\begin{Solution}{46}
   La figure \ref{ascenseur} présente la situation.
   \begin{figure}[!t]
   \centering
   \caption{Un ascenseur\label{ascenseur}}
   \includegraphics{Ascenseur.eps}
   \end{figure}

   On choisit comme système la personne. Les forces extérieures sont alors :
   \begin{itemize}
   \item son poids \(\overrightarrow P\) et
   \item la force \(\overrightarrow R\) exercée par la balance sur la personne. Sa réaction, la force exercée par la personne sur la balance, permet à cette dernière de donner une indication du poids de la personne, indiqué malheureusement en kilogrammes (et non en newtons, comme cela devrait être le cas) par la balance.
   \end{itemize}

   Selon l'axe donné, on peut écrire :
   \[R-P=m\cdot a\;\Rightarrow\;R=m\cdot a+m\cdot g\]
   A partir de là, on peut considérer les différents cas :
   \begin{enumerate}
   \item Quand l'ascenseur prend de la vitesse, l'accélération vaut \unit{2}{\metre\per\second\squared}. La réaction de la balance est alors :
   \[R=70\cdot 2+70\cdot 9,81=\unit{826,7}{\newton}\]
   et la balance indiquerait :
   \[m=\frac{826,7}{9,81}=\unit{84,3}{\kilo\gram}\]
   La personne a un poids plus important qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance pourrait laisser croire à~\cdot de l'embonpoint.
   \item Pendant la phase à vitesse constante, l'accélération vaut \unit{0}{\metre\per\second\squared}. La réaction de la balance est alors :
   \[R=70\cdot 0+70\cdot 9,81=\unit{686,7}{\newton}\]
   et la balance indiquerait :
   \[m=\frac{686,7}{9,81}=\unit{70}{\kilo\gram}\]
   La personne a le même poids qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance est juste.
   \item Quand l'ascenseur perd de la vitesse, l'accélération vaut \unit{-3}{\metre\per\second\squared}. La réaction de la balance est alors :
   \[R=70\cdot (-3)+70\cdot 9,81=\unit{476,7}{\newton}\]
   et la balance indiquerait :
   \[m=\frac{476,7}{9,81}=\unit{48,6}{\kilo\gram}\]
   La personne a un poids moins important qu'à l'arrêt et donc l'indication donnée en terme de masse par la balance pourrait laisser croire à~\cdot une maladie.
   \end{enumerate}
   On voit qu'une balance indique quelque chose de relatif à l'état de mouvement de la personne. Elle n'indique donc pas une quantité de matière, c'est-à-dire une masse. Une balance devrait donc être graduée en newtons. Elle l'est en \kilo\gram, car on a l'habitude de se peser à l'arrêt (bien que~\cdot la Terre tournant~\cdot) et à la surface de la Terre. Dans ce cas bien précis, il suffit en effet de diviser son indication (ou de reporter face à la graduation une indication de masse) par \gram pour obtenir la masse.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{47}
   La loi de la gravitation universelle donne :
   \begin{align*}
   F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{d^2}\\
   &=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{1\cdot 1}{0,5^2}=\unit{2,668\cdot 10^{-10}}{\newton}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{48}
   Le poids à la surface de la Terre peut être calculé de deux manières. A l'aide de la loi de la gravitation universelle et à l'aide de sa définition \(P=m\cdot g\). Il s'agit de la même force. On peut donc écrire :
   \begin{align*}
   m\cdot g&=G\cdot \frac{M_{Terre}\cdot m}{R_{Terre}^2}\;\Rightarrow\\
   g&=G\cdot \frac{M_{Terre}}{R_{Terre}^2}\;\Rightarrow\\
   M_{Terre}&=\frac{g\cdot R_{Terre}^2}{G}\\
   &=\frac{9,81\cdot (6'372\cdot 10^3)^2}{6,67\cdot 10^{-11}}=\unit{5,97\cdot 10^{24}}{\kilo\gram}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{49}
   Comme au problème \ref{massedelaterre}, on a :
   \[g=G\cdot \frac{M}{R^2}\]
   Mais ici il s'agit de la Lune. Ainsi :
   \begin{align*}
   g_{Lune}&=G\cdot \frac{M_{Lune}}{R_{Lune}^2}\\
   &=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{7,35\cdot 10^{22}}{(1,738\cdot 10^6)^2}\\
   &=\unit{1,62}{\metre\per\second\squared}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{50}
   On a simplement :
   \[F=k\cdot x=800\cdot 0,1=\unit{80}{\newton}\]
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{51}
   Une masse de \unit{100}{\gram} exerce une force
   \[F=m\cdot g=0,1\cdot 9,81=\unit{0,981}{\newton}\]
   sur le ressort. On a donc :
   \[F=k\cdot x\;\Rightarrow\;k=\frac{F}{x}=\frac{0,981}{0,12}=\unit{8,175}{\newton\per\metre}\]
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{52}
   L'accélération de la voiture est (hypothèse MRUA) :
   \begin{align*}
