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@ -4,7 +4,7 @@
\section{Introduction}
\lettrine{L}{e calcul} ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la Lune basé sur sa chute libre sur la Terre. Il est valable dans la mesure d'un angle $\alpha$ très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
\lettrine{L}{e calcul} ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la Lune basé sur sa chute libre sur la Terre. Il est valable dans la mesure d'un angle \(\alpha\) très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
\section{Accélération}\label{chutedelalune}
@ -40,7 +40,7 @@ BC&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD\\
\end{align*}
Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un temps de \SI{1}{\second} par~:
\[\omega(t=1\,s)=\frac{\alpha}{t}=\frac{\alpha}{1}=\alpha\]
En considérant un angle $\alpha$ petit, on a d'autre part~:
En considérant un angle \(\alpha\) petit, on a d'autre part~:
\[\alpha\cong \tan(\alpha)=\frac{AB}{AD}\]
Ce qui permet d'écrire~:
\[\omega=\frac{AB}{AD}\]
@ -66,10 +66,10 @@ On peut comparer cette valeur à la valeur exacte donnée à la fin du paragraph
\section{Force de gravitation}
On peut aller plus loin en déterminant le rapport $r$ de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre~:
On peut aller plus loin en déterminant le rapport r de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre~:
\[r=\frac{g}{a}=\frac{9,81}{2,72\cdot 10^{-3}}=3607\]
et en remarquant que c'est précisément le rapport des carrés des distances \(d_{Terre-Lune}\) et \(R_{Terre}\)~:
\[r=\frac{d_{Terre-Lune}^2}{R_{Terre}^2}=\frac{(3,844\cdot 10^8)^2}{(6,371\cdot 10^6)^2}=3640\]
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversément proportionnelle au carré de la distance. Comme $F=m\cdot a$, la force de gravitation est aussi inversément proportionnelle au carré des distances~:
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversement proportionnelle au carré de la distance. Comme \(F=m\cdot a\), la force de gravitation est aussi inversement proportionnelle au carré des distances~:
\[F\sim \frac{1}{r^2}\]
On voit apparaître là la loi de la gravitation universelle.

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@ -0,0 +1,75 @@
\myclearpage
\chapter{Chute de la Lune}\label{chutelunecirculaire}
\section{Introduction}
\lettrine{L}{e calcul} ci-dessous constitue une approche simplifiée du calcul de l'accélération de la Lune basé sur sa chute libre sur la Terre. Il est valable dans la mesure d'un angle \(\alpha\) très petit. Dans le cas d'un mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre d'une durée d'une seconde, il est donc justifié. Mais cela n'enlève rien à la généralité du raisonnement puisque celui-ci est valable pour tout temps petit.
\section{Accélération}\label{chutedelalune}
Considérons la figure \ref{schemachutelune} qui décrit successivement le mouvement en ligne droite d'une Lune qui n'est pas soumise à l'attraction de la Terre, puis sa chute libre vers la Terre pendant le même temps de \SI{1}{\second}. Le mouvement de rotation circulaire de la Lune autour de la Terre est ainsi compris comme un mouvement simultanément balistique (MRU sur AB et MRUA sur BC) et central puisque BC a la direction Terre-Lune. Il s'agit donc d'un modèle plus juste, mais plus complexe, que celui présenté au paragraphe \ref{chutelune}.
\begin{figure}[t]
\caption{Chute de la lune\label{schemachutelune}}
\bigskip
\centering
\input{Annexe-ChuteLune/Images/SchemaChuteLune}
\bigskip
\end{figure}
Pythagore et la géométrie évidente du problème présenté dans la figure \ref{schemachutelune} permettent d'écrire~:
\begin{align*}
BC&=\sqrt{AD^2+AB^2}-CD\\
&=\sqrt{AD^2+AB^2}-AD\\
&=\sqrt{AD^2\cdot (1+\frac{AB^2}{AD^2})}-AD\\
&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD
\end{align*}
Il faut maintenant faire appel à une opération mathématique qui consiste à traduire une fonction complexe comme la racine carrée en une somme infinie de termes simples. Il s'agit d'un développement limité. Dans le même temps, pour ne pas devoir traiter une somme infinie, il faut effectuer une approximation qui va permettre de ne garder que quelques termes de cette somme. Cette simplification est justifiée par la petitesse du terme \(AB\) comparé à la distance Terre-Lune \(AD\). Plus précisément, on a alors~:
\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2\cdot 4}\cdot x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot x^3-\dots\]
pour \(|x|\ll 1\). L'approximation consiste à ne retenir que les deux premiers termes~:
\[\sqrt{1+x}\cong1+\frac{1}{2}\cdot x\]
Ainsi, en raison du fait que~:
\[(\frac{AB}{AD})^2\ll 1\]
on peut écrire, à fortiori, la suite du calcul précédent~:
\begin{align*}
BC&=AD\cdot \sqrt{1+(\frac{AB}{AD})^2}-AD\\
&=AD\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2)-AD\\
&=AD+AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2-AD\\
&=AD\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{AB}{AD})^2
\end{align*}
Or, on peut calculer la vitesse angulaire sur un temps de \SI{1}{\second} par~:
\[\omega(t=1\,s)=\frac{\alpha}{t}=\frac{\alpha}{1}=\alpha\]
En considérant un angle $\alpha$ petit, on a d'autre part~:
\[\alpha\cong \tan(\alpha)=\frac{AB}{AD}\]
Ce qui permet d'écrire~:
\[\omega=\frac{AB}{AD}\]
En remplaçant \(AD\) par \(d_{Terre-Lune}\), on peut finalement trouver \(BC\)~:
\begin{equation}\label{equation1}
BC=d_{Terre-Lune}\cdot \frac{1}{2}\cdot \omega^2
\end{equation}
Mais, si on fait l'hypothèse d'une chute libre de la Lune en MRUA pendant une seconde, on a~:
\begin{equation}\label{equation2}
BC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot a
\end{equation}
Si on considère maintenant le mouvement de rotation de la Lune pendant une période \(T\), soit pendant \SI{27,33}{jours}, sur un tour (\(2\cdot \pi\,rad\)) autour de la Terre, on peut écrire~:
\[\omega=\frac{2\cdot \pi}{T}\]
Et en réunissant alors les équations \ref{equation1} et \ref{equation2}, on a~:
\begin{align*}
\frac{1}{2}\cdot a&=\frac{1}{2}\cdot d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2\;\Rightarrow\\
a&=d_{Terre-Lune}\cdot \omega^2=d_{Terre-Lune}\cdot (\frac{2\cdot \pi}{T})^2\\
&=3,844\cdot 10^8\cdot (\frac{2\cdot \pi}{27,33\cdot 24\cdot 3600})^2\\
&=\SI{2,72e-3}{\metre\per\second\squared}=\SI{2,72}{\milli\metre\per\second\squared}
\end{align*}
On peut comparer cette valeur à la valeur exacte donnée à la fin du paragraphe \ref{chutelibredelalune}~:
\[a=\SI{2,7e-3}{\metre\per\second\squared}\]
\section{Force de gravitation}
On peut aller plus loin en déterminant le rapport $r$ de l'accélération de la lune à l'accélération terrestre~:
\[r=\frac{g}{a}=\frac{9,81}{2,72\cdot 10^{-3}}=3607\]
et en remarquant que c'est précisément le rapport des carrés des distances \(d_{Terre-Lune}\) et \(R_{Terre}\)~:
\[r=\frac{d_{Terre-Lune}^2}{R_{Terre}^2}=\frac{(3,844\cdot 10^8)^2}{(6,371\cdot 10^6)^2}=3640\]
La conséquence en est que l'accélération due au poids est inversément proportionnelle au carré de la distance. Comme $F=m\cdot a$, la force de gravitation est aussi inversément proportionnelle au carré des distances~:
\[F\sim \frac{1}{r^2}\]
On voit apparaître là la loi de la gravitation universelle.

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@ -33,7 +33,7 @@ La puissance installé est de \SI{15000}{\kilo\watt} pour chacune des deux turbi
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour\per\year}, on couvre les besoins de~:
\[n=\frac{147,807\cdot 10^6}{2\cdot 2000}=36'951\,\text{ménages}\]
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) 30'000 personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement 10'000 ménages).
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) \num{30000} personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement \num{10000} ménages).
