poids $\overrightarrow{P}$ et la force de poussée $\overrightarrow{F}$ sont toutes deux verticales, mais par rapport au système d'axes choisi sur la figure \ref{ballon}, la composante verticale du poids est négative. En ce qui concerne les tensions, considérant que les angles $\alpha$ et $\beta$ sont comptés par rapport à l'horizontale, on peut écrire, en tenant compte des signes de chaque composante par rapport au système d'axes :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
T_{1x}=-T_1\cdot \cos(\alpha)&\mbox{ et }&T_{1y}=-T_1\cdot \sin(\alpha)\\
|
||||
T_{2x}=T_2\cdot \cos(\beta)&\mbox{ et }&T_{2y}=-T_2\cdot \sin(\beta)
|
||||
\end{align*}
|
||||
On peut alors écrire les équations du mouvement :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&T_2\cdot \cos(\beta)-T_1\cdot \cos(\alpha)=0\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&F-P-T_1\cdot \sin(\alpha)-T_2\cdot \sin(\beta)=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nous sommes alors en présence d'un système de deux équations à deux inconnues : $T_1$ et $T_2$. De la première équation, on tire $T_2$ :
|
||||
\[T_2=\frac{T_1\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\]
|
||||
et on remplace dans la seconde :
|
||||
\[F-P-T_1\cdot \sin(\alpha)-T_1\cdot \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta)=0\]
|
||||
où on a utilisé la définition de la tangente : $\tan(\beta)=\sin(\beta)/\cos(\beta)$.\\
|
||||
En mettant en évidence $T_1$ et le déplaçant à droite de l'équation, on a :
|
||||
\[F-P=T_1\cdot (\sin(\alpha)+\sin(\beta))\]
|
||||
et donc finalement avec $P=m\cdot g$ :
|
||||
\[T_1=\frac{F-m\cdot g}{\sin(\alpha)+\sin(\beta)}\]
|
||||
et pour $T_2$ :
|
||||
\[T_2=\frac{(F-m\cdot g)\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\beta)\cdot (\sin(\alpha)+\sin(\beta))}\]
|
||||
|
||||
\subsection{Plan incliné}
|
||||
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{figure}[t]
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||||
\caption{Le plan incliné\label{planincline}}
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||||
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Planincline.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
A l'instar de la chute libre, on peut considérer le problème historique\footnote{Cela serait la manière selon laquelle Galilée à procédé pour trouver la dépendance de la hauteur de chute d'un objet en fonction du carré du temps écoulé.} suivant :\\
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||||
déterminez l'accélération d'une masse $m$ qui glisse le long d'un plan incliné faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. On néglige les frottements.\\
|
||||
Réponse :\\
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||||
Comme le montre la figure \ref{planincline}, deux forces extérieures seulement s'exercent sur la masse $m$. Il s'agit de son poids $\overrightarrow{P}$ et de la réaction du plan incliné $\overrightarrow{R}$. Celle-ci est perpendiculaire au plan, car il n'y a pas de frottement. On prend pour système la masse $m$. Pour écrire les équations du mouvement, on doit choisir un système d'axes approprié. Dans ce cas particulier, nous allons tout d'abord choisir le système d'axes dessiné sur la figure \ref{planincline}. Il faut alors écrire la seconde loi de Newton sur chaque axe :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&\sum F_x=m\cdot a_x\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&\sum F_y=m\cdot a_y
|
||||
\end{align*}
|
||||
On doit donc décomposer chaque forces sur les axes pour pouvoir en faire la somme. Sur la figure \ref{planincline}, les composantes du poids sont notées $\overrightarrow{P_x}$ et $\overrightarrow{P_y}$. L'angle $\alpha$ du plan incliné se retrouvant entre le vecteur $\overrightarrow{P}$ et sa composante $\overrightarrow{P_y}$, clairement, on a :
|
||||
\[P_x=P\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
\[P_y=P\cdot \cos(\alpha)\]
|
||||
Ainsi, on peut écrire en tenant compte du signe négatif de $P_y$ qui indique que son sens est opposé à celui de l'axe y :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&P\cdot \sin(\alpha)=m\cdot a_x\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&R-P\cdot \cos(\alpha)=m\cdot a_y
|
||||
\end{align*}
|
||||
car, $\overrightarrow{P}$ n'a de composante que sur l'axe y. Or, l'accélération sur l'axe y est manifestement nulle. En effet, la masse ne s'enfonce pas dans le plan et ne décolle pas. Par ailleurs, par définition du poids, on a : $P=m\cdot g$. On en déduit que :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&m\cdot g\cdot \sin(\alpha)=m\cdot a_x\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&R-m\cdot g\cdot \cos(\alpha)=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Et donc, si on pose $a=a_x$ (comme $a_y=0$) :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&a=g\cdot \sin(\alpha)\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&R=m\cdot g\cdot \cos(\alpha)
|
||||
\end{align*}
|
||||
La solution est donc trouvée. En plus de celle-ci on a aussi obtenu à l'aide de l'équation du mouvement sur l'axe y la valeur de R (qui n'était pas demandée).
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
La résolution de ce problème peut aussi se faire dans un système d'axes vertical et horizontal, comme présenté dans la figure \ref{planincline2}.
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||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{figure}[t]
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||||
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||||
\caption{Le plan incliné\label{planincline2}}
|
||||
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Planincline2.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
On voit que la décomposition des forces sur les axes n'est pas plus complexe que précédemment. Ce qui change, c'est que l'accélération aussi doit être décomposée. En effet, aucune des deux composantes n'est maintenant nulle. Ainsi, les équations du mouvement deviennent (en tenant compte des signes) :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&R_x=m\cdot a_x\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&R_y-m\cdot g=-m\cdot a_y
|
||||
\end{align*}
|
||||
Manifestement, l'angle $\alpha$ se retrouve entre $\overrightarrow{R}$ et $\overrightarrow{R_y}$ et entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{a_x}$. On peut donc écrire :
|
||||
\[R_y=R\cdot \cos(\alpha)\]
|
||||
\[R_x=R\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
et :
|
||||
\[a_x=a\cdot \cos(\alpha)\]
|
||||
\[a_y=a\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
et les équations deviennent :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mbox{sur x}&:&R\cdot \sin(\alpha)=m\cdot a\cdot \cos(\alpha)\\
|
||||
\mbox{sur y}&:&R\cdot \cos(\alpha)-m\cdot g=-m\cdot a\cdot \sin(\alpha)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues $R$ et $a$.\\
|
||||
On tire $R$ de la première équation :
|
||||
\[R=\frac{m\cdot a\cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\]
|
||||
et on remplace dans la dernière :
|
||||
\[\frac{m\cdot a\cdot \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}-m\cdot g=-m\cdot a\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
C'est-à-dire, en multipliant par $\sin(\alpha)$ :
|
||||
\[m\cdot a\cdot \cos^2(\alpha)-m\cdot g\cdot \sin(\alpha)=-m\cdot a\cdot \sin^2(\alpha)\]
|
||||
ou en réorganisant les termes :
|
||||
\[m\cdot a\cdot (\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
Et comme $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$, on a :
|
||||
\[m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
Soit, finalement le même résultat que précédemment :
|
||||
\[a=g\cdot \sin(\alpha)\]
|
||||
Le calcul est cependant bien plus long. Il est donc important de bien choisir le système d'axes pour minimiser les développements algébriques et par conséquent les fautes de calcul.
|
||||
|
||||
\subsection{Balistique}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{figure}[t]
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||||
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||||
\caption{Tir balistique\label{tirbalistique}}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=6cm]{Tirbalistique.eps}\end{center}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Nous avons déjà parlé de balistique au paragraphe \ref{balistique} pour illustrer les MRU et MRUA. Le cas balistique qui va être considéré ici est celui, classique, d'un projectile tiré depuis l'origine d'un système d'axes avec une vitesse $\overrightarrow{v_o}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale (voir figure \ref{tirbalistique}). Il s'agit :
|
||||
\smallskip
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item d'établir l'équation de la trajectoire,
|
||||
\item de calculer les coordonnées du point le plus haut,
|
||||
\item de trouver la portée du tir,
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||||
\item de déterminer l'angle nécessaire pour atteindre un point C de coordonnées $(x_1;y_1)$ et
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||||
\item d'obtenir l'équation de la parabole de sécurité du tir.
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\end{enumerate}
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||||
Voyons comment procéder :
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\begin{enumerate}
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\item En tenant compte de la seconde loi de Newton, on a :
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\[m\cdot \overrightarrow{g}=m\cdot \overrightarrow{a}\]
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C'est-à-dire, en tenant compte du sens des axes :
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\[\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}
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||||
0\\
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||||
-g
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||||
\end{array}\right)\]
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||||
Ainsi, avec les conditions intitales données, les équations du mouvement sur les axes sont les suivantes :\\
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sur x :
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\begin{align*}
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x&=v_{ox}\cdot t+x_o=v_{ox}\cdot t\\
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||||
v_x&=v_{ox}=v_o\cdot \cos(\alpha)\\
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||||
a_x&=0
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||||
\end{align*}
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sur y :
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\begin{align*}
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y&=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 +v_{oy}\cdot t+y_o\\
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||||
&=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 +v_{oy}\cdot t\\
|
||||
v_y&=-g\cdot t+v_{oy}=-g\cdot t+v_o\cdot \sin(\alpha)\\
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||||
a_y&=-g
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||||
\end{align*}
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||||
On tire alors $t$ de l'équation de la position sur x :
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\[t=\frac{x}{v_o\cdot \cos(\alpha)}\]
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||||
Et on le remplace dans l'équation de la position sur y :
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||||
\begin{align*}
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||||
y&=-\frac{1}{2}\cdot g\left(\frac{x}{v_o\cdot \cos(\alpha)}\right)^2+v_o\cdot \sin(\alpha)\cdot t\\
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||||
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{g}{v_o^2\cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2+\tan(\alpha)\cdot x
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||||
\end{align*}
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||||
Cette équation est de la forme
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||||
\[y(x)=a\cdot x^2+b\cdot x\]
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||||
C'est l'expression d'une parabole.
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\item Pour trouver le point S le plus haut, il suffit de considérer le fait qu'en ce point, la composante verticale de la vitesse est nulle. Ainsi, on peut trouver $t_S$, le temps mis pour atteindre le sommet S :
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\begin{align*}
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||||
v_y=0&\Rightarrow&0=-g\cdot t_S+v_o\cdot \sin(\alpha)\\
|
||||
&\Rightarrow&t_S=\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}
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||||
\end{align*}
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||||
Puis, il suffit de remplacer ce temps dans les équations de la position sur chaque axes :
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||||
\begin{align*}
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||||
x_S&=v_o\cdot \cos(\alpha)\cdot\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\\
|
||||
&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)\\
|
||||
y_S&=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot\left(\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\right)^2+\frac{v_o^2\cdot \sin^2(\alpha)}{g}\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{v_o^2\cdot \sin^2(\alpha)}{g}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Le temps mis par le projectile pour retomber au sol est par symétrie le double de $t_S$. On peut le vérifier en posant $y=0$ dans l'équation de la position sur l'axe vertical. On obtient :
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||||
\[t_P=2\cdot \frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\]
|
||||
Ce qui nous permet de déterminer la portée L du projectile :
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\begin{align}
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||||
x_P&=L=v_o\cdot \cos(\alpha)\cdot 2\cdot \frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\nonumber \\
|
||||
&=2\cdot \frac{v_0^2}{g}\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)\nonumber \\
|
||||
&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(2\cdot \alpha)\label{Portée}
|
||||
\end{align}
|
||||
Car, $2\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\cdot \alpha)$.\\
|
||||
Une conséquence de ce résultat est qu'on peut déterminer l'angle sous lequel on doit tirer pour que le tir une porté L :
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||||
\[L=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(2\cdot \alpha)\;\Rightarrow\;\sin(2\cdot \alpha)=\frac{g\cdot L}{v_o^2}\;\Rightarrow\]
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||||
\[\alpha = \arcsin(\frac{g\cdot L}{v_o^2})\]
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||||
\item Pour déterminer l'angle nécessaire pour atteindre le point C de coordonnée $(x_1;y_1)$, il faut partir de l'équation de la parabole appliquée au point C :
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||||
\[y_1=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)}+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
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||||
et isoler $\tan(\alpha)$. Mathématiquement, on a que $1/ \cos^2(\alpha)=1+\tan^2(\alpha)$. Ainsi :
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||||
\[y_1=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 (1+\tan^2(\alpha))+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
|
||||
Et on obtient une équation du second degré en $\tan(\alpha)$ :
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\[-\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\cdot \tan^2(\alpha)+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
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||||
\[-(y-1+\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)=0\]
|
||||
Ainsi, on a pour solution :
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\[\tan(\alpha)=\]
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||||
\[\frac{-x_1\pm \sqrt{x_1^2-4\cdot \frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 \left(y_1+\frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\right)}}{-2\cdot \frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2}\]
|
||||
Ainsi, en fonction de la valeur du discriminant $\Delta$ :
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||||
\[\Delta =\]
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\[-x_1\pm \sqrt{x_1^2-4\cdot \frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 \left(y_1+\frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\right)}\]
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||||
on peut avoir trois cas :
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\begin{figure}[t]
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\begin{center}
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\subfigure[Deux angles]{\label{deuxangles}
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\includegraphics[width=4cm]{Tira.eps}}
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\subfigure[Un angle]{\label{unangle}
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\includegraphics[width=4cm]{Tirb.eps}}
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%Je ne sais pas pourquoi, il faut placer le caption en bas pour que la référence des sous-figures soit correcte !
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\caption{Tirs balistiques}\label{tir}
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\end{center}
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\end{figure}
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\begin{itemize}
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\item si $\Delta > 0$, à cause du $\pm$, deux angles de tir sont possible. C peut être atteint à la montée ou à la descente (voir figure \ref{deuxangles})
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||||
\item si $\Delta = 0$, un seul angle est possible. C n'est en général pas atteint au sommet de la trajectoire (voir figure \ref{unangle}). Ce n'est le cas que pour un angle de $90^\circ$.
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||||
\item si $\Delta < 0$, comme la racine d'un nombre négatif n'existe pas, aucun angle ne permet d'atteindre C. On dit que C est hors de portée ou hors de la parabole de sécurité (voir figure \ref{parabolesecurite}).
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||||
\end{itemize}
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||||
\item Le lieu des points qui ne peuvent être atteint qu'avec un seul angle est appelé "parabole de sécurité". En effet, il définit les zones dans lesquelles un point peut être ou ne pas être atteint. La figure \ref{parabolesecurite} montre clairement cette frontière.\\
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||||
Il faut relever que les points qui ne peuvent être atteints que sous un seul angle ne correspondent pas aux sommets des paraboles de tir (sauf pour le tir à la verticale). On peut voir sur la figure \ref{parabolesecurite} que les sommets des paraboles de tir sont à l'intérieur de la parabole de sécurité.
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\begin{center}
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\begin{figure}
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\caption{Parabole de sécurité\label{parabolesecurite}}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=6cm]{Parabolesecurite.eps}\end{center}
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\end{figure}
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\end{center}
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Pour en obtenir l'équation, il suffit d'annuler le discriminant $\Delta$ vu au point précédent. Ainsi, on a :
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\[\Delta=x_1^2-2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot (y_1+\frac{1}{2}g\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)=0\]
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et donc :
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\begin{align*}
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x_1^2&=2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot (y_1+\frac{1}{2}g\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)\\
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||||
x_1^2&=2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot y_1+g^2\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^4\\
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||||
1&=2g\cdot \frac{y_1}{v_o^2}+g^2\cdot \frac{x_1^2}{v_o^4}\\
|
||||
1&=\frac{g}{v_o^2}\cdot (2y_1+\frac{gx_1^2}{v_o^2})\\
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||||
\frac{v_o^2}{g}&=2y_1+\frac{gx_1^2}{v_o^2}
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||||
\end{align*}
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Ce qui donne en définitive l'équation d'une parablole :
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\[y_1=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_o^2}\cdot x_1^2+\frac{1}{2}\frac{v_o^2}{g}\]
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\end{enumerate}
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\subsection{Mouvement circulaire uniforme : MCU}
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\subsubsection{Définition}
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Le mouvement circulaire uniforme\index{mouvement circulaire uniforme} (MCU\index{MCU}) traduit le déplacement d'un objet sur un cercle
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et à vitesse constante. Il est intéressant d'étudier ce mouvement qui, tout en se déroulant à vitesse constante, est produit par une accélération\index{accélération} non nulle.
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\subsubsection{Cinématique\index{cinématique}}
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La cinématique du mouvement circulaire uniforme est identique à celle du MRU\index{MRU} si on remplace les distances par des angles. Ainsi, en guise de position, on prendra l'angle des coordonnées circulaires\index{coordonnée circulaire} (voir figure \ref{circulaire}). A partir de là, la vitesse et l'accélération angulaires moyennes se définissent très simplement :
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\[x(t)\quad\rightarrow\quad\theta(t)\]
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\[\overline{v}(t)\quad\rightarrow\quad\overline{\omega}(t)=\frac{\theta-\theta_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\]
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\[\overline{a}(t)\quad\rightarrow\quad\overline{\alpha}(t)=\frac{\omega-\omega_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\]
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Bien entendu, on a aussi pour les grandeurs instantanées :
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\[\omega(t)=\begin{array}{c}
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lim\\
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\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}\]
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||||
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||||
\[\alpha(t)=\begin{array}{c}
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||||
lim\\
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||||
\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{d\omega}{dt}\]
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||||
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||||
Ce définitions sont valables pour tout mouvement circulaire, en particulier s'il n'est pas uniforme. Dans le cas d'un MCU\index{MCU}, on a encore : $\omega(t)=\omega_{o}$ et $\alpha(t)=0\, m/s^{2}$.
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\bigskip{}
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Par ailleurs, la relation liant le rayon d'un arc de cercle à la valeur de ce dernier, relation traduite dans la figure \ref{arc}, permet
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de relier les grandeurs linéaires ($x(t),\, v(t)$) et celles qui sont angulaires ($\theta(t),\,\omega(t)$) :
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\[L=\theta\cdot R\]
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implique par dérivation :
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\[\frac{dL}{dt}=v=\omega\cdot R=\frac{d\theta}{dt}\cdot R\;\Rightarrow\; v=\omega\cdot R\]
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\subsubsection{Relation importante}
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La complexité de la dynamique de ce mouvement tient dans son caractère bidimensionnel. En d'autres termes, il est nécessaire de tenir compte du caractère vectoriel de la vitesse (voir figure : \ref{MCU})
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\begin{figure}[htbp]
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\caption{Mouvement circulaire uniforme\label{MCU}}
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\begin{center}\includegraphics{MCU.eps}\end{center}
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\end{figure}
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Ainsi, la rotation du vecteur vitesse {}``produit'' un vecteur $\Delta\overrightarrow{v}$. Or, par définition de l'accélération :
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\[\overrightarrow{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}\]
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si $\Delta\overrightarrow{v}$ est non nul, alors il y a accélération. Sur la figure on voit aussi que la direction de $\Delta\overrightarrow{v}$, comme celle de l'accélération $\overrightarrow{a}$, est radiale et plus précisément dans le sens du centre du cercle.
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Le mouvement circulaire uniforme est donc particulier en ce sens que tout en se déroulant à vitesse (scalaire\index{vitesse scalaire})
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constante, il se déroule avec une accélération non nulle, mais qui est perpendiculaire à la vitesse.
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De plus, on montre que la valeur de l'accélération\index{accélération} est :
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\begin{equation}
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\fbox{$\displaystyle a=\frac{v^{2}}{R}$}
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\end{equation}
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où v est la vitesse scalaire et R le rayon du cercle.
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\bigskip
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En effet, selon la figure \ref{MCU}, on a :
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\[\Delta x=\alpha\cdot R \mbox{ et } \Delta v=\alpha\cdot v\]
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où $\Delta x$ est la longueur de l'arc de cercle entre les deux instants où on considère la vitesse. Si $\Delta t$ est le temps entre ces
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deux instants, on peut écrire :
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\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\alpha\cdot v}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot v=\frac{v^{2}}{R}\]
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C'est ce qu'il fallait démontrer.
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\subsubsection{Dynamique\index{dynamique}}
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Si on comprend que le MCU\index{MCU} est un mouvement à vitesse constante, mais à accélération non nulle, on peut immédiatement saisir la présence d'une force\index{force}. Celle-ci est naturellement dans la même direction et le même sens que l'accélération. En effet, cela découle de la seconde loi de Newton : $\overrightarrow{F}=m\cdot\overrightarrow{a}$ et du fait que la masse est toujours positive. Cette accélération, nommée centripète\index{centripète} (et non centrifuge\index{centrifuge}), est donc créée par une force (nommée aussi centripète\index{centripète}) qui dévie l'objet de sa trajectoire rectiligne. Cela est parfaitement compatible avec la première loi de Newton, puisque la cause de la trajectoire circulaire est bien une force.
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\subsubsection{Virages inclinés}
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Le problème des virages relevés est intéressant, car il combine des problèmes de statique et de dynamique des plans inclinés avec des problèmes de forces de frottement. Il s'agit de déterminer la vitesse à laquelle une voiture peut passer un virage relevé faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. Plusieurs cas sont à traiter :
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\paragraph{Vitesses minimales}
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Deux cas sont à considérer : celui où la pente du virage est assez faible pour que la force de frottement statique empêche le glissement vers le bas et celui où, sans vitesse, la voiture glisserait vers le bas malgré la force de frottement.
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On note $m$ la masse de la voiture et $r$ le rayon du virage.
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\begin{enumerate}
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\item Vitesse minimale nulle.
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\begin{figure}[htbp]
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\caption{Virages incliné : vitesse minimale\label{viragesvmin0}}
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\begin{center}\includegraphics{Viragesvmin0.eps}\end{center}
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\end{figure}
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La situation est celle décrite à la figure \ref{viragesvmin0}. On se trouve dans le cas d'une voiture sur une pente et qui ne glisse pas vers le bas. La vitesse minimale de la voiture est alors nulle. On peut augmenter la pente jusqu'à ce que la force de frottement statique ne compense plus la composante du poids parallèle au plan incliné. La composante parallèle au plan incliné est donnée par :
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||||
\[P_{//}=mg\cdot \sin(\alpha)\]
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||||
et la force de frottement statique maximale par :
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||||
\[F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R\]
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||||
et ainsi, la somme des forces sur l'axe $x_{//}$ étant nulle, on a pour l'angle $\alpha'$ de l'imminence de glissement :
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||||
\[\mu_s\cdot R=mg\cdot \sin(\alpha')\]
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||||
or, la seconde loi de Newton sur l'axe $y_\perp$, donne :
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||||
\[R=mg\cdot \cos(\alpha')\]
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||||
Ainsi, on a :
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||||
\[\mu_s\cdot mg\cdot \cos(\alpha')=mg\cdot \sin(\alpha')\]
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||||
c'est-à-dire :
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||||
\[\tan(\alpha')=\mu_s\]
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||||
et finalement :
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||||
\[\alpha'=\arctan(\mu_s)\]
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||||
Ainsi, pour conclure, la vitesse minimale $v_{min}$ pour passer un virage dont l'angle d'inclinaison $\alpha$ est tel que $\alpha \leq \arctan(\mu_s)$ est nulle.
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||||
\[v_{min}=0\;\mbox{pour $\alpha$ tel que}\;\alpha \leq \arctan(\mu_s)\]
|
||||
\item Vitesse minimale non nulle.
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\begin{figure}[htbp]
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\caption{Virages incliné : vitesses minimale\label{viragesvminpas0}}
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\begin{center}\includegraphics{Viragesvminpas0.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
Si $\alpha>\arctan(\mu_s)$, il est nécessaire qu'il y ait une vitesse pour ne pas glisser. En effet, en décomposant la seconde loi de Newton sur les axes $x$ et $y$ de la figure \ref{viragesvminpas0}, on a :\\
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||||
sur l'axe x :
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||||
\[R\cdot \sin(\alpha)-F_{fr\,stat\,max}\cdot \cos(\alpha)=m\cdot \frac{v_{min}^2}{r}\]
|
||||
sur l'axe y :
|
||||
\[R\cdot \cos(\alpha)+F_{fr\,stat\,max}\cdot \sin(\alpha)-mg=0\]
|
||||
et ainsi, avec $F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R$, on a :
|
||||
\[R\cdot (\sin(\alpha)-\mu_s\cdot \cos(\alpha))=m\cdot \frac{v_{min}^2}{r}\]
|
||||
et :
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||||
\[R\cdot (\cos(\alpha)+\mu_s\cdot \sin(\alpha))=m\cdot g\]
|
||||
et, en divisant les deux équations :
|
||||
\[\frac{\sin(\alpha)-\mu_s\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)+\mu_s\cdot \sin(\alpha)}=\frac{v_{min}^2}{R\cdot g}\]
|
||||
D'où finalement :
|
||||
\[v_{min}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)-\mu_s}{1+\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\paragraph{Vitesses maximales}
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||||
Là encore deux cas se présentent. Le cas où la pente n'est pas assez grande pour maintenir la voiture sur sa trajectoire. Cela signifie que la compostant du poids parallèle au plan incliné n'est pas suffisante pour faire tourner la voiture. Il faut lui adjoindre la force de frottement. Or, comme cette dernière a un maximum, il existe une vitesse maximale pour laquelle on peut passer le virage. L'autre cas est celui ou la pense est suffisamment forte pour maintenir la voiture sur sa trajectoire même sans frottement. Cela signifie que la compostant du poids parallèle au plan incliné est suffisante pour faire tourner la voiture. On peut alors passer le virage même sur de la glace et la vitesse maximale est infinie.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Vitesse maximale finie.
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||||
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\begin{figure}[htbp]
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||||
\caption{Virages incliné : vitesse maximale\label{viragesvmaxfinie}}
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\begin{center}\includegraphics{Viragesvmaxfinie.eps}\end{center}
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||||
\end{figure}
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||||
Comme le montre la figure \ref{viragesvmaxfinie}, la force de frottement est donc cette fois-ci vers le bas de la pente. Les équations de Newton deviennent :
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||||
sur l'axe x :
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\[R\cdot \sin(\alpha)+F_{fr\,stat\,max}\cdot \cos(\alpha)=m\cdot \frac{v_{max}^2}{r}\]
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||||
sur l'axe y :
|
||||
\[R\cdot \cos(\alpha)-F_{fr\,stat\,max}\cdot \sin(\alpha)-mg=0\]
|
||||
et ainsi, avec $F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R$, on a :
|
||||
\[R\cdot (\sin(\alpha)+\mu_s\cdot \cos(\alpha))=m\cdot \frac{v_{max}^2}{r}\]
|
||||
et :
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||||
\[R\cdot (\cos(\alpha)-\mu_s\cdot \sin(\alpha))=m\cdot g\]
|
||||
et, en divisant les deux équations :
|
||||
\[\frac{\sin(\alpha)+\mu_s\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)-\mu_s\cdot \sin(\alpha)}=\frac{v_{max}^2}{R\cdot g}\]
|
||||
D'où finalement :
|
||||
\[v_{max}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)+\mu_s}{1-\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
|
||||
Il existe donc une vitesse maximale pour des angles inférieurs à un angle $\alpha''$ déterminé au point suivant.
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||||
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||||
\item Vitesse maximale infinie.
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Cette vitesse maximale devient infinie pour des angles tels que le dénominateur de la fraction s'annule :
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\[1-\mu_s\cdot \tan(\alpha'')=0\]
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||||
C'est-à-dire pour un angle $\alpha''$ tel que :
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||||
\[\tan(\alpha'')=\frac{1}{\mu_s}\]
|
||||
Ainsi, il n'existe pas de vitesse maximale pour des angles suppérieurs ou égaux à $\alpha''$ :
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\[v_{max}=0\;\mbox{pour $\alpha$ tel que}\;\alpha \geq \arctan(\frac{1}{\mu_s})\]
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||||
\end{enumerate}
|
||||
En résumé, on peut définir deux angles :
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||||
\[\alpha'=\arctan(\mu_s)\;\mbox{ et }\;\alpha''=\arctan(\frac{1}{\mu_s})\]
|
||||
et deux vitesses :
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||||
\[v_{1}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)-\mu_s}{1+\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
|
||||
et :
|
||||
\[v_{2}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)+\mu_s}{1-\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
|
||||
La situation est alors la suivante :
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item pour un angle inférieur à $\alpha'$, pour passer le virage, il n'existe pas de vitesse minimale, mais une vitesse maximale :
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||||
\[v_{min}=0\;\mbox{ et }\;v_{max}=v_2\]
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||||
\item pour un angle suppérieur à $\alpha'$, mais inférieur à $\alpha''$, pour passer le virage, il existe une vitesse minimale et une vitesse maximale :
|
||||
\[v_{min}=v_1\;\mbox{ et }\;v_{max}=v_2\]
|
||||
\item et pour un angle suppérieur à $\alpha''$, pour passer le virage, il existe une vitesse minimale, mais pas de vitesse maximale :
|
||||
\[v_{min}=v_1\;\mbox{ et }\;v_{max}=\infty\]
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\subsection{Satellite en orbite géostationnaire}
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\label{geostat}
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\subsubsection{Introduction}
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Un exemple intéressant de l'utilisation de la seconde loi de Newton\index{seconde loi de Newton}, du mouvement circulaire uniforme\index{mouvement circulaire uniforme} et de la loi de la gravitation universelle\index{loi de la gravitation universelle}, est donné par le calcul de l'altitude\index{altitude} nécessaire pour qu'un satellite\index{satellite} soit en orbite\index{orbite} géostationnaire\index{géostationnaire}.
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\subsubsection{Théoriquement}
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On va donc utiliser les équations suivantes :
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\bigskip{}
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$F=m\cdot a$ : seconde loi de Newton
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$a=\frac{v^{2}}{R}$ : mouvement circulaire uniforme
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||||
$F=G\cdot\frac{M\cdot m}{R^{2}}$ : loi de la gravitation universelle
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\bigskip{}
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||||
De ces trois lois, on tire :
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||||
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||||
\[G\cdot\frac{M_{T}\cdot m_{s}}{(R_{T}+h)^{2}}=m_{s}\cdot\frac{v^{2}}{(R_{T}+h)}\]
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||||
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||||
où :
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item G est la constante de la gravitation universelle,
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||||
\item $M_{T}$ est la masse de la terre,
|
||||
\item $m_{s}$ est la masse du satellite,
|
||||
\item $R_{T}$ est le rayon de la terre,
|
||||
\item $h$ est l'altitude du satellite et
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||||
\item $v$ est la vitesse linéaire du satellite.
|
||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\bigskip{}
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||||
Avec, par définition de la vitesse, pour une trajectoire circulaire :
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||||
\[v=\frac{2\cdot\pi\cdot(R_{T}+h)}{T}\]
|
||||
|
||||
où :
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||||
$T$ est la période\index{période} du mouvement, c'est à dire le temps que doit mettre le satellite pour faire un tour autour de la terre.
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||||
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||||
\bigskip{}
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||||
De là on tire (faites les calculs par vous même) :
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||||
\[h=(\frac{G\cdot M_{T}\cdot T^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R_{T}\]
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||||
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||||
\subsubsection{Numériquement}
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||||
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||||
Le calcul est simple :
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\begin{align*}
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||||
h & = &\\
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||||
& = & (\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot60\cdot60)^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}\\
|
||||
& - & 6,37\cdot10^{6}\\
|
||||
& = & 35'857\: km
|
||||
\end{align*}
|
||||
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||||
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\subsection{Mouvement central}
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||||
Un mouvement central\footnote{Une bonne description des mouvements centraux se trouve dans : \cite{GC88} pp. 140-163. Notamment, s'y trouve une bonne analyse du mouvement des satellites.} est un mouvement dont l'accélération pointe toujours vers le même point. Il existe essentiellement deux types de mouvement centraux. Ceux dont l'accélération est inversément proportionnelle à la distance et ceux où elle est inversément proportionnelle à la distance au carré. Nous n'allons considérer ici que ces derniers qui sont en relation avec la loi de la gravitation universelle. On parle alors de mouvements kepleriens.