   v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
   a&=\frac{v^2-v_o^2}{2\cdot d}=\frac{13,8^2}{2\cdot 40}\\
   &=\unit{2,41}{\metre\per\second\squared}
   \end{align*}
   La force exercée par la route sur les pneus est donc de :
   \[F_{fr}=m\cdot a=2000\cdot 2,41=\unit{4822,5}{\newton}\]
   Or, par définition de la force de frottement sec, on a :
   \begin{align*}
   F_{fr}&=\mu\cdot R=\mu\cdot m\cdot g\;\Rightarrow\\
   \mu&=\frac{F_{fr}}{m\cdot g}=\frac{4822,5}{2000\cdot 9,81}=\unit{0,25}{}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{53}
   La force maximale entre les pneus et la route est donnée par :
   \[F_{fr}=\mu_{o}\cdot R=\mu_{o}\cdot m\cdot g\]
   On a alors :
   \begin{enumerate}
   \item Avec les roues avant uniquement, la force maximale est :
   \[F_{fr}=0,5\cdot 600\cdot 9,81=\unit{2943}{\newton}\]
   Et l'accélération :
   \[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{2943}{1000}=\unit{2,943}{\metre\per\second\squared}\]
   \item Avec les roues arrière uniquement, la force maximale est :
   \[F_{fr}=0,5\cdot 400\cdot 9,81=\unit{1962}{\newton}\]
   Et l'accélération :
   \[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{1962}{1000}=\unit{1,962}{\metre\per\second\squared}\]
   \item Avec les roues avant et arrière ensemble, la force maximale est :
   \[F_{fr}=0,5\cdot 1000\cdot 9,81=\unit{4905}{\newton}\]
   Et l'accélération :
   \[a=\frac{F_{fr}}{m}=\frac{4905}{1000}=\unit{4,905}{\metre\per\second\squared}\]
   \end{enumerate}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{54}
   La seconde loi de Newton permet de calculer la valeur de la force de traction :
   \begin{align*}
   F-m\cdot g&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
   F&=m\cdot a+m\cdot g\\
   &=50\cdot 4+50\cdot 9,81=\unit{690,5}{\newton}
   \end{align*}
   La force de traction et le déplacement étant parallèles et de même sens, on a :
   \[A=\overrightarrow F\cdot \overrightarrow d=F\cdot d=690,5\cdot 100=\unit{69'050}{\joule}\]
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{55}
   Par définition de l'énergie potentielle, on a :
   \[E_{pot}=m\cdot g\cdot h=50\cdot 9,81\cdot 100=\unit{49'050}{\joule}\]
   Pour le calcul de l'énergie cinétique, si on fait l'hypothèse d'un MRUA, la vitesse de la masse au bout de \unit{100}{\metre} est :
   \begin{align*}
   v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
   v&=\sqrt{2\cdot a\cdot d}=\sqrt{2\cdot 4\cdot 100}=\unit{28,3}{\metre\per\second}
   \end{align*}
   et l'énergie cinétique est alors :
   \[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 28,3^2=\unit{20'022,25}{\joule}\]
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{56}
   Dans chacun des cas, l'énergie cinétique se calcule par :
   \[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\]
   \begin{itemize}
   \item Un bon coureur met environ \unit{10}{\second} pour parcourir \unit{100}{\metre}. Sa vitesse moyenne est donc de :
   \[v=\frac{d}{t}=\frac{100}{10}=\unit{10}{\metre\per\second}\]
   Son énergie cinétique est donc de :
   \[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 80\cdot 10^2=\unit{4000}{\joule}\]
   \item Simplement, on calcule l'énergie cinétique :
   \[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 800\cdot 10^2=\unit{40'000}{\joule}\]
   \item Il faut mettre la masse en \kilo\gram pour calculer l'énergie cinétique :
   \[E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot 0,01\cdot 800^2=\unit{3200}{\joule}\]
   \end{itemize}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{57}
   Procédons par étapes :
   \begin{itemize}
   \item si on monte de \unit{4}{\metre}, le poids et le déplacement sont opposés et le travail du poids est :
   \begin{align*}
   A&=m\cdot g\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
   &=3\cdot 9,81\cdot 4\cdot \cos(180)=\unit{-117,72}{\joule}
   \end{align*}
   \item lors d'un déplacement horizontal, le poids et le déplacement sont perpendiculaires et le travail est nul (car \(\cos(90^{\circ})=0\)),
   \item si on descend de \unit{4}{\metre}, le poids et le déplacement sont dans le même sens et le travail du poids est :
   \begin{align*}
   A&=m\cdot g\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
   &=3\cdot 9,81\cdot 4\cdot \cos(0)=\unit{117,72}{\joule}
   \end{align*}
   \item lors d'un déplacement horizontal, le poids et le déplacement sont perpendiculaires et le travail est nul (car \(\cos(90^{\circ})=0\)).
   \end{itemize}