L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute tension de \SI{60000}{\volt} chacune et par deux lignes sous la même tension vers la France.
@ -111,7 +111,7 @@ Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent
Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \SI{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \SI{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'iut 56\%. La puissance maximale est de \SI{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \SI{3,5}{\giga\watt\hour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut~:
\[n=\frac{3,5\cdot 10^6}{2000}=1750\,\text{ménages}\]
Comparé au 74'000 ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
Comparé au \num{74000} ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
\subsubsection{Éoliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}
A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent~: \url=http://www.juvent.ch/=}.
@ -125,12 +125,12 @@ Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent e
%Le solaire thermique est mal connu. Pourtant, il constitue une excellente manière de produire de la chaleur pour les habitations privées.
%\subsection{Solaire électrique}
%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ $15\%$ des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ 15\% des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
\section{Géothermie\index{geothermie@géothermie}}\label{riehen}
Il existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent la chaleur d'une eau à \SI{65}{\degree} provenant d'un forage\index{forage} à \SI{1547}{\metre} (un second forage, distant de \SI{1}{\kilo\metre} du premier, réinjecte de l'eau froide à \SI{1247}{\metre}, avec un débit de \SI{18}{\litre\per\second}). Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de \SI{22,8}{\giga\watt\hour}\endnote{Voir les sites de Géothermie~: \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ \SI{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de~:
\[n=\frac{22'800}{20}=1'140\,\text{ménages}\]
Ce qui représente environ 3'500 personnes.
Ce qui représente environ \num{3500} personnes.
\section{Énergie de combustion des déchets\index{energie@énergie!de combustion!des déchets}}
Nous allons prendre pour exemple de ce type de production énergétique la centrale de chauffage à distance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le Jura suisse. L'objectif est d'avoir un exemple concret de ce qui se fait déjà dans un domaine concernant les énergies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.
@ -141,7 +141,7 @@ Cette énergie se partage en \SI{60000}{\mega\watt\hour\per\year} pour le chauff
\[n=\frac{19'000\cdot 10^6}{2000\cdot 10^3}=9500\,\text{ménages}\]
Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement \SI{20}{\mega\watt\hour\per\year} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de~:
\[n=\frac{60'000}{20}=3000\,\text{ménages}\]
Ce qui représente environ 10'000 personnes.
Ce qui représente environ \num{10000} personnes.
%\section{Énergie du gaz}

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@ -13,27 +13,27 @@ On s'intéresse ici au barrage\index{barrage} du Châtelot, entré en service en
\includegraphics[width=7cm]{Chatelot.eps}
\end{figure}
Le débit de restitution\index{debit@débit!de restitution} étant fixé par la loi française à environ 10\% du débit moyen de la rivière, un turbinage minimum permanent de \SI{2}{\metre\cubed\per\second} est réalisé (pendant les phases de remplissage du barrage). A partir de ces données on peut estimer la puissance moyenne \(\overline{P}\) de chute :
Le débit de restitution\index{debit@débit!de restitution} étant fixé par la loi française à environ 10\% du débit moyen de la rivière, un turbinage minimum permanent de \SI{2}{\metre\cubed\per\second} est réalisé (pendant les phases de remplissage du barrage). A partir de ces données on peut estimer la puissance moyenne \(\overline{P}\) de chute~:
\begin{align*}
\overline{P}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
&=0,8\cdot 25\cdot 9,81\cdot 86=\SI{16873}{\kilo\watt}
\end{align*}
Cela représente une énergie totale par année de :
Cela représente une énergie totale par année de~:
\begin{align}
E&=16'873\cdot 24\cdot 365\notag\\
&=147,807\,\text{millions\,de\,\si{\kilo\watt\hour}}\notag\\
&=\SI{147807}{\mega\watt\hour}\label{prodchatelot}
\end{align}
Évidemment, la puissance installé doit être plus importante pour faire face à un débit plus important. On a :
Évidemment, la puissance installé doit être plus importante pour faire face à un débit plus important. On a~:
\begin{align*}
P_{inst}&=\eta\cdot Q\cdot g\cdot h\\
&=0,8\cdot 44\cdot 9,81\cdot 86\cong\SI{30000}{\kilo\watt}
\end{align*}
La puissance installé est de \SI{15000}{\kilo\watt} pour chacune des deux turbines. La puissance totale installée\index{puissance!installée} est donc de \SI{30000}{\kilo\watt}.
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour\per\year}, on couvre les besoins de :
On peut alors évaluer approximativement le nombre de ménages que peut alimenter le barrage du Châtelot. En effet, sachant que ce barrage fournit la moitié de son énergie à la France et l'autre moitié à la Suisse\footnote{Selon la Convention franco-suisse du 19 novembre 1930.} et que la consommation électrique moyenne par ménage suisse est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour\per\year}, on couvre les besoins de~:
\[n=\frac{147,807\cdot 10^6}{2\cdot 2000}=36'951\,\text{ménages}\]
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) 30'000 personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement 10'000 ménages).
Très grossièrement, on peut dire que le barrage couvre trois fois les besoins des ménages (sans les entreprises, commerces et administrations) de la ville de la Chaux-de-Fonds (\(\sim\) \num{30000} personnes c'est-à-dire, à trois personnes par ménages, approximativement \num{10000} ménages).
L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute tension de \SI{60000}{\volt} chacune et par deux lignes sous la même tension vers la France.
@ -41,25 +41,25 @@ L'énergie électrique est distribuée vers la Suisse par quatre lignes haute te
\subsection{Règle de Betz\index{regle de Betz@règle de Betz}}
Démonstration de la règle de Betz :\label{reglebetz}
Démonstration de la règle de Betz~:\label{reglebetz}
On imagine une éolienne\index{eolienne@éolienne} brassant à l'aide de ses pales\index{pale} une surface \(S\). Si la vitesse du vent en amont est \(v_{amont}\), en un temps donné \(t\) toutes les particules se trouvant jusqu'à une distance \(d=v_{amont}\cdot t\) d'elle la traverseront. Le volume d'air qu'elle brassera sera donc de :
On imagine une éolienne\index{eolienne@éolienne} brassant à l'aide de ses pales\index{pale} une surface \(S\). Si la vitesse du vent en amont est \(v_{amont}\), en un temps donné \(t\) toutes les particules se trouvant jusqu'à une distance \(d=v_{amont}\cdot t\) d'elle la traverseront. Le volume d'air qu'elle brassera sera donc de~:
\[V=S\cdot d=S\cdot v_{amont}\cdot t\]
En considérant la masse volumique de l'air \(\rho\), on calcule la masse d'air que cela représente par :
En considérant la masse volumique de l'air \(\rho\), on calcule la masse d'air que cela représente par~:
\[\rho=\frac{m}{V}\;\Rightarrow\;m=\rho\cdot V=\rho\cdot S\cdot v_{amont}\cdot t\]
On peut alors calculer la puissance correspondant au déplacement de cette masse d'air :
On peut alors calculer la puissance correspondant au déplacement de cette masse d'air~:
\begin{align*}
P&=\frac{E_{cin}}{t}=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2}{t}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{t}\cdot v_{amont}^2\\
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{amont}^3
\end{align*}
Si maintenant on comprend qu'une partie de cette énergie est prise au vent par l'éolienne, on se rend compte que cela implique une diminution de sa vitesse en aval. Soit \(v_{aval}\) cette vitesse. On peut considérer que la même masse d'air traverse l'éolienne, mais à une vitesse moyenne plus faible. On peut donc admettre (cela se justifie) que cette vitesse est la moyenne des vitesses en amont et en aval :
Si maintenant on comprend qu'une partie de cette énergie est prise au vent par l'éolienne, on se rend compte que cela implique une diminution de sa vitesse en aval. Soit \(v_{aval}\) cette vitesse. On peut considérer que la même masse d'air traverse l'éolienne, mais à une vitesse moyenne plus faible. On peut donc admettre (cela se justifie) que cette vitesse est la moyenne des vitesses en amont et en aval~:
\[v_{moy}=\frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\]
Ainsi, le volume traversant l'éolienne est :
Ainsi, le volume traversant l'éolienne est~:
\[V=S\cdot v_{moy}\cdot t=S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
Et la masse est alors :
Et la masse est alors~:
\[m=\rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot t\]
La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçue par l'éolienne est ainsi :
La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçue par l'éolienne est ainsi~:
\begin{align*}
\Delta P&=\frac{\Delta E_{cin}}{t}=\frac{E_{cin}^{amont}-E_{cin}^{aval}}{t}\\
&=\frac{\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{amont}^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{aval}^2}{t}\\
@ -67,29 +67,29 @@ La diminution de la puissance du flux d'air qui correspond à la puissance reçu
&=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{v_{amont}+v_{aval}}{2}\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\\
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{amont}^2-v_{aval}^2)\cdot (v_{amont}+v_{aval})
\end{align*}
Si on cherche quelle est la vitesse en aval \(v_{av}\) qui donne un maximum de puissance, il faut dériver la fonction \(\Delta P\) par rapport à \(v_{av}\) et l'annuler. Pour écourter la notation, on pose encore : \(v_{amont}=v_{am}\).