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||||
\subsubsection{Mouvement kepleriens}
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||||
On va donc considérer un mouvement dont l'accélération est une conséquence de la deuxième loi de Newton et de la loi de la gravitation universelle :
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\[\overrightarrow{a}=G\cdot \frac{M}{r^3}\cdot \overrightarrow{r}\]
|
||||
Pour un mouvement central keplerien, on montre :
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\begin{enumerate}
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||||
\item que la trajectoire est dans un plan,
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||||
\item que le mouvement suit la loi des aires :
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||||
le vecteur décrivant la position de l'objet balaye des aires égales pendant des temps égaux.
|
||||
\item que la trajectoire est une cônique dont le foyer correspond au point central,
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||||
\item que si la trajectoire est un ellipse dont le demi-grand axe vaut $a$, alors la période du mouvement est :
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||||
\[T=2\pi\cdot \sqrt{\frac{a^3}{\kappa}}\]
|
||||
ou $\kappa$ est une constante du mouvement.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\subsubsection{Loi de Kepler}
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||||
Kepler énonça trois lois qui dérivent des précédentes et de la forme de l'accélération. Elles s'appliquaient aux planètes, mais on sait aujourd'hui qu'elles ont une portée plus importante, puisqu'elles peuvent aussi s'appliquer aux satellites par exemple. Elles s'énoncent de la manière suivante :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La trajectoire des planètes autour du soleil est une ellipse dont il occupe un des foyers.
|
||||
\item Le vecteur dont l'origine est sur le soleil et qui décrit la position de la planète balaye des aires égales dans des temps égaux.
|
||||
\item Le carré du rapport des périodes vaut le cube du rapport des grands axes.
|
||||
\[\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
269
Annexe-MecaniqueDim/Images/Ballon.eps
Normal file
269
Annexe-MecaniqueDim/Images/Ballon.eps
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@ -0,0 +1,269 @@
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%%For: guyotv@debian ()
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%%EndComments
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||||
/$F2psDict 200 dict def
|
||||
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|
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$F2psDict /mtrx matrix put
|
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/col-1 {0 setgray} bind def
|
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|
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|
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|
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end
|
||||
save
|
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newpath 0 152 moveto 0 0 lineto 149 0 lineto 149 152 lineto closepath clip newpath
|
||||
-13.4 156.7 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/DrawEllipse {
|
||||
/endangle exch def
|
||||
/startangle exch def
|
||||
/yrad exch def
|
||||
/xrad exch def
|
||||
/y exch def
|
||||
/x exch def
|
||||
/savematrix mtrx currentmatrix def
|
||||
x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
|
||||
closepath
|
||||
savematrix setmatrix
|
||||
} def
|
||||
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Ellipse
|
||||
7.500 slw
|
||||
n 1305 630 542 542 0 360 DrawEllipse gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
||||
0 slc
|
||||
n 1080 1485 m 1530 1485 l 1530 1620 l 1080 1620 l
|
||||
cp gs col0 s gr
|
||||
% Arc
|
||||
n 605.2 2451.1 104.2 -62.0604 9.3517 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Arc
|
||||
n 2440.3 2447.0 137.6 -138.0269 169.5292 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
n 225 2475 m
|
||||
2565 2475 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1080 1485 m
|
||||
810 855 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1530 1485 m
|
||||
1800 855 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1530 1620 m
|
||||
2475 2475 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
807 2037 m 748 2138 l 786 2161 l 846 2060 l 846 2060 l 789 2114 l 807 2037 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1077 1618 m
|
||||
775 2137 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 807 2037 m 789 2114 l 846 2060 l 819 2062 l 807 2037 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1870 1959 m 1957 2037 l 1987 2004 l 1900 1926 l 1900 1926 l 1941 1993 l 1870 1959 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1529 1623 m
|
||||
1961 2011 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1870 1959 m 1941 1993 l 1900 1926 l 1896 1952 l 1870 1959 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1284 2001 m 1284 2118 l 1329 2119 l 1329 2002 l 1329 2002 l 1307 2077 l 1284 2001 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1308 1558 m
|
||||
1307 2104 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1284 2001 m 1307 2077 l 1329 2002 l 1307 2017 l 1284 2001 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1071 1621 m
|
||||
576 2476 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1328 424 m 1328 307 l 1283 308 l 1283 425 l 1283 425 l 1306 350 l 1328 424 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1307 934 m
|
||||
1306 323 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1328 424 m 1306 350 l 1283 425 l 1306 409 l 1328 424 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
2177 1669 m 2294 1669 l 2294 1624 l 2177 1624 l 2177 1624 l 2252 1647 l 2177 1669 l cp
|
||||
1861 1263 m 1861 1146 l 1816 1146 l 1816 1263 l 1816 1263 l 1839 1188 l 1861 1263 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1839 1161 m 1839 1647 l
|
||||
2279 1647 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1861 1263 m 1839 1188 l 1816 1263 l 1839 1248 l 1861 1263 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2177 1669 m 2252 1647 l 2177 1624 l 2192 1647 l 2177 1669 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
802 1693 m 857 1693 l 857 1677 l 802 1677 l 802 1677 l 821 1685 l 802 1692 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 754 1685 m
|
||||
842 1685 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 802 1692 m 821 1685 l 802 1677 l 806 1685 l 802 1692 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1410 1785 m 1465 1785 l 1465 1769 l 1410 1769 l 1410 1769 l 1429 1777 l 1410 1784 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1362 1777 m
|
||||
1450 1777 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1410 1784 m 1429 1777 l 1410 1769 l 1414 1777 l 1410 1784 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1896 1714 m 1951 1714 l 1951 1698 l 1896 1698 l 1896 1698 l 1915 1706 l 1896 1713 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1848 1706 m
|
||||
1936 1706 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1896 1713 m 1915 1706 l 1896 1698 l 1900 1706 l 1896 1713 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1410 566 m 1465 566 l 1465 550 l 1410 550 l 1410 550 l 1429 558 l 1410 565 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1362 558 m
|
||||
1450 558 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1410 565 m 1429 558 l 1410 550 l 1414 558 l 1410 565 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
737 2418 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
2146 2414 m
|
||||
gs 1 -1 sc (b) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
834 1890 m
|
||||
gs 1 -1 sc (1) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
742 1847 m
|
||||
gs 1 -1 sc (T) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1839 1877 m
|
||||
gs 1 -1 sc (T) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
1952 1927 m
|
||||
gs 1 -1 sc (2) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 180.00 scf sf
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
eoclip
|
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|
||||
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|
||||
|
||||
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|
||||
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|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
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|
||||
eoclip
|
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|
||||
1100 3425 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1064 3455 m 1094 3425 l 1064 3395 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
972 3556 m
|
||||
gs 1 -1 sc (v) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 135.00 scf sf
|
||||
1045 3618 m
|
||||
gs 1 -1 sc (1) col0 sh gr
|
||||
% Arc
|
||||
n 1779.9 3882.3 164.9 -179.9 -114.3 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1043 3870 m 1043 3930 l 1194 3930 l 1074 3900 l 1194 3870 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1868 3900 m
|
||||
1058 3900 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1194 3870 m 1074 3900 l 1194 3930 l 1194 3870 l cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1358 3232 m 1312 3270 l 1407 3388 l 1355 3276 l 1453 3350 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1868 3911 m
|
||||
1345 3263 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1453 3350 m 1355 3276 l 1407 3388 l 1453 3350 l cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1385 3273 m 1330 3248 l 1267 3386 l 1345 3290 l 1322 3411 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1067 3897 m
|
||||
1352 3275 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1322 3411 m 1345 3290 l 1267 3386 l 1322 3411 l cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 835 3515 m
|
||||
910 3515 l gs col0 s gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
1456 3792 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
% Arc
|
||||
n 1318.8 1395.3 293.1 135.4 95.6 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 1282 1417 897 897 0 360 DrawEllipse gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
464 2286 m 464 2346 l 615 2346 l 495 2316 l 615 2286 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1289 2316 m
|
||||
479 2316 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 615 2286 m 495 2316 l 615 2346 l 615 2286 l cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
79 1305 m 33 1343 l 128 1461 l 76 1349 l 174 1423 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 589 1984 m
|
||||
66 1336 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 174 1423 m 76 1349 l 128 1461 l 174 1423 l cp gs col7 1.00 shd ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1288 2322 m
|
||||
1288 1445 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 593 1990 m
|
||||
1288 1454 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 532 1909 m 611 1845 l
|
||||
671 1920 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1203 2314 m 1203 2235 l
|
||||
1290 2235 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1328 3053 m 1388 3053 l 1388 2901 l 1358 3021 l 1328 2901 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1358 2588 m
|
||||
1358 3038 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1328 2901 m 1358 3021 l 1388 2901 l col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1334 1946 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 180.00 scf sf
|
||||
1080 1804 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
580 1927 m
|
||||
gs 1 -1 sc (.) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
||||
1217 2280 m
|
||||
gs 1 -1 sc (.) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 180.00 scf sf
|
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817 1669 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
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$F2psEnd
|
||||
rs
|
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603
Annexe-MecaniqueDim/Images/Parabolesecurite.eps
Normal file
603
Annexe-MecaniqueDim/Images/Parabolesecurite.eps
Normal file
@ -0,0 +1,603 @@
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%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
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%%Title: Parabolesecurite.fig
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%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 5-alpha5
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%%CreationDate: Tue Nov 22 20:14:59 2005
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%%For: guyotv@debian ()
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%%BoundingBox: 0 0 161 85
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%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
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/$F2psDict 200 dict def
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$F2psDict begin
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$F2psDict /mtrx matrix put
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/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
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/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
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|
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end
|
||||
save
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newpath 0 85 moveto 0 0 lineto 161 0 lineto 161 85 lineto closepath clip newpath
|
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-23.2 139.3 translate
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1 -1 scale
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|
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|
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|
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/sf {setfont} bind def
|
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|
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|
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/tr {translate} bind def
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/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
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bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
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4 -2 roll mul srgb} bind def
|
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/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
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/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
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|
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$F2psBegin
|
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10 setmiterlimit
|
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0 slj 0 slc
|
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0.06299 0.06299 sc
|
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%
|
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% Fig objects follow
|
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%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
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% Polyline
|
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0 slj
|
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0 slc
|
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7.500 slw
|
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gs clippath
|
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|
||||
425 980 m 425 863 l 380 863 l 380 980 l 380 980 l 403 905 l 425 980 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 403 878 m 403 2176 l
|
||||
2898 2177 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 425 980 m 403 905 l 380 980 l 403 965 l 425 980 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2795 2199 m 2871 2177 l 2796 2154 l 2811 2176 l 2795 2199 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
2 slj
|
||||
n 408 2176 m 408 2174 l 408 2170 l 409 2162 l 409 2149 l 410 2132 l
|
||||
411 2109 l 413 2080 l 415 2046 l 417 2007 l 419 1964 l
|
||||
422 1917 l 425 1867 l 428 1814 l 431 1760 l 434 1705 l
|
||||
438 1650 l 441 1595 l 445 1541 l 449 1489 l 453 1438 l
|
||||
458 1389 l 462 1342 l 467 1299 l 471 1258 l 476 1220 l
|
||||
482 1187 l 487 1158 l 493 1134 l 499 1116 l 506 1104 l
|
||||
512 1100 l 518 1104 l 525 1116 l 531 1134 l 537 1159 l
|
||||
542 1188 l 547 1221 l 552 1259 l 557 1300 l 562 1344 l
|
||||
566 1390 l 570 1439 l 574 1490 l 578 1543 l 582 1597 l
|
||||
585 1652 l 589 1707 l 592 1762 l 595 1817 l 598 1869 l
|
||||
601 1920 l 603 1967 l 606 2010 l 608 2049 l 609 2083 l
|
||||
611 2111 l 612 2135 l 613 2152 l 613 2165 l 614 2173 l
|
||||
614 2177 l
|
||||
614 2179 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 408 2174 m 408 2172 l 409 2168 l 409 2160 l 411 2147 l 412 2130 l
|
||||
414 2107 l 417 2079 l 420 2045 l 424 2006 l 429 1963 l
|
||||
434 1916 l 439 1866 l 445 1814 l 451 1760 l 457 1705 l
|
||||
464 1650 l 471 1596 l 478 1542 l 486 1490 l 493 1439 l
|
||||
502 1391 l 510 1344 l 519 1301 l 528 1260 l 538 1223 l
|
||||
548 1189 l 559 1160 l 570 1136 l 582 1118 l 594 1106 l
|
||||
607 1102 l 620 1106 l 632 1117 l 644 1136 l 655 1159 l
|
||||
666 1188 l 677 1222 l 687 1259 l 696 1299 l 705 1343 l
|
||||
714 1389 l 722 1437 l 730 1488 l 738 1540 l 745 1594 l
|
||||
753 1648 l 760 1703 l 766 1758 l 773 1811 l 779 1864 l
|
||||
784 1914 l 789 1960 l 794 2004 l 798 2042 l 801 2076 l
|
||||
804 2104 l 807 2127 l 808 2144 l 810 2157 l 810 2165 l
|
||||
811 2169 l
|
||||
811 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 406 2174 m 406 2172 l 407 2168 l 408 2160 l 410 2147 l 412 2130 l
|
||||
416 2107 l 420 2079 l 425 2046 l 431 2007 l 438 1965 l
|
||||
446 1918 l 454 1868 l 463 1816 l 472 1763 l 482 1709 l
|
||||
492 1654 l 503 1600 l 514 1547 l 525 1495 l 537 1444 l
|
||||
549 1396 l 562 1350 l 576 1307 l 590 1266 l 604 1229 l
|
||||
620 1196 l 636 1167 l 653 1144 l 671 1126 l 689 1114 l
|
||||
708 1110 l 727 1114 l 745 1126 l 763 1144 l 780 1167 l
|
||||
796 1196 l 811 1229 l 826 1266 l 840 1307 l 853 1350 l
|
||||
866 1396 l 878 1444 l 890 1495 l 901 1547 l 912 1600 l
|
||||
922 1654 l 933 1709 l 942 1763 l 951 1816 l 960 1868 l
|
||||
968 1918 l 976 1965 l 982 2007 l 988 2046 l 993 2079 l
|
||||
997 2107 l 1001 2130 l 1003 2147 l 1005 2160 l 1006 2168 l
|
||||
1007 2172 l
|
||||
1007 2174 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 406 2171 m 406 2169 l 407 2165 l 409 2157 l 411 2145 l 414 2128 l
|
||||
419 2106 l 424 2078 l 431 2045 l 439 2007 l 448 1965 l
|
||||
457 1919 l 468 1870 l 480 1819 l 492 1767 l 505 1713 l
|
||||
518 1660 l 532 1607 l 546 1554 l 561 1503 l 577 1454 l
|
||||
593 1406 l 610 1361 l 627 1318 l 645 1279 l 665 1242 l
|
||||
685 1210 l 706 1181 l 729 1158 l 752 1140 l 776 1129 l
|
||||
801 1125 l 826 1129 l 850 1140 l 873 1158 l 896 1181 l
|
||||
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|
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1010 1406 l 1026 1454 l 1042 1503 l 1057 1554 l 1071 1607 l
|
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1198 2169 l
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% Polyline
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n 403 2174 m 403 2172 l 404 2168 l 406 2160 l 409 2148 l 413 2131 l
|
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1392 2174 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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n 403 2171 m 403 2169 l 404 2166 l 406 2160 l 409 2150 l 414 2136 l
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% Polyline
|
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n 406 2174 m 407 2173 l 408 2169 l 410 2163 l 413 2153 l 418 2140 l
|
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|
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|
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1735 2172 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
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n 408 2171 m 409 2170 l 410 2166 l 412 2160 l 416 2151 l 422 2138 l
|
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|
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1827 2008 l 1841 2042 l 1853 2072 l 1864 2098 l 1873 2120 l
|
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1880 2138 l 1885 2151 l 1889 2160 l 1891 2166 l 1892 2170 l
|
||||
|
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1893 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
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n 408 2174 m 409 2173 l 410 2170 l 413 2164 l 417 2155 l 424 2143 l
|
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|
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|
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|
||||
|
||||
2182 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 408 2171 m 409 2170 l 410 2167 l 413 2161 l 418 2153 l 425 2141 l
|
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434 2126 l 446 2106 l 460 2083 l 476 2056 l 495 2026 l
|
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|
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1522 1343 l 1573 1360 l 1622 1381 l 1668 1405 l 1713 1432 l
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2097 1840 l 2125 1880 l 2151 1920 l 2175 1958 l 2198 1993 l
|
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2218 2027 l 2237 2057 l 2253 2084 l 2267 2107 l 2278 2127 l
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2287 2142 l 2294 2154 l 2299 2162 l 2302 2168 l 2303 2171 l
|
||||
|
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2304 2172 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 410 2177 m 411 2176 l 412 2174 l 415 2170 l 420 2163 l 426 2154 l
|
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435 2142 l 445 2127 l 459 2108 l 474 2087 l 492 2062 l
|
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512 2036 l 534 2006 l 559 1975 l 584 1942 l 612 1908 l
|
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|
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2497 2160 l 2502 2167 l 2505 2171 l 2506 2173 l
|
||||
2507 2174 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 407 2177 m 408 2176 l 409 2174 l 412 2170 l 417 2164 l 424 2155 l
|
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433 2144 l 444 2129 l 458 2112 l 474 2092 l 493 2069 l
|
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2241 1786 l 2275 1819 l 2307 1852 l 2338 1885 l 2368 1918 l
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2396 1950 l 2423 1981 l 2448 2010 l 2471 2038 l 2492 2063 l
|
||||
2510 2086 l 2526 2106 l 2540 2123 l 2551 2138 l 2560 2149 l
|
||||
2566 2158 l 2571 2164 l 2574 2168 l 2575 2170 l
|
||||
2576 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 405 2177 m 406 2176 l 407 2174 l 410 2171 l 415 2165 l 422 2157 l
|
||||
431 2146 l 443 2132 l 457 2116 l 474 2097 l 493 2076 l
|
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515 2052 l 539 2027 l 565 1999 l 593 1970 l 622 1940 l
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1587 1496 l 1648 1502 l 1707 1511 l 1764 1523 l 1819 1538 l
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2101 1669 l 2142 1696 l 2182 1724 l 2220 1753 l 2257 1782 l
|
||||
2292 1813 l 2327 1843 l 2360 1874 l 2393 1905 l 2423 1935 l
|
||||
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|
||||
2570 2092 l 2586 2111 l 2600 2127 l 2612 2140 l 2621 2151 l
|
||||
2628 2159 l 2633 2165 l 2636 2168 l 2637 2170 l
|
||||
2638 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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% Polyline
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2717 2171 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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n 403 2174 m 404 2173 l 406 2172 l 410 2168 l 415 2164 l 424 2157 l
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|
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2717 2171 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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|
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|
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2679 2174 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
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n 409 2174 m 410 2173 l 412 2172 l 415 2169 l 421 2166 l 429 2160 l
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|
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|
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|
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% Polyline
|
||||
n 409 2174 m 410 2173 l 412 2172 l 417 2169 l 423 2165 l 433 2159 l
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||||
2575 2170 l
|
||||
2576 2171 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 409 2174 m 410 2173 l 412 2172 l 416 2170 l 423 2166 l 432 2161 l
|
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|
||||
548 2098 l 577 2084 l 608 2068 l 641 2052 l 675 2036 l
|
||||
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||||
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||||
/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
||||
/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
||||
/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 140 moveto 0 0 lineto 150 0 lineto 150 140 lineto closepath clip newpath
|
||||
-4.5 146.1 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
||||
/ef {eofill} bind def
|
||||
/gr {grestore} bind def
|
||||
/gs {gsave} bind def
|
||||
/sa {save} bind def
|
||||
/rs {restore} bind def
|
||||
/l {lineto} bind def
|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
||||
/slc {setlinecap} bind def
|
||||
/slj {setlinejoin} bind def
|
||||
/slw {setlinewidth} bind def
|
||||
/srgb {setrgbcolor} bind def
|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 275.5 1744.0 235.7 -26.1797 7.8020 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
||||
n 2427 1784 m 83 1784 l
|
||||
2417 935 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1184 1058 m 1580 916 l 1682 1197 l 1287 1341 l
|
||||
1184 1058 l cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1399 2180 m 1399 2322 l 1444 2322 l 1444 2180 l 1444 2180 l 1422 2274 l 1399 2180 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1422 1132 m
|
||||
1422 2307 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1399 2180 m 1422 2274 l 1444 2180 l 1422 2199 l 1399 2180 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1730 2043 m 1777 2176 l 1820 2161 l 1772 2028 l 1772 2028 l 1783 2124 l 1730 2043 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1794 2155 m
|
||||
1426 1126 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1730 2043 m 1783 2124 l 1772 2028 l 1757 2053 l 1730 2043 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 1422 2297 m
|
||||
1072 1253 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 1422 2297 m
|
||||
1791 2152 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1124 228 m 1077 95 l 1034 110 l 1082 243 l 1082 243 l 1072 148 l 1124 228 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1425 1138 m
|
||||
1061 117 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1124 228 m 1072 148 l 1082 243 l 1097 218 l 1124 228 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1182 1187 m 1047 1233 l 1062 1276 l 1197 1230 l 1197 1230 l 1101 1239 l 1182 1187 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1426 1129 m
|
||||
1069 1250 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1182 1187 m 1101 1239 l 1197 1230 l 1172 1214 l 1182 1187 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1336 449 m 1391 447 l 1390 431 l 1335 433 l 1335 434 l 1355 441 l 1336 449 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1286 444 m
|
||||
1376 440 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1336 449 m 1355 441 l 1335 434 l 1340 441 l 1336 449 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
966 1030 m 1021 1028 l 1020 1012 l 965 1014 l 965 1015 l 985 1022 l 966 1030 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 916 1025 m
|
||||
1006 1021 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 966 1030 m 985 1022 l 965 1015 l 970 1022 l 966 1030 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1728 1471 m 1783 1469 l 1782 1453 l 1727 1455 l 1727 1456 l 1747 1463 l 1728 1471 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1678 1466 m
|
||||
1768 1462 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1728 1471 m 1747 1463 l 1727 1456 l 1732 1463 l 1728 1471 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1529 1922 m 1584 1920 l 1583 1904 l 1528 1906 l 1528 1907 l 1548 1914 l 1529 1922 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1479 1917 m
|
||||
1569 1913 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1529 1922 m 1548 1914 l 1528 1907 l 1533 1914 l 1529 1922 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
279 1058 m 169 1097 l 184 1140 l 294 1100 l 294 1100 l 216 1105 l 279 1058 l cp
|
||||
525 512 m 489 400 l 446 414 l 483 526 l 483 526 l 481 448 l 525 512 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 473 422 m 647 951 l
|
||||
191 1114 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 525 512 m 481 448 l 483 526 l 499 504 l 525 512 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 279 1058 m 216 1105 l 294 1100 l 272 1084 l 279 1058 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
899 1371 m 766 1419 l 781 1462 l 914 1414 l 914 1414 l 819 1425 l 899 1371 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1256 1266 m
|
||||
788 1436 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 899 1371 m 819 1425 l 914 1414 l 889 1399 l 899 1371 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
722 1229 m 777 1227 l 776 1211 l 721 1213 l 721 1214 l 741 1221 l 722 1229 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 672 1224 m
|
||||
762 1220 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 722 1229 m 741 1221 l 721 1214 l 726 1221 l 722 1229 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1674 1029 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1474 2066 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1670 1614 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
909 1173 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
977 1218 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
1738 1655 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
561 1734 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1278 592 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
360 495 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
225 1215 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
676 1328 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
756 1369 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
% here ends figure;
|
||||
$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
showpage
|
||||
%%Trailer
|
||||
%EOF
|
||||
330
Annexe-MecaniqueDim/Images/Planincline2.eps
Normal file
330
Annexe-MecaniqueDim/Images/Planincline2.eps
Normal file
@ -0,0 +1,330 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
|
||||
%%Title: Planincline2.fig
|
||||
%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 5-alpha5
|
||||
%%CreationDate: Tue Nov 15 22:49:11 2005
|
||||
%%For: guyotv@debian ()
|
||||
%%BoundingBox: 0 0 150 140
|
||||
%Magnification: 1.0000
|
||||
%%EndComments
|
||||
/$F2psDict 200 dict def
|
||||
$F2psDict begin
|
||||
$F2psDict /mtrx matrix put
|
||||
/col-1 {0 setgray} bind def
|
||||
/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
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/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
|
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/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
|
||||
/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
|
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/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
|
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/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
|
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/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
|
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/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
|
||||
/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
||||
/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
||||
/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 140 moveto 0 0 lineto 150 0 lineto 150 140 lineto closepath clip newpath
|
||||
-4.5 146.1 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
||||
/ef {eofill} bind def
|
||||
/gr {grestore} bind def
|
||||
/gs {gsave} bind def
|
||||
/sa {save} bind def
|
||||
/rs {restore} bind def
|
||||
/l {lineto} bind def
|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
||||
/slc {setlinecap} bind def
|
||||
/slj {setlinejoin} bind def
|
||||
/slw {setlinewidth} bind def
|
||||
/srgb {setrgbcolor} bind def
|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 275.5 1744.0 235.7 -26.1797 7.8020 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
||||
n 2427 1784 m 83 1784 l
|
||||
2417 935 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1184 1058 m 1580 916 l 1682 1197 l 1287 1341 l
|
||||
1184 1058 l cp gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1399 2180 m 1399 2322 l 1444 2322 l 1444 2180 l 1444 2180 l 1422 2274 l 1399 2180 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1422 1132 m
|
||||
1422 2307 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1399 2180 m 1422 2274 l 1444 2180 l 1422 2199 l 1399 2180 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1124 228 m 1077 95 l 1034 110 l 1082 243 l 1082 243 l 1072 148 l 1124 228 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1425 1138 m
|
||||
1061 117 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1124 228 m 1072 148 l 1082 243 l 1097 218 l 1124 228 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1529 1922 m 1584 1920 l 1583 1904 l 1528 1906 l 1528 1907 l 1548 1914 l 1529 1922 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1479 1917 m
|
||||
1569 1913 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1529 1922 m 1548 1914 l 1528 1907 l 1533 1914 l 1529 1922 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
899 1371 m 766 1419 l 781 1462 l 914 1414 l 914 1414 l 819 1425 l 899 1371 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1256 1266 m
|
||||
788 1436 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 899 1371 m 819 1425 l 914 1414 l 889 1399 l 899 1371 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1443 237 m 1443 95 l 1398 96 l 1398 237 l 1398 237 l 1421 144 l 1443 237 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1422 1124 m
|
||||
1421 111 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1443 237 m 1421 144 l 1398 237 l 1421 218 l 1443 237 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1518 511 m 1573 509 l 1572 493 l 1517 495 l 1517 496 l 1537 503 l 1518 511 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1468 506 m
|
||||
1558 502 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1518 511 m 1537 503 l 1517 496 l 1522 503 l 1518 511 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1140 1104 m 1047 1104 l 1048 1149 l 1140 1149 l 1140 1149 l 1084 1127 l 1140 1104 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1423 1126 m
|
||||
1063 1127 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1140 1104 m 1084 1127 l 1140 1149 l 1128 1126 l 1140 1104 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
916 945 m 971 943 l 970 927 l 915 929 l 915 930 l 935 937 l 916 945 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 866 940 m
|
||||
956 936 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 916 945 m 935 937 l 915 930 l 920 937 l 916 945 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 1064 138 m
|
||||
1063 1127 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 1063 126 m
|
||||
1422 126 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
969 187 m 1024 185 l 1023 169 l 968 171 l 968 172 l 988 179 l 969 187 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 919 182 m
|
||||
1009 178 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 969 187 m 988 179 l 968 172 l 973 179 l 969 187 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
718 1339 m 773 1337 l 772 1321 l 717 1323 l 717 1324 l 737 1331 l 718 1339 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 668 1334 m
|
||||
758 1330 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 718 1339 m 737 1331 l 717 1324 l 722 1331 l 718 1339 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
922 1239 m 781 1239 l 781 1284 l 922 1284 l 922 1284 l 829 1262 l 922 1239 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1260 1262 m
|
||||
796 1262 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 922 1239 m 829 1262 l 922 1284 l 904 1262 l 922 1239 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1245 1374 m 1245 1448 l 1275 1448 l 1275 1374 l 1275 1374 l 1260 1412 l 1245 1374 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1260 1262 m
|
||||
1260 1433 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1245 1374 m 1260 1412 l 1275 1374 l 1260 1382 l 1245 1374 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 796 1433 m
|
||||
796 1262 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
n 800 1432 m
|
||||
1256 1433 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
260 826 m 143 826 l 143 871 l 260 871 l 260 871 l 185 849 l 260 826 l cp
|
||||
598 487 m 598 370 l 553 370 l 553 487 l 553 487 l 576 412 l 598 487 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 576 385 m 576 849 l
|
||||
158 849 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 598 487 m 576 412 l 553 487 l 576 472 l 598 487 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 260 826 m 185 849 l 260 871 l 245 849 l 260 826 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
694 1115 m 749 1113 l 748 1097 l 693 1099 l 693 1100 l 713 1107 l 694 1115 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 644 1110 m
|
||||
734 1106 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 694 1115 m 713 1107 l 693 1100 l 698 1107 l 694 1115 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1193 1482 m 1248 1480 l 1247 1464 l 1192 1466 l 1192 1467 l 1212 1474 l 1193 1482 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1143 1477 m
|
||||
1233 1473 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1193 1482 m 1212 1474 l 1192 1467 l 1197 1474 l 1193 1482 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1674 1029 m
|
||||
gs 1 -1 sc (m) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1474 2066 m
|
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gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
561 1734 m
|
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gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1460 650 m
|
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gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
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1572 681 m
|
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gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
861 1098 m
|
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gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
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978 1138 m
|
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gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
915 332 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
680 1444 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
128 806 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
463 435 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
653 1208 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
730 1238 m
|
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gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1155 1580 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
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1228 1601 m
|
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gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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showpage
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%%Trailer
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%EOF
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191
Annexe-MecaniqueDim/Images/Tira.eps
Normal file
191
Annexe-MecaniqueDim/Images/Tira.eps
Normal file
@ -0,0 +1,191 @@
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%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
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%%Title: Tira.fig
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%%CreationDate: Tue Nov 22 07:09:36 2005
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%%BoundingBox: 0 0 131 125
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%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
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/$F2psDict 200 dict def
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$F2psDict begin
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|
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end
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save
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newpath 0 125 moveto 0 0 lineto 131 0 lineto 131 125 lineto closepath clip newpath
|
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-23.3 141.0 translate
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1 -1 scale
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|
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|
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/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
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/DrawEllipse {
|
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/endangle exch def
|
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/startangle exch def
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|
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/xrad exch def
|
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/y exch def
|
||||
/x exch def
|
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/savematrix mtrx currentmatrix def
|
||||
x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
|
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closepath
|
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savematrix setmatrix
|
||||
} def
|
||||
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 381.8 2189.9 150.9 -53.2765 5.3518 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Arc
|
||||
n 404.4 2127.6 263.9 -78.5111 16.8355 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 997 1389 18 18 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
||||
gs clippath
|
||||
2328 2227 m 2445 2227 l 2445 2182 l 2328 2182 l 2328 2182 l 2403 2205 l 2328 2227 l cp
|
||||
427 372 m 427 255 l 382 255 l 382 372 l 382 372 l 405 297 l 427 372 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 405 270 m 405 2205 l
|
||||
2430 2205 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 427 372 m 405 297 l 382 372 l 405 357 l 427 372 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2328 2227 m 2403 2205 l 2328 2182 l 2343 2205 l 2328 2227 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
2 slj
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
n 405 2205 m 405 2203 l 406 2199 l 407 2192 l 408 2180 l 411 2163 l
|
||||
413 2141 l 417 2114 l 422 2081 l 427 2042 l 433 1998 l
|
||||
440 1950 l 448 1897 l 456 1841 l 465 1782 l 475 1721 l
|
||||
485 1658 l 495 1595 l 506 1531 l 517 1468 l 529 1405 l
|
||||
541 1344 l 553 1285 l 566 1227 l 579 1171 l 593 1118 l
|
||||
607 1068 l 622 1021 l 637 977 l 653 937 l 670 901 l
|
||||
688 871 l 706 845 l 725 826 l 745 814 l 765 810 l
|
||||
785 814 l 805 826 l 824 845 l 842 871 l 860 901 l
|
||||
877 937 l 893 977 l 908 1021 l 923 1068 l 937 1118 l
|
||||
951 1171 l 964 1227 l 977 1285 l 989 1344 l 1001 1405 l
|
||||
1013 1468 l 1024 1531 l 1035 1595 l 1045 1658 l 1055 1721 l
|
||||
1065 1782 l 1074 1841 l 1082 1897 l 1090 1950 l 1097 1998 l
|
||||
1103 2042 l 1108 2081 l 1113 2114 l 1117 2141 l 1119 2163 l
|
||||
1122 2180 l 1123 2192 l 1124 2199 l 1125 2203 l
|
||||
1125 2205 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
n 405 2205 m 406 2204 l 407 2201 l 410 2195 l 414 2186 l 420 2174 l
|
||||
429 2157 l 439 2137 l 451 2112 l 466 2084 l 483 2052 l
|
||||
501 2017 l 522 1979 l 544 1939 l 568 1897 l 593 1855 l
|
||||
619 1811 l 646 1768 l 674 1725 l 704 1682 l 734 1640 l
|
||||
765 1600 l 797 1561 l 831 1524 l 866 1488 l 903 1455 l
|
||||
941 1424 l 981 1396 l 1023 1370 l 1067 1348 l 1113 1330 l
|
||||
1161 1317 l 1210 1308 l 1260 1305 l 1310 1308 l 1359 1317 l
|
||||
1407 1330 l 1453 1348 l 1497 1370 l 1539 1396 l 1579 1424 l
|
||||
1617 1455 l 1654 1488 l 1689 1524 l 1723 1561 l 1755 1600 l
|
||||
1786 1640 l 1816 1682 l 1846 1725 l 1874 1768 l 1901 1811 l
|
||||
1927 1855 l 1952 1897 l 1976 1939 l 1998 1979 l 2019 2017 l
|
||||
2037 2052 l 2054 2084 l 2069 2112 l 2081 2137 l 2091 2157 l
|
||||
2100 2174 l 2106 2186 l 2110 2195 l 2113 2201 l 2114 2204 l
|
||||
|
||||
2115 2205 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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495 405 m
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gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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1005 1310 m
|
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gs 1 -1 sc (C) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
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702 2119 m
|
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gs 1 -1 sc (b) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
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532 2124 m
|
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gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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2290 2120 m
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gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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showpage
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%%Trailer
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168
Annexe-MecaniqueDim/Images/Tirb.eps
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%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
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/$F2psDict 200 dict def
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$F2psDict begin
|
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$F2psDict /mtrx matrix put
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/col-1 {0 setgray} bind def
|
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/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
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/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
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/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
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/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
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/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
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/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
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/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
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/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
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/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
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/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
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end
|
||||
save
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newpath 0 125 moveto 0 0 lineto 131 0 lineto 131 125 lineto closepath clip newpath
|
||||
-20.5 129.7 translate
|
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1 -1 scale
|
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|
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/cp {closepath} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
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/sh {show} bind def
|
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|
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/slj {setlinejoin} bind def
|
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/slw {setlinewidth} bind def
|
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|
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/rot {rotate} bind def
|
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/sc {scale} bind def
|
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/sd {setdash} bind def
|
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/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/DrawEllipse {
|
||||
/endangle exch def
|
||||
/startangle exch def
|
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/yrad exch def
|
||||
/xrad exch def
|
||||
/y exch def
|
||||
/x exch def
|
||||
/savematrix mtrx currentmatrix def
|
||||
x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
|
||||
closepath
|
||||
savematrix setmatrix
|
||||
} def
|
||||
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
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10 setmiterlimit
|
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0 slj 0 slc
|
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0.06299 0.06299 sc
|
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%
|
||||
% Fig objects follow
|
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%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
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7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 344.5 2002.4 154.0 -64.0069 8.0477 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Ellipse
|
||||
n 1350 855 18 18 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
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gs clippath
|
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2283 2047 m 2400 2047 l 2400 2002 l 2283 2002 l 2283 2002 l 2358 2025 l 2283 2047 l cp
|
||||
382 192 m 382 75 l 337 75 l 337 192 l 337 192 l 360 117 l 382 192 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 360 90 m 360 2025 l
|
||||
2385 2025 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 382 192 m 360 117 l 337 192 l 360 177 l 382 192 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2283 2047 m 2358 2025 l 2283 2002 l 2298 2025 l 2283 2047 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
2 slj
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
n 362 2024 m 362 2023 l 363 2020 l 365 2014 l 368 2005 l 373 1993 l
|
||||
378 1976 l 386 1955 l 395 1929 l 405 1899 l 418 1865 l
|
||||
431 1827 l 447 1786 l 464 1741 l 482 1693 l 501 1644 l
|
||||
521 1593 l 543 1541 l 565 1488 l 588 1435 l 612 1383 l
|
||||
637 1330 l 662 1279 l 688 1229 l 715 1181 l 743 1134 l
|
||||
771 1089 l 801 1046 l 832 1006 l 864 967 l 898 932 l
|
||||
933 900 l 969 872 l 1007 847 l 1047 827 l 1088 812 l
|
||||
1130 802 l 1172 799 l 1214 802 l 1256 812 l 1297 827 l
|
||||
1336 847 l 1374 872 l 1411 900 l 1446 932 l 1479 967 l
|
||||
1511 1006 l 1542 1046 l 1571 1089 l 1600 1134 l 1628 1181 l
|
||||
1654 1229 l 1680 1279 l 1705 1330 l 1730 1383 l 1753 1435 l
|
||||
1776 1488 l 1798 1541 l 1819 1593 l 1840 1644 l 1859 1693 l
|
||||
1877 1741 l 1893 1786 l 1908 1827 l 1922 1865 l 1934 1899 l
|
||||
1945 1929 l 1954 1955 l 1961 1976 l 1966 1993 l 1971 2005 l
|
||||
1974 2014 l 1976 2020 l 1977 2023 l
|
||||
1977 2024 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
445 205 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
2250 1935 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
527 1944 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
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1440 810 m
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||||
gs 1 -1 sc (C) col0 sh gr
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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showpage
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%%Trailer
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%EOF
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198
Annexe-MecaniqueDim/Images/Tirbalistique.eps
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%%Title: Tirbalistique.fig
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%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 5-alpha5
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%%CreationDate: Sun Nov 20 21:12:37 2005
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%Magnification: 1.0000
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%%EndComments
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/$F2psDict 200 dict def
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$F2psDict begin
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$F2psDict /mtrx matrix put
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/col-1 {0 setgray} bind def
