Avec la physique de Newton, tout problème de mécanique peut être résolu. Mais le problème fondamental de cette dynamique est que toutes les grandeurs utilisées sont en constante évolution au cours du temps. L'idée d'une mécanique se situant au niveau de grandeurs conservée\index{grandeur conservée} au cours du temps est donc apparue. Nous allons voir que cette "nouvelle" mécanique utilise des grandeurs comme la vitesse\index{vitesse}. Cela situe cette théorie à un niveau différent de la mécanique de Newton puisque celle-ci, à travers la seconde loi, lie la cause du mouvement\index{cause du mouvement} à l'accélération, alors que la conservation\index{conservation} de l'énergie\index{énergie} est liée à la vitesse. On peut résumer cela comme dans la figure \ref{energie}.
La conséquence mathématique de cette nouvelle situation du problème est que l'intégration nécessaire pour obtenir la vitesse\index{vitesse} à partir de l'accélération\index{l'accélération} est supprimée. Si la grandeur recherchée est la vitesse (ou la position) le problème est donc considérablement simplifié.
\section{Le travail\index{travail}}
\subsection{Historiquement\label{historiquement}}
En physique, le travail est une notion bien précise. Elle a pour origine l'expérience simple décrite sur la figure \ref{balance}:
La grandeur $A=F\cdot d$ est donc identique. On peut traduire cette remarque en disant que le travail\index{travail} ($A$ pour Arbeit\index{Arbeit}) pour monter une masse de 1 kg sur une hauteur de 20 cm est le même que celui pour monter une masse de 2 kg sur 10 cm.
Attention, il ne faut pas voir là déjà une conservation. Bien entendu, il y a derrière cette expérience la conservation de l'énergie. Mais le concept de travail utilisé ici, s'il est intimement lié à celui d'énergie potentielle, comme nous le verrons par la suite, reste lié à un déplacement et non à un équilibre, à une situation spatiale des corps utilisés. C'est pourquoi il traduit la naissance de la notion de travail. Cependant cette liaison avec la conservation de l'énergie est assez typique pour que cet exemple ait sa place ici, même si il peut porter à confusion.
peut comprendre intuitivement qu'une force s'exerçant perpendiculairement au déplacement ne travaille pas. On peut donc définir le travail d'une manière plus générale~:
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont parallèles et de même sens ($\overrightarrow{F}\left\uparrow\right\uparrow\overrightarrow{d}$), alors le travail est simple.
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont perpendiculaires ($\overrightarrow{F}\bot\overrightarrow{d}$), alors $\cos(\alpha)=0$ et le travaille est nul. On dit que la force ne travaille pas.
\item Si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{d}$ sont parallèles, mais de sens opposés ($\overrightarrow{F}\left\uparrow\right\downarrow\overrightarrow{d}$), alors le travail est simple, mais négatif.
\end{enumerate}
\subsubsection{Travail\index{travail} cas général}
Dans ce cas, le déplacement n'est pas forcément rectiligne et la force pas forcément constante vectoriellement. La situation générale correspond donc à la figure \ref{travailgeneral}:
\begin{figure}[H]
\caption{Travail en général\label{travailgeneral}}
Ainsi, pour déterminer le travail total effectué par la force sur le chemin A-B, il faut décomposer ce dernier en petits bouts de déplacement rectilignes $\overrightarrow{\Delta l}$, sur lesquels la force peut être considérée comme vectoriellement constante (c'est-à-dire qu'elle ne change ni en direction, ni en sens, ni en grandeurs).On est ainsi ramené au calcul d'un petit élément de travail $A_{i}$, pour une force $\overrightarrow{F_{i}}$ constante, sur un déplacement $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$~:
Bien entendu, plus les segments $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$ sont petits, plus on {}``colle'' au parcours. A la limite, si les $\overrightarrow{\Delta l_{i}}$ devenaient infiniment petits, on obtiendrait la valeur exacte du travail sur le trajet AB. On peut donc écrire~:
L'idée d'énergie est intimement liés à celle de travail\index{travail}. En effet, lorsqu'on fournit un travail, quelque chose est produit. De la chaleur\index{chaleur} par exemple lorsque qu'on s'intéresse au travail de la force de frottement\index{force de frottement} d'une table sur laquelle on déplace un objet. Cependant, on peut se demander ce qui est produit lorsqu'on fournit un travail pour monter une masse ou pour augmenter sa vitesse. En réalité, dans les deux cas on produit de l'énergie, potentielle\index{énergie potentielle} et cinétique\index{énergie cinétique} respectivement.
Quand on travaille pour monter une charge, on produit de l'énergie potentielle. Cette énergie peut être retrouvée si on lâche alors la
masse. Arrivé en bas, cette dernière est capable de produire une déformation traduisant un travail\index{travail}. Tout se passe donc comme si l'énergie potentielle était quelque chose de stocké dans la masse alors qu'elle se trouve à une hauteur déterminée. Bien entendu, plus la hauteur est grande, plus l'énergie potentielle est importante (une pierre de 10 g lâchée de 10 m fera plus de dégâts arrivée au sol que la même pierre lâchée de 1 m). De même pour la masse.