Si on cherche quelle est la vitesse en aval \(v_{av}\) qui donne un maximum de puissance, il faut dériver la fonction \(\Delta P\) par rapport à \(v_{av}\) et l'annuler. Pour écourter la notation, on pose encore~: \(v_{amont}=v_{am}\).
\begin{gather*}
\frac{d\Delta P}{dv_{av}}=\frac{d}{dv_{av}}(\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))\\
=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot \frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))=0
\end{gather*}
L'équation à résoudre alors est :
L'équation à résoudre alors est~:
\begin{align*}
\frac{d}{dv_{av}} ((v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av}))&=0\;\Rightarrow\\
\frac{d}{dv_{av}} (v_{am}^3+v_{am}^2\cdot v_{av}-v_{av}^2\cdot v_{am}-v_{av}^3)&=0\;\Rightarrow\\
v_{am}^2-2\cdot v_{am}\cdot v_{av}-3\cdot v_{av}^2&=0
\end{align*}
Il s'agit d'une équation du second degré en \(v_{av}\) dont la solution est :
Il s'agit d'une équation du second degré en \(v_{av}\) dont la solution est~:
\begin{align*}
v_{av}&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{(2\cdot v_{am})^2-4\cdot (-3)\cdot v_{am}^2}}{2\cdot (-3)}\\
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm \sqrt{16\cdot v_{am}^2}}{-6}\\
&=\frac{2\cdot v_{am}\pm 4\cdot v_{am}}{-6}\\
&=\frac{v_{am}\pm 2\cdot v_{am}}{-3}=\begin{cases}v_{am}/3\\-v_{am}\end{cases}
\end{align*}
Évidemment \(v_{aval}>0\) et donc seule la solution positive à un sens. On a donc finalement :
Évidemment \(v_{aval}>0\) et donc seule la solution positive à un sens. On a donc finalement~:
\begin{equation}
v_{aval}=\frac{v_{amont}}{3}
\end{equation}
Et la conséquence pour la variation de puissance est que :
Et la conséquence pour la variation de puissance est que~:
\begin{align*}
\Delta P&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-v_{av}^2)\cdot (v_{am}+v_{av})\\
&=\frac{1}{4}\cdot \rho\cdot S\cdot (v_{am}^2-(v_{am}/3)^2)\cdot (v_{am}+v_{am}/3)\\
@ -98,7 +98,7 @@ Et la conséquence pour la variation de puissance est que :
&=\frac{16}{27}\cdot \frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v_{am}^3\\
&=\frac{16}{27}\cdot P=0,57\cdot P
\end{align*}
Ce qui signifie que la puissance maximale que l'éolienne peut développer représente les 16/27 de la puissance du vent, soit 57\% de celle-ci :
Ce qui signifie que la puissance maximale que l'éolienne peut développer représente les 16/27 de la puissance du vent, soit 57\% de celle-ci~:
\begin{equation}
P_{\acute eolienne}=\frac{16}{27}\cdot P_{vent}
\end{equation}
@ -107,16 +107,16 @@ Cela constitue la limite de Betz\index{limite de Betz}.
\subsection{Éoliennes\index{eolienne@éolienne}}
\subsubsection{Éolienne de Collonges-Dorénaz}
Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent sur internet\endnote{Voir le site de RhônEole : \url=http://www.rhoneole.ch/=}. Il s'agit simplement d'illustrer la théorie à travers l'exemple concret de la plus grande éolienne de Suisse pour permettre une comparaison avec un barrage comme celui du Châtelot (voir paragraphe \ref{barrageduchatelot}).
Il ne s'agit pas ici de se substituer aux multiples informations qui se trouvent sur internet\endnote{Voir le site de RhônEole~: \url=http://www.rhoneole.ch/=}. Il s'agit simplement d'illustrer la théorie à travers l'exemple concret de la plus grande éolienne de Suisse pour permettre une comparaison avec un barrage comme celui du Châtelot (voir paragraphe \ref{barrageduchatelot}).
Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \SI{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \SI{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'iut 56\%. La puissance maximale est de \SI{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \SI{3,5}{\giga\watt\hour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut :
Le mât\index{mat@mât} fait pratiquement \SI{100}{\metre} de haut et la longueur des pales\index{pale} est de \SI{33}{\metre}. Le rendement est très proche de la limite de Betz\index{limite de Betz} puisqu'iut 56\%. La puissance maximale est de \SI{2000}{\kilo\watt}, mais la production annuelle est de \SI{3,5}{\giga\watt\hour}. Si la consommation électrique annuelle moyenne d'un ménage est d'environ \SI{2000}{\kilo\watt\hour}, le nombre \(n\) de ménages qui peuvent être alimentés par cette éolienne vaut~:
\[n=\frac{3,5\cdot 10^6}{2000}=1750\,\text{ménages}\]
Comparé au 74'000 ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
Comparé au \num{74000} ménages alimentés par le barrage\index{barrage} du Châtelot (parties suisse et française ensemble), cela peut paraître bien peu. Encore faut-il comparer le coût du barrage aux quatre millions d'investissement pour cette éolienne. Et aussi comparer les deux impacts écologiques, les possibilités et le coût de démontage, les risques d'accidents~\dots\ Une juste comparaison nécessite de prendre en compte un nombre de paramètres assez grand pour qu'il ne soit pas possible ici de poursuivre plus avant la comparaison.
\subsubsection{Éoliennes du Mont Soleil (Jura suisse)}
A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent : \url=http://www.juvent.ch/=}.
A nouveau l'information se trouve sur internet\endnote{Voir le site de Juvent~: \url=http://www.juvent.ch/=}.
Il faut savoir que cette centrale est constituée de huit éoliennes\index{eolienne@éolienne} d'une puissance allant de 600 à \SI{1750}{\kilo\watt}. Elles ont une hauteur de mât\index{mat@mât} de 45 à \SI{67}{\metre} et des pales\index{pale} de 22 à \SI{33}{\metre}. L'ensemble a produit en 2006 une énergie de \SI{9,176}{\mege\kilo\watt\hour}. Cela représente 4588 ménages (à \SI{2000}{\kilo\watt\hour\per\year}). Une fois encore c'est bien peu comparé au barrage\index{barrage} du Châtelot. Mais les remarques faites précédemment restent valables.
Il faut savoir que cette centrale est constituée de huit éoliennes\index{eolienne@éolienne} d'une puissance allant de 600 à \SI{1750}{\kilo\watt}. Elles ont une hauteur de mât\index{mat@mât} de 45 à \SI{67}{\metre} et des pales\index{pale} de 22 à \SI{33}{\metre}. L'ensemble a produit en 2006 une énergie de \SI{9,176}{\giga\watt\hour}. Cela représente 4588 ménages (à \SI{2000}{\kilo\watt\hour\per\year}). Une fois encore c'est bien peu comparé au barrage\index{barrage} du Châtelot. Mais les remarques faites précédemment restent valables.
Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent ensemble environ 6300 ménages, soit très approximativement la moitié d'une ville comme La Chaux-de-Fonds en Suisse.
@ -125,23 +125,23 @@ Au total, la centrale de Collonges-Dorénaz et celle du Mont Soleil alimentent e
%Le solaire thermique est mal connu. Pourtant, il constitue une excellente manière de produire de la chaleur pour les habitations privées.
%\subsection{Solaire électrique}
%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ $15\%$ des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
%Si on évoque souvent le faible rendement d'environ 15\% des cellules solaires électriques, on ignore aussi trop souvent les paramètres nécessaires pour envisager son utilisation pour des habitations privées.