   Ainsi, le travail total est la somme des travaux pour chaque déplacement :
   \[A_{tot}=-117,72+0+117,72+0=\unit{0}{\joule}\]
   Le travail du poids pour un parcours fermé est donc nul. On dit d'une telle force qu'elle est ``conservative''. Ce n'est que pour de telles forces qu'il existe une énergie potentielle.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{58}
   Par définition du travail, on a :
   \begin{align*}
   A&=\overrightarrow F\cdot \overrightarrow d=F\cdot d\cdot \cos(\alpha)\\
   &=15\cdot 20\cdot \cos(10^{\circ})=\unit{295,4}{\joule}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{59}
   Pour rappel, résolvons tout d'abord le problème à l'aide de l'accélération. Nous sommes dans le cas d'un MRUA. Donc, on peut écrire :
   \begin{align*}
   v^2&=v_o^2+2\cdot a\cdot h\;\Rightarrow\\
   v&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 10}=14\,m/s=\unit{50,4}{\kilo\metre\per\hour}
   \end{align*}
   \medskip

   Pour résoudre le problème à l'aide de l'énergie, il faut considérer que toute l'énergie potentielle de la personne en haut du plongeoir se transforme graduellement en énergie cinétique pendant sa chute. Si le zéro de l'énergie potentielle est choisi au niveau de l'eau, le plongeur n'a plus d'énergie potentielle lorsqu'il l'atteint. Elle s'est entièrement transformée en énergie cinétique. On peut donc écrire :
   \begin{align*}
   m\cdot g\cdot h&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
   v&=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 10}=14\,m/s=\unit{50,4}{\kilo\metre\per\hour}
   \end{align*}
   et le problème est résolu.
   \medskip

   Cependant, il faut remarquer que l'égalité de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique dérive du théorème de conservation de l'énergie mécanique. En effet, comme c'est le cas ici, en l'absence de forces non conservatives, on peut écrire :
   \begin{align*}
   \Delta E_{mec}&=0\\
   E_{mec f}-E_{mec i}&=0\\
   E_{pot f}+E_{cin f}-E_{pot i}-E_{cin i}&=0\\
   0+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2-m\cdot g\cdot h-0&=0\\
   \Rightarrow\;\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=m\cdot g\cdot h&
   \end{align*}

   Remarquons enfin, que le problème est ici tout aussi facile à résoudre des deux manières. Cependant, dans le premier cas, on a pu le faire car on sait qu'une chute libre est un MRUA. Pour d'autres types de mouvements, qui ne sont pas des MRUA, pour trouver la vitesse à partir de l'accélération, il faut résoudre une intégrale. Et là, cela peut être beaucoup plus difficile qu'en utilisant l'énergie.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{60}
   On n'utilisera pas ici la méthode newtonienne, même si le problème peut être résolu de cette manière.

