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\chapter{La cinématique\index{cinematique@cinématique}}

\section{Introduction}

\lettrine{L}{a cinématique}\index{cinematique@cinématique} est la science de la description du mouvement\index{mouvement@mouvement}. L'origine du mot, kinêma\index{kinema@kinêma}, le mouvement, est la même que celle du mot cinéma\index{cinema@cinéma}. Il s'agit de rendre compte des différentes manières de décrire précisément le mouvement d'un corps dans l'espace. Cette description n'implique pas la détermination des causes du mouvement\index{mouvement@mouvement}. Celles-ci seront introduites au chapitre \ref{dynamique} consacré à la dynamique\index{dynamique@dynamique}.

\section{Position\index{position@position}}

\subsection{Dimensions\index{dimension@dimension}}

\subsubsection{Une dimension}

On dira du mouvement d'un système physique qu'il est unidimensionnel ou en une dimension quand il se fait selon une droite.

\subsubsection{Deux dimensions}

On dira du mouvement d'un système qu'il est bidimensionnel ou en deux dimensions quand il se fait dans un plan.

\subsubsection{Trois dimensions}

On dira du mouvement d'un système qu'il est tridimensionnel ou en trois dimensions quand il se fait dans l'espace.

\subsection{Système d'axes\index{systeme@système!d'axes}}

Nous allons ici, pour plus de facilité, nous limiter aux mouvements unidimensionnels. La généralisation en deux dimensions\index{dimension@dimension} est naturelle pour des systèmes d'axes et de coordonnées cartésiens\index{cartesien@cartésien}. Nous ne verrons pas d'autre type de système d'axes. Par contre, vous trouverez en annexe \ref{coordonnées} deux autres systèmes de coordonnées\index{coordonnee@coordonnée} : circulaires\index{circulaire@circulaire} (bidimensionnel) et sphérique\index{spherique@sphérique} (tridimensionnel). Ils sont assez simples pour être compris sans difficultés.

L'utilisation de plusieurs dimensions implique la transformation des grandeurs scalaires utilisées par la suite en grandeurs vectorielles. Présentée ici comme une grandeur scalaire, la vitesse par exemple est en fait un vecteur. Pourtant, par souci de simplicité, quand ce n'est pas absolument nécessaire, seules les grandeurs scalaires seront utilisées. Le passage aux grandeurs vectorielles est cependant simplement réalisé en plaçant une petite flèche au-dessus des grandeurs à caractère vectoriel. On peut alors considérer les définitions et relations mathématiques concernées comme vectorielles.

Un système d'axes\index{systeme@système!d'axes} unidimentionnel est donc une droite orientée (munie d'un sens), c'est-à-dire une flèche, munie d'une origine\index{origine@origine} notée 0. On y ajoute généralement une unité de longueur\index{unite@unité!de longueur} notée 1 et des graduations, multiples de cette unité. On la représente comme indiqué à la figure \ref{1dim} et on la nomme généralement \(x\).

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Un système d'axes en une dimension\label{1dim}}
\psfrag{0}{0}
\psfrag{1}{1}
\psfrag{x}{$\alpha$ (cm)}
\includegraphics[width=6cm]{1dim.eps}
\end{figure}

\subsection{Position\index{position@position}}

La position d'un objet un nombre muni d'une dimension, c'est-à-dire d'une unité. Elle correspond simplement à la valeur indiquée en regard du point coïncidant sur l'axe avec le lieu où se trouve l'objet. En une dimension elle est notée \(x\) et prend une valeur déterminée par le choix de l'origine et de l'unité. Considérons l'exemple de la figure \ref{position}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{La position d'un objet\label{position}}
\psfrag{0}{0}
\psfrag{1}{1}
\psfrag{x}{x (cm)}
\includegraphics[width=6cm]{position.eps}
\end{figure}

On écrira alors dans ce cas particulier que la position est \(x=\unit{4}{\centi\metre}\).

\smallskip
Bien entendu, si l'objet se situe dans un plan, la position devient le vecteur position \(\overrightarrow{r}\), repéré par deux coordonnées. Par exemple, on pourrait avoir :

\[\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}
3\\
4\end{array}\right)\; \centi\metre\]

\subsection{Déplacement\index{deplacement@déplacement}}

Le déplacement, noté \(\Delta x\) est la différence entre les positions\index{position@position} initiale et finale de l'objet. On peut donc écrire : \(\Delta x=x_{final}-x_{initial}=x_{f}-x_{i}=x_{2}-x_{1}\). En deux dimensions, \(x\) est simplement un vecteur.

\subsection{Distance parcourue\index{distance@distance!parcourue}}

Il ne faut pas confondre déplacement\index{deplacement@déplacement} et distance parcourue\index{distance@distance!parcourue}. Si un objet part d'un point, parcourt une certaine distance et y revient, son déplacement est nul. Par contre sa distance parcourue, notée \(d\), ne l'est pas.

\section{Vitesse\index{vitesse@vitesse}}

\subsection{Vitesse moyenne}

La vitesse moyenne\index{vitesse@vitesse!moyenne} \(\overline{v}\) d'un objet est donnée par : 

\begin{align*}
\overline{v}&=\frac{d\acute eplacement}{temps}\\
&=\frac{position_{finale}-position_{initiale}}{temps}
\end{align*}

En d'autres termes :

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle \overline{v}=\frac{d}{t}=\frac{x_{f}-x_{i}}{t}=\frac{\Delta x}{t}$}
\end{equation}

\smallskip{}
Bien que la notation exacte pour la vitesse moyenne soit \(\overline{v}\), la barre sur le \(v\) est souvent omise quand cela ne pose pas de problème de confusion avec la vitesse instantanée.

Les unités de la vitesse sont : \([v] = \metre\per\second\)

En plusieurs dimensions, la définition de la vitesse est identique sauf que la notation vectorielle apparaît.

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Exemple 1}

Un objet se déplace de \(x = \unit{3}{\metre}\) à \(x = \unit{7}{\metre}\) en \(\unit{10}{\second}\). Quelle est sa vitesse moyenne ?

\smallskip
Réponse : \(v=\frac{7-3}{10}=\unit{0,4}{\metre\per\second}\)

\subsubsection{Exemple 2}

Un objet se déplace de \(x=\unit{30}{\kilo\metre}\) à \(x=\unit{10}{\kilo\metre}\) en une demi-heure. Calculez sa vitesse moyenne en \kilo\metre\per\hour et en \metre\per\second.

\smallskip
Réponse :
\begin{align*}
v&=\frac{10-30}{0,5}=\unit{-40}{\kilo\metre\per\hour}\\
&=\frac{-40\cdot10^{3}}{60\cdot60}=-\frac{40\cdot10^{3}}{3,6\cdot10^{3}}=-\frac{40}{3,6}=\unit{-11,1}{\metre\per\second}
\end{align*}

La vitesse est négative, donc l'objet recule ou se déplace dans le sens contraire de celui de l'axe.

\subsection{Vitesse instantanée\index{vitesse@vitesse!instantannée}}

La vitesse instantanée d'un objet est la vitesse qu'il a à un instant précis et non au cours d'un intervalle de temps donné. Cette vitesse est obtenue en raccourcissant l'intervalle de temps entre les deux mesures de position finale et initiale, jusqu'à ce que cet intervalle soit infiniment court, c'est-à-dire nul. On a alors la vitesse instantanée à ce moment précis. Ainsi on peut écrire formellement :

\[v_{instantann\acute ee}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\]

et on verra que cette opération mathématique de limite correspond à la notion de dérivée\index{derivee@dérivée}.