\section{Géothermie\index{geothermie@géothermie}}\label{riehen}
Il existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent la chaleur d'une eau à \SI{65}{\degree} provenant d'un forage\index{forage} à \SI{1547}{\metre} (un second forage, distant de \SI{1}{\kilo\metre} du premier, réinjecte de l'eau froide à \SI{1247}{\metre}, avec un débit de \SI{18}{\litre\per\second}). Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de \SI{22,8}{\giga\watt\hour}\endnote{Voir les sites de Géothermie : \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ \SI{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
Il existe en Suisse une centrale géothermique qui permet un chauffage urbain, à l'instar de Cridor à La Chaux-de-Fonds. Il s'agit de la centrale de Riehen près de Bâle. Elle est constituée de deux pompes à chaleur qui exploitent la chaleur d'une eau à \SI{65}{\degree} provenant d'un forage\index{forage} à \SI{1547}{\metre} (un second forage, distant de \SI{1}{\kilo\metre} du premier, réinjecte de l'eau froide à \SI{1247}{\metre}, avec un débit de \SI{18}{\litre\per\second}). Elle permet d'approvisionner 180 immeubles à Riehen et de nouvelles constructions en Allemagne. L'énergie annuellement produite est de \SI{22,8}{\giga\watt\hour}\endnote{Voir les sites de Géothermie~: \url=http://www.geothermal-energy.ch/= et \url=http://www.ader.ch/energieaufutur/energies/geothermie/index2.php=}. À raison d'environ \SI{20}{\mega\watt\hour\per an} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de~:
\[n=\frac{22'800}{20}=1'140\,\text{ménages}\]
Ce qui représente environ 3'500 personnes.
Ce qui représente environ \num{3500} personnes.
\section{Énergie de combustion des déchets\index{energie@énergie!de combustion!des déchets}}
Nous allons prendre pour exemple de ce type de production énergétique la centrale de chauffage à distance de Cridor à La Chaux-de-Fonds dans le Jura suisse. L'objectif est d'avoir un exemple concret de ce qui se fait déjà dans un domaine concernant les énergies renouvelables qui passe souvent trop inaperçu.
La production\endnote{voir dépliant ``Nos déchets = notre énergie'' sur le site : \url=http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php=} totale d'énergie par cette usine d'incinération est de \SI{85000}{\mega\watt\hour\per\year}. Par comparaison, rappelons que la production du barrage\index{barrage} du Châtelot est de \SI{150000}{\mega\watt\hour\per an} (voir équation \ref{prodchatelot}), soit environ le double.
La production\endnote{voir dépliant ``Nos déchets = notre énergie'' sur le site~: \url=http://www.cridor.ch/content/doc/brochures.php=} totale d'énergie par cette usine d'incinération est de \SI{85000}{\mega\watt\hour\per\year}. Par comparaison, rappelons que la production du barrage\index{barrage} du Châtelot est de \SI{150000}{\mega\watt\hour\per an} (voir équation \ref{prodchatelot}), soit environ le double.
Cette énergie se partage en \SI{60000}{\mega\watt\hour\per\year} pour le chauffage à distance (chauffage des habitations) et \SI{25000}{\mega\watt\hour\per\year} produit par une turbine sous forme électrique, dont \SI{19000}{\mega\watt\hour\per\year} sont vendus. Cela représente \SI{55000}{\tonne\per\year} de déchets incinérés. Le nombre de ménages fournis en énergie électrique est donc de :
Cette énergie se partage en \SI{60000}{\mega\watt\hour\per\year} pour le chauffage à distance (chauffage des habitations) et \SI{25000}{\mega\watt\hour\per\year} produit par une turbine sous forme électrique, dont \SI{19000}{\mega\watt\hour\per\year} sont vendus. Cela représente \SI{55000}{\tonne\per\year} de déchets incinérés. Le nombre de ménages fournis en énergie électrique est donc de~:
\[n=\frac{19'000\cdot 10^6}{2000\cdot 10^3}=9500\,\text{ménages}\]
Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement \SI{20}{\mega\watt\hour\per\year} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de :
Pour l'énergie thermique, en comptant très approximativement \SI{20}{\mega\watt\hour\per\year} pour une famille de trois personnes, on a une couverture en terme de chauffage à distance (chauffage et eau chaude sanitaire) de~:
\[n=\frac{60'000}{20}=3000\,\text{ménages}\]
Ce qui représente environ 10'000 personnes.
Ce qui représente environ \num{10000} personnes.
%\section{Énergie du gaz}

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@ -57,7 +57,7 @@
\[\SI{1,496e11}{\metre}=\SI{1,496e8}{\kilo\metre}\]
Par ailleurs, par définition de l'unité astronomique (UA), on a~:
\[\SI{1,496e11}{\metre}=\SI{1}{UA}\]
Finalement, avec $1\,AL=9,46\cdot 10^{15}\,m$, on a~:
Finalement, avec \(\SI{1}{\lightyear}=\SI{9,46e15}{\metre}\), on a~:
\begin{align*}
\SI{1,496e11}{\metre}&=\frac{1,496\cdot 10^{11}}{9,46\cdot 10^{15}}\\
&=\SI{1,58e-5}{AL}\cong\SI{16}{\micro AL}
@ -78,7 +78,7 @@
\end{ex}
\begin{ex}
Sous quel angle (en \si{\degree}, en \si{\arcminute} et en \si{\arcsecond}) voit-on le diamètre de la Lune depuis la Terre ($R_{Lune}=0,2725\cdot R_{Terre}$ ; $d_{Terre-Lune}=\SI{3,84e8}{\metre}$). Réponses~: \SI{0,5157}{\degree}, \SI{31}{\arcminute} et \SI{1860}{\arcsecond}.
Sous quel angle (en \si{\degree}, en \si{\arcminute} et en \si{\arcsecond}) voit-on le diamètre de la Lune depuis la Terre (\(R_{Lune}=0,2725\cdot R_{Terre}\) ; \(d_{Terre-Lune}=\SI{3,84e8}{\metre}\)). Réponses~: \SI{0,5157}{\degree}, \SI{31}{\arcminute} et \SI{1860}{\arcsecond}.
\begin{sol}
La distance Terre-Lune est beaucoup plus grande que le diamètre de la Lune. L'angle est donc petit et on peut écrire la relation d'arc donnée par l'équation \ref{relationdarc}~:
\begin{align*}
@ -105,9 +105,9 @@
\end{ex}
\begin{ex}
La première mesure du rayon de la Terre à été faite à Alexandrie\index{Alexandrie} en 235 avant notre ère par Eratosthène\index{Eratosthene@Ératosthène}\footnote{Voir \emph{Mécanique}, Éric Lindemann, DeBoeck Université, 1999, p. 15,16.}. La méthode qu'il a utilisée est très simple. Il a tout d'abord observé qu'un certain jour de l'année le Soleil éclairait le fond d'un puits à Syène. Il en a déduit qu'à ce moment-là les rayons du Soleil alors parfaitement au zénith\index{zenith@zénith}, pointaient directement vers le centre de la Terre (voir figure \ref{Erathostene}). Par ailleurs, il a mesuré au même moment l'angle fait par ces mêmes rayons au sommet d'un bâton planté 5000 stades plus au nord, à Alexandrie. Comme le montre le schéma \ref{Erathostene}, cet angle est l'angle au centre de la Terre que fait l'arc de cercle déterminé par la partie de méridien entre Syène et Alexandrie. Connaissant cet angle (\(\alpha = \SI{7,5}{\degree}\)) et la longueur de l'arc de cercle (\(L = \SI{5000}{stades}\)), il en déduisit le rayon de la Terre\index{rayon de la Terre} avec une précision extraordinaire pour l'époque~: 4 \% d'écart avec la valeur connue aujourd'hui.