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/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
|
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/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
||||
/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
||||
/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 140 moveto 0 0 lineto 145 0 lineto 145 140 lineto closepath clip newpath
|
||||
-12.0 153.0 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
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/ef {eofill} bind def
|
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/gr {grestore} bind def
|
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|
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|
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|
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|
||||
/m {moveto} bind def
|
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/rm {rmoveto} bind def
|
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/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
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/sh {show} bind def
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
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|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 221.1 2335.1 138.9 -69.4135 2.0334 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Polyline
|
||||
0 slj
|
||||
gs clippath
|
||||
2373 2362 m 2490 2362 l 2490 2317 l 2373 2317 l 2373 2317 l 2448 2340 l 2373 2362 l cp
|
||||
247 327 m 247 210 l 202 210 l 202 327 l 202 327 l 225 252 l 247 327 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 225 225 m 225 2340 l
|
||||
2475 2340 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 247 327 m 225 252 l 202 327 l 225 312 l 247 327 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2373 2362 m 2448 2340 l 2373 2317 l 2388 2340 l 2373 2362 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
579 1139 m 610 1026 l 567 1014 l 536 1127 l 536 1127 l 578 1061 l 579 1139 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 225 2340 m
|
||||
585 1035 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 579 1139 m 578 1061 l 536 1127 l 562 1118 l 579 1139 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
462 911 m 517 911 l 517 895 l 462 895 l 462 895 l 481 903 l 462 910 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 425 903 m
|
||||
502 903 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 462 910 m 481 903 l 462 895 l 466 903 l 462 910 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[15 45] 45 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1926 2417 m 2043 2417 l 2043 2372 l 1926 2372 l 1926 2372 l 2001 2395 l 1926 2417 l cp
|
||||
325 2372 m 208 2372 l 208 2417 l 325 2417 l 325 2417 l 250 2395 l 325 2372 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 223 2395 m
|
||||
2028 2395 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 325 2372 m 250 2395 l 325 2417 l 310 2395 l 325 2372 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1926 2417 m 2001 2395 l 1926 2372 l 1941 2395 l 1926 2417 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
2 slj
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
n 225 2340 m 225 2339 l 226 2335 l 228 2330 l 230 2320 l 234 2307 l
|
||||
239 2289 l 245 2266 l 253 2239 l 262 2206 l 272 2168 l
|
||||
285 2126 l 298 2078 l 313 2027 l 329 1972 l 347 1914 l
|
||||
366 1853 l 385 1789 l 406 1725 l 428 1659 l 450 1592 l
|
||||
473 1525 l 497 1458 l 522 1393 l 547 1328 l 573 1264 l
|
||||
599 1201 l 627 1141 l 655 1082 l 684 1026 l 714 972 l
|
||||
745 921 l 777 873 l 811 827 l 846 786 l 882 748 l
|
||||
919 714 l 958 686 l 999 662 l 1040 645 l 1082 634 l
|
||||
1125 630 l 1168 634 l 1210 645 l 1251 662 l 1292 686 l
|
||||
1331 714 l 1368 748 l 1404 786 l 1439 827 l 1473 873 l
|
||||
1505 921 l 1536 972 l 1566 1026 l 1595 1082 l 1623 1141 l
|
||||
1651 1201 l 1677 1264 l 1703 1328 l 1728 1393 l 1753 1458 l
|
||||
1777 1525 l 1800 1592 l 1822 1659 l 1844 1725 l 1865 1789 l
|
||||
1884 1853 l 1903 1914 l 1921 1972 l 1937 2027 l 1952 2078 l
|
||||
1965 2126 l 1978 2168 l 1988 2206 l 1997 2239 l 2005 2266 l
|
||||
2011 2289 l 2016 2307 l 2020 2320 l 2022 2330 l 2024 2335 l
|
||||
2025 2339 l
|
||||
2025 2340 l gs col0 s gr [] 0 sd
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
483 1059 m
|
||||
gs 1 -1 sc (o) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
418 1020 m
|
||||
gs 1 -1 sc (v) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
276 360 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
2347 2279 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1077 586 m
|
||||
gs 1 -1 sc (S) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
2045 2297 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1033 2312 m
|
||||
gs 1 -1 sc (L) col0 sh gr
|
||||
% here ends figure;
|
||||
$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
showpage
|
||||
%%Trailer
|
||||
%EOF
|
||||
251
Annexe-MecaniqueDim/Images/Viragesvmaxfinie.eps
Normal file
251
Annexe-MecaniqueDim/Images/Viragesvmaxfinie.eps
Normal file
@ -0,0 +1,251 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
|
||||
%%Title: Viragesvmaxfinie.fig
|
||||
%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 5-alpha5
|
||||
%%CreationDate: Sat Nov 26 17:01:51 2005
|
||||
%%For: guyotv@debian ()
|
||||
%%BoundingBox: 0 0 154 73
|
||||
%Magnification: 1.0000
|
||||
%%EndComments
|
||||
/$F2psDict 200 dict def
|
||||
$F2psDict begin
|
||||
$F2psDict /mtrx matrix put
|
||||
/col-1 {0 setgray} bind def
|
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/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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|
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/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
|
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|
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|
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|
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|
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/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
|
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/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
|
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/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
|
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/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
|
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/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
|
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/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
|
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/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
|
||||
/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
|
||||
/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
|
||||
/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
|
||||
/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
|
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/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
|
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/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
|
||||
/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
||||
/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
||||
/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 73 moveto 0 0 lineto 154 0 lineto 154 73 lineto closepath clip newpath
|
||||
-8.6 143.6 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
||||
/cp {closepath} bind def
|
||||
/ef {eofill} bind def
|
||||
/gr {grestore} bind def
|
||||
/gs {gsave} bind def
|
||||
/sa {save} bind def
|
||||
/rs {restore} bind def
|
||||
/l {lineto} bind def
|
||||
/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
||||
/slc {setlinecap} bind def
|
||||
/slj {setlinejoin} bind def
|
||||
/slw {setlinewidth} bind def
|
||||
/srgb {setrgbcolor} bind def
|
||||
/rot {rotate} bind def
|
||||
/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
||||
/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
||||
/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 1201.0 2174.5 104.4 -52.2033 14.7036 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Arc
|
||||
gs clippath
|
||||
494 1564 m 513 1522 l 486 1510 l 467 1551 l 467 1551 l 489 1541 l 494 1564 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 402.4 1498.6 96.8 133.3197 18.9494 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
0 slj
|
||||
n 494 1564 m 489 1541 l 467 1551 l 482 1554 l 494 1564 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 2565 2205 m 1035 2205 l
|
||||
2475 1485 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1624 1770 m 1843 1658 l 1899 1769 l 1683 1879 l
|
||||
1625 1766 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1741 2099 m 1741 2173 l 1771 2173 l 1771 2099 l 1771 2099 l 1756 2137 l 1741 2099 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1770 m
|
||||
1756 2158 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1741 2099 m 1756 2137 l 1771 2099 l 1756 2107 l 1741 2099 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1761 1261 m 1760 1187 l 1730 1188 l 1731 1261 l 1731 1261 l 1746 1224 l 1761 1261 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1746 1203 m
|
||||
1756 1772 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1761 1261 m 1746 1224 l 1731 1261 l 1746 1253 l 1761 1261 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1632 1520 m 1596 1456 l 1570 1471 l 1605 1535 l 1605 1535 l 1601 1495 l 1632 1520 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1777 m
|
||||
1591 1477 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1632 1520 m 1601 1495 l 1605 1535 l 1615 1521 l 1632 1520 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1248 1757 m 1175 1756 l 1174 1786 l 1248 1787 l 1248 1787 l 1211 1772 l 1248 1757 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1773 m
|
||||
1190 1772 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1248 1757 m 1211 1772 l 1248 1787 l 1240 1772 l 1248 1757 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1584 1845 m 1518 1878 l 1532 1905 l 1598 1872 l 1598 1872 l 1558 1876 l 1584 1845 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1752 1777 m
|
||||
1539 1885 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1584 1845 m 1558 1876 l 1598 1872 l 1584 1862 l 1584 1845 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[45 22 15 22] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1711 1781 m 1766 1781 l 1766 1765 l 1711 1765 l 1711 1765 l 1730 1773 l 1711 1780 l cp
|
||||
457 1765 m 403 1765 l 403 1781 l 457 1781 l 457 1780 l 439 1773 l 457 1765 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 418 1773 m
|
||||
1751 1773 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 457 1765 m 439 1773 l 457 1780 l 454 1773 l 457 1765 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1711 1780 m 1730 1773 l 1711 1765 l 1715 1773 l 1711 1780 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 408 1231 m
|
||||
408 2267 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1456 1355 m 1511 1353 l 1510 1337 l 1455 1339 l 1456 1340 l 1475 1347 l 1456 1355 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1407 1349 m
|
||||
1496 1346 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1456 1355 m 1475 1347 l 1456 1340 l 1460 1347 l 1456 1355 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1647 1984 m 1702 1982 l 1701 1966 l 1646 1968 l 1647 1969 l 1666 1976 l 1647 1984 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1598 1978 m
|
||||
1687 1975 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1647 1984 m 1666 1976 l 1647 1969 l 1651 1976 l 1647 1984 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1384 1828 m 1439 1826 l 1438 1810 l 1383 1812 l 1384 1813 l 1403 1820 l 1384 1828 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1335 1822 m
|
||||
1424 1819 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1384 1828 m 1403 1820 l 1384 1813 l 1388 1820 l 1384 1828 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1800 1273 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1248 1717 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1400 1503 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1590 2139 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
152 1250 m
|
||||
gs 1 -1 sc (axe de rotation) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
1334 2177 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1327 1963 m
|
||||
gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
||||
1422 1956 m
|
||||
gs 1 -1 sc (fr) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
999 1895 m
|
||||
gs 1 -1 sc (r) col0 sh gr
|
||||
% here ends figure;
|
||||
$F2psEnd
|
||||
rs
|
||||
showpage
|
||||
%%Trailer
|
||||
%EOF
|
||||
251
Annexe-MecaniqueDim/Images/Viragesvmin0.eps
Normal file
251
Annexe-MecaniqueDim/Images/Viragesvmin0.eps
Normal file
@ -0,0 +1,251 @@
|
||||
%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
|
||||
%%Title: Viragesvmin0.fig
|
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%%Creator: fig2dev Version 3.2 Patchlevel 5-alpha5
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%%CreationDate: Sat Nov 26 17:03:49 2005
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%%For: guyotv@debian ()
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%%BoundingBox: 0 0 154 73
|
||||
%Magnification: 1.0000
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||||
%%EndComments
|
||||
/$F2psDict 200 dict def
|
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$F2psDict begin
|
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$F2psDict /mtrx matrix put
|
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/col-1 {0 setgray} bind def
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/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
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/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
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/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
|
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/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
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/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
|
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/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
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/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
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|
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|
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|
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/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
|
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|
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/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
|
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|
||||
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/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
|
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/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
|
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/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
|
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/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
|
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/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
|
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/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
|
||||
/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
|
||||
|
||||
end
|
||||
save
|
||||
newpath 0 73 moveto 0 0 lineto 154 0 lineto 154 73 lineto closepath clip newpath
|
||||
-8.8 143.6 translate
|
||||
1 -1 scale
|
||||
|
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/cp {closepath} bind def
|
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/ef {eofill} bind def
|
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/gr {grestore} bind def
|
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/gs {gsave} bind def
|
||||
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|
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|
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|
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/m {moveto} bind def
|
||||
/rm {rmoveto} bind def
|
||||
/n {newpath} bind def
|
||||
/s {stroke} bind def
|
||||
/sh {show} bind def
|
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|
||||
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|
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|
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|
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/rot {rotate} bind def
|
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/sc {scale} bind def
|
||||
/sd {setdash} bind def
|
||||
/ff {findfont} bind def
|
||||
/sf {setfont} bind def
|
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/scf {scalefont} bind def
|
||||
/sw {stringwidth} bind def
|
||||
/tr {translate} bind def
|
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/tnt {dup dup currentrgbcolor
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
|
||||
4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
|
||||
bind def
|
||||
/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
|
||||
4 -2 roll mul srgb} bind def
|
||||
/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
|
||||
/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
|
||||
|
||||
$F2psBegin
|
||||
10 setmiterlimit
|
||||
0 slj 0 slc
|
||||
0.06299 0.06299 sc
|
||||
%
|
||||
% Fig objects follow
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% here starts figure with depth 50
|
||||
% Arc
|
||||
7.500 slw
|
||||
0 slc
|
||||
n 1201.0 2174.5 104.4 -52.2033 14.7036 arc
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
|
||||
% Arc
|
||||
gs clippath
|
||||
494 1564 m 513 1522 l 486 1510 l 467 1551 l 467 1551 l 489 1541 l 494 1564 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 402.4 1498.6 96.8 133.3197 18.9494 arcn
|
||||
gs col0 s gr
|
||||
gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
0 slj
|
||||
n 494 1564 m 489 1541 l 467 1551 l 482 1554 l 494 1564 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 2565 2205 m 1035 2205 l
|
||||
2475 1485 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
n 1624 1770 m 1843 1658 l 1899 1769 l 1683 1879 l
|
||||
1625 1766 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1741 2099 m 1741 2173 l 1771 2173 l 1771 2099 l 1771 2099 l 1756 2137 l 1741 2099 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1770 m
|
||||
1756 2158 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1741 2099 m 1756 2137 l 1771 2099 l 1756 2107 l 1741 2099 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1517 1326 m 1481 1262 l 1455 1277 l 1491 1341 l 1491 1341 l 1486 1301 l 1517 1326 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1476 1283 m
|
||||
1966 2142 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1517 1326 m 1486 1301 l 1491 1341 l 1500 1327 l 1517 1326 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1632 1520 m 1596 1456 l 1570 1471 l 1605 1535 l 1605 1535 l 1601 1495 l 1632 1520 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1777 m
|
||||
1591 1477 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1632 1520 m 1601 1495 l 1605 1535 l 1615 1521 l 1632 1520 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[60] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
2239 1549 m 2305 1516 l 2291 1489 l 2225 1522 l 2225 1522 l 2266 1519 l 2239 1549 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1773 m
|
||||
2285 1510 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 2239 1549 m 2266 1519 l 2225 1522 l 2239 1532 l 2239 1549 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1917 1708 m 1983 1674 l 1969 1647 l 1903 1681 l 1903 1681 l 1944 1678 l 1917 1708 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1752 1777 m
|
||||
1963 1668 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1917 1708 m 1944 1678 l 1903 1681 l 1917 1691 l 1917 1708 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[45 22 15 22] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
||||
1711 1781 m 1766 1781 l 1766 1765 l 1711 1765 l 1711 1765 l 1730 1773 l 1711 1780 l cp
|
||||
457 1765 m 403 1765 l 403 1781 l 457 1781 l 457 1780 l 439 1773 l 457 1765 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 418 1773 m
|
||||
1751 1773 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 457 1765 m 439 1773 l 457 1780 l 454 1773 l 457 1765 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1711 1780 m 1730 1773 l 1711 1765 l 1715 1773 l 1711 1780 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 408 1231 m
|
||||
408 2267 l gs col0 s gr
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1702 1349 m 1757 1349 l 1757 1333 l 1702 1333 l 1702 1333 l 1721 1341 l 1702 1348 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1644 1341 m
|
||||
1742 1341 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1702 1348 m 1721 1341 l 1702 1333 l 1706 1341 l 1702 1348 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1656 1994 m 1711 1994 l 1711 1978 l 1656 1978 l 1656 1978 l 1675 1986 l 1656 1993 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1598 1986 m
|
||||
1696 1986 l gs col0 s gr gr
|
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% arrowhead
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n 1656 1993 m 1675 1986 l 1656 1978 l 1660 1986 l 1656 1993 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
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gs clippath
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|
||||
eoclip
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n 1847 1433 m
|
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1945 1433 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
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% arrowhead
|
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n 1905 1440 m 1924 1433 l 1905 1425 l 1909 1433 l 1905 1440 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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1638 1500 m
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gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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1514 1247 m
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gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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967 1731 m
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gs 1 -1 sc (r) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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/Symbol ff 158.75 scf sf
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gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
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gs 1 -1 sc (axe de rotation) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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2152 1470 m
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gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
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/Times-Roman ff 158.75 scf sf
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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251
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Normal file
251
Annexe-MecaniqueDim/Images/Viragesvminpas0.eps
Normal file
@ -0,0 +1,251 @@
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%%EndComments
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end
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-8.6 143.6 translate
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
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4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
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%
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%
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%
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% here starts figure with depth 50
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|
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eoclip
|
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gs col0 s gr
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gr
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
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% Polyline
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|
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% Polyline
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|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
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|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1770 m
|
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1756 2158 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
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% arrowhead
|
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n 1741 2099 m 1756 2137 l 1771 2099 l 1756 2107 l 1741 2099 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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[60] 0 sd
|
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gs clippath
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|
||||
eoclip
|
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n 1746 1203 m
|
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|
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[] 0 sd
|
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% arrowhead
|
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n 1761 1261 m 1746 1224 l 1731 1261 l 1746 1253 l 1761 1261 l
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
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|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1777 m
|
||||
1591 1477 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1632 1520 m 1601 1495 l 1605 1535 l 1615 1521 l 1632 1520 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
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% Polyline
|
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[60] 0 sd
|
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gs clippath
|
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1248 1757 m 1175 1756 l 1174 1786 l 1248 1787 l 1248 1787 l 1211 1772 l 1248 1757 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1756 1773 m
|
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1190 1772 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
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% arrowhead
|
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n 1248 1757 m 1211 1772 l 1248 1787 l 1240 1772 l 1248 1757 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1917 1708 m 1983 1674 l 1969 1647 l 1903 1681 l 1903 1681 l 1944 1678 l 1917 1708 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1752 1777 m
|
||||
1963 1668 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1917 1708 m 1944 1678 l 1903 1681 l 1917 1691 l 1917 1708 l
|
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cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
[45 22 15 22] 0 sd
|
||||
gs clippath
|
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1711 1781 m 1766 1781 l 1766 1765 l 1711 1765 l 1711 1765 l 1730 1773 l 1711 1780 l cp
|
||||
457 1765 m 403 1765 l 403 1781 l 457 1781 l 457 1780 l 439 1773 l 457 1765 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 418 1773 m
|
||||
1751 1773 l gs col0 s gr gr
|
||||
[] 0 sd
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 457 1765 m 439 1773 l 457 1780 l 454 1773 l 457 1765 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1711 1780 m 1730 1773 l 1711 1765 l 1715 1773 l 1711 1780 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
n 408 1231 m
|
||||
408 2267 l gs col0 s gr
|
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% Polyline
|
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gs clippath
|
||||
1456 1355 m 1511 1353 l 1510 1337 l 1455 1339 l 1456 1340 l 1475 1347 l 1456 1355 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1407 1349 m
|
||||
1496 1346 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1456 1355 m 1475 1347 l 1456 1340 l 1460 1347 l 1456 1355 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1966 1467 m 2021 1465 l 2020 1449 l 1965 1451 l 1966 1452 l 1985 1459 l 1966 1467 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1917 1461 m
|
||||
2006 1458 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1966 1467 m 1985 1459 l 1966 1452 l 1970 1459 l 1966 1467 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
% Polyline
|
||||
gs clippath
|
||||
1647 1984 m 1702 1982 l 1701 1966 l 1646 1968 l 1647 1969 l 1666 1976 l 1647 1984 l cp
|
||||
eoclip
|
||||
n 1598 1978 m
|
||||
1687 1975 l gs col0 s gr gr
|
||||
|
||||
% arrowhead
|
||||
n 1647 1984 m 1666 1976 l 1647 1969 l 1651 1976 l 1647 1984 l
|
||||
cp gs 0.00 setgray ef gr col0 s
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1800 1273 m
|
||||
gs 1 -1 sc (y) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1909 1621 m
|
||||
gs 1 -1 sc (F) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1106 1921 m
|
||||
gs 1 -1 sc (r) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1248 1717 m
|
||||
gs 1 -1 sc (x) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1400 1503 m
|
||||
gs 1 -1 sc (R) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
1590 2139 m
|
||||
gs 1 -1 sc (P) col0 sh gr
|
||||
/Times-Roman ff 158.75 scf sf
|
||||
152 1250 m
|
||||
gs 1 -1 sc (axe de rotation) col0 sh gr
|
||||
/Symbol ff 158.75 scf sf
|
||||
1334 2177 m
|
||||
gs 1 -1 sc (a) col0 sh gr
|
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/Times-Roman ff 127.00 scf sf
|
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2003 1642 m
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gs 1 -1 sc (fr) col0 sh gr
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% here ends figure;
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$F2psEnd
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rs
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showpage
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%%Trailer
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%EOF
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64
Annexe-MesuresDistances/Annexe-MesuresDistances.aux
Normal file
64
Annexe-MesuresDistances/Annexe-MesuresDistances.aux
Normal file
@ -0,0 +1,64 @@
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\relax
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\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {C}Mesures de distances}{159}}
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
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\newlabel{tailleterre}{{C.1}{159}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {C.1.1}Le principe}{159}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {C.1}{\ignorespaces Taille de la terre\relax }}{159}}
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\newlabel{erathostenetailleterre}{{C.1}{159}}
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\citation{AS02}
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\citation{JJD21}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {C.1.2}Techniquement}{160}}
|
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\newlabel{scaphe}{{a}{160}}
|
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {C.2}La taille de la Lune}{161}}
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\newlabel{taillelune}{{C.2}{161}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {C.2}{\ignorespaces Taille de la lune}}{161}}
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\newlabel{tailledelalune}{{C.2}{161}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {C.3}La distance Terre-Lune}{161}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {C.4}La distance Terre-Soleil}{162}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {C.3}{\ignorespaces Parallaxe de Mars}}{162}}
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\newlabel{parallaxemars}{{C.3}{162}}
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\newlabel{opposition}{{C.2}{163}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {C.5}La distance des \IeC {\'e}toiles}{164}}
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\chapter{Mesures de distances}
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\lettrine{I}{l est ici question} de présenter quelques exemples de mesures de distances\index{mesure!de distance}. L'objectif est de se rendre compte à la fois de l'ingéniosité des raisonnements mis en \oe uvre et des difficultés techniques qui se sont présentées. Cela permet de travailler avec des ordres de grandeurs qui ne nous sont pas familiers et de mieux apprécier les connaissances qui se trouvent derrière les chiffres que les tables mettent à notre disposition.
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\section{La taille de la Terre}\label{tailleterre}
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La mesure du rayon de la Terre la plus connue, car très simple et historiquement très ancienne, est celle d'Érathosthène\index{Eratosthene@Ératosthène} (284-192 av. J.-C.). Le principe est simple, mais la mise en \oe uvre beaucoup moins évidente. Nous allons successivement voir chacune de ces deux étapes.
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\subsection{Le principe}
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Il faut tout d'abord relever que nous ne connaissons le travail d'Érathosthène qu'à travers d'autres auteurs (L'astronome Cléomède\index{Cleomede@Cléomède}, l'historien Strabon\index{Strabon} et le naturaliste romain Pline l'ancien\index{Pline l'Ancien}). Ces sources, aussi éminentes soient-elles, ne doivent pas être exemptes de toute critique, comme nous le verrons par la suite.
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Le principe de la mesure est simple. Considérons la figure \ref{erathostenetailleterre}. On y voit la Terre dont l'axe de rotation est incliné par rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. On y voit l'ancienne ville de Syène\index{Syene@Syène}, c'est-à-dire l'actuelle Assouan\index{Assouan}, qui se trouve sur le tropique du Cancer\index{tropique!du Cancer}, au moment du solstice d'été\index{solstice!d'été}. Le Soleil se trouve alors au zénith\index{zenith@zénith}, c'est-à-dire à la perpendiculaire de l'horizon du lieu. Ses rayons pourraient alors pénétrer jusqu'au plus profond d'un puits construit verticalement. Au même moment, on peut considérer l'ombre au sol d'un gnomon (un bâton vertical) planté plus au nord à Alexandrie\index{Alexandrie}. Sa longueur et celle du gnomon\index{gnomon} permettent de déterminer l'angle \(\alpha\) de la figure \ref{erathostenetailleterre}. Or, celui-ci a un correspondant au centre de la Terre qui sous-tend l'arc de cercle entre Syène et Alexandrie. Si, par ailleurs, on connaît la mesure de cet arc, il est aisé de déterminer la circonférence de la Terre\index{circonference@circonférence!de la terre} et, ainsi, son rayon.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Taille de la terre\label{erathostenetailleterre}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst}
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\end{figure}
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Comme Érathosthène à évalué la distance entre Syène et Alexandrie à \unit{5000}{stades} et la longueur de l'ombre portée par le gnomon\index{gnomon} à \(1/8\) de sa hauteur, on peut en déduire :
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\begin{enumerate}
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\item que l'angle \(\alpha\) est (anachroniquement car Érathosthène l'a simplement obtenu à partir de mesures faites avec un scaphé\index{scaphe@scaphé}\footnote{\label{scaphe}Le scaphé est une sorte de bol en forme de demi-sphère muni en son centre d'un gnomon, c'est-à-dire un petit stylet vertical.}) donné par : \[\tan(\alpha)=\frac{1/8}{1}=1/8\;\Rightarrow\;\alpha=7,13^{\circ}=7^{\circ}8'\]
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\item que la circonférence de la Terre vaut : \[C=5000\cdot \frac{360}{7,13}=\unit{252'631}{stades}\]
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\item et que son rayon vaut alors, \[C=2\cdot \pi\cdot R\,\Rightarrow\;R=\frac{252'631}{2\cdot \pi}=\unit{40'208}{stades}\]
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\end{enumerate}
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Évidemment, il faut savoir ce que vaut un stade\index{stade}. Et là apparaît le premier problème. En effet, les estimations varient entre 157,5 et \unit{192,27}{\metre}. Si on utilise la première valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 157,5=\unit{6'333}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente, par rapport à la valeur actuelle, une erreur de :
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\[e=\frac{6'378-6'333}{6'378}\cdot 100=0,7\%\]
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alors qu'avec la seconde valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 192,27=\unit{7'730}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente une erreur de :
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\[e=\frac{7'730-6378}{6378}\cdot 100=21,2\%\]
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\subsection{Techniquement}
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On loue souvent la méthode d'Érathosthène pour la précision de sa mesure. Mais comme on ne connaît pas de manière certaine la valeur du stade, il faut être très prudent.
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D'autant plus prudent que ce n'est pas le seul problème posé par la mesure d'Érathosthène\footnote{Les points ci-dessus sont aussi développés dans \cite[p. 1193-1196]{AS02}.}. Jean-Baptiste Joseph Delambre\index{Delambre} dans \cite[p. 92-96.]{JJD21} développe une critique de la mesure d'Érathosthène basée sur les points suivants :
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\begin{description}
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\item[La mesure de l'angle], tout d'abord. On ne sait pas précisément comment Érathosthène a mesuré cet angle. Il a pu utiliser un scaphé\footnote{Op. cit. \ref{scaphe}} ou d'un gnomon de grande taille (environ cinq mètres). Évidemment, la mesure avec un gnomon de cinq mètres est plus précise que celle avec un scaphé de plus petite taille. Or, avec un gnomon de cinq mètres, en imaginant une précision de \(\pm \unit{3}{\milli\metre}\) sur l'ombre portée, on peut déterminer l'imprécision sur l'angle en considérant un triangle rectangle de côté adjacent valant cinq mètres et de côté opposé valant \unit{3}{\milli\metre}. Ainsi, on a :
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\[tan(\Delta \alpha)=\frac{3}{5000}\;\Rightarrow\;\Delta \alpha=0,034^{\circ}=2'\]
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Avec un gnomon de $1\,m$, l'incertitude angulaire, correspondant à $3\,mm$ sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
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D'autant plus que l'ombre du Soleil n'est pas nette en raison de son diamètre apparent. En effet, le diamètre apparent\index{diametre@diamètre!apparent} du Soleil, c'est-à-dire l'angle sous lequel on le voit, est de \(32'\). Cela signifie que par rapport à l'ombre d'un gnomon idéal pointant directement vers le centre d'un soleil ponctuel, l'ombre d'un gnomon réel sera \(15'\) plus longue (par un flou de l'extrémité de l'ombre), en raison des rayons provenant du bord du disque solaire.
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Au minimum donc, l'erreur est de l'ordre de \(17'\). Or, cela correspond alors à une erreur sur le rayon de la Terre d'environ \(5\%\) dans le cas d'un stade à \unit{157,5}{\metre} et à \(26\%\) au maximum dans le cas d'un stade de \unit{192,27}{\metre} !
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\item[La mesure de l'arc], ensuite. Les calculs précédents montrent que la valeur du stade est déterminante pour la qualité de la mesure effectuée par Érathosthène. Mais, la valeur de l'arc aussi. Car, outre le fait que notre connaissance de la valeur du stade\index{stade} est incertaine, il semble que les mesures de distances aient pu se faire en durée de marche. Par exemple, à une journée de marche correspondrait \unit{200}{stades}. Ce qui permet de comprendre l'incertitude de la mesure. Par ailleurs, Érathosthène a lui-même fait un arrondi significatif. Considérant la distance de \unit{250'000}{stades} pour la circonférence de la Terre (obtenue avec un angle de \(7^{\circ}12'\)), il détermine la distance par degré : \(250'000/360=\unit{694,44}{stades}\) et \dots l'arrondit à \unit{700}{stades}. Il recalcule alors la circonférence terrestre\index{circonference@circonférence!de la terre} et obtient \(700\cdot 360=\unit{252'000}{stades}\).
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\end{description}
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Si ce qui précède montre qu'il faut être très prudent avec cette mesure de la Terre, cela permet aussi de se rendre compte qu'une mesure est toujours liée à l'incertitude\index{incertitude} des termes qui ont permis de l'obtenir. Sans l'évaluation de ces incertitudes, la mesure peut ne pas être significative. Bien entendu la méthode utilisée par Érathosthène est remarquable. Mais sa portée n'en reste pas moins limitée par la précision des mesures qu'elle utilise. Et, parallèlement, la portée historique de cette mesure est aussi à évaluer à l'aulne de ces incertitudes. C'est pourquoi, tout historien consciencieux ne peut se passer d'avoir une bonne connaissances des méthodes de mesures utilisées à l'époque et des moyens mathématiques nécessaires pour évaluer leur précision.
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\section{La taille de la Lune}\label{taillelune}
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Une première méthode simple consiste à observer une éclipse de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. On peut voir alors l'ombre de la Terre sur la Lune. En reproduisant un cercle qui épouse la forme de cette ombre, on peut déterminer le rapport de taille entre ces deux corps. La méthode paraît simple. Cependant, elle se complique quand on considère les deux problèmes suivants :
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\begin{itemize}
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\item La distance du Soleil à la Terre est finie et le Soleil a une taille importante par rapport à la Terre. Ainsi, l'ombre portée par la Terre sur la Lune n'a pas exactement la taille de la Terre.
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\item Sans photographie d'éclipses de Lune, il est très difficile de trouver le rapport de la taille de l'ombre de la Terre à celle de la Lune.
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\end{itemize}
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Même de nos jours, si on utilise des images trop petites, l'incertitude sur le rayon du cercle qui sous-tend l'ombre de la Terre sur la Lune est important. La figure \ref{tailledelalune} montre en effet, suivant l'image choisie, un rapport de \(95/28,9=3,3\) à \(60/28,9=2,1\).
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Taille de la lune]{Taille de la lune\label{tailledelalune} \par \scriptsize{Une taille incertaine\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Eclipse_lune.jpg=. notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Luc Viatour.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{RayonLune.eps}
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\end{figure}
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Et cela sans tenir compte du premier point mentionné ci-dessus.
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Cependant, cette méthode permet une première évaluation de la taille de la Lune. Pour cela, il faut encore tenir compte du premier point évoqué ci-dessus. On peut le faire de manière très rapide en constatant que lors des éclipses de Soleil\index{eclipse@éclipse!de Soleil}, l'ombre portée par la Lune sur la Terre est très petite. On estime que sur la distance Terre-Lune l'ombre de la Lune est réduite d'environ 70\%. On peut donc supposer qu'il en va de même pour l'ombre de la Terre portée sur la Lune lors d'éclipses de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. Ainsi, en prenant un rapport de diamètre de l'ombre de la Terre sur la Lune à la taille de la Lune de \(2,5\,\times\) environ, le rapport de la taille de la Terre (et non de son ombre sur la Lune) à celle de la Lune vaut \(3,5\,\times\) (car \(0,7^{-1}=1,4\) et \(2,5\cdot 1,4=3,5\,\times\)).
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On peut alors calculer la taille de la Lune à partir de la mesure du rayon terrestre d'Érathosthène. Si on admet qu'il ait pu obtenir une valeur du rayon de la Terre \(R=\unit{6333}{\kilo\metre}\), le rayon de la Lune \(r\) est alors :
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\[r=\frac{R}{3,5}=\frac{6333}{3,5}=\unit{1809}{\kilo\metre}\]
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Soit, par rapport à la valeur admise actuellement de \unit{1738}{\kilo\metre}, une erreur de 4\%.
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\section{La distance Terre-Lune}
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A partir de la valeur du rayon de la Terre, la mesure de la distance Terre-Lune est aisée. Il faut considérer que l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit la lune est d'un demi-degré, soit en radian \(\pi/360=\unit{0,0087}{\radian}\). Alors, à l'aide d'une simple relation liant la longueur d'un arc \(L\) à son angle \(\alpha\) au centre en radian et au rayon \(R\) du cercle, on tire :
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\begin{align*}
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L&=\alpha\cdot R\;\Rightarrow\\
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R&=\frac{L}{\alpha}=\frac{\phi_{lune}}{\alpha}\\
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R&=d_{Terre-Lune}=\frac{3'618}{0,0087}=\unit{415'862}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Ce qui représente environ 8\% d'écart avec la valeur d'aujourd'hui.
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\medskip
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De nos jours, la distance de la Terre à la Lune est mesuré par la réflexion de faisceaux laser sur des miroirs déposés par les missions Apollo\index{Apollo}. Elle atteint une précision de l'ordre de quelques millimètres.
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\section{La distance Terre-Soleil}
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La mesure de distances plus importantes que celle de la Terre à la Lune fut réalisée par la suite à l'aide de la méthode de la parallaxe\index{parallaxe}. On peut évoquer ici cette méthode qui nécessite une observation en deux points différents de la Terre. Une variante de cette méthode sera utilisée pour la mesure des distances aux étoiles.
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La mesure de la parallaxe repose sur l'idée suivante. Quand on observe son pouce levé devant soi à bout de bras avec l'\oe il droit puis l'\oe il gauche alternativement, on voit qu'il se déplace par rapport aux objets éloignés. Si le pouce est proche des yeux, il se déplace fortement et s'il est éloigné, il se déplace faiblement. L'observation de son mouvement permet donc de se faire une idée de la distance entre les yeux et le pouce.
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En termes astronomiques, on voit sur la figure \ref{parallaxemars} que l'angle \(\alpha\) entre une étoile lointaine et la Polaire\index{Polaire} est le même pour deux points d'observation \(C\) et \(P\) sur la Terre. Pour un astre peu éloigné \(M\), ces deux angles \(\beta\) et \(\gamma\) sont différents. On appelle parallaxe\index{parallaxe} de l'astre \(M\) l'angle \(\delta\) qui vaut :
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\[\delta=\gamma-\beta\]
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en raison du fait que deux droites parallèles sont toujours coupées par une troisième droite selon deux angles égaux.
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L'astronome Cassini, qui détermina pour la première fois la distance Terre-Soleil à partir de la parallaxe de Mars, décrit la mesure ainsi :
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\begin{quotation}
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``\textit{La meilleure méthode pour chercher la parallaxe de Mars par la correspondance des observations faites à Paris \& en Caïenne auroit été d'observer, par la lunette, la conjonction précise de cette planète avec une étoile fixe. Car si cette conjonction avoit été vue de l'un \& de l'autre lieu au même instant \& précisément de la même manière sans aucune distance, c'eût été une marque qu'il n'y avoit point de parallaxe sensible. S'il y en avoit eu quelque peu, à l'instant que Mars auroit paru toucher par son bord supérieur une Etoile fixe en Caïenne, il auroit paru à Paris un peu éloigné de la même Etoile vers l'Horizon, \& quand il auroit paru à Paris toucher l'Etoile par son bord inférieur, il auroit paru en Caïenne éloigné de la même Etoile vers le Zénit \& cette distance vue d'un lieu \& non pas de l'autre, aurait été attribuée à la parallaxe}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
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||||
\end{quotation}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Parallaxe de Mars]{Parallaxe de Mars\label{parallaxemars} \par \scriptsize{Première étape pour déterminer la distance Terre-Soleil.}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst}
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\end{figure}
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L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars $M$ et une étoile $E$ en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc} :
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\[\delta=\frac{PC}{MO}\;\Rightarrow\;MO=\frac{PC}{\delta}\]
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||||
La distance \(PC\), approximativement la distance entre Paris et Cayenne, permet alors de trouver \(MO\). La distance de la Terre à Mars vaut alors :
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\begin{equation}\label{dtm}
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d_{T-M}=MO+OT=MO+R_T
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\end{equation}
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où \(R_T\) est le rayon de la Terre.
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\smallskip
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||||
Le résultat est donné par Cassini\index{Cassini} lui-même :
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\begin{quotation}
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``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus $\Psi$, vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
|
||||
\end{quotation}
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||||
Le résultat de la mesure est donc de quinze secondes d'arc. Mais attention, il s'agit de la parallaxe qui est la moitié de l'angle \(\delta\). Celui-ci vaut donc : \(\delta=0,008332^{\circ}\) ou \unit{1,454\cdot 10^{-4}}{\radian}. Avec une distance de Paris à Cayenne de \unit{7082,1}{\kilo\metre} cela donne :
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||||
\[MO=\frac{7,0821\cdot 10^6}{1,454\cdot 10^{-4}}=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Soit une distance entre la Terre et Mars de :
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||||
\[d_{T-M}=4,87\cdot 10^{10}+6,371\cdot 10^6=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
|
||||
Mais ce n'est là que la distance de la Terre à Mars. Il fallait encore réaliser une condition de mesure pour obtenir la distance Terre-Soleil : choisir le bon moment. Cassini précise que la mesure fut faite trois jours avant l'opposition\index{opposition} du Soleil à Mars. Cela signifie qu'alors la Terre se trouvait sur une même ligne entre Mars et le Soleil. A ce moment, et seulement à ce moment, on peut écrire :
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\begin{equation}\label{opposition}
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d_{S-M}=d_{T-M}+d_{S-T}
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\end{equation}
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||||
où on n'a pas tenu compte du caractère elliptique des orbites\index{orbite!elliptique}, notamment de celle de Mars (voir ci-dessous). Mais, l'équation \ref{opposition} a deux inconnues : les distances Mars-Soleil et Terre-Soleil. Pour les déterminer, il faut une seconde équation.