\section{Accélération\index{acceleration@accélération}}

\subsection{Accélération moyenne}

L'accélération moyenne\index{accélération!moyenne} \(\overline{a}\) d'un objet est donnée par :

\[\overline{a}=\frac{v_{finale}-v_{initiale}}{temps}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t}\]

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle \overline{a}=\frac{\Delta v}{t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t}$}
\end{equation}

\smallskip{}
Bien que la notation exacte pour l'accélération moyenne soit $\overline{a}$, la barre sur le $a$ est souvent omise quand cela ne pose pas de problème de confusion avec l'accélération instantanée.

Les unités de l'accélération sont \([a]=\metre\per\second\squared\).

En plusieurs dimensions, la définition de l'accélération est identique sauf que la notation vectorielle apparaît.

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Exemple 1}

Un objet accélère de 0 à \unit{100}{\kilo\metre\per\hour} en \unit{10}{\second}. Quelle est son accélération ?

\smallskip
Réponse : attention, il faut que les unités du dénominateur (\second) correspondent à celles du numérateur (\kilo\metre\per\hour). On doit donc soit transformer des \kilo\metre\per\hour en \kilo\metre\per\second, soit des secondes en heures :
\medskip

\begin{itemize}

\item \(\unit{100}{\kilo\metre\per\hour}=\unit{100/3600}{\kilo\metre\per\second}=\unit{0,028}{\kilo\metre\per\second}\)

Ainsi, l'accélération vaut alors :

\(a = 0,028/10 = \unit{0,0028}{\kilo\metre\per\second\squared}\).

\item \(\unit{10}{\second} = 10/3600 = \unit{0,0028}{\hour}\)

Ainsi, l'accélération vaut alors :

\(a = 100/0,0028 = \unit{36'000}{\kilo\metre\per\hour\squared}\).

\item La solution la plus courante est d'exprimer toutes les grandeurs en unités du système international (voir annexe \ref{SI}), c'est-à-dire des mètres et des secondes.

Ainsi on aurait : 

\(\unit{100}{\kilo\metre\per\hour}=100/3,6=\unit{27,8}{\metre\per\second}\)

et l'accélération serait alors :

\(a=27,8/10=\unit{2,78}{\metre\per\second\squared}\).

\end{itemize}

\subsubsection{Exemple 2}

Un objet passe de \unit{20}{\metre\per\second} à \unit{36}{\kilo\metre\per\hour} en \unit{10}{\second}. Quelle est son accélération ?

\smallskip
Réponse : \(\unit{36}{\kilo\metre\per\hour}=36/3,6=\unit{10}{\metre\per\second}\).

Ainsi \(a=(10 - 20)/10=\unit{-1}{\metre\per\second\squared}\).

L'accélération est négative. Cela signifie ici que l'objet freine. On parle alors d'un cas particulier d'accélération : la décélération.

\subsubsection{Remarque :}

Dans le calcul de l'accélération, il faut toujours tenir compte des vitesses avec leur signe. Ainsi, il est possible de concevoir un objet qui ne décélère pas et dont l'accélération est négative (voir exercices).

\subsection{L'accélération instantanée\index{acceleration@accélération!instantanée}}

De la même manière que pour la vitesse instantanée, on peut définir l'accélération instantanée par :

\[a_{instantan\acute ee}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}\]

\section{Mouvements simples\index{mouvement@mouvement!simple}}

\subsection{Le mouvement rectiligne uniforme\index{mouvement@mouvement!rectiligne!uniforme} (\index{MRU@MRU})}

\subsubsection{Définition}

Un objet est dit en mouvement rectiligne uniforme (MRU), s'il se déplace en ligne droite et à vitesse constante.

\subsubsection{Propriétés}

De la définition de la vitesse on tire :
\[v=v_{o}=\frac{x-x_{o}}{t}\;\Rightarrow\; v_{o}\cdot t=x-x_{o}\]

\[\Rightarrow\; x=v_{o}\cdot t+x_{o}\]

car la vitesse \(v\) au cours du temps ne change pas. Elle est donc la même à un instant \(t\) quelconque qu'à l'instant \(t=\unit{0}{\second}\), moment où on la note \(v_{o}\).

Ainsi, on peut écrire :

\begin{equation}
\fbox{$x(t)=v_{o}\cdot t+x_{o}$}
\end{equation}

Cette équation donne la position\index{position@position} \(x(t)\) d'un objet au cours du temps en fonction de sa vitesse \(v_{o}\) (constante), de l'instant \(t\) qu'on considère et de sa position initiale \(x_{o}\). C'est une droite affine de pente \(v_{o}\) et d'ordonnée\index{ordonnee@ordonnée} initiale \(x_{o}\).

\subsubsection{Un exemple : Apollo\index{Apollo@Apollo} en route vers la Lune\index{Lune@Lune}}

Il s'agit ici d'un exemple - contre-exemple, comme nous allons le voir par la suite. D'une manière très grossière, on peut décrire le mouvement d'une capsule Apollo en route vers la Lune en trois phases :

\begin{enumerate}

\item La fusée décolle et amène la capsule à une altitude de \unit{370}{\kilo\metre} environ. Celle-ci est alors en orbite\index{orbite@orbite} autour de la Terre.

\item On allume la propulsion pour la faire dégager de son orbite autour de la Terre. Elle se dirige alors vers la Lune.

\item Elle arrive à une altitude de \unit{5700}{\kilo\metre} environ de la surface de la Lune. Là, elle est freinée (par des moteurs) pour être capturée par la Lune et pouvoir s'y poser.

\end{enumerate}

\begin{figure}
\centering
\caption[Apollo 16]{Apollo 16\label{apollo16} \par \scriptsize{Rencontre du module de commande et du module lunaire d'Apollo 16 le 23 avril 1972\endnote{Voir le site de la NASA (notamment pour le copyright : sans copyright) : \url=http://grin.hq.nasa.gov/ABSTRACTS/GPN-2002-000069.html=}.}}
\includegraphics[width=7cm]{Apollo16.eps}
\end{figure}

Pendant la phase de transfert entre les orbites\index{orbite@orbite} terrestre et lunaire, on peut faire l'hypothèse d'un MRU\index{MRU@MRU}. Nous verrons par la suite la validité de cette hypothèse.

\smallskip
En utilisant les différentes grandeurs données ci-dessous, calculez la vitesse moyenne de la capsule Apollo 12 lors de son transfert vers la Lune.