La première mesure du rayon de la Terre à été faite à Alexandrie\index{Alexandrie} en 235 avant notre ère par Ératosthène\index{Eratosthene@Ératosthène}\footnote{Voir \emph{Mécanique}, Éric Lindemann, DeBoeck Université, 1999, p. 15,16.}. La méthode qu'il a utilisée est très simple. Il a tout d'abord observé qu'un certain jour de l'année le Soleil éclairait le fond d'un puits à Syène. Il en a déduit qu'à ce moment-là les rayons du Soleil alors parfaitement au zénith\index{zenith@zénith}, pointaient directement vers le centre de la Terre (voir figure \ref{Erathostene}). Par ailleurs, il a mesuré au même moment l'angle fait par ces mêmes rayons au sommet d'un bâton planté 5000 stades plus au nord, à Alexandrie. Comme le montre le schéma \ref{Erathostene}, cet angle est l'angle au centre de la Terre que fait l'arc de cercle déterminé par la partie de méridien entre Syène et Alexandrie. Connaissant cet angle (\(\alpha = \SI{7,5}{\degree}\)) et la longueur de l'arc de cercle (\(L = \SI{5000}{stades}\)), il en déduisit le rayon de la Terre\index{rayon de la Terre} avec une précision extraordinaire pour l'époque~: 4 \% d'écart avec la valeur connue aujourd'hui.
Sachant qu'un stade valait environ \SI{160}{\metre} d'aujourd'hui, calculez le rayon R de la Terre obtenu par Eratosthène. Réponse~: \SI{6111,55}{\kilo\metre}.
Sachant qu'un stade valait environ \SI{160}{\metre} d'aujourd'hui, calculez le rayon R de la Terre obtenu par Ératosthène. Réponse~: \SI{6111,55}{\kilo\metre}.
\begin{figure}[ht]
@ -126,7 +126,7 @@
L&=5000\cdot 160=\SI{8e5}{\metre}\\
\alpha&=7,5\cdot \frac{\pi}{180}=\SI{0,13}{\radian}
\end{align*}
Ainsi, le rayon de la Terre d'Eratosthène valait~:
Ainsi, le rayon de la Terre d'Ératosthène valait~:
\[R=\frac{8\cdot 10^5}{0,13}=\SI{6111550}{\metre}=\SI{6111,55}{\kilo\metre}\]
Sachant que la valeur actuelle du rayon moyen de la Terre vaut~:
\[R_{Terre}=\SI{6371,03}{\kilo\metre}\]
@ -159,7 +159,6 @@
\begin{ex}
La position en mètres d'un objet est donné par l'équation suivante~:
\[x=\begin{cases}
2\cdot t&si\,0\leq t\leq4s\\
8&si\,4\leq t\leq6s\\
@ -517,7 +516,7 @@ Réponses~: \SI{1,94}{\metre\per\second\squared}, \SI{-10,56}{\metre\per\second\
En ce qui concerne la vitesse, dans le troisième cas on peut simplement déterminer la vitesse par~:
\[v=a\cdot t=9,81\cdot 1,53-1=\SI{14}{\metre\per\second}=\SI{50,5}{\kilo\metre\per\hour}\]
Ce qui donne la même valeur que précedemment en raison de la faible vitesse verticale initiale et de l'arrondi. Celle-ci doit cependant être comptée et doit l'être négativement (\(v_o=\SI{-1}{\metre\per\second}\)), car elle est vers le haut alors que l'axe est vers le bas.
Ce qui donne la même valeur que précédemment en raison de la faible vitesse verticale initiale et de l'arrondi. Celle-ci doit cependant être comptée et doit l'être négativement (\(v_o=\SI{-1}{\metre\per\second}\)), car elle est vers le haut alors que l'axe est vers le bas.
\end{sol}
\end{ex}
@ -1105,7 +1104,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
car l'accélération perpendiculairement au plan est nulle, comme déjà mentionné.
\smallskip
Si on considére l'angle \(\alpha\), en s'imaginant le plan incliné horizontal, on comprends qu'il se reporte entre le vecteur poids \(\overleftarrow{P}\) et sa compostante selon y \(P_y\).
Si on considère l'angle \(\alpha\), en s'imaginant le plan incliné horizontal, on comprends qu'il se reporte entre le vecteur poids \(\overleftarrow{P}\) et sa composante selon y \(P_y\).
Avec le triangle rectangle formé par le poids et ses composantes et un peu de trigonométrie, on peut en déduire~:
\begin{align*}
@ -1242,7 +1241,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
\[T=m\cdot g=80\cdot 9,81=\SI{784,8}{\newton}\]
\item À vitesse constante, la force permettant au ballon de s'élever est donc égale au poids de ce qu'il soulève. La force d'ascension vaut donc \(F=\SI{1765,8}{\newton}\).
Si on lâche \SI{20}{\kilo\gram} de lest, la masse de la nacelle devient égale à \SI{80}{\kilo\gram}. La seconde loi de Newton permet alors de calculer l'acclération~:
Si on lâche \SI{20}{\kilo\gram} de lest, la masse de la nacelle devient égale à \SI{80}{\kilo\gram}. La seconde loi de Newton permet alors de calculer laccélération~:
\begin{align*}
\sum F^{ext}&=F-(M+m)\cdot g=(M+m)\cdot a\;\Rightarrow\\
a&=\frac{F}{M+m}-g=\frac{1765,8}{80+80}-9,81\\
@ -1308,7 +1307,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
Ainsi, quand on tire la corde d'une longueur L, la poulie monte d'une longueur L/2.
\bigskip
Pour revenir au système des deux poulies du problème, la remarque précédente se traduit par le fait que quand la masse m descent d'une longueur L, la masse M monte d'une longueur L/2.
Pour revenir au système des deux poulies du problème, la remarque précédente se traduit par le fait que quand la masse m descend d'une longueur L, la masse M monte d'une longueur L/2.
L'accélération étant une distance divisée par un temps au carré, on comprends facilement que cela signifie que l'accélération de la masse m vaut simplement le double de celle de la masse M, soit~:
\[a_m=2\cdot a_M\]
@ -1362,7 +1361,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
\end{exos}
\begin{exos}
Reprenez la situation du problème \ref{planinclinesimple}, présenté à la figure \ref{incline} pour calculer algébriquement l'expression des accélérations horzontales et verticales du bloc ainsi que la réaction du plan incliné. Réponses~: \(g\cos(\alpha)\sin(\alpha)\), \(-g\cdot \sin(\alpha)\) et \(R=m\cdot g\cos(\alpha)\).
Reprenez la situation du problème \ref{planinclinesimple}, présenté à la figure \ref{incline} pour calculer algébriquement l'expression des accélérations horizontales et verticales du bloc ainsi que la réaction du plan incliné. Réponses~: \(g\cos(\alpha)\sin(\alpha)\), \(-g\cdot \sin(\alpha)\) et \(R=m\cdot g\cos(\alpha)\).
\begin{solos}
Dans ce problème, on n'utilise pas le système d'axes de la figure \ref{incline} qui est parallèle et normal au plan incliné, mais un système d'axes horizontal et vertical. Les équations du mouvement selon ce système s'écrivent avec des notations évidentes~:
\begin{align*}
@ -1419,7 +1418,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
M&=(L-y)\cdot \rho=(L-y)\cdot\frac{M}{L}\\
m&=y\cdot \rho=y\cdot\frac{M}{L}
\end{align*}
Ainsi, on peut simplement écrire l'équation de l'acclération~:
Ainsi, on peut simplement écrire l'équation de laccélération~:
\begin{align*}
a&=\frac{m}{M+m}\cdot g=\frac{y\cdot M/L}{(L-y)\cdot M/L+y\cdot M/L}\cdot g\\
&=\frac{y}{(L-y)+y}\cdot g=\frac{y}{L}\cdot g
@ -2075,7 +2074,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
\end{ex}
\begin{ex}
On désire fournir \SI{3000}{\kilo\watt\hour} d'énergie pendant une année à chacun des ménages d'une ville de 30'000 habitants. Si le nombre moyen de personnes par ménage est de deux et demi, quel doit être le débit de la conduite d'eau d'une hauteur de \SI{74}{\metre} nécessaire pour cela. Le rendement vaut \(\eta=90\%\). Quel type de turbine faut-il choisir ? Réponse~: Francis.