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\smallskip
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||||
Il s'agit de la troisième loi de Kepler\index{Kepler!troisième loi}, donnée par l'équation \ref{keplertroisieme}, page \pageref{keplertroisieme}, appliquée au cas de la Terre et de Mars :
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\begin{equation}\label{oppositionkepler}
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||||
\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}
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||||
\end{equation}
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||||
où \(d_{S-T}\) et \(d_{S-M}\) sont les distances Soleil-Terre et Soleil-Mars et \(T_T\) et \(T_M\) leur périodes respectives.
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||||
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||||
Le système composé des équations \ref{opposition} et \ref{oppositionkepler} est un système de deux équations à deux inconnues. Pour le résoudre, remplaçons la distance \(d_{S-M}\) de l'équation \ref{opposition} dans la troisième loi de Kepler \ref{oppositionkepler} :
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||||
\begin{align}
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||||
\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}&=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}^3\frac{T_M^2}{T_T^2}&=d_{S-M}^3\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}^3(\frac{T_M}{T_T})^2&=(d_{T-M}+d_{S-T})^3\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}&=d_{T-M}+d_{S-T}\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-d_{S-T}&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}((\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-1)&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniua}
|
||||
\end{align}
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||||
Numériquement, avec les période de Mars et de la Terre \(T_T=365\,j\) et \(T_M=686\,j\), on obtient :
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||||
\[d_{S-T}=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(686/365)^{2/3}-1}=\unit{9,31\cdot 10^{10}}{\metre}\]
|
||||
Ce qui représente un écart de 38\% par rapport à la valeur de l'unité astronomique connue actuellement : \(d_{T-S}=\unit{1,496\cdot 10^{11}}{\metre}\). Cet écart est important. La moitié de celui-ci peut être attribuée à l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de Mars. En effet, un calcul\footnote{En opposition, le demi-grand axe de l'orbite de Mars s'exprime en réalité par : \(a_M=e\cdot a_M+d_{S-T}+d_{T-M}\). La grandeur \(e\cdot a_M\) représentant la distance du centre de l'ellipse\index{ellipse} de Mars au foyer\index{foyer} sur lequel se trouve le Soleil. On ne calcule plus alors dans l'équation de Kepler la distance \(d_{S-M}\), mais le demi-grand axe \(a_M\).} basé sur l'hypothèse d'une orbite terrestre circulaire, mais d'une orbite elliptique\index{orbite!elliptique} de Mars mène au résultat suivant :
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||||
\begin{align}
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d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(1-e)(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniuaexcentrique}\\
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&=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(1-0,093)(686/365)^{2/3}-1}\nonumber\\
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&=\unit{1,27\cdot 10^{11}}{\metre}\nonumber
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\end{align}
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où \(e\) est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de Mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de $15\%$.
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\section{La distance des étoiles}
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On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de Mars est d'environ $15''$ d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour Mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la Terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la Terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple, pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 millisecondes d'arc.
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\chapter{Mesures de distances}
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Il est ici question de présenter quelques exemples de mesures de distances\index{mesure!de distance}. L'objectif est de se rendre compte à la fois de l'ingéniosité des raisonnements mis en \oe uvre et des difficultés techniques qui se sont présentées. Cela permet de travailler avec des ordres de grandeurs qui ne nous sont pas familiers et de mieux apprécier les connaissances qui se trouvent derrière les chiffres que les tables mettent à notre disposition.
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\section{La taille de la Terre}\label{tailleterre}
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La mesure du rayon de la Terre la plus connue, car très simple et historiquement très ancienne, est celle d'Érathosthène\index{Erathostene@Érathostène} (284-192 av. J.-C.). Le principe est simple, mais la mise en \oe uvre beaucoup moins évidente. Nous allons successivement voir chacune de ces deux étapes.
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\subsection{Le principe}
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Il faut tout d'abord relever que nous ne connaissons le travail d'Érathosthène qu'à travers d'autres auteurs (L'astronome Cléomède\index{Cleomede@Cléomède}, l'historien Strabon\index{Strabon} et le naturaliste romain Pline l'ancien\index{Pline l'Ancien}). Ces sources, aussi éminentes soient-elles, ne doivent pas être exemptes de toute critique, comme nous le verrons par la suite.
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Le principe de la mesure est simple. Considérons la figure \ref{erathostenetailleterre}. On y voit la Terre dont l'axe de rotation est incliné par rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. On y voit l'ancienne ville de Syène\index{Syene@Syène}, c'est-à-dire l'actuelle Assouan\index{Assouan}, qui se trouve sur le tropique du Cancer\index{tropique!du Cancer}, au moment du solstice d'été\index{solstice!d'été}. Le Soleil se trouve alors au zénith\index{zenith@zénith}, c'est-à-dire à la perpendiculaire de l'horizon du lieu. Ses rayons pourraient alors pénétrer jusqu'au plus profond d'un puits construit verticalement. Au même moment, on peut considérer l'ombre au sol d'un gnomon (un bâton vertical) planté plus au nord à Alexandrie\index{Alexandrie}. Sa longueur et celle du gnomon\index{gnomon} permettent de déterminer l'angle \(\alpha\) de la figure \ref{erathostenetailleterre}. Or, celui-ci a un correspondant au centre de la Terre qui sous-tend l'arc de cercle entre Syène et Alexandrie. Si, par ailleurs, on connaît la mesure de cet arc, il est aisé de déterminer la circonférence de la Terre\index{circonference@circonférence!de la terre} et, ainsi, son rayon.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Taille de la terre\label{erathostenetailleterre}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst}
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\end{figure}
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Comme Érathosthène à évalué la distance entre Syène et Alexandrie à \unit{5000}{stades} et la longueur de l'ombre portée par le gnomon\index{gnomon} à \(1/8\) de sa hauteur, on peut en déduire :
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\begin{enumerate}
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\item que l'angle \(\alpha\) est (anachroniquement car Érathosthène l'a simplement obtenu à partir de mesures faites avec un scaphé\index{scaphe@scaphé}\footnote{\label{scaphe}Le scaphé est une sorte de bol en forme de demi-sphère muni en son centre d'un gnomon, c'est-à-dire un petit stylet vertical.}) donné par : \[\tan(\alpha)=\frac{1/8}{1}=1/8\;\Rightarrow\;\alpha=7,13^{\circ}=7^{\circ}8'\]
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\item que la circonférence de la Terre vaut : \[C=5000\cdot \frac{360}{7,13}=\unit{252'631}{stades}\]
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\item et que son rayon vaut alors, \[C=2\cdot \pi\cdot R\,\Rightarrow\;R=\frac{252'631}{2\cdot \pi}=\unit{40'208}{stades}\]
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\end{enumerate}
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Évidemment, il faut savoir ce que vaut un stade\index{stade}. Et là apparaît le premier problème. En effet, les estimations varient entre 157,5 et \unit{192,27}{\metre}. Si on utilise la première valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 157,5=\unit{6'333}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente, par rapport à la valeur actuelle, une erreur de :
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\[e=\frac{6'378-6'333}{6'378}\cdot 100=0,7\%\]
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alors qu'avec la seconde valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 192,27=\unit{7'730}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente une erreur de :
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\[e=\frac{7'730-6378}{6378}\cdot 100=21,2\%\]
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\subsection{Techniquement}
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On loue souvent la méthode d'Érathosthène pour la précision de sa mesure. Mais comme on ne connaît pas de manière certaine la valeur du stade, il faut être très prudent.
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D'autant plus prudent que ce n'est pas le seul problème posé par la mesure d'Érathosthène\footnote{Les points ci-dessus sont aussi développés dans \cite[p. 1193-1196]{AS02}.}. Jean-Baptiste Joseph Delambre\index{Delambre} dans \cite[p. 92-96.]{JJD21} développe une critique de la mesure d'Érathosthène basée sur les points suivants :
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\begin{description}
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\item[La mesure de l'angle], tout d'abord. On ne sait pas précisément comment Érathosthène a mesuré cet angle. Il a pu utiliser un scaphé\footnote{Op. cit. \ref{scaphe}} ou d'un gnomon de grande taille (environ cinq mètres). Évidemment, la mesure avec un gnomon de cinq mètres est plus précise que celle avec un scaphé de plus petite taille. Or, avec un gnomon de cinq mètres, en imaginant une précision de \(\pm \unit{3}{\milli\metre}\) sur l'ombre portée, on peut déterminer l'imprécision sur l'angle en considérant un triangle rectangle de côté adjacent valant cinq mètres et de côté opposé valant \unit{3}{\milli\metre}. Ainsi, on a :
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\[tan(\Delta \alpha)=\frac{3}{5000}\;\Rightarrow\;\Delta \alpha=0,034^{\circ}=2'\]
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Avec un gnomon de $1\,m$, l'incertitude angulaire, correspondant à $3\,mm$ sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
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D'autant plus que l'ombre du Soleil n'est pas nette en raison de son diamètre apparent. En effet, le diamètre apparent\index{diametre@diamètre!apparent} du Soleil, c'est-à-dire l'angle sous lequel on le voit, est de \(32'\). Cela signifie que par rapport à l'ombre d'un gnomon idéal pointant directement vers le centre d'un soleil ponctuel, l'ombre d'un gnomon réel sera \(15'\) plus longue (par un flou de l'extrémité de l'ombre), en raison des rayons provenant du bord du disque solaire.
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Au minimum donc, l'erreur est de l'ordre de \(17'\). Or, cela correspond alors à une erreur sur le rayon de la Terre d'environ \(5\%\) dans le cas d'un stade à \unit{157,5}{\metre} et à \(26\%\) au maximum dans le cas d'un stade de \unit{192,27}{\metre} !
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\item[La mesure de l'arc], ensuite. Les calculs précédents montrent que la valeur du stade est déterminante pour la qualité de la mesure effectuée par Érathosthène. Mais, la valeur de l'arc aussi. Car, outre le fait que notre connaissance de la valeur du stade\index{stade} est incertaine, il semble que les mesures de distances aient pu se faire en durée de marche. Par exemple, à une journée de marche correspondrait \unit{200}{stades}. Ce qui permet de comprendre l'incertitude de la mesure. Par ailleurs, Érathosthène a lui-même fait un arrondi significatif. Considérant la distance de \unit{250'000}{stades} pour la circonférence de la Terre (obtenue avec un angle de \(7^{\circ}12'\)), il détermine la distance par degré : \(250'000/360=\unit{694,44}{stades}\) et \dots l'arrondit à \unit{700}{stades}. Il recalcule alors la circonférence terrestre\index{circonference@circonférence!de la terre} et obtient \(700\cdot 360=\unit{252'000}{stades}\).
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\end{description}
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Si ce qui précède montre qu'il faut être très prudent avec cette mesure de la Terre, cela permet aussi de se rendre compte qu'une mesure est toujours liée à l'incertitude\index{incertitude} des termes qui ont permis de l'obtenir. Sans l'évaluation de ces incertitudes, la mesure peut ne pas être significative. Bien entendu la méthode utilisée par Érathosthène est remarquable. Mais sa portée n'en reste pas moins limitée par la précision des mesures qu'elle utilise. Et, parallèlement, la portée historique de cette mesure est aussi à évaluer à l'aulne de ces incertitudes. C'est pourquoi, tout historien consciencieux ne peut se passer d'avoir une bonne connaissances des méthodes de mesures utilisées à l'époque et des moyens mathématiques nécessaires pour évaluer leur précision.
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\section{La taille de la Lune}\label{taillelune}
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Une première méthode simple consiste à observer une éclipse de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. On peut voir alors l'ombre de la Terre sur la Lune. En reproduisant un cercle qui épouse la forme de cette ombre, on peut déterminer le rapport de taille entre ces deux corps. La méthode paraît simple. Cependant, elle se complique quand on considère les deux problèmes suivants :
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\begin{itemize}
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\item La distance du Soleil à la Terre est finie et le Soleil a une taille importante par rapport à la Terre. Ainsi, l'ombre portée par la Terre sur la Lune n'a pas exactement la taille de la Terre.
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\item Sans photographie d'éclipses de Lune, il est très difficile de trouver le rapport de la taille de l'ombre de la Terre à celle de la Lune.
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\end{itemize}
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Même de nos jours, si on utilise des images trop petites, l'incertitude sur le rayon du cercle qui sous-tend l'ombre de la Terre sur la Lune est important. La figure \ref{tailledelalune} montre en effet, suivant l'image choisie, un rapport de \(95/28,9=3,3\) à \(60/28,9=2,1\).
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Taille de la lune]{Taille de la lune\label{tailledelalune} \par \scriptsize{Une taille incertaine\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Eclipse_lune.jpg=. notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Luc Viatour.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{RayonLune.eps}
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\end{figure}
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Et cela sans tenir compte du premier point mentionné ci-dessus.
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Cependant, cette méthode permet une première évaluation de la taille de la Lune. Pour cela, il faut encore tenir compte du premier point évoqué ci-dessus. On peut le faire de manière très rapide en constatant que lors des éclipses de Soleil\index{eclipse@éclipse!de Soleil}, l'ombre portée par la Lune sur la Terre est très petite. On estime que sur la distance Terre-Lune l'ombre de la Lune est réduite d'environ 70\%. On peut donc supposer qu'il en va de même pour l'ombre de la Terre portée sur la Lune lors d'éclipses de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. Ainsi, en prenant un rapport de diamètre de l'ombre de la Terre sur la Lune à la taille de la Lune de \(2,5\,\times\) environ, le rapport de la taille de la Terre (et non de son ombre sur la Lune) à celle de la Lune vaut \(3,5\,\times\) (car \(0,7^{-1}=1,4\) et \(2,5\cdot 1,4=3,5\,\times\)).
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On peut alors calculer la taille de la Lune à partir de la mesure du rayon terrestre d'Érathosthène. Si on admet qu'il ait pu obtenir une valeur du rayon de la Terre \(R=\unit{6333}{\kilo\metre}\), le rayon de la Lune \(r\) est alors :
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\[r=\frac{R}{3,5}=\frac{6333}{3,5}=\unit{1809}{\kilo\metre}\]
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Soit, par rapport à la valeur admise actuellement de \unit{1738}{\kilo\metre}, une erreur de 4\%.
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\section{La distance Terre-Lune}
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A partir de la valeur du rayon de la Terre, la mesure de la distance Terre-Lune est aisée. Il faut considérer que l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit la lune est d'un demi-degré, soit en radian \(\pi/360=\unit{0,0087}{\radian}\). Alors, à l'aide d'une simple relation liant la longueur d'un arc \(L\) à son angle \(\alpha\) au centre en radian et au rayon \(R\) du cercle, on tire :
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\begin{align*}
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L&=\alpha\cdot R\;\Rightarrow\\
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R&=\frac{L}{\alpha}=\frac{\phi_{lune}}{\alpha}\\
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R&=d_{Terre-Lune}=\frac{3'618}{0,0087}=\unit{415'862}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Ce qui représente environ 8\% d'écart avec la valeur d'aujourd'hui.
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\medskip
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De nos jours, la distance de la Terre à la Lune est mesuré par la réflexion de faisceaux laser sur des miroirs déposés par les missions Apollo\index{Appolo}. Elle atteint une précision de l'ordre de quelques millimètres.
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\section{La distance Terre-Soleil}
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La mesure de distances plus importantes que celle de la Terre à la Lune fut réalisée par la suite à l'aide de la méthode de la parallaxe\index{parallaxe}. On peut évoquer ici cette méthode qui nécessite une observation en deux points différents de la Terre. Une variante de cette méthode sera utilisée pour la mesure des distances aux étoiles.
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La mesure de la parallaxe repose sur l'idée suivante. Quand on observe son pouce levé devant soi à bout de bras avec l'\oe il droit puis l'\oe il gauche alternativement, on voit qu'il se déplace par rapport aux objets éloignés. Si le pouce est proche des yeux, il se déplace fortement et s'il est éloigné, il se déplace faiblement. L'observation de son mouvement permet donc de se faire une idée de la distance entre les yeux et le pouce.
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En termes astronomiques, on voit sur la figure \ref{parallaxemars} que l'angle \(\alpha\) entre une étoile lointaine et la Polaire\index{Polaire} est le même pour deux points d'observation \(C\) et \(P\) sur la Terre. Pour un astre peu éloigné \(M\), ces deux angles \(\beta\) et \(\gamma\) sont différents. On appelle parallaxe\index{parallaxe} de l'astre \(M\) l'angle \(\delta\) qui vaut :
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\[\delta=\gamma-\beta\]
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en raison du fait que deux droites parallèles sont toujours coupées par une troisième droite selon deux angles égaux.
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L'astronome Cassini, qui détermina pour la première fois la distance Terre-Soleil à partir de la parallaxe de Mars, décrit la mesure ainsi :
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\begin{quotation}
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``\textit{La meilleure méthode pour chercher la parallaxe de Mars par la correspondance des observations faites à Paris \& en Caïenne auroit été d'observer, par la lunette, la conjonction précise de cette planète avec une étoile fixe. Car si cette conjonction avoit été vue de l'un \& de l'autre lieu au même instant \& précisément de la même manière sans aucune distance, c'eût été une marque qu'il n'y avoit point de parallaxe sensible. S'il y en avoit eu quelque peu, à l'instant que Mars auroit paru toucher par son bord supérieur une Etoile fixe en Caïenne, il auroit paru à Paris un peu éloigné de la même Etoile vers l'Horizon, \& quand il auroit paru à Paris toucher l'Etoile par son bord inférieur, il auroit paru en Caïenne éloigné de la même Etoile vers le Zénit \& cette distance vue d'un lieu \& non pas de l'autre, aurait été attribuée à la parallaxe}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
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\end{quotation}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Parallaxe de Mars]{Parallaxe de Mars\label{parallaxemars} \par \scriptsize{Première étape pour déterminer la distance Terre-Soleil.}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst}
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\end{figure}
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L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars $M$ et une étoile $E$ en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc} :
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\[\delta=\frac{PC}{MO}\;\Rightarrow\;MO=\frac{PC}{\delta}\]
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La distance \(PC\), approximativement la distance entre Paris et Cayenne, permet alors de trouver \(MO\). La distance de la Terre à Mars vaut alors :
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\begin{equation}\label{dtm}
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d_{T-M}=MO+OT=MO+R_T
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\end{equation}
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où \(R_T\) est le rayon de la Terre.
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\smallskip
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Le résultat est donné par Cassini\index{Cassini} lui-même :
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\begin{quotation}
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``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus $\Psi$, vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
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||||
\end{quotation}
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||||
Le résultat de la mesure est donc de quinze secondes d'arc. Mais attention, il s'agit de la parallaxe qui est la moitié de l'angle \(\delta\). Celui-ci vaut donc : \(\delta=0,008332^{\circ}\) ou \unit{1,454\cdot 10^{-4}}{\radian}. Avec une distance de Paris à Cayenne de \unit{7082,1}{\kilo\metre} cela donne :
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\[MO=\frac{7,0821\cdot 10^6}{1,454\cdot 10^{-4}}=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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Soit une distance entre la Terre et Mars de :
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\[d_{T-M}=4,87\cdot 10^{10}+6,371\cdot 10^6=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Mais ce n'est là que la distance de la Terre à Mars. Il fallait encore réaliser une condition de mesure pour obtenir la distance Terre-Soleil : choisir le bon moment. Cassini précise que la mesure fut faite trois jours avant l'opposition\index{opposition} du Soleil à Mars. Cela signifie qu'alors la Terre se trouvait sur une même ligne entre Mars et le Soleil. A ce moment, et seulement à ce moment, on peut écrire :
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\begin{equation}\label{opposition}
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d_{S-M}=d_{T-M}+d_{S-T}
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\end{equation}
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où on n'a pas tenu compte du caractère elliptique des orbites\index{orbite!elliptique}, notamment de celle de Mars (voir ci-dessous). Mais, l'équation \ref{opposition} a deux inconnues : les distances Mars-Soleil et Terre-Soleil. Pour les déterminer, il faut une seconde équation.
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\smallskip
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Il s'agit de la troisième loi de Kepler\index{Kepler!troisième loi}, donnée par l'équation \ref{keplertroisieme}, page \pageref{keplertroisieme}, appliquée au cas de la Terre et de Mars :
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\begin{equation}\label{oppositionkepler}
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\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}
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\end{equation}
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où \(d_{S-T}\) et \(d_{S-M}\) sont les distances Soleil-Terre et Soleil-Mars et \(T_T\) et \(T_M\) leur périodes respectives.
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Le système composé des équations \ref{opposition} et \ref{oppositionkepler} est un système de deux équations à deux inconnues. Pour le résoudre, remplaçons la distance \(d_{S-M}\) de l'équation \ref{opposition} dans la troisième loi de Kepler \ref{oppositionkepler} :
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\begin{align}
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\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}&=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}\;\Rightarrow\nonumber\\
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d_{S-T}^3\frac{T_M^2}{T_T^2}&=d_{S-M}^3\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}^3(\frac{T_M}{T_T})^2&=(d_{T-M}+d_{S-T})^3\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}&=d_{T-M}+d_{S-T}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-d_{S-T}&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}((\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-1)&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniua}
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||||
\end{align}
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Numériquement, avec les période de Mars et de la Terre \(T_T=365\,j\) et \(T_M=686\,j\), on obtient :
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\[d_{S-T}=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(686/365)^{2/3}-1}=\unit{9,31\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Ce qui représente un écart de 38\% par rapport à la valeur de l'unité astronomique connue actuellement : \(d_{T-S}=\unit{1,496\cdot 10^{11}}{\metre}\). Cet écart est important. La moitié de celui-ci peut être attribuée à l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de mars. En effet, un calcul\footnote{En opposition, le demi-grand axe de l'orbite de mars s'exprime en réalité par : $a_M=e\cdot a_M+d_{S-T}+d_{T-M}$. La grandeur $e\cdot a_M$ représentant la distance du centre de l'ellipse\index{ellipse} de mars au foyer\index{foyer} sur lequel se trouve le soleil. On ne calcule plus alors dans l'équation de Kepler la distance $d_{S-M}$, mais le demi-grand axe $a_M$.} basé sur l'hypothèse d'une orbite terrestre circulaire, mais d'une orbite elliptique\index{orbite!elliptique} de mars mène au résultat suivant :
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\begin{align}
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d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(1-e)(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniuaexcentrique}\\
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||||
&=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(1-0,093)(686/365)^{2/3}-1}\nonumber\\
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&=1,27\cdot 10^{11}\,m\nonumber
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||||
\end{align}
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où $e$ est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de $15\%$.
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\section{La distance des étoiles}
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On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de mars est d'environ $15''$ d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 milliseconde d'arc.
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Annexe-MesuresDistances/Annexe-MesuresDistances.tex~
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Annexe-MesuresDistances/Annexe-MesuresDistances.tex~
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\myclearpage
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\chapter{Mesures de distances}
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\lettrine{I}{l est ici question} de présenter quelques exemples de mesures de distances\index{mesure!de distance}. L'objectif est de se rendre compte à la fois de l'ingéniosité des raisonnements mis en \oe uvre et des difficultés techniques qui se sont présentées. Cela permet de travailler avec des ordres de grandeurs qui ne nous sont pas familiers et de mieux apprécier les connaissances qui se trouvent derrière les chiffres que les tables mettent à notre disposition.
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\section{La taille de la Terre}\label{tailleterre}
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La mesure du rayon de la Terre la plus connue, car très simple et historiquement très ancienne, est celle d'Érathosthène\index{Eratosthene@Ératosthène} (284-192 av. J.-C.). Le principe est simple, mais la mise en \oe uvre beaucoup moins évidente. Nous allons successivement voir chacune de ces deux étapes.
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\subsection{Le principe}
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Il faut tout d'abord relever que nous ne connaissons le travail d'Érathosthène qu'à travers d'autres auteurs (L'astronome Cléomède\index{Cleomede@Cléomède}, l'historien Strabon\index{Strabon} et le naturaliste romain Pline l'ancien\index{Pline l'Ancien}). Ces sources, aussi éminentes soient-elles, ne doivent pas être exemptes de toute critique, comme nous le verrons par la suite.
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Le principe de la mesure est simple. Considérons la figure \ref{erathostenetailleterre}. On y voit la Terre dont l'axe de rotation est incliné par rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. On y voit l'ancienne ville de Syène\index{Syene@Syène}, c'est-à-dire l'actuelle Assouan\index{Assouan}, qui se trouve sur le tropique du Cancer\index{tropique!du Cancer}, au moment du solstice d'été\index{solstice!d'été}. Le Soleil se trouve alors au zénith\index{zenith@zénith}, c'est-à-dire à la perpendiculaire de l'horizon du lieu. Ses rayons pourraient alors pénétrer jusqu'au plus profond d'un puits construit verticalement. Au même moment, on peut considérer l'ombre au sol d'un gnomon (un bâton vertical) planté plus au nord à Alexandrie\index{Alexandrie}. Sa longueur et celle du gnomon\index{gnomon} permettent de déterminer l'angle \(\alpha\) de la figure \ref{erathostenetailleterre}. Or, celui-ci a un correspondant au centre de la Terre qui sous-tend l'arc de cercle entre Syène et Alexandrie. Si, par ailleurs, on connaît la mesure de cet arc, il est aisé de déterminer la circonférence de la Terre\index{circonference@circonférence!de la terre} et, ainsi, son rayon.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Taille de la terre\label{erathostenetailleterre}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst}
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\end{figure}
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Comme Érathosthène à évalué la distance entre Syène et Alexandrie à \unit{5000}{stades} et la longueur de l'ombre portée par le gnomon\index{gnomon} à \(1/8\) de sa hauteur, on peut en déduire :
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\begin{enumerate}
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\item que l'angle \(\alpha\) est (anachroniquement car Érathosthène l'a simplement obtenu à partir de mesures faites avec un scaphé\index{scaphe@scaphé}\footnote{\label{scaphe}Le scaphé est une sorte de bol en forme de demi-sphère muni en son centre d'un gnomon, c'est-à-dire un petit stylet vertical.}) donné par : \[\tan(\alpha)=\frac{1/8}{1}=1/8\;\Rightarrow\;\alpha=7,13^{\circ}=7^{\circ}8'\]
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\item que la circonférence de la Terre vaut : \[C=5000\cdot \frac{360}{7,13}=\unit{252'631}{stades}\]
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\item et que son rayon vaut alors, \[C=2\cdot \pi\cdot R\,\Rightarrow\;R=\frac{252'631}{2\cdot \pi}=\unit{40'208}{stades}\]
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\end{enumerate}
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Évidemment, il faut savoir ce que vaut un stade\index{stade}. Et là apparaît le premier problème. En effet, les estimations varient entre 157,5 et \unit{192,27}{\metre}. Si on utilise la première valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 157,5=\unit{6'333}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente, par rapport à la valeur actuelle, une erreur de :
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\[e=\frac{6'378-6'333}{6'378}\cdot 100=0,7\%\]
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alors qu'avec la seconde valeur, on a :
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\[R=40'208\cdot 192,27=\unit{7'730}{\kilo\metre}\]
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Ce qui représente une erreur de :
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\[e=\frac{7'730-6378}{6378}\cdot 100=21,2\%\]
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\subsection{Techniquement}
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On loue souvent la méthode d'Érathosthène pour la précision de sa mesure. Mais comme on ne connaît pas de manière certaine la valeur du stade, il faut être très prudent.
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D'autant plus prudent que ce n'est pas le seul problème posé par la mesure d'Érathosthène\footnote{Les points ci-dessus sont aussi développés dans \cite[p. 1193-1196]{AS02}.}. Jean-Baptiste Joseph Delambre\index{Delambre} dans \cite[p. 92-96.]{JJD21} développe une critique de la mesure d'Érathosthène basée sur les points suivants :
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\begin{description}
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\item[La mesure de l'angle], tout d'abord. On ne sait pas précisément comment Érathosthène a mesuré cet angle. Il a pu utiliser un scaphé\footnote{Op. cit. \ref{scaphe}} ou d'un gnomon de grande taille (environ cinq mètres). Évidemment, la mesure avec un gnomon de cinq mètres est plus précise que celle avec un scaphé de plus petite taille. Or, avec un gnomon de cinq mètres, en imaginant une précision de \(\pm \unit{3}{\milli\metre}\) sur l'ombre portée, on peut déterminer l'imprécision sur l'angle en considérant un triangle rectangle de côté adjacent valant cinq mètres et de côté opposé valant \unit{3}{\milli\metre}. Ainsi, on a :
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\[tan(\Delta \alpha)=\frac{3}{5000}\;\Rightarrow\;\Delta \alpha=0,034^{\circ}=2'\]
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Avec un gnomon de $1\,m$, l'incertitude angulaire, correspondant à $3\,mm$ sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
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D'autant plus que l'ombre du Soleil n'est pas nette en raison de son diamètre apparent. En effet, le diamètre apparent\index{diametre@diamètre!apparent} du Soleil, c'est-à-dire l'angle sous lequel on le voit, est de \(32'\). Cela signifie que par rapport à l'ombre d'un gnomon idéal pointant directement vers le centre d'un soleil ponctuel, l'ombre d'un gnomon réel sera \(15'\) plus longue (par un flou de l'extrémité de l'ombre), en raison des rayons provenant du bord du disque solaire.
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Au minimum donc, l'erreur est de l'ordre de \(17'\). Or, cela correspond alors à une erreur sur le rayon de la Terre d'environ \(5\%\) dans le cas d'un stade à \unit{157,5}{\metre} et à \(26\%\) au maximum dans le cas d'un stade de \unit{192,27}{\metre} !
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\item[La mesure de l'arc], ensuite. Les calculs précédents montrent que la valeur du stade est déterminante pour la qualité de la mesure effectuée par Érathosthène. Mais, la valeur de l'arc aussi. Car, outre le fait que notre connaissance de la valeur du stade\index{stade} est incertaine, il semble que les mesures de distances aient pu se faire en durée de marche. Par exemple, à une journée de marche correspondrait \unit{200}{stades}. Ce qui permet de comprendre l'incertitude de la mesure. Par ailleurs, Érathosthène a lui-même fait un arrondi significatif. Considérant la distance de \unit{250'000}{stades} pour la circonférence de la Terre (obtenue avec un angle de \(7^{\circ}12'\)), il détermine la distance par degré : \(250'000/360=\unit{694,44}{stades}\) et \dots l'arrondit à \unit{700}{stades}. Il recalcule alors la circonférence terrestre\index{circonference@circonférence!de la terre} et obtient \(700\cdot 360=\unit{252'000}{stades}\).
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\end{description}
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Si ce qui précède montre qu'il faut être très prudent avec cette mesure de la Terre, cela permet aussi de se rendre compte qu'une mesure est toujours liée à l'incertitude\index{incertitude} des termes qui ont permis de l'obtenir. Sans l'évaluation de ces incertitudes, la mesure peut ne pas être significative. Bien entendu la méthode utilisée par Érathosthène est remarquable. Mais sa portée n'en reste pas moins limitée par la précision des mesures qu'elle utilise. Et, parallèlement, la portée historique de cette mesure est aussi à évaluer à l'aulne de ces incertitudes. C'est pourquoi, tout historien consciencieux ne peut se passer d'avoir une bonne connaissances des méthodes de mesures utilisées à l'époque et des moyens mathématiques nécessaires pour évaluer leur précision.
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\section{La taille de la Lune}\label{taillelune}
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Une première méthode simple consiste à observer une éclipse de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. On peut voir alors l'ombre de la Terre sur la Lune. En reproduisant un cercle qui épouse la forme de cette ombre, on peut déterminer le rapport de taille entre ces deux corps. La méthode paraît simple. Cependant, elle se complique quand on considère les deux problèmes suivants :
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\begin{itemize}
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\item La distance du Soleil à la Terre est finie et le Soleil a une taille importante par rapport à la Terre. Ainsi, l'ombre portée par la Terre sur la Lune n'a pas exactement la taille de la Terre.
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\item Sans photographie d'éclipses de Lune, il est très difficile de trouver le rapport de la taille de l'ombre de la Terre à celle de la Lune.
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\end{itemize}
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Même de nos jours, si on utilise des images trop petites, l'incertitude sur le rayon du cercle qui sous-tend l'ombre de la Terre sur la Lune est important. La figure \ref{tailledelalune} montre en effet, suivant l'image choisie, un rapport de \(95/28,9=3,3\) à \(60/28,9=2,1\).
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Taille de la lune]{Taille de la lune\label{tailledelalune} \par \scriptsize{Une taille incertaine\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Eclipse_lune.jpg=. notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Luc Viatour.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{RayonLune.eps}
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\end{figure}
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Et cela sans tenir compte du premier point mentionné ci-dessus.
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Cependant, cette méthode permet une première évaluation de la taille de la Lune. Pour cela, il faut encore tenir compte du premier point évoqué ci-dessus. On peut le faire de manière très rapide en constatant que lors des éclipses de Soleil\index{eclipse@éclipse!de Soleil}, l'ombre portée par la Lune sur la Terre est très petite. On estime que sur la distance Terre-Lune l'ombre de la Lune est réduite d'environ 70\%. On peut donc supposer qu'il en va de même pour l'ombre de la Terre portée sur la Lune lors d'éclipses de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. Ainsi, en prenant un rapport de diamètre de l'ombre de la Terre sur la Lune à la taille de la Lune de \(2,5\,\times\) environ, le rapport de la taille de la Terre (et non de son ombre sur la Lune) à celle de la Lune vaut \(3,5\,\times\) (car \(0,7^{-1}=1,4\) et \(2,5\cdot 1,4=3,5\,\times\)).
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On peut alors calculer la taille de la Lune à partir de la mesure du rayon terrestre d'Érathosthène. Si on admet qu'il ait pu obtenir une valeur du rayon de la Terre \(R=\unit{6333}{\kilo\metre}\), le rayon de la Lune \(r\) est alors :
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\[r=\frac{R}{3,5}=\frac{6333}{3,5}=\unit{1809}{\kilo\metre}\]
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Soit, par rapport à la valeur admise actuellement de \unit{1738}{\kilo\metre}, une erreur de 4\%.
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\section{La distance Terre-Lune}
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A partir de la valeur du rayon de la Terre, la mesure de la distance Terre-Lune est aisée. Il faut considérer que l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit la lune est d'un demi-degré, soit en radian \(\pi/360=\unit{0,0087}{\radian}\). Alors, à l'aide d'une simple relation liant la longueur d'un arc \(L\) à son angle \(\alpha\) au centre en radian et au rayon \(R\) du cercle, on tire :
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\begin{align*}
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L&=\alpha\cdot R\;\Rightarrow\\
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R&=\frac{L}{\alpha}=\frac{\phi_{lune}}{\alpha}\\
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R&=d_{Terre-Lune}=\frac{3'618}{0,0087}=\unit{415'862}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Ce qui représente environ 8\% d'écart avec la valeur d'aujourd'hui.
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\medskip
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De nos jours, la distance de la Terre à la Lune est mesuré par la réflexion de faisceaux laser sur des miroirs déposés par les missions Apollo\index{Apollo}. Elle atteint une précision de l'ordre de quelques millimètres.
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\section{La distance Terre-Soleil}
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La mesure de distances plus importantes que celle de la Terre à la Lune fut réalisée par la suite à l'aide de la méthode de la parallaxe\index{parallaxe}. On peut évoquer ici cette méthode qui nécessite une observation en deux points différents de la Terre. Une variante de cette méthode sera utilisée pour la mesure des distances aux étoiles.
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La mesure de la parallaxe repose sur l'idée suivante. Quand on observe son pouce levé devant soi à bout de bras avec l'\oe il droit puis l'\oe il gauche alternativement, on voit qu'il se déplace par rapport aux objets éloignés. Si le pouce est proche des yeux, il se déplace fortement et s'il est éloigné, il se déplace faiblement. L'observation de son mouvement permet donc de se faire une idée de la distance entre les yeux et le pouce.
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En termes astronomiques, on voit sur la figure \ref{parallaxemars} que l'angle \(\alpha\) entre une étoile lointaine et la Polaire\index{Polaire} est le même pour deux points d'observation \(C\) et \(P\) sur la Terre. Pour un astre peu éloigné \(M\), ces deux angles \(\beta\) et \(\gamma\) sont différents. On appelle parallaxe\index{parallaxe} de l'astre \(M\) l'angle \(\delta\) qui vaut :
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\[\delta=\gamma-\beta\]
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en raison du fait que deux droites parallèles sont toujours coupées par une troisième droite selon deux angles égaux.