On a besoin des données\footnote{Apollo en chiffres : http://history.nasa.gov/SP-4029/contents.htm} du tableau \ref{donneesdapollo} :

\begin{table}[t]
\centering
\caption{Données de la mission Apollo 12\label{donneesdapollo}}
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline 
\textbf{Grandeur} & \textbf{Valeur}\\
\hline
\hline 
Rayon de la Terre & \unit{6'371}{\kilo\metre}\\
\hline 
Altitude orbite terrestre & \unit{370}{\kilo\metre}\\
\hline 
Date départ orbite terrestre & 14 nov. 1969\\
\hline 
Heure départ orbite terrestre & 19 h 15\\
\hline 
Distance Terre-Lune & \unit{3,84\cdot 10^8}{\metre}\\
\hline 
Altitude orbite lunaire & \unit{5700}{\kilo\metre}\\
\hline 
Date arrivée orbite lunaire & 18 nov. 1969\\
\hline 
Heure arrivée orbite lunaire & 6 h 10\\
\hline 
Rayon de la Lune & \unit{1,738\cdot 10^6}{\metre}\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Solution :

Le temps $t$ de déplacement vaut :
\begin{align*}
t&=\unit{4}{\hour}\,\unit{45}{\min}+3\cdot \unit{24}{\hour}+\unit{6}{\hour}\,\unit{10}{\min}\\
&=\unit{82}{\hour}\,\unit{55}{\min}=\unit{82,92}{\hour}
\end{align*}

La distance $d$ parcourue vaut :
\begin{align*}
d=\;& d_{Terre-Lune}-R_{Terre}-h_{orbite-Terre}\\
& -R_{Lune}-h_{orbite-Lune}\\
=\;& 3,84\cdot 10^5-6'371-370\\
& -1,738\cdot 10^3-5'700=\unit{369'821}{\kilo\metre}
\end{align*}

La vitesse moyenne est donc de :
\[v=\frac{d}{t}=\frac{369'821}{82,92}=\unit{4460}{\kilo\metre\per\hour}\]

\textbf{Remarques importantes} :

\smallskip{}
En réalité le mouvement de la capsule est loin d'être un MRU\index{MRU@MRU}. En effet, la Terre et la Lune exercent leurs attractions respectives. Ainsi, si la vitesse initiale de rotation de la capsule\index{capsule@capsule} autour de la Terre était de \unit{28000}{\kilo\metre\per\hour}, celle-ci était augmentée par la propulsion pour se dégager de la Terre jusqu'à une valeur de \unit{38000}{\kilo\metre\per\hour}. 

Ensuite, l'attraction\index{attraction@attraction} de la terre freinait constamment le vaisseau. ``Sa vitesse tombait ainsi à près de \unit{5000}{\kilo\metre\per\hour} au point d'équigravité\index{equigravite@équigravité} (gravité équivalente entre la Terre et la Lune) qui se situe à environ \unit{300'000}{\kilo\metre} de notre planète (sur une distance moyenne Terre-Lune de \unit{380'000}{\kilo\metre}), pour accélérer à nouveau compte tenu de l'attraction\index{attraction@attraction} lunaire. Au voisinage de notre satellite\index{satellite@satellite}, le vaisseau Apollo\index{Apollo@Apollo} arrivait à une vitesse de \unit{8.000}{\kilo\metre\per\hour}, mais encore bien trop rapide pour devenir captif de la gravité\index{gravite@gravité} lunaire. Aussi, l'engin devait effectuer une rotation de \(180^{\circ}\) (l'arrière vers l'avant) puis, grâce à la mise à feu du propulseur auxiliaire libérant une poussée de 10 tonnes (pendant 4 minutes et demie), ralentissait juste ce qu'il fallait pour être pris dans le champ de la gravité\index{gravite@gravité} lunaire.''~\endnote{Les missions Apollo : \url=http://perso.wanadoo.fr/alexandre.schwenk/index.htm=}

On voit ainsi que le mouvement des engins spatiaux est loin d'être un mouvement aussi simple qu'on pourrait le penser étant donné le vide dans lequel ils se trouvent. En particulier, il est loin d'être rectiligne et de se faire à vitesse constante.

Bien entendu, ce mouvement devait être parfaitement connu pour pouvoir amener des hommes sur la Lune. Nous verrons dans le chapitre suivant (paragraphe \ref{gravitation}) qu'en réalité ce mouvement peut être assez facilement déterminé grâce à la loi de la gravitation\index{gravitation@gravitation} universelle de Newton\index{Newton@Newton}.

\subsubsection{Autre exemple : le déplacement d'Andromède\index{Andromede@Andromède}}

Contrairement à la plupart des galaxies\index{galaxie@galaxie} qui s'éloignent de nous en raison de l'expansion\index{expansion@expansion} de l'univers, celle d'Andromède\index{Andromede@Andromède} (ainsi que celles du groupe local) se rapproche de nous.

\begin{figure}
\centering
\caption[Collision Andromède-Voie Lactée]{Collision Andromède-Voie Lactée\label{andromede_collision} \par \scriptsize{Rencontre, vue depuis la Terre, d'Andromède et de la Voie Lactée. Vue d'artiste\endnote{Voir le site de Wikicommon (notamment pour le copyright : sans copyright) : \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Andromeda_collision.jpg=}.}}
\includegraphics[width=7cm]{Andromede_collision.eps}
\end{figure}

A l'aide des données ci-dessous, calculez dans combien d'années elle rencontrera notre galaxie, la Voie Lactée\index{Voie@Voie!Lactée} (voir la figure \ref{andromede_collision}).

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Vitesse d'approche : & \unit{500'000}{\kilo\metre\per\hour} \\ 
Position initiale : & \unit{2,55\cdot10^{6}}{AL} \\ 
Vitesse de la lumière : & \unit{300'000}{\kilo\metre\per\second}
\end{tabular}
\end{center}

Il existe plusieurs manières de résoudre ce problème. En voici une. On commence par déterminer la vitesse d'Andromède en AL/an. Pour cela, on commence par l'exprimer en \kilo\metre\per an :

\[\unit{500'000}{\kilo\metre\per\hour}=5\cdot10^{5}\cdot 24\cdot 365=\unit{4,38\cdot10^{9}}{\kilo\metre\per an}\]

Puis, on traduit ces $km$ en $AL$ à l'aide de :

\[\unit{1}{AL}=300'000\cdot 3600\cdot 24\cdot 365=\unit{9,4608\cdot10^{12}}{\kilo\metre}\]

Ce qui permet d'obtenir la vitesse recherchée :

\begin{align*}
v&=\unit{4,38\cdot10^{9}}{\kilo\metre\per an}=4,38\cdot10^{9}/9,4608\cdot10^{12}\\
&=\unit{4,63\cdot10^{-4}}{AL/an}
\end{align*}

Enfin, considérant qu'on peut faire l'hypothèse d'un mouvement à vitesse constante, on a alors :

\[t=2,55\cdot10^{6}/4,63\cdot10^{-4}=\unit{5,5\cdot10^{9}}{ans}\]

Ce qui correspond à 5,5 milliards d'années.

Mais en réalité, plus Andromède\index{Andromede@Andromède} se rapprochera de la Voie Lactée\index{Voie@Voie!Lactée}, plus sa vitesse augmentera. Ainsi, le mouvement ne se fait pas à vitesse constante et le temps avant la rencontre sera plus petit : \textbf{3 milliards d'années}.

\subsection{Mouvement rectiligne uniformément accéléré\index{mouvement@mouvement!rectiligne!uniformément accéléré}
(MRUA\index{MRUA@MRUA})}

\subsubsection{Définition}

Un objet est dit en mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA\index{MRUA@MRUA}), s'il se déplace en ligne droite et avec une accélération\index{acceleration@accélération} constante.

\subsubsection{Propriétés}

On montre (voir annexe \ref{demo}) que pour un MRUA\index{MRUA@MRUA}, on a :

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}$}
\end{equation}

où \(x(t)\) est la position\index{position@position} de l'objet au cours du temps, \(a_{o}\) son accélération\index{acceleration@accélération} initiale (et
donc son accélération tout court), \(v_{o}\) sa vitesse\index{vitesse@vitesse} initiale, \(x_{o}\) sa position\index{position@position} initiale et \(t\) l'instant qu'on considère.