On désire fournir \SI{3000}{\kilo\watt\hour} d'énergie pendant une année à chacun des ménages d'une ville de \num{30000} habitants. Si le nombre moyen de personnes par ménage est de deux et demi, quel doit être le débit de la conduite d'eau d'une hauteur de \SI{74}{\metre} nécessaire pour cela. Le rendement vaut \(\eta=90\%\). Quel type de turbine faut-il choisir ? Réponse~: Francis.
\begin{sol}
Le nombre de ménages est de \(30'000/2,5=12'000\). Il faut donc fournir une énergie de~:
\[E=12'000\cdot 3'000=\SI{36000000}{\kilo\watt\hour}=\SI{36}{\giga\watt\hour}\]
@ -2098,7 +2097,7 @@ On lâche la première à vitesse initiale nulle. Calculez la vitesse de la seco
\begin{sol}
La puissance du vent est donnée par la relation \ref{puissvent}~:
\[P_{vent}=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3\]
Soit avec une surface $S=\pi\cdot R^2$, une vitesse en unités SI \(v=\SI{6}{\metre\per\second}\) et les valeurs données~:
Soit avec une surface \(S=\pi\cdot R^2\), une vitesse en unités SI \(v=\SI{6}{\metre\per\second}\) et les valeurs données~:
\begin{align*}
P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 22^2\cdot 6^3\\
&=\SI{212333}{\watt}=\SI{212,333}{\kilo\watt}

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@ -34,7 +34,7 @@ Si on utilise la notation scientifique particulière présentée ci-dessus, l'or
Relevez enfin qu'il ne faut pas confondre notation scientifique et notation d'ingénieur \index{notation@notation!d'ingénieur}. Cette dernière est une notation scientifique dont les exposants sont des multiples de trois. La raison en est que les préfixes des unités changent généralement leurs ordres de grandeur par trois~: \SI{1e-3}{\milli\metre}, \SI{1e-6}{\micro\metre} ou \SI{1e-9}{\nano\metre}, etc.
\section{Écart et erreur}
On peut facilement déterminer l'écart\index{ecart@écart} entre deux valeurs $a$ et $b$ par leur différence $a-b$. On peut, par exemple, mesurer la longueur $L$ des baguettes de pain vendues par un boulanger et déterminer les différents écarts entre elles. Par exemple, on pourrait avoir une série de mesures telles que celle données dans le tableau \ref{baguettepain}.
On peut facilement déterminer l'écart\index{ecart@écart} entre deux valeurs a et b par leur différence a-b. On peut, par exemple, mesurer la longueur L des baguettes de pain vendues par un boulanger et déterminer les différents écarts entre elles. Par exemple, on pourrait avoir une série de mesures telles que celle données dans le tableau \ref{baguettepain}.
\begin{table}[ht]
\centering
@ -70,7 +70,7 @@ On voit immédiatement que le calcul des écarts pose un problème~: il faut dé
Par contre, déterminer quel est l'écart à la moyenne des baguettes est plus instructif. La moyenne vaut \SI{62}{\centi\metre} et la seconde colonne du tableau \ref{baguettepain} présente les écarts. On voit alors facilement que l'écart ne dépasse pas \SI{5}{\centi\metre}. Ce qui peut avoir de l'importance si on a faim.
Par ailleurs, si on sait que le boulanger avait décidé de faire des baguettes de \SI{60}{\centi\metre}, on peut se poser une autre question~: quel est l'écart à cette valeur ? La quatrième colonne y apporte une réponse. Comme on utilise ce qu'on peut appeler une référence, on parlera d'\emph{erreur}\index{erreur@erreur}, plutôt que d'écart. Ce qui est alors intéressant, c'est qu'on voit que le boulanger à tendance à faire des baguettes trop grandes. Cela peut avoir une importance pour lui s'il a prévu un budget précis de matières premières pour des baguettes de \SI{60}{\centi\metre}. Cela permet aussi de s'interroger sur la règle utilisée par le boulanger pour estimer la longueur des baguettes. Comme ses baguettes sont trop longues, on peut penser que sa règle est aussi trop longue, ce qui peut avoir pour conséquence une mauvaise estimation de la longueur de la baguette par le boulanger. On parlera alors d'une \emph{erreur systèmatique}\index{erreur@erreur!systématique} induite par un matériel mal calibré. Ce type d'erreur se détecte par la présence d'une importante quantité de signes\index{signe@signe!des écarts} systématiquement positifs ou systématiquement négatifs dans les écarts. En effet, si la règle avait une longueur correcte, l'erreur faite par le boulanger devrait être aléatoirement répartie autour de la valeur de \SI{60}{\centi\metre} et les signes positifs et négatifs des écarts devraient être en nombres à peu près identiques.
Par ailleurs, si on sait que le boulanger avait décidé de faire des baguettes de \SI{60}{\centi\metre}, on peut se poser une autre question~: quel est l'écart à cette valeur ? La quatrième colonne y apporte une réponse. Comme on utilise ce qu'on peut appeler une référence, on parlera d'\emph{erreur}\index{erreur@erreur}, plutôt que d'écart. Ce qui est alors intéressant, c'est qu'on voit que le boulanger à tendance à faire des baguettes trop grandes. Cela peut avoir une importance pour lui s'il a prévu un budget précis de matières premières pour des baguettes de \SI{60}{\centi\metre}. Cela permet aussi de s'interroger sur la règle utilisée par le boulanger pour estimer la longueur des baguettes. Comme ses baguettes sont trop longues, on peut penser que sa règle est aussi trop longue, ce qui peut avoir pour conséquence une mauvaise estimation de la longueur de la baguette par le boulanger. On parlera alors d'une \emph{erreur systématique}\index{erreur@erreur!systématique} induite par un matériel mal calibré. Ce type d'erreur se détecte par la présence d'une importante quantité de signes\index{signe@signe!des écarts} systématiquement positifs ou systématiquement négatifs dans les écarts. En effet, si la règle avait une longueur correcte, l'erreur faite par le boulanger devrait être aléatoirement répartie autour de la valeur de \SI{60}{\centi\metre} et les signes positifs et négatifs des écarts devraient être en nombres à peu près identiques.
Évidemment, la moyenne des écarts à la moyenne est nulle, cela par définition, alors que la moyenne des erreurs ne l'est pas en présence d'une erreur systématique\index{erreur@erreur!systématique}.
@ -112,7 +112,7 @@ e=\frac{val-val_{ref}}{val_{ref}}\cdot 100
Ces indications sont importantes si on désire comparer la production de deux boulangers dont la longueur de la baguette de référence n'est pas la même. Considérons le tableau \ref{baguettepain2} qui décrit la production d'un boulanger dont la baguette de référence est de \SI{40}{\centi\metre}. On voit que la moyenne des écarts est nulle comme pour le boulanger précédent. Ce qui est normal en raison du choix de la valeur moyenne comme référence. On voit aussi que la moyenne des erreurs est la même et qu'il y a une grande systématique dans celle-ci, puisqu'elles sont pratiquement toutes positives. Cela signifie probablement, comme précédemment, que l'appareil de mesure à un biais, que la règle utilisée est trop longue. Par contre, on voit grâce à la dernière colonne donnant l'erreur relative que celle-ci est plus importante pour le second boulanger. Cela s'explique facilement. En effet, l'erreur moyenne est la même, mais la baguette de référence du second boulanger est plus courte (\SI{40}{\centi\metre}). Ainsi, malgré la différence de longueur de la baguette de référence, l'erreur relative permet de comparer les erreurs des deux boulangers.
\bigskip
Imaginons maintenant qu'on s'intéresse à la production annuelle de baguettes d'un boulanger, soit des centaines de baguettes. Il devient difficile de les représenter dans un tableau, surtout si on fait des mesures d'une précision supérieures au centimètre. On peut alors réaliser des classes de mesures (on parle d'enclassement\index{enclassement@enclassement}) en mettant par exemple, toutes les baguettes entre \SI{42,5}{\centi\metre} et \SI{43,4}{\centi\metre} dans la classe des baguettes de \SI{43}{\centi\metre}. En procédant de la même manière pour les autres valeurs, on peut alors obtenir des mesures comme celles présentées dans le tableau \ref{enclassementbaguettes} où L est la longueur des baguettes et n le nombre de baguettes dans la classe associée à cette longueur, soit la fréquence d'apparition de la longueur.