   Fixons le zéro de l'énergie potentielle là où l'objet décolle. Alors, son énergie potentielle est nulle et son énergie cinétique maximale. En montant, il perd graduellement de l'énergie cinétique au profit de l'énergie potentielle. Arrivé au sommet de sa trajectoire, il s'arrête brièvement et son énergie potentielle est maximale alors que son énergie cinétique est nulle. On peut donc dire que toute son énergie cinétique du départ s'est transformée en énergie potentielle au sommet et écrire :
   \begin{align*}
   \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2&=m\cdot g\cdot h\;\Rightarrow\\
   h&=\frac{v^2}{2\cdot g}=\frac{10^2}{2\cdot 9,81}=\unit{5,1}{\metre}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{61}
   Commençons par calculer la vitesse à laquelle la tuile quitte le toit. La conservation de l'énergie mécanique implique que :
   \begin{align*}
   m\cdot g\cdot \Delta h&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
   v&=\sqrt{2\cdot g\cdot \Delta h}\\
   &=\sqrt{2\cdot 9,81\cdot (30-25)}=\unit{9.9}{\metre\per\second}
   \end{align*}
   Cette vitesse est un vecteur qui fait avec l'horizontale un angle de \unit{15}{\degree}. La balistique (voir annexe \ref{balistique}) nous apprend qu'il faut décomposer le mouvement sur chaque axe. En particulier la vitesse initiale a les composantes suivantes :
   \begin{align*}
   v_x&=v\cdot \cos(\alpha)=9,9\cdot \cos(-15^{\circ})=\unit{9,56}{\metre\per\second}\\
   v_y&=v\cdot \sin(\alpha)=9,9\cdot \sin(-15^{\circ})=\unit{-2,56}{\metre\per\second}
   \end{align*}
   puisque le vecteur vitesse pointe sous l'horizontale (\(\alpha<0\)).

   En choisissant un système d'axes dont l'origine est au sol et au pied du bord du toit, on peut alors écrire les équations de la position de la tuile au cours du temps :
   \begin{align*}
   x(t)&=v_x\cdot t=9,56\cdot t\\
   y(t)&=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2+v_y\cdot t+y_o\\
   &=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2-2,56\cdot t+25
   \end{align*}
   On cherche alors la position horizontale de la tuile au moment où elle arrive au sol, soit \(x(t_{sol})\). Il faut donc calculer \(t_{sol}\). Or, à ce moment là, \(y(t_{sol})=0\). La seconde équation nous donne donc :
   \begin{align*}
   0&=-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t_{sol}^2-2,56\cdot t_{sol}+25\\
   &\Rightarrow\;-4,905\cdot t_{sol}^2-2,56\cdot t_{sol}+25=0
   \end{align*}
   C'est une équation du second degré à une inconnue \(t_{sol}\). Sa solution est :
   \begin{align*}
   t_{sol}&=\frac{2,56\pm \sqrt{2,56^2+4\cdot 4,905\cdot 25}}{2\cdot (-4,905)}\\
   &=\frac{2,56\pm 22,3}{-9,81}=\begin{cases}\unit{-2,53}{\second}\\\unit{2}{\second}\end{cases}
   \end{align*}
   Évidemment, le temps correct est celui qui est positif.