Par définition de l'accélération, on a aussi :

\begin{align*}
a=a_{o}&=\frac{v-v_{o}}{t}\;\Rightarrow\; a_{o}\cdot t=v-v_{o}\\
&\Rightarrow\; v=a_{o}\cdot t+v_{o}
\end{align*}

Ainsi, on peut écrire :

\begin{equation}
\fbox{$v(t)=a_{o}\cdot t+v_{o}$}
\end{equation}

Comme on le voit, la vitesse au cours du temps est une droite affine de pente \(a_{o}\) et d'ordonnée initiale \(v_{o}\). D'autre part, la position au cours du temps est une parabole\index{parabole@parabole} (en \(t^{2}\)).

Finalement, on peut constater que le MRU\index{MRU@MRU} n'est qu'un cas particulier de MRUA\index{MRUA@MRUA}. En effet, il suffit de poser \(a_{o}=0\) dans les équations du MRUA pour retrouver celle du MRU.

\subsection{La chute libre\index{chute@chute!libre}}

Historiquement, le problème de la chute libre fut résolu dans le cadre de la remise en question des théories d'Aristote\index{Aristote@Aristote} (voir paragraphe \ref{Aristote}). Disons, en substance, que ce problème fut la première pierre de l'édifice théorique qui permit de réunifier deux mondes dont la séparation par Platon\index{Platon@Platon} fut reprise par Aristote\index{Aristote@Aristote} : le monde sublunaire\index{sublunaire@sublunaire} (en dessous de la Lune) et le monde supralunaire\index{supralunaire@supralunaire} (en dessus de la Lune). Pour Aristote, la physique dans ces deux mondes n'obéissait pas aux mêmes lois. Or, on va voir que les propriétés de la chute libre à la surface de la Terre sont les mêmes que celles de la ``chute'' de la Lune sur la Terre. Cette découverte mena à la réfutation totale de la théorie d'Aristote\index{Aristote@Aristote} et permit aux physiciens la prétention extraordinaire de pouvoir décrire tout l'univers\index{univers@univers} avec les mêmes lois. La résolution du problème de la chute libre\index{chute@chute!libre} fut donc un évènement très important, pour ne pas dire essentiel, dans l'histoire de la physique, même s'il paraît aujourd'hui d'une moindre importance. Par ailleurs, comme il est un exemple idéal de par sa simplicité et ses facilités expérimentales pour la présentation de la notion d'accélération, il mérite d'être étudié attentivement.

\begin{figure*}[ht]
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\begin{minipage}[b]{9cm}
\textbf{Galilée ou Galileo Galilei(1564-1642)\index{Galilee@Galilée}\index{Galilei@Galilei!Galileo}}

\medskip
Galilée\index{Galilee@Galilée} est parfois considéré comme le père de la physique moderne en ce qu'il fut expérimentateur. Il étudia la chute des corps sur un plan incliné :
\begin{quotation}
``\textit{Plaçant alors l'appareil dans une position inclinée, en élevant l'une de ses extrémités d'une coudée ou deux au-dessus de l'horizon, nous laissions, comme je l'ai dit, descendre la boule dans le canal, en notant [\dots] le temps nécessaire à une descente complète. [\dots] La mise en place et cette première mesure accomplies, nous faisions descendre la même boule sur le quart du canal seulement : le temps mesuré était toujours rigoureusement égal à la moitié du temps précédent. Nous faisions ensuite varier l'expérience, en comparant le temps requis pour parcourir la longueur entière du canal avec le temps requis pour parcourir sa moitié, ou les deux tiers, ou les trois quarts, ou tout autre fraction ; dans ces expériences répétées une bonne centaine de fois, nous avons toujours trouvé que les espaces parcourus étaient entre eux comme les carrés des temps\index{carre@carré!du temps}, et cela quelle que soit l'inclinaison du plan, c'est-à-dire du canal.}''

\footnotesize{\cite[Galilée - 1638 - Dans "Discours et démonstrations mathématiques sur deux nouvelles sciences", p. 200.]{SH03}}
\end{quotation}
On peut considérer Galilée\index{Galilee@Galilée} comme le ``père'' de l'équation horaire de la position d'un objet en chute libre. Le théorème II proposition II des ``Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles'' dit :
\smallskip

\raggedleft{\footnotesize{Portrait de Galilée tiré de Wikipedia\endnote{Voir \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Galilee.jpg=}}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{6.5cm}
\begin{quotation}
``\textit{Si un mobile, partant du repos, tombe avec un mouvement uniformément accéléré, les espaces parcourus en des temps quelconques par ce même mobile sont entre eux en raison double des temps, c'est-à-dire comme les carrés de ces mêmes temps.}''

\footnotesize{\cite[Galilée - 1638 - Dans "Discours et démonstrations mathématiques sur deux nouvelles sciences", p. 197.]{SH03}}
\end{quotation}
\bigskip
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{Galilee.eps}
\end{minipage}
\end{minipage}
}
\end{figure*}

\paragraph{Définition}

La chute d'un objet est dite libre\index{chute@chute!libre} quand elle se fait en l'absence totale de tout frottement\index{frottement@frottement}. Un bon exemple est donné par la chute d'un objet à la surface de la Lune (qui est sans atmosphère). On peut aussi considérer la chute d'un objet dans un tube à vide. Ou encore tout simplement la chute d'un objet à la surface de la Terre, pour autant qu'elle ne dépasse pas quelques mètres. Dans ces conditions, en effet, le frottement\index{frottement@frottement} est assez faible pour être négligé.

\paragraph{Propriétés}

On montre alors que la chute libre d'un objet ne dépend pas de sa masse\index{masse@masse}. Cela signifie que deux objets en chute libre, comme un marteau et une plume tomberont exactement de la même manière (voir vidéo et tube à vide). D'autre part, dans les conditions d'une chute de faible hauteur, l'accélération\index{acceleration@accélération} a une autre propriété importante. Mais pour la déterminer, il faut réaliser l'expérience suivante :

\paragraph{Expérience}

On lâche une petite bille d'une hauteur connue et on mesure son temps de chute.

Le tableau \ref{brutes} donne les résultats obtenus.

\begin{table}[tb]
\centering
\caption{La hauteur en fonction du temps}
\label{brutes}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
\(i\) & \(h_{i}\) (m) & \(t_{i}\) (s)\\
\hline
\hline 
1 & 0,1 & 0,1428\\
\hline 
2 & 0,2 & 0,2019\\
\hline 
3 & 0,3 & 0,2473\\
\hline 
4 & 0,4 & 0,2856\\
\hline 
5 & 0,5 & 0,3193\\
\hline 
6 & 0,6 & 0,3497\\
\hline 
7 & 0,7 & 0,3778\\
\hline 
8 & 0,8 & 0,4039\\
\hline 
9 & 0,9 & 0,4284\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\paragraph{Calculs}

A partir des mesures brutes du tableau \ref{brutes}, on calcule les vitesses moyennes correspondant à chaque intervalle de temps, ainsi que les temps moyens correspondants :
\[t_{moyen}=\frac{t_{i+1}+t_{i}}{2}\; et\; v_{moyenne}=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{h_{i+1}-h_{i}}{t_{i+1}-t_{i}}\]

On peut ainsi remplir le tableau \ref{vitesse}.