Imaginons maintenant qu'on s'intéresse à la production annuelle de baguettes d'un boulanger, soit des centaines de baguettes. Il devient difficile de les représenter dans un tableau, surtout si on fait des mesures d'une précision supérieures au centimètre. On peut alors réaliser des classes de mesures (on parle denclassement\index{enclassement@enclassement}) en mettant par exemple, toutes les baguettes entre \SI{42,5}{\centi\metre} et \SI{43,4}{\centi\metre} dans la classe des baguettes de \SI{43}{\centi\metre}. En procédant de la même manière pour les autres valeurs, on peut alors obtenir des mesures comme celles présentées dans le tableau \ref{enclassementbaguettes} où L est la longueur des baguettes et n le nombre de baguettes dans la classe associée à cette longueur, soit la fréquence d'apparition de la longueur.
\begin{table}[ht]
\centering
@ -220,7 +220,7 @@ Mais qu'en est-il de son incertitude ? Pour la connaître, on va calculer l'ince
\begin{equation*}
s=l_1+l_2\;;\;l_1=l_{1m}\pm\, I(l_{1m})\;;\;l_2=l_{2m}\pm\, I(l_{2m})
\end{equation*}
alors, on peut calculer les extrèmums~:
alors, on peut calculer les extremums~:
\begin{align*}
s_{max}&=l_{1\,max}+l_{2\,max}\\
&=l_{1m}+I(l_{1m})+l_{2m}+I(l_{2m})\\

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@ -7,7 +7,7 @@
\lettrine{P}{our un MRUA}, la position est donnée par \label{demo}:
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle x=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}$}
\fbox{\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}\)}
\end{equation}
Démonstration~:
@ -51,7 +51,7 @@ v&=a_{o}\cdot t+v_{o}\\
x&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
\end{align*}
Elles constituent généralement un système de deux équations à deux inconnues, dont le temps $t$ est l'une d'elles. Pour résoudre ce système et éliminer le temps par substitution, on tire $t$ de la première équation~:
Elles constituent généralement un système de deux équations à deux inconnues, dont le temps t est l'une d'elles. Pour résoudre ce système et éliminer le temps par substitution, on tire t de la première équation~:
\[t=\frac{v-v_{o}}{a_{o}}\]
@ -67,10 +67,10 @@ x&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot(\frac{v-v_{o}}{a_{o}})^{2}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o
\[\Rightarrow\; x=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}\;\Rightarrow\]
\begin{equation}\label{sanst}
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
\fbox{\(v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})\)}
\end{equation}
Cette relation\label{demo2} est indépendante du temps $t$. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.
Cette relation\label{demo2} est indépendante du temps t. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.
\subsection{Énergie}
@ -83,5 +83,5 @@ v^2=v_o^2+2\cdot g\cdot h
Soit, de manière plus générale, en posant \(g=a\) et \(h=x-x_o\), ce qu'il fallait démontrer~:
\begin{equation*}
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
\fbox{\(v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})\)}
\end{equation*}

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@ -103,16 +103,16 @@ La force de marée de l'équation \ref{forcedemareebalance} correspond à la for
L'analyse du rapport des forces de marées lunaire et solaire qui suit l'équation \ref{eqmaree}, page \pageref{eqmaree}, et qui est issue de la forme de l'équation \ref{forcedemareebalance}, constitue aussi une suite logique au calcul présenté ci-dessus que nous ne reprendrons pas ici.
\section{Analyse différentielle}
Le cadre de l'analyse présentée ci-dessus est celui de la seconde loi de Newton. Insistons sur le fait que l'ensemble des forces considérées s'exercent sur le même système, soit la masse $m$ d'eau. Cette analyse est donc cohérente avec la formulation de la seconde loi qui s'applique sur un système de masse \(m\).
Le cadre de l'analyse présentée ci-dessus est celui de la seconde loi de Newton. Insistons sur le fait que l'ensemble des forces considérées s'exercent sur le même système, soit la masse m d'eau. Cette analyse est donc cohérente avec la formulation de la seconde loi qui s'applique sur un système de masse \(m\).
\medskip
On va maintenant présenter une autre analyse du problème qui est moins consistante puisque les forces qu'elle utilise ne s'appliquent pas sur un système unique. Cependant, non seulement elle mène au même résultat, mais encore elle permet de mettre en évidence le caractère différentiel des forces de marées, caractère qui apparaitra alors plus clair dans l'étude des forces de marées exercées sur des satellites comme Io autour de Jupiter. La notion de limite de Roche pourra donc être mieux abordée au paragraphe \ref{limroche}.
On va maintenant présenter une autre analyse du problème qui est moins consistante puisque les forces qu'elle utilise ne s'appliquent pas sur un système unique. Cependant, non seulement elle mène au même résultat, mais encore elle permet de mettre en évidence le caractère différentiel des forces de marées, caractère qui apparaîtra alors plus clair dans l'étude des forces de marées exercées sur des satellites comme Io autour de Jupiter. La notion de limite de Roche pourra donc être mieux abordée au paragraphe \ref{limroche}.
\section{Autres rythmes}
L'explication de la présence de deux marées par jour (\emph{dites de pleines\index{pleine mer} et basses mers\index{basse mer}}) ne constitue qu'une partie de la compréhension du phénomène de marée. Même dans le cadre de la théorie de Newton, et sans entrer dans la théorie ondulatoire, d'autres périodes sont associées aux marées. Dans ce paragraphe on va entrer dans ce qu'on peut appeler la dimension astronomique du phénomène. Évidemment, c'est la gravitation qui reste le moteur des influences. Mais celles-ci varient en fonction de la position des astres.
\subsection{Décalages}
Une première conséquence du mouvement relatif de la Lune sur les marées se présente sous la forme d'un déplacement perpétuel des heure de pleine et basse mer. Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, les pleine\index{pleine mer} et basse\index{basse mer} mer auraient lieu toujours au même moment dans la journée. Ce n'est pas le cas en raison du déplacement de la Lune autour de la Terre. En effet, comme le montre la figure \ref{decalage}, pendant que la Terre fait un tour sur elle-même en vingtquatre heures, la lune se déplace. Comme cette dernière fait un tour autour de la Terre en trente jours, en vingt quatre heures, c'est-à-dire en une journée, la Lune parcours un angle de \(360/30=12^{\circ}\). Au bout de vingt quatre heures, une personne située au point \(P\) ne verrait plus la Lune au zénith\index{zenith@zénith} (au-dessus d'elle). Il lui faudrait parcourir encore un angle de \(12^{\circ}\) pour cela. Comme la terre parcours \SI{360}{\degree} en vingt quatre heures, il lui faut encore attendre \SI{48}{minutes} pour se retrouver en situation de pleine mer. Chaque jour, les pleines et basses mers se produisent avec environ cinquante minutes de retard sur le jour précédent.
Une première conséquence du mouvement relatif de la Lune sur les marées se présente sous la forme d'un déplacement perpétuel des heure de pleine et basse mer. Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre, les pleine\index{pleine mer} et basse\index{basse mer} mer auraient lieu toujours au même moment dans la journée. Ce n'est pas le cas en raison du déplacement de la Lune autour de la Terre. En effet, comme le montre la figure \ref{decalage}, pendant que la Terre fait un tour sur elle-même en vingt quatre heures, la lune se déplace. Comme cette dernière fait un tour autour de la Terre en trente jours, en vingt quatre heures, c'est-à-dire en une journée, la Lune parcours un angle de \(360/30=12^{\circ}\). Au bout de vingt quatre heures, une personne située au point \(P\) ne verrait plus la Lune au zénith\index{zenith@zénith} (au-dessus d'elle). Il lui faudrait parcourir encore un angle de \(12^{\circ}\) pour cela. Comme la terre parcours \SI{360}{\degree} en vingt quatre heures, il lui faut encore attendre \SI{48}{minutes} pour se retrouver en situation de pleine mer. Chaque jour, les pleines et basses mers se produisent avec environ cinquante minutes de retard sur le jour précédent.
\begin{figure}[t]
\centering
@ -134,12 +134,12 @@ Comme les phases de la Lune correspondent à des positions particulières de not
L'explication est simple. Comme le montre la figure \ref{vivemorteeau}, quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés, les forces lunaires et solaires s'additionnent. On a des marées de vives eaux à la nouvelle et à la pleine lune. Par contre, aux premiers et derniers quartiers, les actions de la Lune et du Soleil ne se produisent pas dans le même axe et les marées sont de basses eaux.