   Ainsi, \(t_{sol}=\unit{2}{\second}\). La distance au pied du toit à laquelle la tuile arrivera est donc :
   \[x(t_{sol})=v_x\cdot t_{sol}=9,56\cdot 2=\unit{19,12}{\metre}\]
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{62}
   Simplement, on a :
   \begin{align*}
   \Delta E_{cin}&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_f^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_i^2\\
   &=\frac{1}{2}\cdot 2000\cdot ((\frac{10}{3,6})^2-(\frac{5}{3,6}^2))=\unit{5787}{\joule}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{63}
   La puissance de chute est :
   \begin{align*}
   P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h=\\
   &=0,4\cdot 30\cdot 10^{-3}\cdot 9,81\cdot 22=\unit{2,59}{\kilo\watt}
   \end{align*}
   La chute à donc une puissance de \unit{2590}{\watt}. Son frigo et sa machine à laver ont une puissance totale de \unit{2,2}{\kilo\watt}. Reste donc \(2590-2200=\unit{390}{\watt}\) pour les ampoules. Or, \(390/40=9,75\). Robinson pourra donc utiliser \(9\) ampoules.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{64}
   Le débit de la prise d'eau est de :
   \[Q=0,05\cdot 30=1,5\,l/s=\unit{1,5\cdot 10^{-3}}{\metre\cubed\per\second}\]
   La puissance de chute est donc de :
   \begin{align*}
   P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h=\\
   &=0,4\cdot 1,5\cdot 9,81\cdot 22=\unit{129,5}{\watt}
   \end{align*}
   Or, faire monter une masse de \unit{60}{\kilo\gram} d'une hauteur de deux étages, soit \unit{4}{\metre}, demande une énergie de :
   \[E=m\cdot g\cdot h=60\cdot 9,81\cdot 4=\unit{2'354,4}{\joule}\]
   Compte tenu des frottements, l'énergie totale nécessaire est de \(2\cdot 2'354,4=\unit{4'708,8}{\joule}\). Soit, pour une montée en \unit{2}{\minute}, une puissance de :
   \[P=\frac{E}{t}=\frac{4'708,8}{2\cdot 60}\simeq\unit{40}{\watt}\]
   Ainsi, si \unit{40}{\watt} sont nécessaires, Robinson n'utilise certainement pas les quelques \unit{130}{\watt} fournis par la chute d'eau. L'ascenseur est donc réalisable.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{65}
   Le nombre de ménages est de \(30'000/2,5=12'000\). Il faut donc fournir une énergie de :
   \[E=12'000\cdot 3'000=\unit{36'000'000}{\kilowatthour}=\unit{36}{\giga\watt\hour}\]
   Sur une année, cette énergie représente une puissance moyenne de :
   \[P=\frac{E}{t}=\frac{36\cdot 10^9}{365\cdot 24}=\unit{4'110}{\watt}\]
   On a alors :
   \begin{align*}
   P&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\;\Rightarrow\\
   Q&=\frac{P}{\eta\cdot g\cdot h}\\
   &=\frac{4'110}{0,9\cdot 9,81\cdot 74}=\unit{6,3}{\metre\cubed\per\second}
   \end{align*}
   Il faut donc choisir une turbine Francis.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{66}
   La puissance du vent est donnée par la relation \ref{puissvent} :
   \[P_{vent}=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3\]
   Soit avec une surface $S=\pi\cdot R^2$, une vitesse en unités SI \(v=\unit{6}{\metre\per\second}\) et les valeurs données :
   \begin{align*}
   P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 22^2\cdot 6^3\\
   &=\unit{212'333}{\watt}=\unit{212,333}{\kilo\watt}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{67}
   La vitesse linéaire en bout de pale vaut donc :
   \[v=\frac{277,2}{3,6}=\unit{77}{\metre\per\second}\]
   Or, un tour représente une distance en bout de pale : \(d=2\cdot \pi\cdot 30=\unit{188,5}{\metre}\). La vitesse de rotation est donc de :
   \[v=\frac{77}{188,5}=\unit{0,41}{tr\per\second}\]