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L'astronome Cassini, qui détermina pour la première fois la distance Terre-Soleil à partir de la parallaxe de Mars, décrit la mesure ainsi :
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\begin{quotation}
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``\textit{La meilleure méthode pour chercher la parallaxe de Mars par la correspondance des observations faites à Paris \& en Caïenne auroit été d'observer, par la lunette, la conjonction précise de cette planète avec une étoile fixe. Car si cette conjonction avoit été vue de l'un \& de l'autre lieu au même instant \& précisément de la même manière sans aucune distance, c'eût été une marque qu'il n'y avoit point de parallaxe sensible. S'il y en avoit eu quelque peu, à l'instant que Mars auroit paru toucher par son bord supérieur une Etoile fixe en Caïenne, il auroit paru à Paris un peu éloigné de la même Etoile vers l'Horizon, \& quand il auroit paru à Paris toucher l'Etoile par son bord inférieur, il auroit paru en Caïenne éloigné de la même Etoile vers le Zénit \& cette distance vue d'un lieu \& non pas de l'autre, aurait été attribuée à la parallaxe}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
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\end{quotation}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption[Parallaxe de Mars]{Parallaxe de Mars\label{parallaxemars} \par \scriptsize{Première étape pour déterminer la distance Terre-Soleil.}}
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\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst}
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\end{figure}
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L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars $M$ et une étoile $E$ en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc} :
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\[\delta=\frac{PC}{MO}\;\Rightarrow\;MO=\frac{PC}{\delta}\]
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La distance \(PC\), approximativement la distance entre Paris et Cayenne, permet alors de trouver \(MO\). La distance de la Terre à Mars vaut alors :
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\begin{equation}\label{dtm}
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d_{T-M}=MO+OT=MO+R_T
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\end{equation}
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où \(R_T\) est le rayon de la Terre.
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\smallskip
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Le résultat est donné par Cassini\index{Cassini} lui-même :
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\begin{quotation}
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``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus $\Psi$, vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
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\end{quotation}
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||||
Le résultat de la mesure est donc de quinze secondes d'arc. Mais attention, il s'agit de la parallaxe qui est la moitié de l'angle \(\delta\). Celui-ci vaut donc : \(\delta=0,008332^{\circ}\) ou \unit{1,454\cdot 10^{-4}}{\radian}. Avec une distance de Paris à Cayenne de \unit{7082,1}{\kilo\metre} cela donne :
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\[MO=\frac{7,0821\cdot 10^6}{1,454\cdot 10^{-4}}=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Soit une distance entre la Terre et Mars de :
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\[d_{T-M}=4,87\cdot 10^{10}+6,371\cdot 10^6=\unit{4,87\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Mais ce n'est là que la distance de la Terre à Mars. Il fallait encore réaliser une condition de mesure pour obtenir la distance Terre-Soleil : choisir le bon moment. Cassini précise que la mesure fut faite trois jours avant l'opposition\index{opposition} du Soleil à Mars. Cela signifie qu'alors la Terre se trouvait sur une même ligne entre Mars et le Soleil. A ce moment, et seulement à ce moment, on peut écrire :
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\begin{equation}\label{opposition}
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d_{S-M}=d_{T-M}+d_{S-T}
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\end{equation}
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où on n'a pas tenu compte du caractère elliptique des orbites\index{orbite!elliptique}, notamment de celle de Mars (voir ci-dessous). Mais, l'équation \ref{opposition} a deux inconnues : les distances Mars-Soleil et Terre-Soleil. Pour les déterminer, il faut une seconde équation.
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\smallskip
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Il s'agit de la troisième loi de Kepler\index{Kepler!troisième loi}, donnée par l'équation \ref{keplertroisieme}, page \pageref{keplertroisieme}, appliquée au cas de la Terre et de Mars :
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\begin{equation}\label{oppositionkepler}
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\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}
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\end{equation}
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||||
où \(d_{S-T}\) et \(d_{S-M}\) sont les distances Soleil-Terre et Soleil-Mars et \(T_T\) et \(T_M\) leur périodes respectives.
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||||
Le système composé des équations \ref{opposition} et \ref{oppositionkepler} est un système de deux équations à deux inconnues. Pour le résoudre, remplaçons la distance \(d_{S-M}\) de l'équation \ref{opposition} dans la troisième loi de Kepler \ref{oppositionkepler} :
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\begin{align}
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\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}&=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}^3\frac{T_M^2}{T_T^2}&=d_{S-M}^3\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}^3(\frac{T_M}{T_T})^2&=(d_{T-M}+d_{S-T})^3\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}&=d_{T-M}+d_{S-T}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-d_{S-T}&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
|
||||
d_{S-T}((\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-1)&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
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||||
d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniua}
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||||
\end{align}
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Numériquement, avec les période de Mars et de la Terre \(T_T=365\,j\) et \(T_M=686\,j\), on obtient :
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\[d_{S-T}=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(686/365)^{2/3}-1}=\unit{9,31\cdot 10^{10}}{\metre}\]
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||||
Ce qui représente un écart de 38\% par rapport à la valeur de l'unité astronomique connue actuellement : \(d_{T-S}=\unit{1,496\cdot 10^{11}}{\metre}\). Cet écart est important. La moitié de celui-ci peut être attribuée à l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de Mars. En effet, un calcul\footnote{En opposition, le demi-grand axe de l'orbite de Mars s'exprime en réalité par : \(a_M=e\cdot a_M+d_{S-T}+d_{T-M}\). La grandeur \(e\cdot a_M\) représentant la distance du centre de l'ellipse\index{ellipse} de Mars au foyer\index{foyer} sur lequel se trouve le Soleil. On ne calcule plus alors dans l'équation de Kepler la distance \(d_{S-M}\), mais le demi-grand axe \(a_M\).} basé sur l'hypothèse d'une orbite terrestre circulaire, mais d'une orbite elliptique\index{orbite!elliptique} de Mars mène au résultat suivant :
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\begin{align}
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d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(1-e)(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniuaexcentrique}\\
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||||
&=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(1-0,093)(686/365)^{2/3}-1}\nonumber\\
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||||
&=\unit{1,27\cdot 10^{11}}{\metre}\nonumber
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||||
\end{align}
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||||
où \(e\) est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de Mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de $15\%$.
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\section{La distance des étoiles}
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On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de Mars est d'environ $15''$ d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour Mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la Terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la Terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple, pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 millisecondes d'arc.
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||||
288
Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst
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288
Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst
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@ -0,0 +1,288 @@
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%%Thu May 29 10:26:59 CEST 2008
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|
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%$\alpha$
|
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|
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% >
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||||
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|
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|
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|
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|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
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%</jpic>
|
||||
%%End JPIC-XML
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%PSTricks content-type (pstricks.sty package needed)
|
||||
%Add \usepackage{pstricks} in the preamble of your LaTeX file
|
||||
%You can rescale the whole picture (to 80% for instance) by using the command \def\JPicScale{0.8}
|
||||
\ifx\JPicScale\undefined\def\JPicScale{1}\fi
|
||||
\psset{unit=\JPicScale mm}
|
||||
\psset{linewidth=0.3,dotsep=1,hatchwidth=0.3,hatchsep=1.5,shadowsize=1,dimen=middle}
|
||||
\psset{dotsize=0.7 2.5,dotscale=1 1,fillcolor=black}
|
||||
\psset{arrowsize=1 2,arrowlength=1,arrowinset=0.25,tbarsize=0.7 5,bracketlength=0.15,rbracketlength=0.15}
|
||||
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|
||||
\rput{0}(21,21.9){\psellipse[linewidth=0.25](0,0)(20,20)}
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
\psline[linewidth=0.15](58.8,32)(38.1,32)
|
||||
\psline[linewidth=0.1](41,31.9)(21,21.9)
|
||||
\psline[linewidth=0.25](21,41.9)(21,1.9)
|
||||
\rput{0}(24.67,21.9){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(19.37,19.37){103.96}{256.04}}
|
||||
\rput{0}(21.87,21.95){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(19.27,19.27){107.73}{253.2}}
|
||||
\rput{0}(23.79,21.9){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(19.49,19.49){106.36}{253.64}}
|
||||
\psline[linewidth=0.15,linestyle=dotted](38.2,32)(31,32)
|
||||
\rput(51.8,13.9){}
|
||||
\rput{-27}(28.9,14.6){Équateur}
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{->}(57.5,32)(47,32)
|
||||
\psline[linewidth=0.15]{->}(57.7,21.9)(47.2,21.9)
|
||||
\rput{-27}(34.5,39.5){Nord}
|
||||
\rput{-27}(8,3.7){Sud}
|
||||
\rput(46.4,24){Syène}
|
||||
\rput(49.4,29.5){Alexandrie}
|
||||
\rput{0}(39.08,31.84){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(3.79,3.79){176.09}{218.12}}
|
||||
\rput{90}(23.52,22.5){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(2.84,2.84){-102.18}{-53.29}}
|
||||
\rput(51.4,34.3){Rayons du soleil}
|
||||
\rput(33.5,30.1){$\alpha$}
|
||||
\rput(28.3,23.6){$\alpha$}
|
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\rput(47.6,23.9){}
|
||||
\rput(46.5,23.8){}
|
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\rput(7.4,42.6){Tropique}
|
||||
\rput(55.6,39.2){}
|
||||
\rput(48.1,19.5){Plan de}
|
||||
\rput(50.7,15.6){l'écliptique}
|
||||
\rput(6.5,39.3){du}
|
||||
\rput{-27}(15.8,32.7){cancer}
|
||||
\rput(17,30.9){}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
394
Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst
Normal file
394
Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst
Normal file
@ -0,0 +1,394 @@
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%%Created by jPicEdt 1.4.1_03: mixed JPIC-XML/LaTeX format
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%%Mon Aug 11 18:34:07 CEST 2008
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
% points= "(15.02,43.1);(15.02,43.1);(14.9,42.7);(14.9,42.7);(14.9,42.7);(14.5,42.83);
|
||||
% (14.5,42.83);(14.5,42.83);(14.77,42.52);(14.77,42.52);(14.77,42.52);(14.1,42.38);
|
||||
% (14.1,42.38);(14.1,42.38);(14.7,42.29);(14.7,42.29);(14.7,42.29);(14.39,41.98);
|
||||
% (14.39,41.98);(14.39,41.98);(14.82,42.09);(14.82,42.09);(14.82,42.09);(15.02,41.6);
|
||||
% (15.02,41.6);(15.02,41.6);(15.22,42.07);(15.22,42.07);(15.22,42.07);(15.64,41.83);
|
||||
% (15.64,41.83);(15.64,41.83);(15.4,42.21);(15.4,42.21);(15.4,42.21);(16,42.38);
|
||||
% (16,42.38);(16,42.38);(15.37,42.49);(15.37,42.49);(15.37,42.49);(15.67,42.88);
|
||||
% (15.67,42.88);(15.67,42.88);(15.22,42.68);(15.22,42.68);(15.22,42.68);(15.02,43.1)"
|
||||
% />
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
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|
||||
% points= "(61.52,34.27);(61.52,34.27);(61.43,33.96);(61.43,33.96);(61.43,33.96);(61.13,34.06);
|
||||
% (61.13,34.06);(61.13,34.06);(61.33,33.81);(61.33,33.81);(61.33,33.81);(60.84,33.7);
|
||||
% (60.84,33.7);(60.84,33.7);(61.28,33.62);(61.28,33.62);(61.28,33.62);(61.05,33.38);
|
||||
% (61.05,33.38);(61.05,33.38);(61.37,33.46);(61.37,33.46);(61.37,33.46);(61.52,33.07);
|
||||
% (61.52,33.07);(61.52,33.07);(61.67,33.45);(61.67,33.45);(61.67,33.45);(61.97,33.26);
|
||||
% (61.97,33.26);(61.97,33.26);(61.8,33.57);(61.8,33.57);(61.8,33.57);(62.24,33.7);
|
||||
% (62.24,33.7);(62.24,33.7);(61.77,33.78);(61.77,33.78);(61.77,33.78);(62,34.1);
|
||||
% (62,34.1);(62,34.1);(61.67,33.94);(61.67,33.94);(61.67,33.94);(61.52,34.27)"
|
||||
% />
|
||||
%<circle closure= "open"
|
||||
% p3= "(21.4,20.1)"
|
||||
% stroke-width= "0.1"
|
||||
% p1= "(17.1,22.69)"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% p2= "(19.7,22)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(36,14.6)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(6.1,6.8)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(23.3,20.2)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(25.5,7.4)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(33.7,1.5)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(64.2,34.2)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%E
|
||||
%</text>
|
||||
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|
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|
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|
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|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\beta$
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(14.7,17.9)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%P
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(17.1,10.5)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%C
|
||||
%</text>
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(17.1,18.2);(17.1,18.2);(19.2,12.9);(19.2,12.9)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(8.3,14.2)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%T
|
||||
%</text>
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
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|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(10.2,12.3);(10.2,12.3);(10.2,36.9);(10.2,36.9)"
|
||||
% />
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
% stroke-style= "dashed"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(17.1,18.2);(17.1,18.2);(17.1,36.6);(17.1,36.6)"
|
||||
% />
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
% stroke-style= "dashed"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(19.2,12.8);(19.2,12.8);(19.2,36.9);(19.2,36.9)"
|
||||
% />
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
% stroke-style= "dashed"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(17.1,18.2);(17.1,18.2);(59,36.9);(59,36.9)"
|
||||
% />
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
% stroke-style= "dashed"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(19.2,12.8);(19.2,12.8);(63.1,30.4);(63.1,30.4)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(15,39.4)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%Polaire
|
||||
%</text>
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.05"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(0.9,12.3);(0.9,12.3);(19.2,12.3);(19.2,12.3)"
|
||||
% />
|
||||
%<circle closure= "open"
|
||||
% p3= "(23.7,20.3)"
|
||||
% stroke-width= "0.1"
|
||||
% p1= "(17.1,24.7)"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% p2= "(20.9,23.7)"
|
||||
% left-arrow= "head"
|
||||
% />
|
||||
%<circle closure= "open"
|
||||
% p3= "(24.8,15.9)"
|
||||
% stroke-width= "0.1"
|
||||
% p1= "(19.23,19.32)"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% p2= "(22.5,18.4)"
|
||||
% left-arrow= "head"
|
||||
% />
|
||||
%<circle closure= "open"
|
||||
% p3= "(23.4,14.5)"
|
||||
% stroke-width= "0.1"
|
||||
% p1= "(19.2,17.32)"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% p2= "(21.8,16.5)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(22.3,25.2)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\gamma$
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(51.9,29.8)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%M
|
||||
%</text>
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
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|
||||
% anchor-point= "(20.8,26.3)"
|
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|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
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|
||||
% anchor-point= "(38.6,24.9)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(21.8,12.1)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\alpha$
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(15.3,22.4)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\alpha$
|
||||
%</text>
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.05"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(10.2,23.2);(10.2,23.2);(10.2,1.5);(10.2,1.5)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(8.8,23.4)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%N
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(11.5,1.5)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%S
|
||||
%</text>
|
||||
%<multicurve stroke-width= "0.1"
|
||||
% stroke-dasharray= "1;1"
|
||||
% stroke-style= "dashed"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% points= "(10.2,12.3);(10.2,12.3);(48.4,28.1);(48.4,28.1)"
|
||||
% />
|
||||
%<circle closure= "open"
|
||||
% p3= "(38.85,23.16)"
|
||||
% stroke-width= "0.1"
|
||||
% p1= "(38.15,24.86)"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% p2= "(38.35,23.96)"
|
||||
% />
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(42.3,27.9)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%$\delta$
|
||||
%</text>
|
||||
%<text text-vert-align= "center-v"
|
||||
% anchor-point= "(16.4,15.2)"
|
||||
% text-hor-align= "center-h"
|
||||
% text-frame= "noframe"
|
||||
% fill-style= "none"
|
||||
% >
|
||||
%O
|
||||
%</text>
|
||||
%</jpic>
|
||||
%%End JPIC-XML
|
||||
%PSTricks content-type (pstricks.sty package needed)
|
||||
%Add \usepackage{pstricks} in the preamble of your LaTeX file
|
||||
%You can rescale the whole picture (to 80% for instance) by using the command \def\JPicScale{0.8}
|
||||
\ifx\JPicScale\undefined\def\JPicScale{1}\fi
|
||||
\psset{unit=\JPicScale mm}
|
||||
\psset{linewidth=0.3,dotsep=1,hatchwidth=0.3,hatchsep=1.5,shadowsize=1,dimen=middle}
|
||||
\psset{dotsize=0.7 2.5,dotscale=1 1,fillcolor=black}
|
||||
\psset{arrowsize=1 2,arrowlength=1,arrowinset=0.25,tbarsize=0.7 5,bracketlength=0.15,rbracketlength=0.15}
|
||||
\begin{pspicture}(0,0)(64.2,43.1)
|
||||
\rput{0}(10.06,12.34){\psellipse[linewidth=0.15](0,0)(9.16,9.16)}
|
||||
\rput{0}(48.3,28.1){\psellipse[linewidth=0.1](0,0)(1.45,1.45)}
|
||||
\psline[linewidth=0.1](17.1,18.2)(48.4,28.1)
|
||||
\psline[linewidth=0.1](19.2,12.8)(48.4,28.1)
|
||||
\pspolygon[linewidth=0.1](15.02,43.1)
|
||||
(14.9,42.7)
|
||||
(14.5,42.83)
|
||||
(14.77,42.52)
|
||||
(14.1,42.38)
|
||||
(14.7,42.29)
|
||||
(14.39,41.98)
|
||||
(14.82,42.09)
|
||||
(15.02,41.6)
|
||||
(15.22,42.07)
|
||||
(15.64,41.83)
|
||||
(15.4,42.21)
|
||||
(16,42.38)
|
||||
(15.37,42.49)
|
||||
(15.67,42.88)
|
||||
(15.22,42.68)(15.02,43.1)
|
||||
\pspolygon[linewidth=0.1](61.52,34.27)
|
||||
(61.43,33.96)
|
||||
(61.13,34.06)
|
||||
(61.33,33.81)
|
||||
(60.84,33.7)
|
||||
(61.28,33.62)
|
||||
(61.05,33.38)
|
||||
(61.37,33.46)
|
||||
(61.52,33.07)
|
||||
(61.67,33.45)
|
||||
(61.97,33.26)
|
||||
(61.8,33.57)
|
||||
(62.24,33.7)
|
||||
(61.77,33.78)
|
||||
(62,34.1)
|
||||
(61.67,33.94)(61.52,34.27)
|
||||
\rput{0}(17.28,18.12){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(4.57,4.57){25.62}{92.26}}
|
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\rput(36,14.6){}
|
||||
\rput(6.1,6.8){}
|
||||
\rput(23.3,20.2){}
|
||||
\rput(25.5,7.4){}
|
||||
\rput(33.7,1.5){}
|
||||
\rput(64.2,34.2){E}
|
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\rput(25.9,18.8){$\beta$}
|
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\rput(14.7,17.9){P}
|
||||
\rput(17.1,10.5){C}
|
||||
\psline[linewidth=0.1](17.1,18.2)(19.2,12.9)
|
||||
\rput(8.3,14.2){T}
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](10.2,12.3)(10.2,36.9)
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](17.1,18.2)(17.1,36.6)
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](19.2,12.8)(19.2,36.9)
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](17.1,18.2)(59,36.9)
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](19.2,12.8)(63.1,30.4)
|
||||
\rput(15,39.4){Polaire}
|
||||
\psline[linewidth=0.05](0.9,12.3)(19.2,12.3)
|
||||
\rput{0}(17.35,17.92){\psellipticarc[linewidth=0.1]{<-}(0,0)(6.78,6.78){20.53}{92.09}}
|
||||
\rput{0}(19.24,13.1){\psellipticarc[linewidth=0.1]{<-}(0,0)(6.22,6.22){26.78}{90.12}}
|
||||
\rput{0}(19.2,12.78){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(4.54,4.54){22.29}{89.96}}
|
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\rput(22.3,25.2){$\gamma$}
|
||||
\rput(51.9,29.8){M}
|
||||
\rput(21.5,26.8){}
|
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\rput(20.8,26.3){}
|
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\rput(38.6,24.9){}
|
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\rput(21.8,12.1){$\alpha$}
|
||||
\rput(15.3,22.4){$\alpha$}
|
||||
\psline[linewidth=0.05](10.2,23.2)(10.2,1.5)
|
||||
\rput(8.8,23.4){N}
|
||||
\rput(11.5,1.5){S}
|
||||
\psline[linewidth=0.1,linestyle=dashed,dash=1 1](10.2,12.3)(48.4,28.1)
|
||||
\rput{0}(40.9,25){\psellipticarc[linewidth=0.1](0,0)(2.76,2.76){-177.1}{-138.14}}
|
||||
\rput(42.3,27.9){$\delta$}
|
||||
\rput(16.4,15.2){O}
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
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Annexe-MesuresDistances/Images/RayonLune.eps
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Annexe-MesuresDistances/Images/RayonLune.eps
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Annexe-QtiteMvt/Annexe-QtiteMvt.aux
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Annexe-QtiteMvt/Annexe-QtiteMvt.aux
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\newlabel{achoc}{{O.4}{189}}
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\newlabel{qtitedemvt}{{O.6}{189}}
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||||
\newlabel{qtitemvt1dim}{{O.8}{190}}
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||||
\newlabel{qtitemvtsuppr}{{O.10}{190}}
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||||
\newlabel{encincarre}{{O.11}{190}}
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||||
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||||
\newlabel{qtitemvtvitrelative}{{O.13}{190}}
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||||
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\newlabel{chocsimplemvt}{{O.14}{191}}
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\newlabel{solv1'}{{O.16}{191}}
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||||
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||||
\@setckpt{Annexe-QtiteMvt/Annexe-QtiteMvt}{
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||||
\setcounter{page}{193}
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209
Annexe-QtiteMvt/Annexe-QtiteMvt.tex
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209
Annexe-QtiteMvt/Annexe-QtiteMvt.tex
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\chapter{Impulsion et quantité de mouvement\index{impulsion}}
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%\minitoc
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\section{Introduction}
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\lettrine{I}{l existe} une classe de problèmes qui font intervenir des forces variant très rapidement et d'une grande intensité. Il s'agit des problèmes de chocs. Il existe une grandeur, la \textit{quantité de mouvement}\index{quantité de mouvement}, dont l'évolution permet d'étudier simplement ces problèmes. De plus, elle nous permet d'obtenir des renseignements sur la dynamique du choc et notamment sur la force moyenne qui agit pendant celui-ci (voir paragraphe \ref{apprmolecul}).
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||||
\section{Quantité de mouvement}
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||||
Le problème est le suivant : deux billes de masse différentes $m_1$ et $m_2$ entrent en collision frontale avec des vitesse respectives $v_1$ et $v_2$. On peut donc écrire, à l'aide de la troisième loi de Newton :
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||||
\begin{equation}\label{3eloichoc}
|
||||
F_{1\rightarrow 2}=F_{2\rightarrow 1}
|
||||
\end{equation}
|
||||
où les forces $F_{1\rightarrow 2}$ et $F_{2\rightarrow 1}$ sont celles qui s'exercent au moment du choc.
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\medskip
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||||
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||||
D'autre part, si on prend pour système celui composé de chaque bille individuellement, On peut écrire pour $m_2$, au moment du choc :
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||||
\begin{equation}\label{2sur1}
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||||
\sum F^{ext}=m_2\cdot a_2\;\;soit\;\;F_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot a_2
|
||||
\end{equation}
|
||||
et pour $m_1$ :
|
||||
\begin{equation}\label{1sur2}
|
||||
\sum F^{ext}=m_1\cdot a_1\;\;soit\;\;F_{2\rightarrow 1}=m_1\cdot a_1
|
||||
\end{equation}
|
||||
En combinant les équations \ref{3eloichoc}, \ref{2sur1} et \ref{1sur2}, on a alors :
|
||||
\begin{equation}\label{achoc}
|
||||
m_2\cdot a_2=m_1\cdot a_1
|
||||
\end{equation}
|
||||
Or, pour ne pas devoir parler de dérivée\footnote{On verra au paragraphe \ref{cinemadiff}, que l'accélération n'est autre que la dérivée de la vitesse : $a=\frac{dv}{dt}$}, on peut comprendre l'équation \ref{achoc} comme comprenant des accélérations moyennes et écrire :
|
||||
\begin{align}\label{varqtitedemvt}
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||||
m_2\cdot \frac{\Delta v_2}{\Delta t}=m_1\cdot \frac{\Delta v_1}{\Delta t}\;\;&\Rightarrow\nonumber \\
|
||||
m_2\cdot \Delta v_2-m_1\cdot \Delta v_1&=0\nonumber \\
|
||||
p_2-p_1=\Delta p=0
|
||||
\end{align}
|
||||
en définissant la grandeur $p$, appelée \textit{quantité de mouvement}\index{quantité de mouvement} par :
|
||||
\begin{equation}\label{qtitedemvt}
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||||
p:=m\cdot v
|
||||
\end{equation}
|
||||
L'équation \ref{varqtitedemvt} signifie que la variation de la quantité de mouvement est nulle pendant le choc. La quantité de mouvement est donc une constante ou en d'autres termes elle est conservée pendant les chocs :
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||||
\begin{equation}
|
||||
p=constante
|
||||
\end{equation}
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||||
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||||
La conservation de la quantité de mouvement est une loi de conservation très générale. Elle ne s'applique pas seulement aux chocs.
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\subsection{Masse d'inertie}
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||||
Il faut remarquer le rôle joué par la quantité de mouvement dans la définition de la masse d'inertie. ... voir matière Balibar
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||||
\section{Énergie cinétique}
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||||
Si on lâche une boule de ``pâte à modeler'' à une certaine hauteur du sol, on constate qu'en le percutant elle se colle à lui. Une boule de ``pâte à modeler'' ne rebondit pas. On qualifie le choc avec le sol de ``\emph{parfaitement mou}''. Si le sol ne bouge pas, c'est-à-dire ne recule pas, toute l'énergie cinétique juste avant le choc, qui vient de l'énergie potentielle initiale, est aborbée par la déformation de la ``pâte à modeler''. Par contre, si l'objet heurté par la ``pâte à modeler'' acquiert avec elle une certaine vitesse, une partie de l'énergie cinétique initiale se retrouve dans l'énergie cinétique de l'ensemble après le choc et une autre partie se retrouve dans la déformation de la ``pâte à modeler''.
|
||||
|
||||
Par contre, une balle superélastique va rebondir, voir même remonter jusqu'à la même hauteur qu'au départ. Si c'est le cas, on qualifira le choc de ``\emph{parfaitement élastique}''. Si non, il sera dit ``\emph{partiellement élastique}''. Deux corps se heurtant de manière parfaitement élastique ont donc une énergie cinétique totale qui est conservée au contraire du cas d'un choc partiellement élastique entre les deux corps.
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||||
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||||
\section{Choc parfaitement élastique}
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||||
Dans le cas d'un choc parfaitement élastique unidimentionnel entre deux particules la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sont conservées. Les équations se présentent donc de la manière suivante :
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||||
\begin{equation}
|
||||
m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=m_1\cdot v_1'+m_2\cdot v_2' \label{qtitemvt1dim}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{multline}
|
||||
\frac{1}{2}\cdot m_1\cdot v_1^2+\frac{1}{2}\cdot m_2\cdot v_2^2=\\
|
||||
\frac{1}{2}\cdot m_1\cdot v_1'^2+\frac{1}{2}\cdot m_2\cdot v_2'^2 \label{encin1dim}
|
||||
\end{multline}
|
||||
|
||||
où les exposants $'$ signifient ``après le choc''. L'équation \ref{encin1dim} présente un degré de complexité plus important que l'équation \ref{qtitemvt1dim} en raison des carrés des vitesses. On peut résoudre ce système d'équations pour trouver les vitesses après le choc en passant par la résolution d'un équation du second degré. Mais, on peut aussi trouver de manière générale un équation plus simple que celle de la conservation de l'énergie cinétique. Pour cela, réécrivons les équations \ref{qtitemvt1dim} et \ref{encin1dim} avec les masses $m_1$ et $m_2$ de chaque côté des égalités :
|
||||
\begin{align}
|
||||
m_1\cdot (v_1-v_1')&=m_2\cdot (v_2'-v_2)\label{qtitemvtsuppr}\\
|
||||
m_1\cdot (v_1^2-v_1'^2)&=m_2\cdot (v_2'^2-v_2^2)\label{encincarre}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Puis, a l'aide de l'identité remarquable :
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||||
\[a^2-b^2=(a-b)\cdot (a+b)\]
|
||||
|
||||
réécrivons l'équation \ref{encincarre} sous la forme :
|
||||
\begin{multline}
|
||||
m_1\cdot (v_1-v_1')\cdot (v_1+v_1')=\\
|
||||
m_2\cdot (v_2'-v_2)\cdot (v_2'+v_2)\label{encinremarquable}
|
||||
\end{multline}
|
||||
|
||||
L'équation \ref{qtitemvtsuppr} permet alors de supprimer la partie gauche de chaque membre de l'équation \ref{encinremarquable} pour obtenir :
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||||
\[v_1+v_1'=v_2'+v_2\]
|
||||
|
||||
Soit en réarrangeant les termes :
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||||
\begin{equation}\label{qtitemvtvitrelative}
|
||||
v_1-v_2=-(v_1'-v_2')
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Cette équation signifie que lors d'un choc frontal, unidimentionnel et élastique de deux particules, les vitesses changent de signe et leur grandeurs sont échangées.
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||||
\medskip
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||||
Ainsi, plutôt que d'utiliser les équations \ref{qtitemvt1dim} et \ref{encin1dim}, dont la seconde présente des vitesses quadratiques, on peut utiliser à la place les équations \ref{qtitemvt1dim} et \ref{qtitemvtvitrelative}. Ce dernier système d'équations étant plus simple que le premier.
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||||
|
||||
\subsection{Exemple}
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||||
Considérons un exemple simple. Tout se déroule sur un seul axe. Deux particules de même masse se percutent frontalement, l'une ayant une vitesse de $7\,m/s$ et l'autre une vitesse double de la première. Quelles sont les vitesses des particules après le choc ?
|
||||
\medskip
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||||
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||||
Posons $v_1=7\,m/s$ pour la vitesse de la particule de masse $m_1$ et $v_2=-14\,m/s$ pour la vitesse de la particule de masse $m_2$. Le signe négatif de la masse $m_2$ vient du choix de l'axe qui est orienté dans le sens de $v_1$. On a aussi que $m_1=m_2=m$. Ainsi, on peut écrire la conservation de la quantité de mouvement :
|
||||
\begin{align}
|
||||
m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2&=m_1\cdot v_1'+m_2\cdot v_2'\nonumber\\
|
||||
m\cdot 7+m\cdot (-14)&=m\cdot v_1'+m\cdot v_2'\nonumber\\
|
||||
7-14&=v_1'+v_2'\nonumber\\
|
||||
v_1'+v_2'&=-7\label{chocsimplemvt}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
On peut aussi écrire l'équation de la conservation de l'énergie cinétique :
|
||||
\begin{align}
|
||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot 7^2+\frac{1}{2}\cdot m\cdot (-14)^2&=\nonumber\\
|
||||
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1'^2&+&\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_2'^2\nonumber\\
|
||||
49+196&=v_1'^2+v_2'^2\nonumber\\
|
||||
v_1'^2+v_2'^2&=245\label{chocsimpleen}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
On tire alors de l'équation \ref{chocsimplemvt} :
|
||||
\begin{equation}\label{solv1'}
|
||||
v_1'=-7-v_2'
|
||||
\end{equation}
|
||||
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||||
qu'on remplace dans l'équation \ref{chocsimpleen} :
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||||
\begin{align*}
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||||
(-7-v_2')^2+v_2'^2&=245\\
|
||||
49+2\cdot 7\cdot v_2'+v_2'^2+v_2'^2&=245\\
|
||||
2\cdot v_2'^2+14\cdot v_2'-196&=0\\
|
||||
v_2'^2+7\cdot v_2'-98&=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Soit une équation du second degré dont la solution est :
|
||||
\begin{align*}
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||||
v_2'&=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot (-98)}}{2}\\
|
||||
&=\frac{-7\pm 21}{2}=\begin{cases}7\,m/s\\-14\,m/s\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Évidemment, la seconde solution $v_2'=-14\,m/s$ n'est pas possible puisque après le choc la particule poursuivrait son mouvement à la même vitesse qu'avant. Donc :
|
||||
\[v_2'=7\,m/s\]
|
||||
|
||||
et, selon l'équation \ref{solv1'}, on a :
|
||||
\[v_1'=-7-7=-14\,m/s\]
|
||||
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||||
On constate donc que pour les grandeurs il y a échange des vitesses et que les signes des vitesses après le choc sont opposé à ceux des vitesses avant.
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||||
\medskip
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||||
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||||
Cet exemple est relativement compliqué car on a utilisé l'équation de la conservation de l'énergie cinétique qui mène à des vitesses quadratiques.
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||||
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||||
On peut cependant trouver la solution plus simplement en utilisant l'équation \ref{qtitemvtvitrelative} démontrée précédemment. On a alors :
|
||||
\begin{align*}
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||||
v_1-v_2&=-(v_1'-v_2')\;\Rightarrow\\
|
||||
7-(-14)&=-(v_1'-v_2')\\
|
||||
v_1'-v_2'&=-21
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Avec l'équation \ref{solv1'} obtenue de la conservation de la quantité de mouvement, on a alors :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v_1'-v_2'&=-21\;\Rightarrow\\
|
||||
(-7-v_2')-v_2'&=-21\\
|
||||
-7-2\cdot v_2'&=-21\\
|
||||
2\cdot v_2'&=14\\
|
||||
v_2'&=7\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Et, comme précédemment, $v_1'=-14\,m/s$. On retrouve donc bien plus simplement la solution en se passant de l'équation de conservation de l'énergie cinétique. Évidemment, celle-ci a déjà été utilisée pour obtenir l'équation \ref{qtitemvtvitrelative}.
|
||||
|
||||
\section{Choc parfaitement mou}
|
||||
Pour un choc parfaitement mou, la vitesse finale des deux masses est la même : elles restent ``collées'' ensemble. Dans ce cas, l'énergie cinétique initiale des deux corps se retrouve après le choc pour une partie dans l'énergie cinétique des deux corps attachée et pour l'autre dans le travail de déformation des corps.
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||||
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||||
\subsection{Exemple}
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||||
Comme exemple de choc parfaitement mou, considérons encore deux particules de même masse qui se percutent frontalement, l'une ayant une vitesse $v_1=7\,m/s$ et l'autre une vitesse double de la première. Mais cette fois-ci les deux particules restent collées ensemble après le choc. Quelle est la fraction d'énergie cinétique ``perdue'' dans la collision ?
|
||||
\medskip
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||||
|
||||
La conservation de la quantité de mouvement nous permet d'écrire :
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||||
\begin{align*}
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||||
m\cdot v_1+m\cdot v_2&=(m+m)\cdot v'\\
|
||||
v_1+v_2&=2\cdot v'\\
|
||||
v'&=\frac{7-14}{2}=-3,5\,m/s
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Évidemment pour un tel choc mou, il n'y a pas conservation de l'énergie cinétique. On a, avec le résultat précédent :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E_{cin\,avant}&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_2^2\\
|
||||
&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot 7^2+\frac{1}{2}\cdot m\cdot (-14)^2\\
|
||||
&=24,5\cdot m+98\cdot m=122,5\cdot m\\
|
||||
E_{cin\,apr\grave es}&=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot m\cdot (-3,5)^2\\
|
||||
&=12,25\cdot m
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Ainsi, l'énergie cinétique perdue est :
|
||||
\[\Delta E_{cin}=122,5\cdot m-12,25\cdot m=110,25\cdot m\]
|
||||
|
||||
et la fraction de l'énergie cinétique initiale perdue dans le choc est :
|
||||
\[p=\frac{110,25\cdot m}{122,5\cdot m}=0,90=90\%\]
|
||||
|
||||
\section{choc bidimentionnel}
|
||||
L'équation de conservation de la quantité de mouvement qui dérive de la seconde loi de Newton est en réalité vectorielle. Tout le développement qui mène à elle en partant de la seconde loi de Newton utilise des grandeurs vectorielles comme l'accélération et la vitesse. Ainsi, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\fbox{$\overrightarrow p=constante$}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsection{Exemple}
|
||||
Considérons le cas d'un choc mou de deux particules
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||||
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||||
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||||
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||||
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||||
\section{Impulsion}\label{impuls}
|
||||
Nous considérerons par la suite l'action d'une force $\overrightarrow F$ sur une distance donnée $\overrightarrow{dr}$. La grandeur associée à cette action sera le travail A :
|
||||
\[A=\int{\overrightarrow F\cdot \overrightarrow{dr}}\]
|
||||
|
||||
De la même manière, on peut définir l'action d'une force $\overrightarrow F$ pendant un temps donné $dt$. La grandeur associée à cette action est l'impulsion $\overrightarrow I$ :
|
||||
\[\overrightarrow I=\int{\overrightarrow F\cdot dt}\]
|
||||
|
||||
Il s'agit d'une grandeur vectorielle.
|
||||
|
||||
\section{Impulsion et quantité de mouvement}\label{qtitemvtimpuls}
|
||||
63
Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.aux
Normal file
63
Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.aux
Normal file
@ -0,0 +1,63 @@
|
||||
\relax
|
||||
\citation{GC88}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {I}Relativit\IeC {\'e}}{183}}
|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\newlabel{relativite}{{I}{183}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I.1}Relativit\IeC {\'e} galil\IeC {\'e}enne}{183}}
|
||||
\citation{JR00}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I.2}Transformation galil\IeC {\'e}enne}{184}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {I.1}{\ignorespaces Transformation de galil\IeC {\'e}e}}{184}}
|
||||
\newlabel{transgalilee}{{I.1}{184}}
|
||||
\newlabel{eqtransgalilee}{{I.1}{184}}
|
||||
\newlabel{thmaddvit}{{I.2}{184}}
|
||||
\citation{GC88}
|
||||
\newlabel{thmaddvit2}{{I.3}{185}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I.3}Invariance}{185}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I.4}Forces inertielles}{185}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {I.4.1}Force d'inertie}{185}}
|
||||
\citation{GC88}
|
||||
\newlabel{accobjetdsreftournant}{{I.5}{186}}
|
||||
\newlabel{accreftournant}{{I.6}{186}}
|
||||
\newlabel{acctournantfinale}{{I.7}{186}}
|
||||
\newlabel{secondeR}{{I.8}{186}}
|
||||
\newlabel{secondeR'}{{I.9}{186}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {I.4.2}Force centrifuge}{186}}
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\newlabel{forcecentrifuge}{{I.4.2}{186}}
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Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.tex
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\chapter{Relativité\index{relativite@relativité}}\label{relativite}
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\lettrine{L}{a notion de relativité} est entourée d'une aura particulière. Elle évoque immanquablement Einstein\index{Einstein} et des idées entourées de mystère comme la dilatation du temps\index{dilatation du temps} ou la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}. Même si cette notion se comprend de nos jours à travers les relativités restreinte et générale d'Einstein, elle est déjà présente chez Bruno\index{Bruno Giordano} au \siecle{16} et Galilée\index{Galilee@Galilée} au \siecle{17}. On parle aujourd'hui de relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} pour faire la différence avec celles d'Einstein. Dans tous les cas, cette notion nous mène à considérer des changements de référentiels et à étudier le changement de forme des lois de la physique à travers ceux-ci. Sans aborder les relativités restreinte et générale d'Einstein, qui traitent des lois de l'électromagnétisme et de la gravitation à travers ces changements de référentiels, on va s'intéresser ici à la notion de relativité galiléenne et à ses implications pour la physique newtonienne.