\begin{table}[t]
\centering
\caption{La vitesse en fonction du temps}
\label{vitesse}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
\(i\)& \(t_{moyen}\) (s) & \(v_{moyenne}\) (m/s)\\
\hline
\hline 
1-2 & 0,1724 & 1,6920\\
\hline 
2-3 & 0,2246 & 2,2026\\
\hline 
3-4 & 0,2665 & 2,6110\\
\hline 
4-5 & 0,3025 & 2,9674\\
\hline 
5-6 & 0,3345 & 3,2895\\
\hline 
6-7 & 0,3638 & 3,5587\\
\hline 
7-8 & 0,3909 & 3,8314\\
\hline 
8-9 & 0,4162 & 4,0816\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\smallskip{}
A partir des résultats des tableaux \ref{brutes} et \ref{vitesse}, on construit les graphes horaires\index{graphe@graphe!horaire} (le temps\index{temps@temps} est toujours placé sur l'axe des \(x\)) suivants : hauteur en fonction du temps (h vs t : figure \ref{graphehauteur}) et vitesse en fonction du temps moyen (v vs t : figure \ref{graphevitesse})\footnote{vs signifie ``versus'' c'est-à-dire ``en fonction de'' en latin.}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Chute libre\label{graphehauteur}}
\includegraphics[width=6cm]{PositionVStemps.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Chute libre\label{graphevitesse}}
\includegraphics[width=6cm]{VitesseVStemps.eps}
\end{figure}

\paragraph{Analyse des résultats}

Commençons par analyser le graphe de la figure \ref{graphevitesse}, plus particulièrement celui de la vitesse\index{vitesse@vitesse} en fonction du temps. Il correspond à une droite linéaire. Cela signifie que la vitesse augmente toujours de la même manière, c'est-à-dire que pour un intervalle de temps donné l'augmentation de vitesse est toujours la même ou encore que l'accélération est constante. Bien évidemment cette dernière n'est autre que la pente du graphe puisqu'elle s'exprime comme le rapport d'une différence de vitesse par une différence de temps. Comme précisé sur le graphe, la pente vaut $9,81\,m/s^2$. Le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré\index{mouvement@mouvement!rectiligne!uniformément accéléré}. Son accélération est appelée accélération terrestre\index{acceleration@accélération!terrestre} et notée g.

En ce qui concerne le graphe de la figure \ref{graphehauteur}, plus précisément celui de la position en fonction du temps, on constate clairement la parabole\index{parabole@parabole} correspondant à un MRUA\index{MRUA@MRUA}. L'expression générale permet donc aussi de calculer la valeur de l'accélération terrestre en multipliant le c\oe fficient devant le $t^2$ par deux, puisque pour une MRUA on a \(x=1/2\cdot a\cdot t^2\). On retrouve alors bien la valeur de $9,81\,m/s^2$.

\paragraph{Conclusions\label{accg}}

La chute libre\index{chute@chute!libre} est un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Son accélération est dite accélération terrestre, notée g et vaut \unit{9,81}{\metre\per\second\squared}.

\subsection{Balistique\index{balistique@balistique}}\label{balistique}

Jusqu'à présent, pour la chute libre, le mouvement se déroulait en une dimension. Dans le cas de mouvements dits ``balistiques'', le mouvement se fait dans un plan. Les exemples typiques de ce type de mouvement sont ceux d'un obus\index{obus@obus} de canon, d'une balle\index{balle@balle} de fusil, d'une balle de football, etc.

\paragraph{Définition}

En réalité les mouvements donnés en exemple ci-dessus sont plus complexes que le mouvement simple dit ``balistique\index{balistique@balistique}''.

Le mouvement d'un objet est dit ``balistique'', si la seule force qui s'exerce sur lui est son poids. Il se déroule donc sans frottement\index{frottement@frottement} et se fait dans un plan.

\paragraph{Propriétés}

La conséquence du fait que seul le poids intervient dans ce mouvement est qu'on peut le décomposer en deux mouvements simples : horizontalement, le mouvement est un MRU\index{MRU@MRU} et verticalement, un MRUA\index{MRUA@MRUA} d'accélération \(a=\unit{9,81}{\metre\per\second\squared}\). En effet, en l'absence de frottement seul le poids agissant verticalement peut produire une accélération.

Remarquons que cela implique qu'un objet lancé horizontalement (sans aucune vitesse verticale) depuis le haut du pont du Gard\index{pont@pont!du Gard}, par exemple, tombera en même temps qu'un autre simplement lâché du même endroit. Pratiquement cela signifie qu'ils arriveront exactement au même moment au sol.

\paragraph{Équations}

On peut ainsi écrire, horizontalement (sur l'axe x) :

\begin{center}
\fbox{\begin{Beqnarray}		% B ... eqnarray pour mettre la numérotation près des équations
x(t)&=&v_{xo}\cdot t+x_{o}\\
v_{x}(t)&=&v_{xo}\\
a_{x}(t)&=&0
\end{Beqnarray}}
\end{center}

On peut aussi écrire, verticalement (sur un axe y pointant vers le bas !) :

\begin{center}
\fbox{\begin{Beqnarray}		% B ... eqnarray pour mettre la numérotation près des équations
y(t)&=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}+v_{yo}\cdot t+y_{o}\\
v_{y}(t)&=&g\cdot t+v_{yo}\\
a_{y}(t)&=&g
\end{Beqnarray}}
\end{center}

Ce sont là les équations de base du mouvement balistique. Remarquez que l'accélération \(g=\unit{9,81}{\metre\per\second\squared}\) est l'accélération terrestre\index{acceleration@accélération!terrestre} pour autant que le mouvement se fasse à la surface de la terre.

Notez aussi que le signe positif de l'accélération vient du fait que l'axe y choisi pointe vers le bas. Le signe de la vitesse \(v_{yo}\) doit alors aussi être choisi de la même manière, c'est-à-dire positif si celle-ci pointe vers le bas. Si on choisit de faire pointer l'axe y vers le haut, alors l'accélération devient négative, de même que la vitesse si elle pointe vers le bas.

Enfin, on utilise souvent la notation simplifiée :
\[h=y-y_o=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}+v_{yo}\cdot t\]
en omettant \(y-y_o\), ce qui permet de relier directement la hauteur au temps.

\paragraph{Premier exemple}

On lance un caillou du haut du pont du Gard avec une vitesse horizontale de \unit{1}{\metre\per\second}. Il arrive au sol à une distance de \unit{3,16}{\metre} du pied de l'endroit où il a été lancé. Quelle est la hauteur du pont du Gard\index{pont@pont!du Gard} ?

Réponse :

\begin{itemize}
\item Le mouvement horizontal est un MRU\index{MRU@MRU} de vitesse \(v=\unit{1}{\metre\per\second}\). Ainsi, le temps mis par le caillou pour parcourir horizontalement les \unit{3,16}{\metre} est de \unit{3,16}{secondes}.
\item Or, c'est dans ce même temps (le temps de vol\index{temps@temps!de vol}) que le caillou a parcouru verticalement la hauteur du pont. Verticalement, le mouvement étant un MRUA\index{MRUA@MRUA}, on peut écrire :
\[h=\frac{1}{2}g\cdot t^{2}=0,5\cdot9,81\cdot3,16^{2}=\unit{49}{\metre}\]
\end{itemize}

\paragraph{Second exemple}

Considérons le problème suivant :

Un plongeur court horizontalement sur la plate-forme d'un plongeoir haut de 10 m. Arrivé à l'extrémité avec une vitesse horizontale de $2\,m/s$, il saute. Calculez la distance horizontale à partir du pied de l'extrémité du plongeoir à laquelle le plongeur arrive dans l'eau.