   \medskip

   La puissance du vent vaut, selon l'équation \ref{puissvent} :
   \begin{align*}
   P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 30^2\cdot (\frac{32,4}{3,6})^3 \\
   &=\unit{1'332'565}{\watt}=\unit{1'332,6}{\kilo\watt}
   \end{align*}
   Comme l'éolienne tourne à \(\eta=90\%\) de la limite de Betz, on a, selon l'équation \ref{puissdebetz} :
   \begin{align*}
   \Delta P&=\eta\cdot \frac{16}{27}\cdot P_{vent} \\
   &=0,9\cdot 0,593\cdot 1'332'565= \\
   &=\unit{710'701}{\watt}=\unit{710}{\kilo\watt}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{68}
   On a, selon l'équation \ref{puissdebetz}, que :
   \begin{align*}
   \Delta P&=\eta\cdot \frac{16}{27}\cdot P_{vent}\;\Rightarrow \\
   P_{vent}&=\frac{27\cdot \Delta P}{16\cdot \eta} \\
   &=\frac{27\cdot 40}{16\cdot 0,4}=\unit{168,75}{\watt}
   \end{align*}
   Il s'agit de la puissance du vent nécessaire pour alimenter l'ampoule. On a donc, selon l'équation \ref{puissvent} :
   \begin{align*}
   P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3 \\
   &=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot \pi\cdot R^2\cdot v^3\;\Rightarrow \\
   R&=\sqrt{\frac{2\cdot P_{vent}}{\rho\cdot \pi\cdot v^3}} \\
   &=\sqrt{\frac{2\cdot 168,75}{1,293\cdot \pi\cdot 4^3}} \\
   &=\unit{1,14}{\metre}
   \end{align*}
   Il faut donc utiliser une petite éolienne de \unit{1,14}{\metre} de rayon.
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{69}
   L'équation \ref{thermique}, page \pageref{thermique}, permet de calculer la puissance \(\Delta P\) nécessaire pour chauffer une masse de \unit{100}{\kilo\gram} d'eau :
   \begin{align*}
   \Delta P&=\frac{E}{t}=\frac{m\cdot c_{eau}\cdot \Delta \theta}{t} \\
   &=\frac{100\cdot 4'180\cdot 20}{4\cdot 3600}=\unit{581}{\watt}
   \end{align*}
   L'équation \ref{puisssolthermique} nous donne alors la surface cherchée \(S\) :
   \begin{align*}
   \Delta P&=S\cdot (B\cdot P-K\cdot \Delta \theta)\;\Rightarrow \\
   S&=\frac{\Delta P}{B\cdot P-K\cdot \Delta \theta} \\
   &=\frac{581}{0,8\cdot 120-3\cdot 20}=\unit{16,2}{\metre\squared}
   \end{align*}
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{70}
   On calcule tout d'abord la puissance fournie par les capteurs :
   \begin{align*}
   \Delta P&=S\cdot (B\cdot P-K\cdot \Delta \theta)\;\Rightarrow \\
   &=5\cdot (0,7\cdot 150-2\cdot 15)=\unit{375}{\watt}
   \end{align*}
   Cela signifie que les capteurs produisent une énergie \(E=\unit{375}{\joule\per\second}\). Chaque seconde, il faut donc évacuer cette énergie. La masse d'eau nécessaire pour cela est donnée par l'équation \ref{thermique}, page \pageref{thermique} :
   \begin{align*}
   E&=m\cdot c_{eau}\cdot \Delta \theta\;\Rightarrow \\
   m&=\frac{E}{c_{eau}\cdot \Delta \theta} \\
   &=\frac{375}{4'180\cdot 15}=\unit{6}{\gram}
   \end{align*}
   C'est une masse qui correspond à un volume de :
   \begin{align*}
   \rho&=\frac{m}{V}\;\Rightarrow \\
   V&=\frac{m}{\rho}=\frac{6\cdot 10^{-3}}{1}=\unit{6}{\milli\litre}
   \end{align*}
   En effet, la masse volumique de l'eau est de \unit{1}{\kilo\gram\per\litre}. Le débit est donc très faible et vaut \(D=\unit{6}{\milli\litre\per\second}=\unit{21,6}{\litre\per\hour}\).
   
\end{Solution}
\begin{Solution}{71}
   L'énergie annuelle produite par les \unit{8}{\metre\squared} de cellules est, compte tenu d'un rendement d'environ 15\%, c'est-à-dire \unit{20}{\watt\per\metre\squared} :
   \[E=8\cdot 20\cdot 24\cdot 365=\unit{1'401,6}{\kilowatthour}\]
   La couverture solaire ne suffit donc pas. Il manque \(2'500-1'401,6=\unit{1'098,4}{\kilowatthour}\). Cela représente une puissance de :
   \[P=\frac{E}{t}=\frac{1'098,4}{24\cdot 365}=\unit{125,4}{\kilo\watt}\]
   
\end{Solution}