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\section{Relativité galiléenne}
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Deux textes historiques fondent l'idée de relativité. Le plus connu est celui de Galileo Galilei (Galilée) :
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\begin{quotation}
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``\textit{Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l'intérieur d'un grand bateau et prenez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petits animaux volants. Prenez une grande cuve d'eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un grand récipient en dessous d'elle. Avec le bateau à l'arrêt, observez soigneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu'il n'y ait aucun doute que lorsque le bateau est à l'arrêt, les choses doivent se passer ainsi), faites avancer le bateau à l'allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme [c'est-à-dire constante] et ne fluctue pas de part et d'autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d'eux ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots}'' Galileo Galilei, dans ``Dialogue concernant les deux plus grands systèmes du monde'', deuxième journée, 1632.
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\footnotesize{\cite[p. 400.]{GC88}}
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\end{quotation}
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Galilée décrit tout d'abord un changement de référentiel particulier. Il s'agit de passer d'un lieu immobile sur la terre ferme à la cabine d'un navire se déplaçant uniformément, c'est-à-dire à vitesse constante\index{vitesse!constante}. Il n'est donc pas question d'un référentiel en accélération par exemple. On parlera donc de relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}.
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Puis, Galilée compare les mouvements dans ces deux référentiels et conclut qu'il n'y a pas de moyens de les différencier. L'explication actuelle complète et étend ce résultat qui constitue l'idée de relativité. Elle s'exprime par :
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\begin{quotation}
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Les lois de la physique sont formellement les mêmes dans deux référentiels en translation à vitesse constante l'un par rapport à l'autre.
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\end{quotation}
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Cette idée, au contraire de dire que ``tout est relatif'', affirme que la forme des lois de la physique est préservée par ce type de changement de référentiel. Elle en assure la généralité pour des observateurs en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
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Le texte le plus ancien formulant clairement l'idée de relativité à pour auteur Giordano Bruno.
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\begin{quotation}
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``\textit{Si nous supposons une personne sur un bateau en mouvement au milieu des flots, celui qui ne sait pas que l'eau est en mouvement et qui ne voit pas la terre ferme, ne sera pas conscient du mouvement du bateau . Pour cette raison, j'en viendrai à mettre en doute la quiétude et la fixité de notre Terre. Et je suis en mesure de croire que si j'étais sur le Soleil, la Lune ou sur une autre étoile, je m'imaginerais toujours au centre du monde sans mouvement autour duquel semblerait tourner l'univers entier, bien qu'en vérité le corps contenant sur lequel je me trouve serait en train de tourner sur lui-même. Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.}'' Giordano Bruno, dans ``L'Infini, l'univers et les mondes'', troisième dialogue, 1584.
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\footnotesize{\cite[p. 170.]{JR00}}
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\end{quotation}
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||||
Bruno\index{Bruno Giordano}, bien avant Galilée avait posé très clairement les bases du principe de relativité. Et Bruno alla plus loin que Galilée en postulant la pluralité des mondes\index{pluralite@pluralité des mondes}. Cela lui coûta la vie puisqu'il fut brûlé vif en 1600.
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\section{Transformation galiléenne\index{transformation!galiléenne}}
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Le changement de référentiel sur lequel se base la relativité restreinte de Galilée (ou de Bruno) a de nos jours une formulation mathématique précise. Pour la découvrir, considérons la figure \ref{transgalilee} qui présente deux référentiels \(R\) et \(R'\) dont l'un, \(R'\), se déplace en ligne droite à vitesse constante \(v_{ref}\) par rapport à l'autre. Pour simplifier les calculs, le déplacement de \(R'\) se fait selon l'axe \(x\) du référentiel \(R\).
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Transformation de galilée]{Transformation de Galilée\label{transgalilee} \par \scriptsize{Selon l'axe \(x\).}}
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\includegraphics[width=6cm]{TransGalilee.eps}
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\end{figure}
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On peut donner la position du point \(P\) dans chaque référentiel à l'aide des coordonnées \(x\) et \(x'\). Si on admet, pour simplifier, que les deux référentiels avaient à \(t=\unit{0}{\second}\) la même origine, la position de l'origine du référentiel \(R'\) à un instant \(t\) par rapport à \(R\) vaut alors \(v_{ref}\cdot t\). On peut alors écrire pour le point \(P\) :
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\begin{equation}\label{eqtransgalilee}
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\fbox{$\displaystyle x'=x-v_{ref}\cdot t$}
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\end{equation}
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L'équation \ref{eqtransgalilee} constitue la transformation de Galilée, sous sa forme la plus simplifiée. Il faut cependant lui ajouter une équation ici évidente :
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\[t'=t\]
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qui postule l'invariance du temps\index{invariance!du temps} par changement de référentiel.
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\medskip
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On peut déduire de l'équation \ref{eqtransgalilee} un corollaire important : le théorème d'addition des vitesses\index{theoreme@théorème!d'addition des vitesses}. Considérons le déplacement du point \(P\) le long de l'axe \(x\). Notons \(x_f\) la position finale et \(x_i\) la position initiale du point \(P\). En notant \(v\) la vitesse du point \(P\), en utilisant le ' pour les grandeurs dans le référentiel \(R'\) et avec la transformation de Galilée, on a :
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\begin{align}
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v'&=\frac{x'_f-x'_i}{t'_f-t'_i}=\frac{(x_f-v_{ref}\cdot t_f)-(x_i-v_{ref}\cdot t_i}{t_f-t_i}\nonumber\\
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||||
&=\frac{x_f-x_i-v_{ref}\cdot (t_f-t_i)}{t_f-t_i}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}-v_{ref}\nonumber\\
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||||
v'&=v-v_{ref}\label{thmaddvit}
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||||
\end{align}
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||||
L'expression \ref{thmaddvit} constitue le théorème d'addition des vitesses. Il traduit l'idée que la vitesse d'un point \(P\) dans le référentiel \(R'\) correspond à sa vitesse dans le référentiel \(R\) à laquelle on soustrait la vitesse du référentiel \(R'\) lui-même. Plus simplement, en inversant l'équation \ref{thmaddvit}, on a :
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\begin{equation}\label{thmaddvit2}
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\fbox{$\displaystyle v=v'+v_{ref}$}
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||||
\end{equation}
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L'équation \ref{thmaddvit2} se comprend ainsi : par rapport au sol, la vitesse du passager d'un train correspond à sa vitesse par rapport au train à laquelle on ajoute la vitesse du train lui-même (par rapport au sol).
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\section{Invariance\index{invariance}}
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La transformation de Galilée permet maintenant d'étudier précisément le changement des lois de la physique par changement de référentiel. La transformation de Galilée se restreint aux référentiels en MRU\index{MRU} les uns par rapport aux autres. La relativité de Galilée\index{relativite@relativité!de Galilée} utilisant implicitement cette transformation est donc une relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}. Voyons donc dans quelle mesure la transformation de Galilée modifie la seconde loi de Newton.
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\medskip
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Comme précédemment, notons avec un indice $_i$ l'instant initial et un indice $_f$ l'instant final et calculons la force \(F'\) exercée sur un objet de masse m dont l'accélération dans le référentiel \(R'\) vaut \(a'\) :
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\begin{align*}
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F'&=m\cdot a'=m\cdot \frac{v'_f-v'_i}{t'_f-t'_i}\\
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&=m\cdot \frac{(v_f-v_{ref})-(v_i-v_{ref})}{t_f-t_i}\\
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&=m\cdot \frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}=m\cdot a=F
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||||
\end{align*}
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On utilise l'équation \ref{thmaddvit} pour changer de référentiel et le fait qu'en relativité galiléenne la masse \(m\) est invariante par changement de référentiel. Finalement, on obtient :
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\begin{equation}
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\fbox{$\displaystyle F'=m\cdot a'=m\cdot a=F$}
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\end{equation}
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Ainsi, la seconde loi\index{seconde loi} de Newton s'écrit de la même manière dans les deux référentiels \(R\) et \(R'\). On dit qu'elle est formellement invariante\index{invariance!formelle} par changement de référentiel. En d'autres termes, aucune expérience vérifiant la seconde loi de Newton ne peut permettre de faire la distinction entre les référentiels \(R\) et \(R'\). Pour Bruno\index{Bruno Giordano}, cela s'exprime par : ``Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.'' et pour Galilée, ``\dots aucun des effets mentionnés [\dots] ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots'' comme on l'a vu dans les citations ci-dessus.
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Les lois de la physique sont donc formellement les mêmes dans les deux référentiels et rien ne permet de dire que l'un est en mouvement et l'autre pas.
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\section{Forces inertielles\index{force!inertielle}}
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Comme cela a été dit plus haut, l'invariance\index{invariance} de la seconde loi de Newton n'existe que dans le cadre de la relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}, pour des référentiels dits \emph{inertiels}\index{referentiel@référentiel!inertiel}, c'est-à-dire se déplaçant les uns par rapport aux autres en mouvement rectiligne uniforme\index{mouvement!rectiligne uniforme}. Mais qu'en est-il quand on considère d'autres référentiels qui ne se déplacent pas l'un par rapport à l'autre en ligne droite et à vitesse constante ? Dans le cas de référentiels en rotation par exemple, la seconde loi de Newton est-elle vraiment caduque ?
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Il ne s'agit pas ici de développer la dynamique de tels référentiels. Seuls deux aspects qu'on évoque parfois, sans vraiment savoir ce dont il s'agit, vont être abordés. Il s'agit du concept de force d'inertie\index{force!d'inertie} et de celui de force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
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La notion de force d'inertie est très complexe, tant au niveau mathématique (produit vectoriel) qu'au niveau conceptuel (voir le paragraphe \ref{forcecentrifuge}). L'idée est ici de montrer que la seconde loi\index{seconde loi} de Newton n'est pas invariante par un changement de référentiel non-inertiel\index{referentiel@référentiel!non inertiel}. En d'autres termes, pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel tournant\index{referentiel@référentiel!tournant}, il faut soit ajouter des forces fictives\index{force!fictive} (point de vue de Newton) dont l'une est la force d'inertie\index{force!d'inertie}, soit interpréter celle-ci comme un champ de gravitation\index{champ!de gravitation} supplémentaire. On va présenter ici le premier point de vue.
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\medskip
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Considérons deux référentiels \(R\) et \(R'\) qui ne sont pas en MRU l'un par rapport à l'autre, mais dont le second, \(R'\), est en rotation à la vitesse angulaire \(\omega_{ref}\) par rapport au premier, \(R\). Contrairement à l'invariance\index{invariance} de l'accélération par une transformation de Galilée\index{transformation!de Galilée}, on montre (voir \cite[p. 202-204.]{GC88}) que l'accélération d'un objet dans le référentiel \(R'\) n'est pas la même que dans le référentiel \(R\). Plus précisément, l'accélération \(a\) dans le référentiel \(R\) vaut :
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\begin{equation}\label{accobjetdsreftournant}
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a=a'+a_{ref}
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\end{equation}
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où \(a'\) est l'accélération dans le référentiel \(R'\) et \(a_{ref}\) l'accélération du référentiel \(R'\) par rapport à \(R\).
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\medskip
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||||
C'est là un changement fondamental qui restreint la portée de la relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} (et qui a mené Einstein vers la relativité générale\index{relativite@relativité!générale}).
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\smallskip
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Comme on a vu au paragraphe \ref{accmcu}, page \pageref{accmcu}, qu'un objet en rotation circulaire uniforme a une accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète}, c'est-à-dire dirigée vers le centre du cercle, donnée par :
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\[a_c=\frac{v^2}{r}\]
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||||
où \(v\) est la vitesse linéaire de l'objet et \(r\) le rayon du cercle, on peut appliquer cette relation pour exprimer l'accélération \(a_{ref}\) de \(R'\) par rapport à \(R\) à l'aide de la vitesse \(v\) d'un point du référentiel \(R'\) situé à une distance \(r\) de l'axe de rotation. De plus, l'équation \ref{vomegar} permet d'exprimer cette accélération en fonction de la vitesse angulaire \(\omega_{ref}\). On a donc :
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\begin{equation}\label{accreftournant}
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a_{ref}=\frac{v^2}{r}=\frac{(\omega\cdot r)^2}{r}=\omega^2\cdot r
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\end{equation}
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L'équation \ref{accobjetdsreftournant} de l'accélération d'un objet par rapport au référentiel \(R'\) peut alors s'écrire :
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\begin{equation}\label{acctournantfinale}
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||||
a=a'+\omega^2\cdot r
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\end{equation}
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Les équations de la cinématique\index{cinematique@cinématique} ne sont donc pas préservées par un tel changement de référentiel (non inertiel).
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\medskip
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||||
La dynamique n'est évidemment pas non plus préservée. L'accélération se trouvant au c\oe ur de la seconde loi de Newton, elle ne peut rester formellement invariante\index{invariance!formelle}. En effet, si elle s'écrit dans le référentiel \(R\) :
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\begin{equation}\label{secondeR}
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\sum F^{ext}=m\cdot a
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\end{equation}
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elle doit s'écrire dans le référentiel \(R'\) :
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\begin{align}
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\sum F'^{ext}&=m\cdot a'\nonumber\\
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&=m\cdot (a-\omega^2\cdot r)\nonumber\\
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||||
&=m\cdot a-m\cdot\omega^2\cdot r\label{secondeR'}
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\end{align}
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Visiblement l'équation \ref{secondeR} est formellement différente de \ref{secondeR'}.
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\medskip
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On peut cependant modifier l'équation \ref{secondeR'} décrivant le mouvement dans le référentiel en rotation \(R'\) pour qu'elle corresponde à l'expression \ref{secondeR} donnée pour le référentiel \(R\) :
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\begin{align}
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\sum F'^{ext}+m\cdot\omega^2\cdot r&=m\cdot a\\
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\sum F^{ext}=\sum F'^{ext}+F_{in}&=m\cdot a
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\end{align}
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||||
En réinterprétant le terme correspondant à l'accélération du référentiel \(R'\) comme une force d'inertie\index{force!d'inertie} (\(F_{in}\)) qui s'additionne aux forces réellement exercées sur l'objet, on peut s'imaginer préserver la forme de la seconde loi de Newton. Bien entendu, ce n'est qu'une manière de masquer le problème, puisque pour le référentiel \(R'\) uniquement, il faut ajouter la force d'inertie. Et comme cette force n'a aucune réalité, comme aucun corps ne l'exerce, elle est considérée comme une force fictive\index{force!fictive}, une pseudo-force\index{pseudo-force} qui n'a pas d'existence propre. On lui donne un nom : la force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force centrifuge\index{force!centrifuge}}\label{forcecentrifuge}
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Du point de vue de la mécanique newtonienne, la force centrifuge est donc une pseudo-force à n'introduire dans la seconde loi que pour des référentiels non inertiels\index{referentiel@référentiel!non inertiel} (c'est-à-dire accélérés). Dans le cadre d'une annexe portant sur la relativité, il convient de mentionner que cette force peut ne pas être vue comme une pseudo-force\index{pseudo-force}. Einstein va lui donner une ``réalité'' en la considérant comme une force de gravitation\index{force!de gravitation}\footnote{Le cas d'un pendule placé dans un train qui accélère permet de comprendre le lien entre l'inertie et la gravitation (voir \cite[p. 400-404.]{GC88})}. Cela va le mener à redéfinir la notion même de gravitation à travers la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}.
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Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.tex.backup
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\chapter{Relativité\index{relativite@relativité}}\label{relativite}
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La notion de relativité est entourée d'une aura particulière. Elle évoque immanquablement Einstein\index{Einstein} et des idées entourées de mystère comme la dilatation du temps\index{dilatation du temps} ou la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}. Même si cette notion se comprend de nos jours à travers les relativités restreinte et générale d'Einstein, elle est déjà présente chez Bruno\index{Bruno} au \siecle{16} et Galilée\index{Galilee@Galilée} au \siecle{17}. On parle aujourd'hui de relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} pour faire la différence avec celles d'Einstein. Dans tous les cas, cette notion nous mène à considérer des changements de référentiels et à étudier le changement de forme des lois de la physique à travers ceux-ci. Sans aborder les relativités restreinte et générale d'Einstein, qui traitent des lois de l'électromagnétisme et de la gravitation à travers ces changements de référentiels, on va s'intéresser ici à la notion de relativité galiléenne et à ses implications pour la physique newtonienne.
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\section{Relativité galiléenne}
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Deux textes historiques fondent l'idée de relativité. Le plus connu est celui de Galileo Galilei (Galilée) :
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\begin{quotation}
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``\textit{Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l'intérieur d'un grand bateau et prenez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petits animaux volants. Prenez une grande cuve d'eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un grand récipient en dessous d'elle. Avec le bateau à l'arrêt, observez soigneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu'il n'y ait aucun doute que lorsque le bateau est à l'arrêt, les choses doivent se passer ainsi), faites avancer le bateau à l'allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme [c'est-à-dire constante] et ne fluctue pas de part et d'autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d'eux ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots}'' Galileo Galilei, dans ``Dialogue concernant les deux plus grands systèmes du monde'', deuxième journée, 1632.
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||||
\footnotesize{\cite[p. 400.]{GC88}}
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\end{quotation}
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Galilée décrit tout d'abord un changement de référentiel particulier. Il s'agit de passer d'un lieu immobile sur la terre ferme à la cabine d'un navire se déplaçant uniformément, c'est-à-dire à vitesse constante\index{vitesse!constante}. Il n'est donc pas question d'un référentiel en accélération par exemple. On parlera donc de relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}.
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Puis, Galilée compare les mouvements dans ces deux référentiels et conclut qu'il n'y a pas de moyens de les différencier. L'explication actuelle complète et étend ce résultat qui constitue l'idée de relativité. Elle s'exprime par :
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\begin{quotation}
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Les lois de la physique sont formellement les mêmes dans deux référentiels en translation à vitesse constante l'un par rapport à l'autre.
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\end{quotation}
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Cette idée, au contraire de dire que ``tout est relatif'', affirme que la forme des lois de la physique est préservée par ce type de changement de référentiel. Elle en assure la généralité pour des observateurs en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
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Le texte le plus ancien formulant clairement l'idée de relativité à pour auteur Giordano Bruno.
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\begin{quotation}
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``\textit{Si nous supposons une personne sur un bateau en mouvement au milieu des flots, celui qui ne sait pas que l'eau est en mouvement et qui ne voit pas la terre ferme, ne sera pas conscient du mouvement du bateau . Pour cette raison, j'en viendrai à mettre en doute la quiétude et la fixité de notre Terre. Et je suis en mesure de croire que si j'étais sur le Soleil, la Lune ou sur une autre étoile, je m'imaginerais toujours au centre du monde sans mouvement autour duquel semblerait tourner l'univers entier, bien qu'en vérité le corps contenant sur lequel je me trouve serait en train de tourner sur lui-même. Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.}'' Giordano Bruno, dans ``L'Infini, l'univers et les mondes'', troisième dialogue, 1584.
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\footnotesize{\cite[p. 170.]{JR00}}
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\end{quotation}
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Bruno\index{Bruno}, bien avant Galilée avait posé très clairement les bases du principe de relativité. Et Bruno alla plus loin que Galilée en postulant la pluralité des mondes\index{pluralite@pluralité des mondes}. Cela lui coûta la vie puisqu'il fut brûlé vif en 1600.
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\section{Transformation galiléenne\index{transformation!galiléenne}}
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Le changement de référentiel sur lequel se base la relativité restreinte de Galilée (ou de Bruno) a de nos jours une formulation mathématique précise. Pour la découvrir, considérons la figure \ref{transgalilee} qui présente deux référentiels $R$ et $R'$ dont l'un, $R'$, se déplace en ligne droite à vitesse constante $v_{ref}$ par rapport à l'autre. Pour simplifier les calculs, le déplacement de $R'$ se fait selon l'axe $x$ du référentiel $R$.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Transformation de galilée]{Transformation de Galilée\label{transgalilee} \par \scriptsize{Selon l'axe $x$.}}
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\includegraphics[width=6cm]{TransGalilee.eps}
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\end{figure}
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On peut donner la position du point $P$ dans chaque référentiel à l'aide des coordonnées $x$ et $x'$. Si on admet, pour simplifier, que les deux référentiels avaient à $t=0\,s$ la même origine, la position de l'origine du référentiel $R'$ à un instant $t$ par rapport à $R$ vaut alors $v_{ref}\cdot t$. On peut alors écrire pour le point $P$ :
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\begin{equation}\label{eqtransgalilee}
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\fbox{$\displaystyle x'=x-v_{ref}\cdot t$}
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\end{equation}
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L'équation \ref{eqtransgalilee} constitue la transformation de Galilée, sous sa forme la plus simplifiée. Il faut cependant lui ajouter une équation ici évidente :
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\[t'=t\]
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qui postule l'invariance du temps\index{invariance!du temps} par changement de référentiel.
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\medskip
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On peut déduire de l'équation \ref{eqtransgalilee} un corollaire important : le théorème d'addition des vitesses\index{theoreme@théorème!d'addition des vitesses}. Considérons le déplacement du point $P$ le long de l'axe $x$. Notons $x_f$ la position finale et $x_i$ la position initiale du point $P$. En notant $v$ la vitesse du point $P$, en utilisant le ' pour les grandeurs dans le référentiel $R'$ et avec la transformation de Galilée, on a :
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\begin{align}
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v'&=\frac{x'_f-x'_i}{t'_f-t'_i}=\frac{(x_f-v_{ref}\cdot t_f)-(x_i-v_{ref}\cdot t_i}{t_f-t_i}\nonumber\\
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||||
&=\frac{x_f-x_i-v_{ref}\cdot (t_f-t_i)}{t_f-t_i}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}-v_{ref}\nonumber\\
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||||
v'&=v-v_{ref}\label{thmaddvit}
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||||
\end{align}
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||||
L'expression \ref{thmaddvit} constitue le théorème d'addition des vitesses. Il traduit l'idée que la vitesse d'un point $P$ dans le référentiel $R'$ correspond à sa vitesse dans le référentiel $R$ à laquelle on soustrait la vitesse du référentiel $R'$ lui-même. Plus simplement, en inversant l'équation \ref{thmaddvit}, on a :
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\begin{equation}\label{thmaddvit2}
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\fbox{$\displaystyle v=v'+v_{ref}$}
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||||
\end{equation}
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L'équation \ref{thmaddvit2} se comprend ainsi : par rapport au sol, la vitesse du passager d'un train correspond à sa vitesse par rapport au train à laquelle on ajoute la vitesse du train lui-même (par rapport au sol).
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\section{Invariance\index{invariance}}
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La transformation de Galilée permet maintenant d'étudier précisément le changement des lois de la physique par changement de référentiel. La transformation de Galilée se restreint aux référentiels en MRU\index{MRU} les uns par rapport aux autres. La relativité de Galilée\index{relativite@relativité!de Galilée} utilisant implicitement cette transformation est donc une relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}. Voyons donc dans quelle mesure la transformation de Galilée modifie la seconde loi de Newton.
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\medskip
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Comme précédemment, notons avec un indice $_i$ l'instant initial et un indice $_f$ l'instant final et calculons la force $F'$ exercée sur un objet de masse m dont l'accélération dans le référentiel $R'$ vaut $a'$ :
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\begin{align*}
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F'&=m\cdot a'=m\cdot \frac{v'_f-v'_i}{t'_f-t'_i}\\
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&=m\cdot \frac{(v_f-v_{ref})-(v_i-v_{ref})}{t_f-t_i}\\
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||||
&=m\cdot \frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}=m\cdot a=F
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||||
\end{align*}
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On utilise l'équation \ref{thmaddvit} pour changer de référentiel et le fait qu'en relativité galiléenne la masse $m$ est invariante par changement de référentiel. Finalement, on obtient :
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\begin{equation}
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\fbox{$\displaystyle F'=m\cdot a'=m\cdot a=F$}
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\end{equation}
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Ainsi, la seconde loi\index{seconde loi} de Newton s'écrit de la même manière dans les deux référentiels $R$ et $R'$. On dit qu'elle est formellement invariante\index{invariance!formelle} par changement de référentiel. En d'autres termes, aucune expérience vérifiant la seconde loi de Newton ne peut permettre de faire la distinction entre les référentiels $R$ et $R'$. Pour Bruno\index{Bruno}, cela s'exprime par : ``Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.'' et pour Galilée, ``\dots aucun des effets mentionnés [\dots] ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots'' comme on l'a vu dans les citations ci-dessus.
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Les lois de la physique sont donc formellement les mêmes dans les deux référentiels et rien ne permet de dire que l'un est en mouvement et l'autre pas.
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\section{Forces inertielles\index{force!inertielle}}
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Comme cela a été dit plus haut, l'invariance\index{invariance} de la seconde loi de Newton n'existe que dans le cadre de la relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}, pour des référentiels dits \emph{inertiels}\index{referentiel@référentiel!inertiel}, c'est-à-dire se déplaçant les uns par rapport aux autres en mouvement rectiligne uniforme\index{mouvement!rectiligne uniforme}. Mais qu'en est-il quand on considère d'autres référentiels qui ne se déplacent pas l'un par rapport à l'autre en ligne droite et à vitesse constante ? Dans le cas de référentiels en rotation par exemple, la seconde loi de Newton est-elle vraiment caduque ?
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Il ne s'agit pas ici de développer la dynamique de tels référentiels. Seuls deux aspects qu'on évoque parfois, sans vraiment savoir ce dont il s'agit, vont être abordés. Il s'agit du concept de force d'inertie\index{force!d'inertie} et de celui de force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
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La notion de force d'inertie est très complexe, tant au niveau mathématique (produit vectoriel) qu'au niveau conceptuel (voir le paragraphe \ref{forcecentrifuge}). L'idée est ici de montrer que la seconde loi\index{seconde loi} de Newton n'est pas invariante par un changement de référentiel non-inertiel\index{referentiel@référentiel!non inertiel}. En d'autres termes, pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel tournant\index{referentiel@référentiel!tournant}, il faut soit ajouter des forces fictives\index{force!fictive} (point de vue de Newton) dont l'une est la force d'inertie\index{force!d'inertie}, soit interpréter celle-ci comme un champ de gravitation\index{champ!de gravitation} supplémentaire. On va présenter ici le premier point de vue.
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Considérons deux référentiels $R$ et $R'$ qui ne sont pas en MRU l'un par rapport à l'autre, mais dont le second, $R'$, est en rotation à la vitesse angulaire $\omega_{ref}$ par rapport au premier, $R$. Contrairement à l'invariance\index{invariance} de l'accélération par une transformation de Galilée\index{transformation!de Galilée}, on montre (voir \cite[p. 202-204.]{GC88}) que l'accélération d'un objet dans le référentiel $R'$ n'est pas la même que dans le référentiel $R$. Plus précisément, l'accélération $a$ dans le référentiel $R$ vaut :
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\begin{equation}\label{accobjetdsreftournant}
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a=a'+a_{ref}
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\end{equation}
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où $a'$ est l'accélération dans le référentiel $R'$ et $a_{ref}$ l'accélération du référentiel $R'$ par rapport à $R$.
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C'est là un changement fondamental qui restreint la portée de la relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} (et qui a mené Einstein vers la relativité générale\index{relativite@relativité!générale}).
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Comme on a vu au paragraphe \ref{accmcu}, page \pageref{accmcu}, qu'un objet en rotation circulaire uniforme a une accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète}, c'est-à-dire dirigée vers le centre du cercle, donnée par :
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\[a_c=\frac{v^2}{r}\]
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où $v$ est la vitesse linéaire de l'objet et $r$ le rayon du cercle, on peut appliquer cette relation pour exprimer l'accélération $a_{ref}$ de $R'$ par rapport à $R$ à l'aide de la vitesse $v$ d'un point du référentiel $R'$ situé à une distance $r$ de l'axe de rotation. De plus, l'équation \ref{vomegar} permet d'exprimer cette accélération en fonction de la vitesse angulaire $\omega_{ref}$. On a donc :
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\begin{equation}\label{accreftournant}
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a_{ref}=\frac{v^2}{r}=\frac{(\omega\cdot r)^2}{r}=\omega^2\cdot r
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\end{equation}
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L'équation \ref{accobjetdsreftournant} de l'accélération d'un objet par rapport au référentiel $R'$ peut alors s'écrire :
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\begin{equation}\label{acctournantfinale}
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a=a'+\omega^2\cdot r
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\end{equation}
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Les équations de la cinématique\index{cinematique@cinématique} ne sont donc pas préservées par un tel changement de référentiel (non inertiel).
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La dynamique n'est évidemment pas non plus préservée. L'accélération se trouvant au c\oe ur de la seconde loi de Newton, elle ne peut rester formellement invariante\index{invariance!formelle}. En effet, si elle s'écrit dans le référentiel $R$ :
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\begin{equation}\label{secondeR}
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\sum F^{ext}=m\cdot a
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\end{equation}
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elle doit s'écrire dans le référentiel $R'$ :
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\begin{align}
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\sum F'^{ext}&=m\cdot a'\nonumber\\
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&=m\cdot (a-\omega^2\cdot r)\nonumber\\
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&=m\cdot a-m\cdot\omega^2\cdot r\label{secondeR'}
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\end{align}
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Visiblement l'équation \ref{secondeR} est formellement différente de \ref{secondeR'}.
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On peut cependant modifier l'équation \ref{secondeR'} décrivant le mouvement dans le référentiel en rotation $R'$ pour qu'elle corresponde à l'expression \ref{secondeR} donnée pour le référentiel $R$ :
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\begin{align}
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\sum F'^{ext}+m\cdot\omega^2\cdot r&=m\cdot a\\
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\sum F^{ext}=\sum F'^{ext}+F_{in}&=m\cdot a
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\end{align}
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En réinterprétant le terme correspondant à l'accélération du référentiel $R'$ comme une force d'inertie\index{force!d'inertie} ($F_{in}$) qui s'additionne aux forces réellement exercées sur l'objet, on peut s'imaginer préserver la forme de la seconde loi de Newton. Bien entendu, ce n'est qu'une manière de masquer le problème, puisque pour le référentiel $R'$ uniquement, il faut ajouter la force d'inertie. Et comme cette force n'a aucune réalité, comme aucun corps ne l'exerce, elle est considérée comme une force fictive\index{force!fictive}, une pseudo-force\index{pseudo-force} qui n'a pas d'existence propre. On lui donne un nom : la force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force centrifuge\index{force!centrifuge}}\label{forcecentrifuge}
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Du point de vue de la mécanique newtonienne, la force centrifuge est donc une pseudo-force à n'introduire dans la seconde loi que pour des référentiels non inertiels\index{referentiel@référentiel!non inertiel} (c'est-à-dire accélérés). Dans le cadre d'une annexe portant sur la relativité, il convient de mentionner que cette force peut ne pas être vue comme une pseudo-force\index{pseudo-force}. Einstein va lui donner une ``réalité'' en la considérant comme une force de gravitation\index{force!de gravitation}\footnote{Le cas d'un pendule placé dans un train qui accélère permet de comprendre le lien entre l'inertie et la gravitation (voir \cite[p. 400-404.]{GC88})}. Cela va le mener à redéfinir la notion même de gravitation à travers la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}.
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Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.tex~
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Annexe-Relativite/Annexe-Relativite.tex~
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@ -0,0 +1,133 @@
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\myclearpage
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\chapter{Relativité\index{relativite@relativité}}\label{relativite}
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\lettrine{L}{a notion de relativité} est entourée d'une aura particulière. Elle évoque immanquablement Einstein\index{Einstein} et des idées entourées de mystère comme la dilatation du temps\index{dilatation du temps} ou la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}. Même si cette notion se comprend de nos jours à travers les relativités restreinte et générale d'Einstein, elle est déjà présente chez Bruno\index{Bruno} au \siecle{16} et Galilée\index{Galilee@Galilée} au \siecle{17}. On parle aujourd'hui de relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} pour faire la différence avec celles d'Einstein. Dans tous les cas, cette notion nous mène à considérer des changements de référentiels et à étudier le changement de forme des lois de la physique à travers ceux-ci. Sans aborder les relativités restreinte et générale d'Einstein, qui traitent des lois de l'électromagnétisme et de la gravitation à travers ces changements de référentiels, on va s'intéresser ici à la notion de relativité galiléenne et à ses implications pour la physique newtonienne.
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\section{Relativité galiléenne}
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Deux textes historiques fondent l'idée de relativité. Le plus connu est celui de Galileo Galilei (Galilée) :
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\begin{quotation}
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``\textit{Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l'intérieur d'un grand bateau et prenez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petits animaux volants. Prenez une grande cuve d'eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un grand récipient en dessous d'elle. Avec le bateau à l'arrêt, observez soigneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu'il n'y ait aucun doute que lorsque le bateau est à l'arrêt, les choses doivent se passer ainsi), faites avancer le bateau à l'allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme [c'est-à-dire constante] et ne fluctue pas de part et d'autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d'eux ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots}'' Galileo Galilei, dans ``Dialogue concernant les deux plus grands systèmes du monde'', deuxième journée, 1632.
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\footnotesize{\cite[p. 400.]{GC88}}
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\end{quotation}
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Galilée décrit tout d'abord un changement de référentiel particulier. Il s'agit de passer d'un lieu immobile sur la terre ferme à la cabine d'un navire se déplaçant uniformément, c'est-à-dire à vitesse constante\index{vitesse!constante}. Il n'est donc pas question d'un référentiel en accélération par exemple. On parlera donc de relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}.
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||||
Puis, Galilée compare les mouvements dans ces deux référentiels et conclut qu'il n'y a pas de moyens de les différencier. L'explication actuelle complète et étend ce résultat qui constitue l'idée de relativité. Elle s'exprime par :
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\begin{quotation}
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Les lois de la physique sont formellement les mêmes dans deux référentiels en translation à vitesse constante l'un par rapport à l'autre.
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\end{quotation}
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Cette idée, au contraire de dire que ``tout est relatif'', affirme que la forme des lois de la physique est préservée par ce type de changement de référentiel. Elle en assure la généralité pour des observateurs en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
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Le texte le plus ancien formulant clairement l'idée de relativité à pour auteur Giordano Bruno.