Réponse :

\begin{itemize}
\item Le temps de chute est donné par : \(h=\frac{1}{2}g\cdot t^{2}\;\Rightarrow\; t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}=\unit{1,4}{\second}\), si on arrondit g à \unit{10}{\metre\per\second\squared}.
\item La distance horizontale parcourue est alors : \(x=v_{o}\cdot t=2\cdot1,4=\unit{2,8}{\metre}\).
\end{itemize}

\subsection{La chute libre\index{chute@chute!libre} ... de la Lune\index{Lune@Lune}}\label{chutelibredelalune}

La question est ici de savoir pourquoi la lune ``tient'' au-dessus de notre tête.

La réponse d'Aristote\index{Aristote@Aristote} était qu'il est naturel pour un objet du monde supralunaire\index{supralunaire@supralunaire} (dont la Lune fait partie) de suivre le type de mouvement propre à ces objets divins : un mouvement circulaire\index{mouvement@mouvement!circulaire}. Un tel objet n'est en effet pas soumis à la même physique que les objets du monde
sublunaire\index{sublunaire@sublunaire}, ceux qui se déplacent à la surface de la Terre. La Lune ne tombe donc pas sur la Terre.

Pour les physiciens actuels, la même physique doit être valable dans tout l'Univers\index{univers@univers}. Ainsi, la Lune\index{Lune@Lune}, comme un autre objet à la surface de la Terre, est soumise à son poids\index{poids@poids}, c'est-à-dire à l'attraction\index{attraction@attraction} de la Terre. Elle devrait donc tomber sur celle-ci. Or, manifestement, elle ne le fait pas. Cela signifie-t-il alors que son poids est nul ? Si on considère que la Lune est un objet comme un autre, cela ne peut être le cas. Comment donc expliquer que la Lune ne tombe pas ?

On pourrait répondre à cette question en admettant, même si cela paraît paradoxal, qu'en réalité elle tombe. L'idée est la suivante : supposons qu'on lance un objet horizontalement un peu au-dessus de la surface de la Terre. Appelons \(v\) la vitesse horizontale initiale. Si \(v\) est nulle, l'objet tombe en chute libre\index{chute@chute!libre}. Si \(v\) est non nulle, mais petite, l'objet est en mouvement balistique\index{balistique@balistique} et il tombe sur la terre quelques mètres plus loin. Plus \(v\) est grande, plus la distance qu'il parcourt à la surface de la Terre est grande. Si la vitesse est assez grande, l'objet semble suivre la courbure\index{courbure@courbure} de la Terre, tout en tombant petit à petit jusqu'à sa surface. A la limite, pour une vitesse donnée, l'objet tombe ``en même temps'' que la courbure\index{courbure@courbure} de la Terre voit ``descendre'' sa surface (cf. figure \ref{chutelune}). C'est alors comme s'il la ratait en permanence. Ainsi, il peut tomber sur la Terre tout en tournant autour d'elle. La figure \ref{chutelunenewton} présente l'illustration\endnote{Mes plus vifs remerciements à Emilio Segrè Visual Archives pour son autorisation de reproduire ici ce document. Le lien vers l'image est : \url|http://photos.aip.org/quickSearch.jsp?qsearch=Newton+isaac+H5&group=10&Submit=GO|} utilisée par Newton dans les principia de 1728 pour expliquer la chute de la lune\footnote{Avec mes plus vifs remerciements à Emilio Segrè Visual Archives pour son autorisation de reproduire ici cette magnifique illustration de Newton tirée des Principia de 1728 présentant la relation entre chute et satellisation. On la trouve aussi dans \cite[p. 164]{EL99}.} (voir aussi page \pageref{chuteprincipia}).

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{L'idée de la chute de la Lune\label{chutelune}}

\input{Cinematique/Images/Chutelune.pst}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{L'idée de la chute de la Lune\label{chutelunenewton}\\Illustration des Principia.}

\includegraphics[width=6.5cm]{newton_isaac_h5.eps}
\end{figure}

De façon plus détaillée, mais partiellement inexacte comme nous le verrons plus tard, on pourrait dire que la Lune tombe sur la Terre d'une hauteur égale à la distance Terre-Lune en un quart de la période de rotation\index{periode@période!de rotation} de la Lune autour de la Terre (cf. figure \ref{quartchutelune}).

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Chute de la Lune sur la Terre\label{quartchutelune}}

\input{Cinematique/Images/Quartchutelune.pst}
\end{figure}

De cette manière, on peut calculer la valeur de l'accélération\index{acceleration@accélération} que devrait avoir la Lune dans sa chute sur la Terre pour ``tomber'' d'un quart de tour. Très grossièrement, en confondant la chute de la Lune avec un simple mouvement balistique\index{balistique@balistique} dont la composante verticale est un MRUA\index{MRUA@MRUA}, on pourrait en effet écrire :
\[h=d_{Terre-Lune}=\frac{1}{2}a\cdot t^{2}=\frac{1}{2}a\cdot\left(\frac{T}{4}\right)^{2}\]
où T est la période de rotation\index{periode@période!de rotation} de la Lune autour de la Terre. Ainsi :
\[a=\frac{32\cdot d_{t-l}}{T^{2}}=\frac{32\cdot3,84404\cdot10^{8}}{\left(30\cdot24\cdot3600\right)^{2}}=\unit{1,83\cdot10^{-3}}{\metre\per\second\squared}\]

Cette valeur est du bon ordre de grandeur puisqu'en réalité l'accélération\index{acceleration@accélération} de la Lune vers la Terre vaut :
\[a=\unit{2,7\cdot10^{-3}}{\metre\per\second\squared}\]

Bien entendu, ces deux valeurs sont néanmoins assez différentes. Cependant, étant donné les hypothèses très grossières qui ont été faites, obtenir un bon ordre de grandeur est un résultat remarquable. En effet, on a considéré que le mouvement était balistique\index{balistique@balistique}, c'est-à-dire qu'à tout instant la direction dans laquelle la Lune tombe est la même. Or, étant donné la courbure\index{courbure@courbure} de la Terre, sur un quart de période, cette direction varie de \(90^{\circ}\). En réalité donc, le mouvement n'est pas balistique\index{balistique@balistique}, mais central\index{mouvement@mouvement!central}, c'est-à-dire que la chute de la Lune se fait toujours vers un même point. Ainsi, le mouvement réel de la Lune ne se fait pas sur une parabole\index{parabole@parabole}, comme dans le cas d'un mouvement balistique\index{balistique@balistique}, mais sur une ellipse\index{ellipse@ellipse} (très proche d'un cercle). L'annexe \ref{chutelunecirculaire} présente un calcul plus correct de l'accélération de la Lune basé sur une orbite circulaire\index{orbite@orbite!circulaire}. Il permet aussi d'en déduire la forme de la force de gravitation\index{force@force!de gravitation} donnée par la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle} (voir paragraphe \ref{gravitationuniverselle}) qui est inversément proportionnelle au carré de la distance à la Lune. Ce calcul est néanmoins encore une approximation puisque l'orbite n'est pas circulaire mais elliptique.