Pour déterminer la valeur de l'énergie potentielle contenue dans une masse $m$ placée à une hauteur $h$, il faut donc calculer le travail que cette masse produit en chutant depuis cette hauteur. Plus précisément, il faut calculer le travail du poids de la masse $m$ se déplaçant sur la hauteur $h$. On doit donc écrire~:
On remarque que ce travail se compose de deux parties. Chacune d'elle ne dépend que du lieu où elle est évaluée et de la masse de l'objet. On peut donc appeler chacun de ces termes "énergie potentielle\index{énergie potentielle}" à la hauteur considérée. Ainsi, le travail se traduit par une différence d'énergie potentielle. Et sa définition prend la forme suivante~:
Bien entendu, on remarque que l'unité de l'énergie est la même que celle du travail, puisque le travail est une différence d'énergie. On a donc~: $\left[E_{m\acute ec}\right]=\left[E_{cin}\right]=\left[E_{pot}\right]=J$.
\section{Conservation de l'énergie\index{conservation de l'énergie}}
\subsection{Introduction}
La notion de conservation\index{conservation} est fondamentale en physique. La première grandeur qui pourrait être conservée à laquelle
on pense est la masse. Malheureusement, on sait aujourd'hui qu'elle ne l'est pas. Par contre, l'énergie l'est. Nous allons voir dans ce chapitre ce que cela signifie en étudiant le cas de la conservation de l'énergie mécanique. Nous verrons que selon les cas, celle-ci peut aussi ne pas être conservée.
\subsection{Théorème de conservation de l'énergie mécanique\index{conservation de l'énergie mécanique}}
L'idée est née de la situation suivante~: une masse tombe d'une certaine hauteur ; lorsqu'on la lâche celle-ci ne possède que de l'énergie potentielle ; en descendant, cette énergie diminue et en même temps, comme la vitesse augmente, son énergie cinétique augmente ; arrivée en bas, la masse n'a plus que de l'énergie cinétique. Tout s'est donc passé comme si l'énergie potentielle s'était transformée en énergie cinétique. Ainsi, on peut dire que l'énergie mécanique\index{énergie mécanique}, somme d'énergie potentielle et cinétique, est en fait restée constante tout au long de la chute.
\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}+m g h_{2}-m g h_{1}& = & 0\end{align*}
Toutes ces expressions sont équivalentes. Il est important de bien comprendre que celles-ci signifient que l'énergie mécanique reste la même au cours du temps.
Il est aussi important de dire que que cette loi n'est valable qu'en l'absence de frottements\index{frottement}. Nous reviendrons par la suite sur cette remarque.
\subsection{Exemples}
\begin{enumerate}
\item Un homme saute du plongeoir des 10 m. A quelle vitesse arrive-t-il dans l'eau ?\\
En l'absence de frottements, l'énergie mécanique est conservé. Avant de commencer, il est nécessaire de fixer le zéro\index{zéro} de l'altitude~: on le choisi au niveau de l'eau. Ainsi, on peut évaluer l'énergie mécanique à 10 m et celle au niveau de l'eau. On a~:
\section{Limite du théorème de conservation de l'énergie mécanique}
L'idée de conservation de l'énergie implique l'idée de récupérer l'énergie qu'on a donné. Ainsi, quand on augmente l'énergie potentielle d'une masse en la montant, on peut récupérer cette énergie en la laissant redescendre. La possibilité de récupérer l'énergie dépensée est en réalité une propriété de certaines forces dites conservatives\index{force conservative}. Ce n'est que pour ce type de forces que l'on peut définir la notion d'énergie potentielle\index{énergie potentielle}. C'est le cas pour le poids\index{poids}, qui est une force conservative, pour laquelle on peut définir une énergie potentielle par $E_{pot}=m\cdot g\cdot h$. Or, toutes les forces ne sont pas conservatives. Pour celles qui ne le sont pas, on ne peut définir d'énergie potentielle. C'est le cas pour la force de frottement\index{frottement} par exemple, pour laquelle on ne peut définir d'énergie potentielle.
Ainsi, le théorème de conservation de l'énergie mécanique n'est valable qu'en présence de forces conservatives. Car, dans ce cas, toutes ces forces peuvent être représentées par une énergie potentielle et on peut écrire~:
Une force est dite conservative\index{conservative} si et seulement si son travail\index{travail} sur un parcours fermé est nul. Cela se traduit mathématiquement par~:
Le rond sur l'intégrale signifie que le parcours est fermé.
Une autre manière de définir une force conservative\index{conservative} est de dire que son travail ne dépend pas du chemin\index{chemin} choisi pour passer d'un point $A$ à un point $B$. Autrement dit ce travail\index{travail} ne dépend que des points $A$ et $B$.
Un excellent exemple de force conservative\index{conservative} est celui du poids\index{poids}. Pour s'en rendre compte, calculons le travail de cette force sur un parcours fermé~: on monte une masse m sur une hauteur h, puis on la déplace horizontalement sur une distance d, on la redescend de h et on la ramène au départ (voir figure \ref{travailferme}).
car, sur le segment $AB$ le poids\index{poids} est parallèle, mais de sens opposé, au déplacement, ce qui introduit un signe négatif (sin(180°) = -1), sur le segment $BC$ le poids est perpendiculaire au déplacement, ce qui annule le travail (sin(90°) = 0), sur le segment $CD$ le poids est parallèle et de même sens que le déplacement et celui-ci est identique en grandeur à celui du segment $AB$ et sur le segment $DA$ le poids est perpendiculaire au déplacement ce qui annule aussi le travail. Ainsi, le travail total est nul et la force est bien conservative\index{conservative}.