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\begin{quotation}
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``\textit{Si nous supposons une personne sur un bateau en mouvement au milieu des flots, celui qui ne sait pas que l'eau est en mouvement et qui ne voit pas la terre ferme, ne sera pas conscient du mouvement du bateau . Pour cette raison, j'en viendrai à mettre en doute la quiétude et la fixité de notre Terre. Et je suis en mesure de croire que si j'étais sur le Soleil, la Lune ou sur une autre étoile, je m'imaginerais toujours au centre du monde sans mouvement autour duquel semblerait tourner l'univers entier, bien qu'en vérité le corps contenant sur lequel je me trouve serait en train de tourner sur lui-même. Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.}'' Giordano Bruno, dans ``L'Infini, l'univers et les mondes'', troisième dialogue, 1584.
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\footnotesize{\cite[p. 170.]{JR00}}
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\end{quotation}
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Bruno\index{Bruno}, bien avant Galilée avait posé très clairement les bases du principe de relativité. Et Bruno alla plus loin que Galilée en postulant la pluralité des mondes\index{pluralite@pluralité des mondes}. Cela lui coûta la vie puisqu'il fut brûlé vif en 1600.
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\section{Transformation galiléenne\index{transformation!galiléenne}}
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Le changement de référentiel sur lequel se base la relativité restreinte de Galilée (ou de Bruno) a de nos jours une formulation mathématique précise. Pour la découvrir, considérons la figure \ref{transgalilee} qui présente deux référentiels \(R\) et \(R'\) dont l'un, \(R'\), se déplace en ligne droite à vitesse constante \(v_{ref}\) par rapport à l'autre. Pour simplifier les calculs, le déplacement de \(R'\) se fait selon l'axe \(x\) du référentiel \(R\).
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Transformation de galilée]{Transformation de Galilée\label{transgalilee} \par \scriptsize{Selon l'axe \(x\).}}
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\includegraphics[width=6cm]{TransGalilee.eps}
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\end{figure}
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On peut donner la position du point \(P\) dans chaque référentiel à l'aide des coordonnées \(x\) et \(x'\). Si on admet, pour simplifier, que les deux référentiels avaient à \(t=\unit{0}{\second}\) la même origine, la position de l'origine du référentiel \(R'\) à un instant \(t\) par rapport à \(R\) vaut alors \(v_{ref}\cdot t\). On peut alors écrire pour le point \(P\) :
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\begin{equation}\label{eqtransgalilee}
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\fbox{$\displaystyle x'=x-v_{ref}\cdot t$}
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\end{equation}
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||||
L'équation \ref{eqtransgalilee} constitue la transformation de Galilée, sous sa forme la plus simplifiée. Il faut cependant lui ajouter une équation ici évidente :
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||||
\[t'=t\]
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qui postule l'invariance du temps\index{invariance!du temps} par changement de référentiel.
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\medskip
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On peut déduire de l'équation \ref{eqtransgalilee} un corollaire important : le théorème d'addition des vitesses\index{theoreme@théorème!d'addition des vitesses}. Considérons le déplacement du point \(P\) le long de l'axe \(x\). Notons \(x_f\) la position finale et \(x_i\) la position initiale du point \(P\). En notant \(v\) la vitesse du point \(P\), en utilisant le ' pour les grandeurs dans le référentiel \(R'\) et avec la transformation de Galilée, on a :
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||||
\begin{align}
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||||
v'&=\frac{x'_f-x'_i}{t'_f-t'_i}=\frac{(x_f-v_{ref}\cdot t_f)-(x_i-v_{ref}\cdot t_i}{t_f-t_i}\nonumber\\
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||||
&=\frac{x_f-x_i-v_{ref}\cdot (t_f-t_i)}{t_f-t_i}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}-v_{ref}\nonumber\\
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||||
v'&=v-v_{ref}\label{thmaddvit}
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||||
\end{align}
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||||
L'expression \ref{thmaddvit} constitue le théorème d'addition des vitesses. Il traduit l'idée que la vitesse d'un point \(P\) dans le référentiel \(R'\) correspond à sa vitesse dans le référentiel \(R\) à laquelle on soustrait la vitesse du référentiel \(R'\) lui-même. Plus simplement, en inversant l'équation \ref{thmaddvit}, on a :
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||||
\begin{equation}\label{thmaddvit2}
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||||
\fbox{$\displaystyle v=v'+v_{ref}$}
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||||
\end{equation}
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L'équation \ref{thmaddvit2} se comprend ainsi : par rapport au sol, la vitesse du passager d'un train correspond à sa vitesse par rapport au train à laquelle on ajoute la vitesse du train lui-même (par rapport au sol).
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\section{Invariance\index{invariance}}
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La transformation de Galilée permet maintenant d'étudier précisément le changement des lois de la physique par changement de référentiel. La transformation de Galilée se restreint aux référentiels en MRU\index{MRU} les uns par rapport aux autres. La relativité de Galilée\index{relativite@relativité!de Galilée} utilisant implicitement cette transformation est donc une relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}. Voyons donc dans quelle mesure la transformation de Galilée modifie la seconde loi de Newton.
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\medskip
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Comme précédemment, notons avec un indice $_i$ l'instant initial et un indice $_f$ l'instant final et calculons la force \(F'\) exercée sur un objet de masse m dont l'accélération dans le référentiel \(R'\) vaut \(a'\) :
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\begin{align*}
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F'&=m\cdot a'=m\cdot \frac{v'_f-v'_i}{t'_f-t'_i}\\
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&=m\cdot \frac{(v_f-v_{ref})-(v_i-v_{ref})}{t_f-t_i}\\
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||||
&=m\cdot \frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}=m\cdot a=F
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\end{align*}
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On utilise l'équation \ref{thmaddvit} pour changer de référentiel et le fait qu'en relativité galiléenne la masse \(m\) est invariante par changement de référentiel. Finalement, on obtient :
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\begin{equation}
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\fbox{$\displaystyle F'=m\cdot a'=m\cdot a=F$}
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\end{equation}
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Ainsi, la seconde loi\index{seconde loi} de Newton s'écrit de la même manière dans les deux référentiels \(R\) et \(R'\). On dit qu'elle est formellement invariante\index{invariance!formelle} par changement de référentiel. En d'autres termes, aucune expérience vérifiant la seconde loi de Newton ne peut permettre de faire la distinction entre les référentiels \(R\) et \(R'\). Pour Bruno\index{Bruno}, cela s'exprime par : ``Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.'' et pour Galilée, ``\dots aucun des effets mentionnés [\dots] ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots'' comme on l'a vu dans les citations ci-dessus.
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Les lois de la physique sont donc formellement les mêmes dans les deux référentiels et rien ne permet de dire que l'un est en mouvement et l'autre pas.
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\section{Forces inertielles\index{force!inertielle}}
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Comme cela a été dit plus haut, l'invariance\index{invariance} de la seconde loi de Newton n'existe que dans le cadre de la relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}, pour des référentiels dits \emph{inertiels}\index{referentiel@référentiel!inertiel}, c'est-à-dire se déplaçant les uns par rapport aux autres en mouvement rectiligne uniforme\index{mouvement!rectiligne uniforme}. Mais qu'en est-il quand on considère d'autres référentiels qui ne se déplacent pas l'un par rapport à l'autre en ligne droite et à vitesse constante ? Dans le cas de référentiels en rotation par exemple, la seconde loi de Newton est-elle vraiment caduque ?
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Il ne s'agit pas ici de développer la dynamique de tels référentiels. Seuls deux aspects qu'on évoque parfois, sans vraiment savoir ce dont il s'agit, vont être abordés. Il s'agit du concept de force d'inertie\index{force!d'inertie} et de celui de force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force d'inertie\index{force!d'inertie}}
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La notion de force d'inertie est très complexe, tant au niveau mathématique (produit vectoriel) qu'au niveau conceptuel (voir le paragraphe \ref{forcecentrifuge}). L'idée est ici de montrer que la seconde loi\index{seconde loi} de Newton n'est pas invariante par un changement de référentiel non-inertiel\index{referentiel@référentiel!non inertiel}. En d'autres termes, pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel tournant\index{referentiel@référentiel!tournant}, il faut soit ajouter des forces fictives\index{force!fictive} (point de vue de Newton) dont l'une est la force d'inertie\index{force!d'inertie}, soit interpréter celle-ci comme un champ de gravitation\index{champ!de gravitation} supplémentaire. On va présenter ici le premier point de vue.
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Considérons deux référentiels \(R\) et \(R'\) qui ne sont pas en MRU l'un par rapport à l'autre, mais dont le second, \(R'\), est en rotation à la vitesse angulaire \(\omega_{ref}\) par rapport au premier, \(R\). Contrairement à l'invariance\index{invariance} de l'accélération par une transformation de Galilée\index{transformation!de Galilée}, on montre (voir \cite[p. 202-204.]{GC88}) que l'accélération d'un objet dans le référentiel \(R'\) n'est pas la même que dans le référentiel \(R\). Plus précisément, l'accélération \(a\) dans le référentiel \(R\) vaut :
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\begin{equation}\label{accobjetdsreftournant}
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||||
a=a'+a_{ref}
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||||
\end{equation}
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où \(a'\) est l'accélération dans le référentiel \(R'\) et \(a_{ref}\) l'accélération du référentiel \(R'\) par rapport à \(R\).
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\medskip
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||||
C'est là un changement fondamental qui restreint la portée de la relativité galiléenne\index{relativite@relativité!galiléenne} (et qui a mené Einstein vers la relativité générale\index{relativite@relativité!générale}).
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\smallskip
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Comme on a vu au paragraphe \ref{accmcu}, page \pageref{accmcu}, qu'un objet en rotation circulaire uniforme a une accélération centripète\index{acceleration@accélération!centripète}, c'est-à-dire dirigée vers le centre du cercle, donnée par :
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||||
\[a_c=\frac{v^2}{r}\]
|
||||
où \(v\) est la vitesse linéaire de l'objet et \(r\) le rayon du cercle, on peut appliquer cette relation pour exprimer l'accélération \(a_{ref}\) de \(R'\) par rapport à \(R\) à l'aide de la vitesse \(v\) d'un point du référentiel \(R'\) situé à une distance \(r\) de l'axe de rotation. De plus, l'équation \ref{vomegar} permet d'exprimer cette accélération en fonction de la vitesse angulaire \(\omega_{ref}\). On a donc :
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||||
\begin{equation}\label{accreftournant}
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||||
a_{ref}=\frac{v^2}{r}=\frac{(\omega\cdot r)^2}{r}=\omega^2\cdot r
|
||||
\end{equation}
|
||||
L'équation \ref{accobjetdsreftournant} de l'accélération d'un objet par rapport au référentiel \(R'\) peut alors s'écrire :
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||||
\begin{equation}\label{acctournantfinale}
|
||||
a=a'+\omega^2\cdot r
|
||||
\end{equation}
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||||
Les équations de la cinématique\index{cinematique@cinématique} ne sont donc pas préservées par un tel changement de référentiel (non inertiel).
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\medskip
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||||
La dynamique n'est évidemment pas non plus préservée. L'accélération se trouvant au c\oe ur de la seconde loi de Newton, elle ne peut rester formellement invariante\index{invariance!formelle}. En effet, si elle s'écrit dans le référentiel \(R\) :
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||||
\begin{equation}\label{secondeR}
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||||
\sum F^{ext}=m\cdot a
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||||
\end{equation}
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||||
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||||
elle doit s'écrire dans le référentiel \(R'\) :
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||||
\begin{align}
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||||
\sum F'^{ext}&=m\cdot a'\nonumber\\
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||||
&=m\cdot (a-\omega^2\cdot r)\nonumber\\
|
||||
&=m\cdot a-m\cdot\omega^2\cdot r\label{secondeR'}
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||||
\end{align}
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||||
Visiblement l'équation \ref{secondeR} est formellement différente de \ref{secondeR'}.
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\medskip
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||||
On peut cependant modifier l'équation \ref{secondeR'} décrivant le mouvement dans le référentiel en rotation \(R'\) pour qu'elle corresponde à l'expression \ref{secondeR} donnée pour le référentiel \(R\) :
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||||
\begin{align}
|
||||
\sum F'^{ext}+m\cdot\omega^2\cdot r&=m\cdot a\\
|
||||
\sum F^{ext}=\sum F'^{ext}+F_{in}&=m\cdot a
|
||||
\end{align}
|
||||
En réinterprétant le terme correspondant à l'accélération du référentiel \(R'\) comme une force d'inertie\index{force!d'inertie} (\(F_{in}\)) qui s'additionne aux forces réellement exercées sur l'objet, on peut s'imaginer préserver la forme de la seconde loi de Newton. Bien entendu, ce n'est qu'une manière de masquer le problème, puisque pour le référentiel \(R'\) uniquement, il faut ajouter la force d'inertie. Et comme cette force n'a aucune réalité, comme aucun corps ne l'exerce, elle est considérée comme une force fictive\index{force!fictive}, une pseudo-force\index{pseudo-force} qui n'a pas d'existence propre. On lui donne un nom : la force centrifuge\index{force!centrifuge}.
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\subsection{Force centrifuge\index{force!centrifuge}}\label{forcecentrifuge}
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Du point de vue de la mécanique newtonienne, la force centrifuge est donc une pseudo-force à n'introduire dans la seconde loi que pour des référentiels non inertiels\index{referentiel@référentiel!non inertiel} (c'est-à-dire accélérés). Dans le cadre d'une annexe portant sur la relativité, il convient de mentionner que cette force peut ne pas être vue comme une pseudo-force\index{pseudo-force}. Einstein va lui donner une ``réalité'' en la considérant comme une force de gravitation\index{force!de gravitation}\footnote{Le cas d'un pendule placé dans un train qui accélère permet de comprendre le lien entre l'inertie et la gravitation (voir \cite[p. 400-404.]{GC88})}. Cela va le mener à redéfinir la notion même de gravitation à travers la courbure de l'espace\index{courbure de l'espace}.
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51
Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.aux
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51
Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.aux
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|
||||
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|
||||
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|
||||
\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {E.1}Rotation de la Terre sur elle-m\IeC {\^e}me}{173}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {E.2}Rotation de la Terre autour du Soleil}{173}}
|
||||
\citation{GG92}
|
||||
\citation{JR07}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {E.1}{\ignorespaces Le syst\IeC {\`e}me g\IeC {\'e}ocentrique de Tycho Brah\IeC {\'e}}}{174}}
|
||||
\newlabel{tychosystem}{{E.1}{174}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {E.3}Rotation du Soleil dans la Voie Lact\IeC {\'e}e}{175}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {E.2}{\ignorespaces Le Soleil dans la Voie Lact\IeC {\'e}e}}{175}}
|
||||
\newlabel{milky_way_2005}{{E.2}{175}}
|
||||
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {E.4}Vitesse et r\IeC {\'e}f\IeC {\'e}rentiel}{175}}
|
||||
\@setckpt{Annexe-Rotations/Annexe-Rotations}{
|
||||
\setcounter{page}{177}
|
||||
\setcounter{equation}{0}
|
||||
\setcounter{enumi}{2}
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
||||
127
Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex
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127
Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex
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@ -0,0 +1,127 @@
|
||||
\myclearpage
|
||||
|
||||
\chapter{Rotations}
|
||||
|
||||
\lettrine{L}{'objectif} de cette annexe est de prendre conscience des mouvements auxquels nous participons sans même le savoir. Il est aussi de se rendre compte que les vitesses qui leur correspondent sont difficilement imaginables et plus, elles sont relatives et il est parfois difficile de savoir par rapport à quoi les décrire.
|
||||
|
||||
Ces mouvements sont cependant assez bien connus pour qu'on puisse prévoir le futur proche de notre position dans l'espace.
|
||||
|
||||
\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la terre} sur elle-même}
|
||||
|
||||
On se propose de calculer la vitesse de rotation d'un point à l'arrêt sur l'équateur terrestre\index{equateur@équateur!terrestre}.
|
||||
|
||||
Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item le rayon de la Terre à l'équateur vaut : \(R_T=\unit{6,378\cdot 10^6}{\metre}\) et
|
||||
\item la période sidérale de rotation\index{periode@période!sidérale} de la Terre sur elle-même vaut : \(T_s=23\,h\,56\,mn\,4,1\,s=\unit{86'164,1}{\second}\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_T}{T_s}\\
|
||||
&=\frac{2\cdot \pi\cdot 6,378\cdot 10^6}{86'164,1}\\
|
||||
&=\unit{465,1}{\metre\per\second}=\unit{1674}{\kilo\metre\per\hour}
|
||||
\end{align*}
|
||||
A elle seule, cette vitesse est déjà fantastique. Nous ne la ressentons pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
|
||||
|
||||
\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la Terre} autour du Soleil\index{Soleil}}
|
||||
|
||||
On se propose de calculer la vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil.
|
||||
|
||||
Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item la distance de la Terre au Soleil vaut environ : \(R_{T\rightarrow S}=\unit{1,496\cdot 10^{11}}{\metre}\) et
|
||||
\item la période sidérale de rotation de la Terre autour du Soleil vaut : \(T_s=\unit{365,263}{j}=\unit{31,559\cdot 10^6}{\second}\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{T\rightarrow S}}{T_s}\\
|
||||
&=\frac{2\cdot \pi\cdot 1,496\cdot 10^{11}}{31,559\cdot 10^6}\\
|
||||
&=\unit{29'784,4}{\metre\per\second}=\unit{107'224}{\kilo\metre\per\hour}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Cette vitesse est encore plus fantastique. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
Ce qui vient d'être dit montre qu'il est important de préciser \emph{par rapport à quoi} on observe le mouvement. Historiquement cette question a pris beaucoup d'importance lors de la mise en question de l'immobilité de la Terre. En effet, si pendant longtemps l'idée que la Terre tourne autour du Soleil a paru absurde, aujourd'hui elle est évidente. Et au contraire, c'est l'idée qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre qui est devenue absurde. A tel point qu'on envisage même plus qu'on puisse l'affirmer effectivement. Or, la relativité\index{relativité} des mouvements permet de dire à juste titre que le Soleil tourne autour de la Terre pour autant qu'on observe le mouvement depuis celle-ci. La Terre tourne autour du Soleil par rapport au Soleil et le Soleil tourne autour de la Terre par rapport à la Terre. Ce que Galilée lui-même, dans son ``Dialogue sur les deux grands systèmes du monde'', a exprimé par :
|
||||
|
||||
\begin{quotation}
|
||||
``\textit{Les choses reviennent au même si la Terre seule se meut alors que tout le reste de l'Univers est immobile ou si, alors que la Terre seule est immobile, tout l'Univers se meut d'un même mouvement}''\footnote{On trouve dans \cite[p. 274]{GG92} le texte suivant : \begin{quotation}``\textit{si la Terre est immobile, il faut que le Soleil et les étoiles fixes se meuvent, mais il se peut aussi que le Soleil et les fixes soient immobiles si c'est la Terre qui se meut.}''\end{quotation}}
|
||||
|
||||
\footnotesize{\cite[p. 60, sans référence à la page originale.]{JR07}}
|
||||
\end{quotation}
|
||||
|
||||
Qu'en est-il alors de la fameuse question historique de l'immobilité de la Terre\index{immobilite de la terre@immobilité de la terre} ? Celle-ci révèle, en réalité, deux problèmes qui ne remettent pas en cause la possibilité d'une description relative des mouvements du Soleil et de la Terre.
|
||||
|
||||
Le premier problème se traduit dans l'immobilité de la Terre \emph{dans l'univers}. C'est un problème autant cosmologique que physique. Cosmologique, car il met en cause une vision de l'univers historique et religieuse qui dépasse clairement la simple relativité des mouvements. Physique, car il met en jeu la question de l'inertie\index{inertie} qui elle aussi dépasse le cadre de la relativité des mouvements. Nous n'en discuterons pas ici en raison de sa complexité, mais on peut relever qu'elle n'empêche nullement d'affirmer que le Soleil tourne autour de la Terre.
|
||||
|
||||
Le second problème tient dans la cinématique des planètes du système solaire. Il est aujourd'hui incontestable que les planètes tournent autour du Soleil selon des orbites elliptiques\index{orbite!elliptique} et non, comme l'envisageait Ptolémée\index{Ptolemee@Ptolémée}, autour de la Terre. Car le modèle utilisé à l'époque, qui faisait tourner les planètes autour de la Terre et sur des épicycles\index{epicycle@épicycle}\footnote{Les épicycles sont de petits cercles dont le centre tourne sur un plus grand cercle, le déférent, centré sur la Terre. Les planètes tournent sur les épicycles qui eux-mêmes tournent autour de la Terre.} pour expliquer leur rétrogradation\index{retrogradation@rétrogradation}\footnote{La rétrogradation est le fait que les planètes plus éloignées du Soleil que la Terre, semblent parfois, vu depuis la Terre, revenir en arrière dans le ciel par rapport aux étoiles fixes.} dans le ciel, est clairement faux. Les observations, notamment celle de l'orbite de Mars\index{orbite!de mars}, l'invalident. Mais, il n'est pas faux en raison de l'affirmation de la rotation du Soleil autour de la Terre, mais en raison de celle de la rotation des planètes autour de la Terre sur des cercles avec des épicycles.
|
||||
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||||
\begin{figure}[t]
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\centering
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||||
\caption[Le système géocentrique de Tycho Brahé]{Le système géocentrique de Tycho Brahé\label{tychosystem} \par \scriptsize{Un modèle encore actuel\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Tychonian.gif= notamment pour le copyright de l'image.}.}}
|
||||
\includegraphics[width=6cm]{TychoSystem.eps}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Cette erreur, qui est celle du modèle de Ptolémée, si elle est bien une erreur, n'empêche pas qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre, \emph{vu depuis la Terre}. Elle fut d'ailleurs reconnue et corrigée par Tycho Brahé\index{Tycho Brahe@Tycho Brahé} qui proposa un modèle (voir figure \ref{tychosystem}) où la Terre restait fixe dans l'univers, où le Soleil tournait autour d'elle et les autres planètes tournaient autour\dots\ du Soleil. Ce modèle, excepté la fixité de la Terre dans l'univers qui relève du premier problème énoncé ci-dessus, est parfaitement valide. Il s'agit tout simplement de la vision du système solaire \emph{relativement à la Terre}. Et la description actuelle des mouvements célestes vu depuis la Terre adopte un point de vue très proche de celui de Tycho Brahé, exception faite des orbites circulaires\index{orbite!circulaire} qui sont devenues des ellipses.
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||||
|
||||
\section{Rotation du Soleil\index{rotation!du Soleil} dans la Voie Lactée\index{Voie Lactée}}
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||||
|
||||
On se propose de calculer la vitesse de rotation du Soleil dans notre galaxie, la Voie Lactée.
|
||||
|
||||
La figure \ref{milky_way_2005} présente une vue d'artiste de la Voie Lactée telle qu'on se la représente. La position du Soleil y figure sous la forme d'un point jaune.
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||||
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||||
\begin{figure}[th]
|
||||
\centering
|
||||
\caption[Le Soleil dans la Voie Lactée]{Le soleil dans la Voie Lactée\label{milky_way_2005} \par \scriptsize{Représentation artistique\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Milky_Way_2005.jpg=. Image dans le domaine public. Remerciements à la NASA.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{Milky_Way_2005_soleil.eps}
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\end{figure}
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item la distance du Soleil au centre de la galaxie vaut environ : \(R_{S\rightarrow G}=\unit{26'000}{AL}\) et
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||||
\item la période sidérale\index{periode@période!sidérale} de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie vaut environ : $T_s=\unit{220\cdot 10^6}{ans}$
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\end{itemize}
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On calcule le nombre de secondes que représentent 220 millions d'années :
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\begin{align*}
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220\cdot 10^6\,ans &= 220\cdot 10^6\cdot 365\cdot 24\cdot 3600\\
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||||
&= \unit{6,937\cdot 10^{15}}{\second}
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||||
\end{align*}
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||||
Pendant ce temps, le Soleil fait un cercle de rayon $26'000\,AL$. La distance qu'il parcourt vaut donc :
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||||
\[d =2\cdot \pi\cdot 26'000\cdot 9,4608\cdot 10^{15} = 1,546\cdot 10^{21}\,m\]
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||||
car, comme la vitesse de la lumière vaut $300'000\,km/s$, on a :
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\[1\,AL = 300'000'000\cdot 3600\cdot 24\cdot 365 = \unit{9,4608\cdot 10^{15}}{\metre}\]
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||||
Le calcul est alors celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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\begin{align*}
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v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{S\rightarrow G}}{T_s}\\
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||||
&=\frac{1,546\cdot 10^{21}}{6,937\cdot 10^{15}}\\
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||||
&=\unit{222'863}{\metre\per\second}=\unit{222,863}{\kilo\metre\per\second}=222,863\cdot 3600\\
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||||
&=\unit{802'306}{\kilo\metre\per\hour}
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||||
\end{align*}
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||||
Cette vitesse est incroyable. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu toujours à cause de l'inertie\index{inertie}.
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||||
Notons que cette vitesse est la même pour toutes les étoiles proches du Soleil qui participent au mouvement de rotation autour du centre de la galaxie. Mais le Soleil a aussi un mouvement propre, c'est-à-dire qu'une partie de sa vitesse ne correspond pas à sa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie. Cette composante vaut environ $20\,km/s$.\endnote{Voir le site \url=http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php=}
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Relevons enfin une règle bien pratique pour la transformation d'unité entre les \metre\per\second et les \kilo\metre\per\hour. On a en effet :
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\[\unit{1}{\kilo\metre\per\hour}=\frac{1\,km}{1\,h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\frac{1}{3,6}\,m/s\]
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||||
Ainsi, pour transformer des \kilo\metre\per\hour en \metre\per\second, il faut diviser le nombre correspondant aux \kilo\metre\per\hour par le facteur 3,6. Inversément, pour passer de \metre\per\second en \kilo\metre\per\hour, il faut multiplier les \metre\per\second par 3,6.
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\section{Vitesse et référentiel}
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||||
La question de savoir par rapport à quoi on calcule la vitesse se pose donc puisque les différentes vitesses calculées précédemment constituent chacune une partie de la vitesse d'un point fixe à l'équateur terrestre\index{equateur@équateur}. Toutes ces vitesses sont donc relatives à des référentiels\index{referentiel@référentiel} différents.
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||||
Par exemple, la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même est calculée dans un référentiel lié à la Terre, au centre de celle-ci, mais ne tournant pas par rapport à elle. Il peut être fixé sur des étoiles proches qui, à l'échelle de la période de rotation de la Terre, ne se déplacent pratiquement pas.
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||||
Pour évaluer la vitesse caractéristique du mouvement propre du Soleil dans la galaxie, mouvement auquel on a soustrait celui de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, il faut utiliser un référentiel dit LSR pour Local Standard of Rest\index{Local Standard of Rest}, c'est-à-dire un référentiel standard local de repos. Celui-ci a été construit à l'aide des vitesses et positions moyennes des étoiles proches du Soleil. Celles-ci sont donc statistiquement au repos dans le référentiel LSR. C'est ainsi qu'on peut étudier le mouvement propre du Soleil.
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||||
En conclusion, on voit qu'il est indispensable de toujours rapporter un mouvement à un référentiel\index{referentiel@référentiel} pour que la vitesse associée ait du sens.
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||||
Cependant, on sait aujourd'hui qu'il n'existe pas de référentiel absolu\index{referentiel@référentiel!absolu} auquel tout mouvement pourrait être rapporté. Newton a cru en l'existence d'un tel référentiel, Einstein, dans la relativité restreinte\index{relativité!restreinte} et à l'aide des expériences de Michelson et Morley\index{Michelson et Morley}, a démontré qu'il n'en existait pas. Un mouvement est donc nécessairement toujours rapporté à un autre corps qui tient lieu de référentiel.
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Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex.backup
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Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex.backup
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\chapter{Rotations}
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||||
L'objectif de cette annexe est de prendre conscience des mouvements auxquels nous participons sans même le savoir. Il est aussi de se rendre compte que les vitesses qui leur correspondent sont difficilement imaginables et plus, elles sont relatives et il est parfois difficile de savoir par rapport à quoi les décrire.
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||||
Ces mouvements sont cependant assez bien connus pour qu'on puisse prévoir le futur proche de notre position dans l'espace.
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\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la terre} sur elle-même}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation d'un point à l'arrêt sur l'équateur terrestre\index{equateur@équateur!terrestre}.
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item le rayon de la Terre à l'équateur vaut : \(R_T=\unit{6,378\cdot 10^6}{\metre}\) et
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||||
\item la période sidérale de rotation\index{periode@période!sidérale} de la Terre sur elle-même vaut : \(T_s=23\,h\,56\,mn\,4,1\,s=\unit{86'164,1}{\second}\)
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\end{itemize}
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Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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\begin{align*}
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v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_T}{T_s}\\
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&=\frac{2\cdot \pi\cdot 6,378\cdot 10^6}{86'164,1}\\
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||||
&=\unit{465,1}{\metre\per\second}=\unit{1674}{\kilo\metre\per\hour}
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\end{align*}
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||||
A elle seule, cette vitesse est déjà fantastique. Nous ne la ressentons pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
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\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la Terre} autour du Soleil\index{Soleil}}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil.
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item la distance de la Terre au Soleil vaut environ : $R_{T\rightarrow S}=1,496\cdot 10^{11}\,m$ et
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||||
\item la période sidérale de rotation de la Terre autour du Soleil vaut : $T_s=365,263\,j=31,559\cdot 10^6\,s$
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\end{itemize}
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Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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\begin{align*}
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||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{T\rightarrow S}}{T_s}\\
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||||
&=\frac{2\cdot \pi\cdot 1,496\cdot 10^{11}}{31,559\cdot 10^6}\\
|
||||
&=29'784,4\,m/s=107'224\,km/h
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||||
\end{align*}
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||||
Cette vitesse est encore plus fantastique. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
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\bigskip
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||||
Ce qui vient d'être dit montre qu'il est important de préciser \emph{par rapport à quoi} on observe le mouvement. Historiquement cette question a pris beaucoup d'importance lors de la mise en question de l'immobilité de la Terre. En effet, si pendant longtemps l'idée que la Terre tourne autour du Soleil a paru absurde, aujourd'hui elle est évidente. Et au contraire, c'est l'idée qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre qui est devenue absurde. A tel point qu'on envisage même plus qu'on puisse l'affirmer effectivement. Or, la relativité\index{relativité} des mouvements permet de dire à juste titre que le Soleil tourne autour de la Terre pour autant qu'on observe le mouvement depuis celle-ci. La Terre tourne autour du Soleil par rapport au Soleil et le Soleil tourne autour de la Terre par rapport à la Terre. Ce que Galilée lui-même, dans son ``Dialogue sur les deux grands systèmes du monde'', a exprimé par :
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\begin{quotation}
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``\textit{Les choses reviennent au même si la Terre seule se meut alors que tout le reste de l'Univers est immobile ou si, alors que la Terre seule est immobile, tout l'Univers se meut d'un même mouvement}''\footnote{On trouve dans \cite[p. 274]{GG92} le texte suivant : \begin{quotation}``\textit{si la Terre est immobile, il faut que le Soleil et les étoiles fixes se meuvent, mais il se peut aussi que le Soleil et les fixes soient immobiles si c'est la Terre qui se meut.}''\end{quotation}}
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\footnotesize{\cite[p. 60, sans référence à la page originale.]{JR07}}
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\end{quotation}
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Qu'en est-il alors de la fameuse question historique de l'immobilité de la Terre\index{immobilite de la terre@immobilité de la terre} ? Celle-ci révèle, en réalité, deux problèmes qui ne remettent pas en cause la possibilité d'une description relative des mouvements du Soleil et de la Terre.
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Le premier problème se traduit dans l'immobilité de la Terre \emph{dans l'univers}. C'est un problème autant cosmologique que physique. Cosmologique, car il met en cause une vision de l'univers historique et religieuse qui dépasse clairement la simple relativité des mouvements. Physique, car il met en jeu la question de l'inertie\index{inertie} qui elle aussi dépasse le cadre de la relativité des mouvements. Nous n'en discuterons pas ici en raison de sa complexité, mais on peut relever qu'elle n'empêche nullement d'affirmer que le Soleil tourne autour de la Terre.
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Le second problème tient dans la cinématique des planètes du système solaire. Il est aujourd'hui incontestable que les planètes tournent autour du Soleil selon des orbites elliptiques\index{orbite!elliptique} et non, comme l'envisageait Ptolémée\index{Ptolemee@Ptolémée}, autour de la Terre. Car le modèle utilisé à l'époque, qui faisait tourner les planètes autour de la Terre et sur des épicycles\index{epicycle@épicycle}\footnote{Les épicycles sont de petits cercles dont le centre tourne sur un plus grand cercle, le déférent, centré sur la Terre. Les planètes tournent sur les épicycles qui eux-mêmes tournent autour de la Terre.} pour expliquer leur rétrogradation\index{retrogradation@rétrogradation}\footnote{La rétrogradation est le fait que les planètes plus éloignées du Soleil que la Terre, semblent parfois, vu depuis la Terre, revenir en arrière dans le ciel par rapport aux étoiles fixes.} dans le ciel, est clairement faux. Les observations, notamment celle de l'orbite de Mars\index{orbite!de mars}, l'invalident. Mais, il n'est pas faux en raison de l'affirmation de la rotation du Soleil autour de la Terre, mais en raison de celle de la rotation des planètes autour de la Terre sur des cercles avec des épicycles.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Le système géocentrique de Tycho Brahé]{Le système géocentrique de Tycho Brahé\label{tychosystem} \par \scriptsize{Un modèle encore actuel\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Tychonian.gif= notamment pour le copyright de l'image.}.}}
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\includegraphics[width=6cm]{TychoSystem.eps}
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\end{figure}
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Cette erreur, qui est celle du modèle de Ptolémée, si elle est bien une erreur, n'empêche pas qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre, \emph{vu depuis la Terre}. Elle fut d'ailleurs reconnue et corrigée par Tycho Brahé\index{Tycho Brahe@Tycho Brahé} qui proposa un modèle (voir figure \ref{tychosystem}) où la Terre restait fixe dans l'univers, où le Soleil tournait autour d'elle et les autres planètes tournaient autour\dots\ du Soleil. Ce modèle, excepté la fixité de la Terre dans l'univers qui relève du premier problème énoncé ci-dessus, est parfaitement valide. Il s'agit tout simplement de la vision du système solaire \emph{relativement à la Terre}. Et la description actuelle des mouvements célestes vu depuis la Terre adopte un point de vue très proche de celui de Tycho Brahé, exception faite des orbites circulaires\index{orbite!circulaire} qui sont devenues des ellipses.
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\section{Rotation du Soleil\index{rotation!du Soleil} dans la Voie Lactée\index{Voie Lactée}}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation du Soleil dans notre galaxie, la Voie Lactée.
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La figure \ref{milky_way_2005} présente une vue d'artiste de la Voie Lactée telle qu'on se la représente. La position du Soleil y figure sous la forme d'un point jaune.
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\begin{figure}[th]
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\centering
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\caption[Le Soleil dans la Voie Lactée]{Le soleil dans la Voie Lactée\label{milky_way_2005} \par \scriptsize{Représentation artistique\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Milky_Way_2005.jpg=. Image dans le domaine public. Remerciements à la NASA.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{Milky_Way_2005_soleil.eps}
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\end{figure}
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item la distance du Soleil au centre de la galaxie vaut environ : $R_{S\rightarrow G}=26'000\,AL$ et
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||||
\item la période sidérale\index{periode@période!sidérale} de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie vaut environ : $T_s=220\cdot 10^6\,ans$
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||||
\end{itemize}
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||||
On calcule le nombre de secondes que représentent $220\,millions$ d'années :
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||||
\begin{align*}
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||||
220\cdot 10^6\,ans &= 220\cdot 10^6\cdot 365\cdot 24\cdot 3600\\
|
||||
&= 6,937\cdot 10^{15}\,s
|
||||
\end{align*}
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||||
|
||||
Pendant ce temps, le Soleil fait un cercle de rayon $26'000\,AL$. La distance qu'il parcourt vaut donc :
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||||
\[d =2\cdot \pi\cdot 26'000\cdot 9,4608\cdot 10^{15} = 1,546\cdot 10^{21}\,m\]
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||||
|
||||
car, comme la vitesse de la lumière vaut $300'000\,km/s$, on a :
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||||
\[1\,AL = 300'000'000\cdot 3600\cdot 24\cdot 365 = 9,4608\cdot 10^{15}\,m\]
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||||
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||||
Le calcul est alors celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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||||
\begin{align*}
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||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{S\rightarrow G}}{T_s}\\
|
||||
&=\frac{1,546\cdot 10^{21}}{6,937\cdot 10^{15}}\\
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||||
&=222'863\,m/s=222,863\,km/s=222,863\cdot 3600\\
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||||
&=802'306\,km/h
|
||||
\end{align*}
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||||
Cette vitesse est incroyable. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu toujours à cause de l'inertie\index{inertie}.