Quoi qu'il en soit, l'idée que la Lune tombe en permanence sur la Terre peut parfaitement expliquer qu'elle tienne apparemment en apesanteur\index{apesanteur@apesanteur} au-dessus de notre tête, pour autant qu'elle soit animée d'une vitesse\index{vitesse@vitesse} non nulle parallèle à la surface de la Terre, que celle-ci ait une valeur bien précise et, bien entendu, qu'elle ne soit soumise à aucun frottement\index{frottement@frottement}.

Nous verrons au prochain chapitre (paragraphe \ref{mecaniquenewton}) avec la dynamique\index{dynamique@dynamique} de Newton\index{Newton@Newton} (sa théorie du mouvement) et sa loi de la gravitation universelle\index{gravitation@gravitation!universelle} (paragraphe \ref{gravitationuniverselle}), que le mouvement des objets en rotation autour de la Terre, comme la lune, mais aussi comme les satellites\index{satellite@satellite} artificiels, est parfaitement expliqué par l'idée de la chute d'objets à vitesse initiale tangentielle non nulle.

Remarquons enfin que cette idée a été remise en question par Einstein\index{Einstein@Einstein} dans sa théorie de la relativité générale\index{relativite@relativité!générale}. Celui-ci revient en effet à l'idée d'un mouvement ``naturel\index{mouvement@mouvement!naturel}'' sans contrainte, sans attraction\index{attraction@attraction} par la Terre, dans un espace courbe\index{espace@espace!courbe}.

\subsection{Mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire!uniforme} (MCU\index{MCU@MCU})}\label{MvtCU}

La cinématique du mouvement circulaire uniforme est identique à celle du MRU\index{MRU@MRU} si on remplace les distances par des angles. Ainsi, en guise de position, on prendra l'angle des coordonnées circulaires\index{coordonnee@coordonnée!circulaire} (voir figure \ref{circulaire}). A partir de là, la vitesse \(\overline{v}\) et l'accélération angulaires \(\overline{a}\) moyennes (on écrit aussi généralement simplement \(v\) et \(a\)) se définissent très simplement :

\begin{align*}
x(t)\quad&\rightarrow\quad\theta(t)\\
\overline{v}(t)\quad&\rightarrow\quad\overline{\omega}(t)=\frac{\theta-\theta_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\
\overline{a}(t)\quad&\rightarrow\quad\overline{\alpha}(t)=\frac{\omega-\omega_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}
\end{align*}

Bien entendu, on a aussi pour les grandeurs instantanées :
\begin{align*}
\omega(t)&=\begin{array}{c}
lim\\
\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}\\
\alpha(t)&=\begin{array}{c}
lim\\
\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{d\omega}{dt}
\end{align*}

Ces définitions sont valables pour tout mouvement circulaire, en particulier s'il n'est pas uniforme. Dans le cas d'un MCU\index{MCU@MCU}, on a les deux conditions suivantes en plus : 
\[\omega(t)=\omega_{o}\; \text{et}\;\alpha(t)=\unit{0}{\metre\per\second\squared}\]

\bigskip{}
Par ailleurs, la relation liant le rayon d'un arc de cercle à sa longueur, relation traduite dans la figure \ref{arc}, permet de relier les grandeurs linéaires (\(x(t),\, v(t)\)) et celles qui sont angulaires (\(\theta(t),\,\omega(t)\)) :

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle L=\theta\cdot R$}
\end{equation}

implique, par dérivation :

\[v=\frac{dL}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\cdot R=\omega\cdot R\;\Rightarrow\]

\begin{equation}\label{vomegar}
\fbox{$\displaystyle v=\omega\cdot R$}
\end{equation}

\subsubsection{Relation importante}

La complexité de la dynamique de ce mouvement tient dans son caractère bidimensionnel. En d'autres termes, il est nécessaire de tenir compte du caractère vectoriel de la vitesse (voir figure \ref{MCU}).

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Mouvement circulaire uniforme\label{MCU}}
\psfrag{R}{R}
\psfrag{a}{\(\alpha\)}
\psfrag{v1}{\(\overrightarrow v_1\)}
\psfrag{v2}{\(\overrightarrow v_2\)}
\psfrag{v12}{\(\Delta\overrightarrow v=\overrightarrow v_2 - \overrightarrow v_1\)}
\includegraphics{MCU.eps}
\end{figure}

Ainsi, la rotation du vecteur vitesse ``produit'' un vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}\). Or, par définition de l'accélération :

\[\overrightarrow{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}\]

si \(\Delta\overrightarrow{v}\) est non nul, alors il y a accélération. Sur la figure on voit aussi que la direction de \(\Delta\overrightarrow{v}\), comme celle de l'accélération \(\overrightarrow{a}\), est radiale et plus précisément dans le sens du centre du cercle.

Le mouvement circulaire uniforme est donc particulier en ce sens que tout en se déroulant à vitesse (scalaire\index{vitesse@vitesse!scalaire}) constante, il se déroule avec une accélération non nulle, mais qui est perpendiculaire à la vitesse.

De plus, on montre que la valeur de l'accélération\index{acceleration@accélération} est :

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle a=\frac{v^{2}}{R}$}
\end{equation}

où \(v\) est la vitesse scalaire et \(R\) le rayon du cercle.

En effet, selon la figure \ref{MCU} et pour de petits angles, on a :

\[\Delta x=\alpha\cdot R\;\;et\;\;\Delta v\cong\alpha\cdot v\]

où \(\Delta x\) est la longueur de l'arc de cercle entre les deux instants où on considère la vitesse. Si \(\Delta t\) est le temps entre ces deux instants, on peut écrire :

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\alpha\cdot v}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot v=\frac{v^{2}}{R}\]

C'est ce qu'il fallait démontrer.

\bigskip
Le mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire!uniforme} est donc un mouvement composé de deux mouvements simples : un mouvement uniforme\index{mouvement@mouvement!uniforme} et un mouvement accéléré\index{mouvement@mouvement!accéléré}. Cependant, il est différent du mouvement balistique\index{mouvement@mouvement!balistique}, lui aussi composé de ces deux mêmes mouvements, en ce qu'ils ne sont pas rectilignes. En effet, si on peut dire que le mouvement balistique est composé d'un MRU et d'un MRUA, on ne peut en dire autant pour le MCU. Il serait plutôt composé d'un MU et d'un MUA, voire même d'un MA si on considère que, bien que la norme du vecteur accélération soit constante, le vecteur lui-même ne l'est pas puisqu'il tourne.

\bigskip
Enfin, la présence d'une accélération dans le mouvement circulaire uniforme a de lourdes conséquences en termes de dynamique, c'est-à-dire en termes de forces comme nous le verrons au paragraphe \ref{accmcu}, à l'annexe \ref{chutedelalune} ou à l'annexe \ref{geostat} qui traitent de la dynamique d'objets comme les satellites, liés à la terre par la force de gravitation.

\subsection{Lois de Kepler}\label{loiskepler}

\begin{figure*}[ht!]
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\begin{minipage}[b]{9cm}
\textbf{Kepler (1571-1630)\index{Kepler@Kepler}}

\medskip
Associé au très grand astronome Tycho Brahé\index{Brahe@Brahé!Tycho}, Johanes Kepler\index{Kepler@Kepler!Johanes} va mettre fin définitivement à la cosmologie aristotélicienne\index{cosmologie@cosmologie!aristotélicienne} qui prétendait que les orbites des planètes étaient des cercles, figure parfaite du monde des Dieux. En effet, à la suite d'une recherche portant sur les rapports de distance entre les planètes basée sur les polyèdres réguliers\index{polyedre@polyèdre!régulier}, Kepler va découvrir grâce à l'étude de Mars que la forme de l'orbite des planètes est elliptique\index{orbite@orbite!elliptique}.

\smallskip
Avec les observations de Galilée\index{Galilee@Galilée} (cratères sur la Lune\index{cratere@cratère!lunaire}, taches solaires\index{tache@tache!solaire}, phases de Vénus\index{phase@phase!de vénus} et satellites de Jupiter\index{satellite@satellite!de jupiter}), celles de Tycho Brahé sur le mouvement des comètes\index{comete@comète} à travers les sphères cristallines\index{sphere@sphère!cristalline} censées ``porter'' les planètes, les calculs de Kepler vont non seulement permettre l'abandon de l'idée de fixité de la Terre, mais plus tard trouver une place importante dans la nouvelle physique élaborée par Newton.
\smallskip

\raggedleft{\footnotesize{Portrait de Kepler tiré de Wikipedia\endnote{Voir \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Johannes_Kepler_1610.jpg=}}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{6.5cm}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{Johannes_Kepler_1610.eps}
\end{minipage}
\end{minipage}
}
\end{figure*}

\begin{figure}[t]
\centering
\caption[Astronomica pars Optica]{Astronomica pars Optica\label{oeil}\endnote{Voir le site de wikipedia : \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Kepler_Optica.jpg= notamment pour le copyright de l'image.}}
\includegraphics[width=6cm]{Kepler_Optica.eps}
\end{figure}

Un exemple très intéressant de cinématique du mouvement, au sens d'une description du mouvement, est donné par les lois de Kepler\index{Kepler@Kepler}. Grâce à l'utilisation de mesures très précises fournies par le prestigieux astronome danois Tycho Brahé\index{Brahe@Brahé!Tycho} et à une analyse approfondie de l'orbite de Mars\index{orbite@orbite!de mars}, Kepler parvient à montrer que l'orbite des planètes n'est pas circulaire, comme le prétendait la cosmologie ptoléménne, mais elliptique\index{orbite@orbite!elliptique}. Il énonce alors les trois lois importantes qui vont porter son nom et permettre de mieux comprendre la mécanique céleste.

\bigskip
\begin{description}
\item[Première loi\index{Kepler@Kepler!première loi}]

L'orbite des planètes est une ellipse\index{orbite@orbite!elliptique} dont le Soleil est à l'un des foyers.
\item[Deuxième loi\index{Kepler@Kepler!seconde loi}]

En des temps égaux, la surface balayée par la distance entre le Toleil et la planète est toujours la même.
\item[Troisième loi\index{Kepler@Kepler!troisième loi}]

Le rapport du cube du demi-grand axe\index{axe@axe!demi-grand} d'une planète au carré de sa période de révolution\index{periode@période!de révolution} est constant pour tous les corps tournant autour du Soleil.
 \end{description}

L'énoncé de la première loi peut amener à nous demander quel est le rôle du second foyer\index{foyer@foyer!d'une ellipse} de l'ellipse, celui où le corps central n'est pas. La question vient d'une apparente dissymétrie des rôles des foyers qui est pour nous troublante, mais se révèle sans fondement. Ce foyer est bien présent et n'est tout simplement pas un point exceptionnel.

Ces lois sont en réalité valable pour tout corps tournant autour d'un corps central sous l'effet de la gravitation.

En considérant le demi-grand axe de l'orbite \(a\) et la période de révolution \(T\), la troisième loi se traduit mathématiquement par :

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=constante$}
\end{equation}

Ainsi, pour deux corps \(A\) et \(B\) tournant autour du même corps central, on a :

\begin{equation}\label{keplertroisieme}
\fbox{$\displaystyle \frac{a_A^3}{T_A^2}=\frac{a_B^3}{T_B^2}$}
\end{equation}

Un exemple intéressant d'utilisation de la troisième loi de Kepler est celui de la rotation de la Lune autour de la Terre qui permet le calcul de l'altitude des satellites\index{satellite@satellite} en orbite géostationnaire\index{orbite@orbite!géostationnaire}. Il est traité au paragraphe \ref{keplergeostat} de l'annexe \ref{geostat}.

\medskip
Notons encore que Kepler s'est aussi intéressé au fonctionnement de l'\oe il et aux théories de la lumière. En 1604, il rédige \emph{Astronomia pars Optica} un ouvrage d'optique où le rôle de la rétine\index{retine@rétine} et celui du cristallin\index{cristallin@cristallin} sont justement exposés. La figure \ref{oeil} présente un planche illustrant le fonctionnement de l'\oe il tirée de cet ouvrage.

\begin{sidewaysfigure*}
%\begin{figure*}[!b]
\begin{shaded}
\begin{center}
\begin{minipage}{16cm}
	\begin{minipage}[b]{16cm}
		\begin{center}
		\textsc{Résumé des grandeurs et unités}
		\end{center}
		\smallskip
	\end{minipage}\\
	\begin{minipage}[t]{16cm}
		\begin{center}
		\begin{tabular}{lll}
		\textbf{Grandeur} & \textbf{Définition} & \textbf{Unité} \\
		Position & \(x\) & \metre \\
		Vitesse & \(v=\frac{\Delta x}{t}\) & \metre\per\second \\
		Accélération & \(a=\frac{\Delta v}{t}\) & \metre\per\second\squared \\
		\end{tabular} 
		\end{center}
	\end{minipage}\\
	
	\bigskip
	
	\begin{minipage}[b]{16cm}
		\begin{center}
		\textsc{Résumé des équations des mouvements simples}
		\end{center}
		%\smallskip
	\end{minipage}\\
	\begin{minipage}[t]{8cm}
		\textbf{Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)}
		
		Les équations du mouvement :
		\begin{align}
		x(t)&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}\\
		v(t)&=a_{o}\cdot t+v_{o}\\
		a(t)&=a_{o}\\
		v^2&=v_{o}^2+2\cdot a_{o}\cdot (x-x_{o})
		\end{align}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[c]{2.3cm}
		\[a_{o}=0\]
		\[\Longrightarrow\]
		% \[\stackrel{\displaystyle a_{o}=0}{\Longleftrightarrow}\]
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{6cm}
		\textbf{Mouvement rectiligne uniforme (MRU)}
		
		Les équations du mouvement :
		\begin{align}
		x(t)&=v_{o}\cdot t+x_{o}\\
		v(t)&=v_{o}\\
		a(t)&=0
		\end{align}
	\end{minipage}\\
	
	\bigskip
	
	\begin{minipage}[b]{16cm}
		Pour un mouvement de chute libre (MRUA), l'accélération vaut :
		\[a=g=\unit{9,81}{\metre\per\second\squared}\]
	\end{minipage}\\

	\bigskip

	\begin{minipage}[b]{16cm}
	Un mouvement balistique est composé d'un MRU horizontalement et d'un MRUA en chute libre verticalement.
	\end{minipage}\\

	\bigskip

	\begin{minipage}[b]{16cm}
	Un MCU est composé d'un MU et d'un MA d'accélération : \begin{equation}a=\frac{v^2}{R}\end{equation}
	\end{minipage}
\end{minipage}
\end{center}
\end{shaded}
%\end{figure*}
\caption{Résumé de cinématique}
\end{sidewaysfigure*}