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||||
Notons que cette vitesse est la même pour toutes les étoiles proches du Soleil qui participent au mouvement de rotation autour du centre de la galaxie. Mais le Soleil a aussi un mouvement propre, c'est-à-dire qu'une partie de sa vitesse ne correspond pas à sa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie. Cette composante vaut environ $20\,km/s$.\endnote{Voir le site \url=http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php=}
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Relevons enfin une règle bien pratique pour la transformation d'unité entre les $m/s$ et les $km/h$. On a en effet :
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\[1\,km/h=\frac{1\,km}{1\,h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\frac{1}{3,6}\,m/s\]
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||||
Ainsi, pour transformer des $km/h$ en $m/s$, il faut diviser le nombre correspondant aux $km/h$ par le facteur $3,6$. Inversément, pour passer de $m/s$ en $km/h$, il faut multiplier les $m/s$ par $3,6$.
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\section{Vitesse et référentiel}
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La question de savoir par rapport à quoi on calcule la vitesse se pose donc puisque les différentes vitesses calculées précédemment constituent chacune une partie de la vitesse d'un point fixe à l'équateur terrestre\index{equateur@équateur}. Toutes ces vitesses sont donc relatives à des référentiels\index{referentiel@référentiel} différents.
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Par exemple, la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même est calculée dans un référentiel lié à la Terre, au centre de celle-ci, mais ne tournant pas par rapport à elle. Il peut être fixé sur des étoiles proches qui, à l'échelle de la période de rotation de la Terre, ne se déplacent pratiquement pas.
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Pour évaluer la vitesse caractéristique du mouvement propre du Soleil dans la galaxie, mouvement auquel on a soustrait celui de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, il faut utiliser un référentiel dit LSR pour Local Standard of Rest\index{Local Standard of Rest}, c'est-à-dire un référentiel standard local de repos. Celui-ci a été construit à l'aide des vitesses et positions moyennes des étoiles proches du Soleil. Celles-ci sont donc statistiquement au repos dans le référentiel LSR. C'est ainsi qu'on peut étudier le mouvement propre du Soleil.
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En conclusion, on voit qu'il est indispensable de toujours rapporter un mouvement à un référentiel\index{referentiel@référentiel} pour que la vitesse associée ait du sens.
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Cependant, on sait aujourd'hui qu'il n'existe pas de référentiel absolu\index{referentiel@référentiel!absolu} auquel tout mouvement pourrait être rapporté. Newton a cru en l'existence d'un tel référentiel, Einstein, dans la relativité restreinte\index{relativité!restreinte} et à l'aide des expériences de Michelson et Morley\index{Michelson et Morley}, a démontré qu'il n'en existait pas. Un mouvement est donc nécessairement toujours rapporté à un autre corps qui tient lieu de référentiel.
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Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex~
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Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.tex~
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\chapter{Rotations}
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L'objectif de cette annexe est de prendre conscience des mouvements auxquels nous participons sans même le savoir. Il est aussi de se rendre compte que les vitesses qui leur correspondent sont difficilement imaginables et plus, elles sont relatives et il est parfois difficile de savoir par rapport à quoi les décrire.
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Ces mouvements sont cependant assez bien connus pour qu'on puisse prévoir le futur proche de notre position dans l'espace.
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\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la terre} sur elle-même}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation d'un point à l'arrêt sur l'équateur terrestre\index{equateur@équateur!terrestre}.
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item le rayon de la Terre à l'équateur vaut : \(R_T=\unit{6,378\cdot 10^6}{\metre}\) et
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\item la période sidérale de rotation\index{periode@période!sidérale} de la Terre sur elle-même vaut : \(T_s=23\,h\,56\,mn\,4,1\,s=\unit{86'164,1}{\second}\)
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\end{itemize}
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Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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\begin{align*}
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||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_T}{T_s}\\
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||||
&=\frac{2\cdot \pi\cdot 6,378\cdot 10^6}{86'164,1}\\
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||||
&=\unit{465,1}{\metre\per\second}=\unit{1674}{\kilo\metre\per\hour}
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||||
\end{align*}
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||||
A elle seule, cette vitesse est déjà fantastique. Nous ne la ressentons pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
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\section{Rotation de la Terre\index{rotation!de la Terre} autour du Soleil\index{Soleil}}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil.
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||||
Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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||||
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\begin{itemize}
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||||
\item la distance de la Terre au Soleil vaut environ : \(R_{T\rightarrow S}=\unit{1,496\cdot 10^{11}}{\metre}\) et
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||||
\item la période sidérale de rotation de la Terre autour du Soleil vaut : \(T_s=\unit{365,263}{j}=\unit{31,559\cdot 10^6}{\second}\)
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\end{itemize}
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||||
Le calcul est celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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||||
\begin{align*}
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||||
v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{T\rightarrow S}}{T_s}\\
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||||
&=\frac{2\cdot \pi\cdot 1,496\cdot 10^{11}}{31,559\cdot 10^6}\\
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||||
&=\unit{29'784,4}{\metre\per\second}=\unit{107'224}{\kilo\metre\per\hour}
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\end{align*}
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Cette vitesse est encore plus fantastique. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu à cause de l'inertie\index{inertie}.
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\bigskip
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Ce qui vient d'être dit montre qu'il est important de préciser \emph{par rapport à quoi} on observe le mouvement. Historiquement cette question a pris beaucoup d'importance lors de la mise en question de l'immobilité de la Terre. En effet, si pendant longtemps l'idée que la Terre tourne autour du Soleil a paru absurde, aujourd'hui elle est évidente. Et au contraire, c'est l'idée qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre qui est devenue absurde. A tel point qu'on envisage même plus qu'on puisse l'affirmer effectivement. Or, la relativité\index{relativité} des mouvements permet de dire à juste titre que le Soleil tourne autour de la Terre pour autant qu'on observe le mouvement depuis celle-ci. La Terre tourne autour du Soleil par rapport au Soleil et le Soleil tourne autour de la Terre par rapport à la Terre. Ce que Galilée lui-même, dans son ``Dialogue sur les deux grands systèmes du monde'', a exprimé par :
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\begin{quotation}
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``\textit{Les choses reviennent au même si la Terre seule se meut alors que tout le reste de l'Univers est immobile ou si, alors que la Terre seule est immobile, tout l'Univers se meut d'un même mouvement}''\footnote{On trouve dans \cite[p. 274]{GG92} le texte suivant : \begin{quotation}``\textit{si la Terre est immobile, il faut que le Soleil et les étoiles fixes se meuvent, mais il se peut aussi que le Soleil et les fixes soient immobiles si c'est la Terre qui se meut.}''\end{quotation}}
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\footnotesize{\cite[p. 60, sans référence à la page originale.]{JR07}}
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\end{quotation}
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Qu'en est-il alors de la fameuse question historique de l'immobilité de la Terre\index{immobilite de la terre@immobilité de la terre} ? Celle-ci révèle, en réalité, deux problèmes qui ne remettent pas en cause la possibilité d'une description relative des mouvements du Soleil et de la Terre.
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Le premier problème se traduit dans l'immobilité de la Terre \emph{dans l'univers}. C'est un problème autant cosmologique que physique. Cosmologique, car il met en cause une vision de l'univers historique et religieuse qui dépasse clairement la simple relativité des mouvements. Physique, car il met en jeu la question de l'inertie\index{inertie} qui elle aussi dépasse le cadre de la relativité des mouvements. Nous n'en discuterons pas ici en raison de sa complexité, mais on peut relever qu'elle n'empêche nullement d'affirmer que le Soleil tourne autour de la Terre.
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Le second problème tient dans la cinématique des planètes du système solaire. Il est aujourd'hui incontestable que les planètes tournent autour du Soleil selon des orbites elliptiques\index{orbite!elliptique} et non, comme l'envisageait Ptolémée\index{Ptolemee@Ptolémée}, autour de la Terre. Car le modèle utilisé à l'époque, qui faisait tourner les planètes autour de la Terre et sur des épicycles\index{epicycle@épicycle}\footnote{Les épicycles sont de petits cercles dont le centre tourne sur un plus grand cercle, le déférent, centré sur la Terre. Les planètes tournent sur les épicycles qui eux-mêmes tournent autour de la Terre.} pour expliquer leur rétrogradation\index{retrogradation@rétrogradation}\footnote{La rétrogradation est le fait que les planètes plus éloignées du Soleil que la Terre, semblent parfois, vu depuis la Terre, revenir en arrière dans le ciel par rapport aux étoiles fixes.} dans le ciel, est clairement faux. Les observations, notamment celle de l'orbite de Mars\index{orbite!de mars}, l'invalident. Mais, il n'est pas faux en raison de l'affirmation de la rotation du Soleil autour de la Terre, mais en raison de celle de la rotation des planètes autour de la Terre sur des cercles avec des épicycles.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Le système géocentrique de Tycho Brahé]{Le système géocentrique de Tycho Brahé\label{tychosystem} \par \scriptsize{Un modèle encore actuel\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Tychonian.gif= notamment pour le copyright de l'image.}.}}
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\includegraphics[width=6cm]{TychoSystem.eps}
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\end{figure}
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Cette erreur, qui est celle du modèle de Ptolémée, si elle est bien une erreur, n'empêche pas qu'on puisse considérer que le Soleil tourne autour de la Terre, \emph{vu depuis la Terre}. Elle fut d'ailleurs reconnue et corrigée par Tycho Brahé\index{Tycho Brahe@Tycho Brahé} qui proposa un modèle (voir figure \ref{tychosystem}) où la Terre restait fixe dans l'univers, où le Soleil tournait autour d'elle et les autres planètes tournaient autour\dots\ du Soleil. Ce modèle, excepté la fixité de la Terre dans l'univers qui relève du premier problème énoncé ci-dessus, est parfaitement valide. Il s'agit tout simplement de la vision du système solaire \emph{relativement à la Terre}. Et la description actuelle des mouvements célestes vu depuis la Terre adopte un point de vue très proche de celui de Tycho Brahé, exception faite des orbites circulaires\index{orbite!circulaire} qui sont devenues des ellipses.
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\section{Rotation du Soleil\index{rotation!du Soleil} dans la Voie Lactée\index{Voie Lactée}}
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On se propose de calculer la vitesse de rotation du Soleil dans notre galaxie, la Voie Lactée.
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La figure \ref{milky_way_2005} présente une vue d'artiste de la Voie Lactée telle qu'on se la représente. La position du Soleil y figure sous la forme d'un point jaune.
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\begin{figure}[th]
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\centering
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\caption[Le Soleil dans la Voie Lactée]{Le soleil dans la Voie Lactée\label{milky_way_2005} \par \scriptsize{Représentation artistique\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Milky_Way_2005.jpg=. Image dans le domaine public. Remerciements à la NASA.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{Milky_Way_2005_soleil.eps}
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\end{figure}
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Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes :
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\begin{itemize}
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\item la distance du Soleil au centre de la galaxie vaut environ : \(R_{S\rightarrow G}=\unit{26'000}{AL}\) et
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\item la période sidérale\index{periode@période!sidérale} de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie vaut environ : $T_s=\unit{220\cdot 10^6}{ans}$
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\end{itemize}
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On calcule le nombre de secondes que représentent 220 millions d'années :
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\begin{align*}
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220\cdot 10^6\,ans &= 220\cdot 10^6\cdot 365\cdot 24\cdot 3600\\
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||||
&= \unit{6,937\cdot 10^{15}}{\second}
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||||
\end{align*}
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||||
Pendant ce temps, le Soleil fait un cercle de rayon $26'000\,AL$. La distance qu'il parcourt vaut donc :
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||||
\[d =2\cdot \pi\cdot 26'000\cdot 9,4608\cdot 10^{15} = 1,546\cdot 10^{21}\,m\]
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||||
car, comme la vitesse de la lumière vaut $300'000\,km/s$, on a :
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\[1\,AL = 300'000'000\cdot 3600\cdot 24\cdot 365 = \unit{9,4608\cdot 10^{15}}{\metre}\]
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||||
Le calcul est alors celui de la vitesse d'un corps en rotation sur un cercle de rayon et de période donnés. On a :
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\begin{align*}
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v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{S\rightarrow G}}{T_s}\\
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||||
&=\frac{1,546\cdot 10^{21}}{6,937\cdot 10^{15}}\\
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||||
&=\unit{222'863}{\metre\per\second}=\unit{222,863}{\kilo\metre\per\second}=222,863\cdot 3600\\
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||||
&=\unit{802'306}{\kilo\metre\per\hour}
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||||
\end{align*}
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||||
Cette vitesse est incroyable. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu toujours à cause de l'inertie\index{inertie}.
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Notons que cette vitesse est la même pour toutes les étoiles proches du Soleil qui participent au mouvement de rotation autour du centre de la galaxie. Mais le Soleil a aussi un mouvement propre, c'est-à-dire qu'une partie de sa vitesse ne correspond pas à sa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie. Cette composante vaut environ $20\,km/s$.\endnote{Voir le site \url=http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php=}
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Relevons enfin une règle bien pratique pour la transformation d'unité entre les \metre\per\second et les \kilo\metre\per\hour. On a en effet :
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\[\unit{1}{\kilo\metre\per\hour}=\frac{1\,km}{1\,h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\frac{1}{3,6}\,m/s\]
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Ainsi, pour transformer des \kilo\metre\per\hour en \metre\per\second, il faut diviser le nombre correspondant aux \kilo\metre\per\hour par le facteur 3,6. Inversément, pour passer de \metre\per\second en \kilo\metre\per\hour, il faut multiplier les \metre\per\second par 3,6.
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\section{Vitesse et référentiel}
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La question de savoir par rapport à quoi on calcule la vitesse se pose donc puisque les différentes vitesses calculées précédemment constituent chacune une partie de la vitesse d'un point fixe à l'équateur terrestre\index{equateur@équateur}. Toutes ces vitesses sont donc relatives à des référentiels\index{referentiel@référentiel} différents.
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Par exemple, la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même est calculée dans un référentiel lié à la Terre, au centre de celle-ci, mais ne tournant pas par rapport à elle. Il peut être fixé sur des étoiles proches qui, à l'échelle de la période de rotation de la Terre, ne se déplacent pratiquement pas.
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Pour évaluer la vitesse caractéristique du mouvement propre du Soleil dans la galaxie, mouvement auquel on a soustrait celui de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, il faut utiliser un référentiel dit LSR pour Local Standard of Rest\index{Local Standard of Rest}, c'est-à-dire un référentiel standard local de repos. Celui-ci a été construit à l'aide des vitesses et positions moyennes des étoiles proches du Soleil. Celles-ci sont donc statistiquement au repos dans le référentiel LSR. C'est ainsi qu'on peut étudier le mouvement propre du Soleil.
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En conclusion, on voit qu'il est indispensable de toujours rapporter un mouvement à un référentiel\index{referentiel@référentiel} pour que la vitesse associée ait du sens.
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Cependant, on sait aujourd'hui qu'il n'existe pas de référentiel absolu\index{referentiel@référentiel!absolu} auquel tout mouvement pourrait être rapporté. Newton a cru en l'existence d'un tel référentiel, Einstein, dans la relativité restreinte\index{relativité!restreinte} et à l'aide des expériences de Michelson et Morley\index{Michelson et Morley}, a démontré qu'il n'en existait pas. Un mouvement est donc nécessairement toujours rapporté à un autre corps qui tient lieu de référentiel.
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72405
Annexe-Rotations/Images/Milky_Way_2005_soleil.eps
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72405
Annexe-Rotations/Images/Milky_Way_2005_soleil.eps
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18364
Annexe-Rotations/Images/TychoSystem.eps
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18364
Annexe-Rotations/Images/TychoSystem.eps
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File diff suppressed because it is too large
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Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.aux
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50
Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.aux
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@ -0,0 +1,50 @@
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\relax
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\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {H}Satellite en orbite g\IeC {\'e}ostationnaire}{181}}
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
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\newlabel{geostat}{{H}{181}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {H.1}Introduction}{181}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {H.2}Th\IeC {\'e}oriquement}{181}}
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\newlabel{vitessesatgeostat}{{H.1}{181}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {H.1}{\ignorespaces Satellite}}{181}}
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\newlabel{satellite}{{H.1}{181}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {H.3}Num\IeC {\'e}riquement}{182}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {H.4}Loi de Kepler}{182}}
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\newlabel{keplergeostat}{{H.4}{182}}
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\@setckpt{Annexe-Satellites/Annexe-Satellites}{
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\setcounter{page}{183}
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\setcounter{equation}{1}
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\setcounter{enumi}{2}
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\setcounter{enumii}{0}
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\setcounter{enumiii}{0}
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\setcounter{table}{0}
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85
Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex
Normal file
85
Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex
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@ -0,0 +1,85 @@
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\myclearpage
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||||
\chapter{Satellite en orbite géostationnaire}\label{geostat}
|
||||
|
||||
\section{Introduction}
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||||
|
||||
\lettrine{U}{n exemple} intéressant de l'utilisation de la seconde loi de Newton\index{seconde!loi!de Newton}, du mouvement circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire!uniforme} et de la loi de la gravitation universelle\index{loi!de la gravitation universelle},
|
||||
est donné par le calcul de l'altitude\index{altitude} nécessaire pour qu'un satellite\index{satellite} soit en orbite\index{orbite} géostationnaire\index{geostationnaire@géostationnaire}.
|
||||
|
||||
\section{Théoriquement}
|
||||
|
||||
On va donc utiliser les équations suivantes :
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
\(F=m\cdot a\) & : seconde loi de Newton \\
|
||||
\(a=\frac{v^{2}}{R}\) & : mouvement circulaire uniforme \\
|
||||
\(F=G\cdot\frac{M\cdot m}{R^{2}}\) & : loi de la gravitation universelle
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
De ces trois lois, on tire :
|
||||
|
||||
\[G\cdot\frac{M_{T}\cdot m_{s}}{(R_{T}+h)^{2}}=m_{s}\cdot\frac{v^{2}}{(R_{T}+h)}\]
|
||||
|
||||
où :
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item G est la constante de la gravitation universelle,
|
||||
\item \(M_{T}\) est la masse de la Terre,
|
||||
\item \(m_{s}\) est la masse du satellite,
|
||||
\item \(R_{T}\) est le rayon de la Terre,
|
||||
\item \(h\) est l'altitude du satellite et
|
||||
\item \(v\) est la vitesse linéaire du satellite.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Avec, par définition de la vitesse, pour une trajectoire circulaire :
|
||||
|
||||
\begin{equation}\label{vitessesatgeostat}
|
||||
v=\frac{2\cdot\pi\cdot(R_{T}+h)}{T}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
où : \(T\) est la période\index{periode@période} du mouvement, c'est à dire le temps que doit mettre le satellite pour faire un tour autour de la Terre.
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
De là on tire (faites les calculs vous-même) :
|
||||
|
||||
\[h=(\frac{G\cdot M_{T}\cdot T^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R_{T}\]
|
||||
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||||
\begin{figure}[t]
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||||
\centering
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||||
\caption[Satellite]{Satellite\label{satellite} \par \scriptsize{En orbite géostationnaire\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Navstar-2.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à la NASA.}}}
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||||
\includegraphics[width=6cm]{Satellite.eps}
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||||
\end{figure}
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||||
|
||||
\section{Numériquement}
|
||||
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||||
Le calcul est simple :
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||||
\begin{align*}
|
||||
h=\;&(\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot60\cdot60)^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}\\
|
||||
& -6,37\cdot10^{6}=\unit{35'857}{\kilo\metre}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Il s'agit de l'altitude des satellites en orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Pour des latitudes plus élevées, on comprend bien que plus on monte vers le pôle, plus le satellite sera bas sur l'horizon. Il se peut même qu'ils soient sous l'horizon. C'est pouquoi d'autres types d'orbites sont nécessaires, comme l'orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l'aide de plusieurs satellites les régions polaires vingt-quatre heures sur vingt-quatre.
|
||||
|
||||
\smallskip
|
||||
L'équation \ref{vitessesatgeostat} permet alors de déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Pour un rayon de la terre \(R_T=\unit{6,37\cdot 10^6}{\metre}\) et une altitude \(h=\unit{35,857\cdot 10^6}{\metre}\), on a :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
v&=\frac{2\cdot\pi\cdot(6,37\cdot 10^6+35,857\cdot 10^6)}{24\cdot 60\cdot 60}\\
|
||||
&= \unit{3'071}{\metre\per\second}\cong\unit{3}{\kilo\metre\per\second}\cong\unit{11'055}{\kilo\metre\per\hour}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Loi de Kepler}\label{keplergeostat}
|
||||
Une autre manière de parvenir au même résultat consiste à utiliser la troisième loi de Kepler et la lune. En effet, selon l'équation \ref{keplertroisieme} de la page \pageref{keplertroisieme}, on peut écrire :
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{R_{terre-lune}^3}{T_{lune}^2}&=\frac{(R_T+h)^3}{T_{sat}^2}\;\Rightarrow\\
|
||||
R_T+h&=R_{terre-lune}\cdot \sqrt[3]{\frac{T_{sat}^2}{T_{lune}^2}}\\
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||||
&=384'404\cdot \sqrt[3]{\frac{24^2}{(27\cdot 24+8)^2}}\\
|
||||
&=\unit{42'364}{\kilo\metre}\,\Rightarrow\\
|
||||
h&=42'364-R_T=\unit{35'993}{\kilo\metre}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Et on retrouve (aux arrondis près) le même résultat que précédemment.
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||||
85
Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex.backup
Normal file
85
Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex.backup
Normal file
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\myclearpage
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||||
\chapter{Satellite en orbite géostationnaire}\label{geostat}
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||||
\section{Introduction}
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||||
Un exemple intéressant de l'utilisation de la seconde loi de Newton\index{seconde!loi!de Newton}, du mouvement circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire!uniforme} et de la loi de la gravitation universelle\index{loi!de la gravitation universelle},
|
||||
est donné par le calcul de l'altitude\index{altitude} nécessaire pour qu'un satellite\index{satellite} soit en orbite\index{orbite} géostationnaire\index{geostationnaire@géostationnaire}.
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||||
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||||
\section{Théoriquement}
|
||||
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||||
On va donc utiliser les équations suivantes :
|
||||
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
$F=m\cdot a$ & : seconde loi de Newton \\
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||||
$a=\frac{v^{2}}{R}$ & : mouvement circulaire uniforme \\
|
||||
$F=G\cdot\frac{M\cdot m}{R^{2}}$ & : loi de la gravitation universelle
|
||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
|
||||
|
||||
De ces trois lois, on tire :
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||||
|
||||
\[G\cdot\frac{M_{T}\cdot m_{s}}{(R_{T}+h)^{2}}=m_{s}\cdot\frac{v^{2}}{(R_{T}+h)}\]
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||||
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||||
où :
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item G est la constante de la gravitation universelle,
|
||||
\item $M_{T}$ est la masse de la Terre,
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||||
\item $m_{s}$ est la masse du satellite,
|
||||
\item $R_{T}$ est le rayon de la Terre,
|
||||
\item $h$ est l'altitude du satellite et
|
||||
\item $v$ est la vitesse linéaire du satellite.
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||||
\end{itemize}
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Avec, par définition de la vitesse, pour une trajectoire circulaire :
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\begin{equation}\label{vitessesatgeostat}
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||||
v=\frac{2\cdot\pi\cdot(R_{T}+h)}{T}
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||||
\end{equation}
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||||
où : $T$ est la période\index{periode@période} du mouvement, c'est à dire le temps que doit mettre le satellite pour faire un tour autour de la Terre.
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\bigskip
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||||
De là on tire (faites les calculs vous-même) :
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\[h=(\frac{G\cdot M_{T}\cdot T^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R_{T}\]
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\begin{figure}[t]
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\caption[Satellite]{Satellite\label{satellite} \par \scriptsize{En orbite géostationnaire\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Navstar-2.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à la NASA.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{Satellite.eps}
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\end{figure}
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||||
\section{Numériquement}
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||||
Le calcul est simple :
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\begin{align*}
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h=\;&(\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot60\cdot60)^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}\\
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||||
& -6,37\cdot10^{6}=\unit{35'857}{\kilo\metre}
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||||
\end{align*}
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Il s'agit de l'altitude des satellites en orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Pour des latitudes plus élevées, on comprend bien que plus on monte vers le pôle, plus le satellite sera bas sur l'horizon. Il se peut même qu'ils soient sous l'horizon. C'est pouquoi d'autres types d'orbites sont nécessaires, comme l'orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l'aide de plusieurs satellites les régions polaires vingt-quatre heures sur vingt-quatre.
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\smallskip
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L'équation \ref{vitessesatgeostat} permet alors de déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Pour un rayon de la terre \(R_T=\unit{6,37\cdot 10^6}{\metre}\) et une altitude \(h=\unit{35,857\cdot 10^6}{\metre}\), on a :
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||||
\begin{align*}
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v&=\frac{2\cdot\pi\cdot(6,37\cdot 10^6+35,857\cdot 10^6)}{24\cdot 60\cdot 60}\\
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||||
&= \unit{3'071}{\metre\per\second}\cong\unit{3}{\kilo\metre\per\second}\cong\unit{11'055}{\kilo\metre\per\hour}
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||||
\end{align*}
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\section{Loi de Kepler}\label{keplergeostat}
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Une autre manière de parvenir au même résultat consiste à utiliser la troisième loi de Kepler et la lune. En effet, selon l'équation \ref{keplertroisieme} de la page \pageref{keplertroisieme}, on peut écrire :
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\begin{align*}
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\frac{R_{terre-lune}^3}{T_{lune}^2}&=\frac{(R_T+h)^3}{T_{sat}^2}\;\Rightarrow\\
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||||
R_T+h&=R_{terre-lune}\cdot \sqrt[3]{\frac{T_{sat}^2}{T_{lune}^2}}\\
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||||
&=384'404\cdot \sqrt[3]{\frac{24^2}{(27\cdot 24+8)^2}}\\
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||||
&=\unit{42'364}{\kilo\metre}\,\Rightarrow\\
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h&=42'364-R_T=\unit{35'993}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Et on retrouve (aux arrondis près) le même résultat que précédemment.
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Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex~
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Annexe-Satellites/Annexe-Satellites.tex~
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\myclearpage
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\chapter{Satellite en orbite géostationnaire}\label{geostat}
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\section{Introduction}
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Un exemple intéressant de l'utilisation de la seconde loi de Newton\index{seconde!loi!de Newton}, du mouvement circulaire uniforme\index{mouvement!circulaire!uniforme} et de la loi de la gravitation universelle\index{loi!de la gravitation universelle},
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est donné par le calcul de l'altitude\index{altitude} nécessaire pour qu'un satellite\index{satellite} soit en orbite\index{orbite} géostationnaire\index{geostationnaire@géostationnaire}.
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\section{Théoriquement}
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On va donc utiliser les équations suivantes :
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ll}
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\(F=m\cdot a\) & : seconde loi de Newton \\
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\(a=\frac{v^{2}}{R}\) & : mouvement circulaire uniforme \\
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\(F=G\cdot\frac{M\cdot m}{R^{2}}\) & : loi de la gravitation universelle
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\end{tabular}
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\end{center}
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De ces trois lois, on tire :
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\[G\cdot\frac{M_{T}\cdot m_{s}}{(R_{T}+h)^{2}}=m_{s}\cdot\frac{v^{2}}{(R_{T}+h)}\]
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où :
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\begin{itemize}
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\item G est la constante de la gravitation universelle,
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\item \(M_{T}\) est la masse de la Terre,
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\item \(m_{s}\) est la masse du satellite,
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\item \(R_{T}\) est le rayon de la Terre,
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\item \(h\) est l'altitude du satellite et
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\item \(v\) est la vitesse linéaire du satellite.
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\end{itemize}
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Avec, par définition de la vitesse, pour une trajectoire circulaire :
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\begin{equation}\label{vitessesatgeostat}
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v=\frac{2\cdot\pi\cdot(R_{T}+h)}{T}
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\end{equation}
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où : \(T\) est la période\index{periode@période} du mouvement, c'est à dire le temps que doit mettre le satellite pour faire un tour autour de la Terre.
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\bigskip
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De là on tire (faites les calculs vous-même) :
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\[h=(\frac{G\cdot M_{T}\cdot T^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R_{T}\]
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption[Satellite]{Satellite\label{satellite} \par \scriptsize{En orbite géostationnaire\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia : \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Navstar-2.jpg= notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à la NASA.}}}
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\includegraphics[width=6cm]{Satellite.eps}
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\end{figure}
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\section{Numériquement}
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Le calcul est simple :
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\begin{align*}
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h=\;&(\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot60\cdot60)^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}\\
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& -6,37\cdot10^{6}=\unit{35'857}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Il s'agit de l'altitude des satellites en orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Pour des latitudes plus élevées, on comprend bien que plus on monte vers le pôle, plus le satellite sera bas sur l'horizon. Il se peut même qu'ils soient sous l'horizon. C'est pouquoi d'autres types d'orbites sont nécessaires, comme l'orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l'aide de plusieurs satellites les régions polaires vingt-quatre heures sur vingt-quatre.
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\smallskip
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L'équation \ref{vitessesatgeostat} permet alors de déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Pour un rayon de la terre \(R_T=\unit{6,37\cdot 10^6}{\metre}\) et une altitude \(h=\unit{35,857\cdot 10^6}{\metre}\), on a :
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||||
\begin{align*}
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v&=\frac{2\cdot\pi\cdot(6,37\cdot 10^6+35,857\cdot 10^6)}{24\cdot 60\cdot 60}\\
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||||
&= \unit{3'071}{\metre\per\second}\cong\unit{3}{\kilo\metre\per\second}\cong\unit{11'055}{\kilo\metre\per\hour}
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\end{align*}
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\section{Loi de Kepler}\label{keplergeostat}
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Une autre manière de parvenir au même résultat consiste à utiliser la troisième loi de Kepler et la lune. En effet, selon l'équation \ref{keplertroisieme} de la page \pageref{keplertroisieme}, on peut écrire :
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\begin{align*}
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\frac{R_{terre-lune}^3}{T_{lune}^2}&=\frac{(R_T+h)^3}{T_{sat}^2}\;\Rightarrow\\
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||||
R_T+h&=R_{terre-lune}\cdot \sqrt[3]{\frac{T_{sat}^2}{T_{lune}^2}}\\
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||||
&=384'404\cdot \sqrt[3]{\frac{24^2}{(27\cdot 24+8)^2}}\\
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||||
&=\unit{42'364}{\kilo\metre}\,\Rightarrow\\
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h&=42'364-R_T=\unit{35'993}{\kilo\metre}
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\end{align*}
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Et on retrouve (aux arrondis près) le même résultat que précédemment.
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Annexe-Satellites/Images/Satellite.eps
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Annexe-Satellites/Images/Satellite.eps
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Annexe-SystemeCoordonnees/Annexe-SystemeCoordonnees.aux
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Annexe-SystemeCoordonnees/Annexe-SystemeCoordonnees.aux
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@ -0,0 +1,55 @@
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\relax
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\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {B}Deux syst\IeC {\`e}mes de coordonn\IeC {\'e}es}{157}}
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\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
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\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
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\newlabel{coordonn\IeC {\'e}es}{{B}{157}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {B.1}Le syst\IeC {\`e}me de coordonn\IeC {\'e}es circulaires}{157}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {B.1.1}Introduction}{157}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {B.1.2}Description}{157}}
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\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {B.1}{\ignorespaces Syst\IeC {\`e}me de coordonn\IeC {\'e}es circulaires\relax }}{157}}
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\newlabel{circulaire}{{B.1}{157}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {B.2}Coordonn\IeC {\'e}es sph\IeC {\'e}riques}{157}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {B.2.1}Introduction}{157}}
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\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {B.2.2}Description}{157}}
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\newlabel{sph\IeC {\`e}re}{{B.2.2}{158}}
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||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {B.2}{\ignorespaces Syst\IeC {\`e}me de coordonn\IeC {\'e}es sph\IeC {\'e}riques\relax }}{158}}
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||||
\newlabel{sph\IeC {\`e}rique}{{B.2}{158}}
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||||
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {B.2.3}Latitude et longitude}{158}}
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||||
\newlabel{latitude}{{B.2.3}{158}}
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\@setckpt{Annexe-SystemeCoordonnees/Annexe-SystemeCoordonnees}{
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\setcounter{page}{159}
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\setcounter{equation}{0}
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\setcounter{enumi}{3}
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\setcounter{enumii}{0}
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\setcounter{enumiii}{0}
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\setcounter{enumiv}{0}
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\setcounter{footnote}{0}
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\setcounter{mpfootnote}{0}
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\setcounter{part}{0}
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\setcounter{chapter}{2}
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\setcounter{section}{2}
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\setcounter{subsection}{3}
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\setcounter{subsubsection}{0}
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\setcounter{paragraph}{0}
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\setcounter{subparagraph}{0}
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\setcounter{figure}{2}
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\setcounter{table}{0}
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\setcounter{float@type}{8}
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\setcounter{parentequation}{0}
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}
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39
Annexe-SystemeCoordonnees/Annexe-SystemeCoordonnees.tex
Normal file
39
Annexe-SystemeCoordonnees/Annexe-SystemeCoordonnees.tex
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@ -0,0 +1,39 @@
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\myclearpage
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\chapter{Deux systèmes de coordonnées}\label{coordonnées}
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\section{Le système de coordonnées circulaires\index{système!de coordonnées circulaires}}
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\subsection{Introduction}
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\lettrine{I}{l existe} beaucoup de types de systèmes de coordonnées. Chacun est adapté à une utilisation particulière. Pour les mouvements circulaires dans un plan, le système de coordonnées ci-dessous est naturel. Il est intéressant dans le cadre de la rotation des planètes visibles, car non seulement elles tournent toutes sur des orbites\index{orbite} (des trajectoires) quasi-circulaires, mais aussi elles sont toutes dans un même plan : le plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}.
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\subsection{Description}
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Le plan est une surface à deux dimensions. Deux nombres sont donc nécessaires pour déterminer univoquement la position\index{position} d'un point. Si ce point est sur un cercle, il se déplace en réalité dans un espace unidimensionnel (le cercle lui-même). Une seule coordonnée\index{coordonnée} est alors nécessaire. Il s'agit de l'angle \(\alpha\) représenté sur la figure \ref{circulaire}. Le système de coordonnées circulaires consiste donc en cette seule coordonnée. Mais, on lui adjoint souvent le rayon \(R\) (bien que cela ne soit pas un degré de liberté puisqu'il est constant).
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption{Système de coordonnées circulaires\label{circulaire}}
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\includegraphics[width=6cm]{circulaire.eps}
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\end{figure}
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\section{Coordonnées sphériques\index{coordonnée!sphériques}}
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\subsection{Introduction}
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Vu depuis la Terre, le mouvement des corps célestes n'est pas simple. Comme la Terre est sphérique\index{sphérique} et tourne sur elle-même, le positionnement des objets célestes par rapport à elle se fait naturellement comme si ces objets étaient sur une sphère. D'où l'importance du système de coordonnées ci-dessous.
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\subsection{Description}
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L'espace dans lequel nous nous trouvons est à trois dimensions. Trois nombres sont donc nécessaires pour déterminer univoquement la position d'un point \(P\). Si ce point est sur une sphère, il se déplace en réalité dans un espace bidimensionnel. Deux coordonnées\index{coordonnée} sont alors nécessaires. Il s'agit des angles \(\varphi\), nommé \emph{longitude}, et \(\theta\), nommé \emph{colatitude}\index{colatitude}, représentés sur la figure \ref{sphèrique}. Le système de coordonnées sphériques consiste donc en ces deux seules coordonnées. Mais, on leur adjoint souvent le rayon \(R\) (bien que cela ne soit pas un degré de liberté puisqu'il est constant).\label{sphère}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\caption{Système de coordonnées sphériques\label{sphèrique}}
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\includegraphics[width=6cm]{spherique.eps}
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\end{figure}
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\subsection{Latitude\index{latitude} et longitude\index{longitude}}
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Remarquons finalement que le système de coordonnées utilisé pour repérer un objet à la surface de la Terre est un système de coordonnées sphériques légèrement différent de celui présenté ci-dessus (cf. \ref{sphère}). En effet, il est presque en tout point identique, à l'exception de l'angle \(\theta\), la colatitude, qui est compté positivement à partir du plan équateur (x,y) vers le nord (et non à partir du pôle nord vers le sud comme précédemment). L'angle \(\theta\) est alors nommé \emph{latitude}\index{latitude} alors que \(\varphi\) reste la longitude\index{longitude}.\label{latitude}
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