\subsection{Marées d'équinoxes\index{maree@marée!d'équinoxe}}
On entend souvent parler des ``grandes marées d'équinoxes''. On se limitera ici à évoquer le phénomène, car il ne trouve une explication convainquante que dans la théorie ondulatoire des marées. Tout se passe comme si la force de marée exercée par le Soleil était maximale quand l'axe de rotation de la Terre est perpendiculaire à la direction Terre-Soleil. Si on considère que la direction de cet axe reste fixe dans l'espace, la figure \ref{saisonsperso}, page \pageref{saisonsperso}, présente la situation~: aux solstices\index{solstice}, l'angle \(\alpha\simeq \SI{66,5}{\degree}\), alors qu'aux équinoxes\index{equinoxe@équinoxe}, il vaut \SI{90}{\degree}. Pour bien s'en rendre compte, il faut considérer le plan constitué par l'axe de rotation de la Terre et le Soleil aux solstices. Ce plan est perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Mais si aux solstices l'axe de rotation de la Terre fait un angle non droit avec la direction Terre-Soleil, aux équinoxes cet angle est droit car ce plan est perpendiculaire à l'écliptique.
On entend souvent parler des ``grandes marées d'équinoxes''. On se limitera ici à évoquer le phénomène, car il ne trouve une explication convaincante que dans la théorie ondulatoire des marées. Tout se passe comme si la force de marée exercée par le Soleil était maximale quand l'axe de rotation de la Terre est perpendiculaire à la direction Terre-Soleil. Si on considère que la direction de cet axe reste fixe dans l'espace, la figure \ref{saisonsperso}, page \pageref{saisonsperso}, présente la situation~: aux solstices\index{solstice}, l'angle \(\alpha\simeq \SI{66,5}{\degree}\), alors qu'aux équinoxes\index{equinoxe@équinoxe}, il vaut \SI{90}{\degree}. Pour bien s'en rendre compte, il faut considérer le plan constitué par l'axe de rotation de la Terre et le Soleil aux solstices. Ce plan est perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. Mais si aux solstices l'axe de rotation de la Terre fait un angle non droit avec la direction Terre-Soleil, aux équinoxes cet angle est droit car ce plan est perpendiculaire à l'écliptique.
\subsection{Marées de périgée et périhélie\index{maree@marée!de périgée}\index{maree@marée!de périhélie}}
On sait grâce à Kepler (voir le paragraphe \ref{loiskepler}, page \pageref{loiskepler}) que l'orbite de la Lune est une ellipse\index{ellipse}. Cela signifie que la distance Terre-Lune varie. On nomme \emph{périgée}\index{perigee@périgée} le point de l'orbite de la Lune où cette distance est minimale et \emph{apogée}\index{apogee@apogée} celui où elle est maximale.
Au périgée, la distance Terre-Lune vaut~: \SI{3,654e8}{\metre} et à l'apogée \SI{4,067e8}{\metre}. Comme la force de marée est inversément proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée lunaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut~:
Au périgée, la distance Terre-Lune vaut~: \SI{3,654e8}{\metre} et à l'apogée \SI{4,067e8}{\metre}. Comme la force de marée est inversement proportionnelle au cube de la distance (ce qui donne une puissance \(^{-3}\)), la différence de force de marée lunaire entre le maximum et le minimum par rapport au minimum vaut~:
\begin{align*}
\Delta F_{mar\acute ee}^{lunaire}&=\frac{d_{p\acute erig\acute ee}^{-3}-d_{apog\acute ee}^{-3}}{d_{apo\acute ee}^{-3}}\\
&=\frac{(3,654\cdot 10^8)^{-3}-(4,067\cdot 10^8)^{-3}}{(4,067\cdot 10^8)^{-3}}\\
@ -172,9 +172,9 @@ De plus, si les prédictions de la théorie newtonienne sont bons en haute mer,
La théorie ondulatoire de la marée repose sur de complexes équations dites de Laplace et inaccessible dans le cadre de ce cours. Mais on peut trouver une bonne description mathématique de cette théorie dans \cite{BS07}.
\section{Limite de Roche\index{limite de Roche}}\label{limroche}
Les effets de marée présentés ci-dessus sont bien connus de tous puisqu'ils se manifestent clairement à nous sur les plages. Il faut aussi dire qu'il existe des marées terrestres~: simultanément à la surface océanique, la Lune déforme la croute terrestre\index{croute terrestre}. Et il faut savoir que ces effets sont réciproques. Si la Lune exerce son influence sur la Terre, la Terre exerce aussi des forces de marée sur la Lune et celle-ci se déforme sous leurs effets. De la même manière, le satellite Io\index{Io} a un volcanisme\index{volcanisme} très actif dû aux effets de marées produits sur lui par la planète Jupiter.
Les effets de marée présentés ci-dessus sont bien connus de tous puisqu'ils se manifestent clairement à nous sur les plages. Il faut aussi dire qu'il existe des marées terrestres~: simultanément à la surface océanique, la Lune déforme la croûte terrestre\index{croûte terrestre}. Et il faut savoir que ces effets sont réciproques. Si la Lune exerce son influence sur la Terre, la Terre exerce aussi des forces de marée sur la Lune et celle-ci se déforme sous leurs effets. De la même manière, le satellite Io\index{Io} a un volcanisme\index{volcanisme} très actif dû aux effets de marées produits sur lui par la planète Jupiter.
Tant qu'un satellite est assez éloigné de la planète qui l'attire, les effets de marée se limitent à des frictions et à des déformations. Par contre, si le satellite s'en approche trop, il peut être détruit par les tensions internes qu'il va subir. C'est ce qui explique en partie pourquoi les anneaux d'astèroïdes\index{anneau d'astéroïdes}, comme ceux de Saturne\index{Saturne}, ne donnent pas naissance à des satellites sous l'effet de leur attraction mutuelle. La distance à partir de laquelle cela se produit est complexe à déterminer. Cependant, à l'aide de quelques approximations judicieuses, il est possible d'évaluer cette distance, qui porte le nom de \emph{limite de Roche} en hommage au physicien qui la découvrit.
Tant qu'un satellite est assez éloigné de la planète qui l'attire, les effets de marée se limitent à des frictions et à des déformations. Par contre, si le satellite s'en approche trop, il peut être détruit par les tensions internes qu'il va subir. C'est ce qui explique en partie pourquoi les anneaux dastéroïdes\index{anneau d'astéroïdes}, comme ceux de Saturne\index{Saturne}, ne donnent pas naissance à des satellites sous l'effet de leur attraction mutuelle. La distance à partir de laquelle cela se produit est complexe à déterminer. Cependant, à l'aide de quelques approximations judicieuses, il est possible d'évaluer cette distance, qui porte le nom de \emph{limite de Roche} en hommage au physicien qui la découvrit.
\subsection{Modèle simplifié}
L'idée est de considérer un satellite situé à une distance \(d\) d'une planète comme composé de deux corps distincts maintenus ensemble par leur action gravifique mutuelle. La figure \ref{roche} présente la situation.

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@ -39,7 +39,7 @@ D'autant plus prudent que ce n'est pas le seul problème posé par la mesure d'
\begin{description}
\item[La mesure de l'angle], tout d'abord. On ne sait pas précisément comment Érathosthène a mesuré cet angle. Il a pu utiliser un scaphé\footnote{Op. cit. \ref{scaphe}} ou d'un gnomon de grande taille (environ cinq mètres). Évidemment, la mesure avec un gnomon de cinq mètres est plus précise que celle avec un scaphé de plus petite taille. Or, avec un gnomon de cinq mètres, en imaginant une précision de \(\pm \SI{3}{\milli\metre}\) sur l'ombre portée, on peut déterminer l'imprécision sur l'angle en considérant un triangle rectangle de côté adjacent valant cinq mètres et de côté opposé valant \SI{3}{\milli\metre}. Ainsi, on a~:
\[tan(\Delta \alpha)=\frac{3}{5000}\;\Rightarrow\;\Delta \alpha=0,034^{\circ}=2'\]
Avec un gnomon de $1\,m$, l'incertitude angulaire, correspondant à $3\,mm$ sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
Avec un gnomon de \SI{1}{\metre}, l'incertitude angulaire, correspondant à \SI{3}{\milli\metre} sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
D'autant plus que l'ombre du Soleil n'est pas nette en raison de son diamètre apparent. En effet, le diamètre apparent\index{diametre@diamètre!apparent} du Soleil, c'est-à-dire l'angle sous lequel on le voit, est de \(32'\). Cela signifie que par rapport à l'ombre d'un gnomon idéal pointant directement vers le centre d'un soleil ponctuel, l'ombre d'un gnomon réel sera \(15'\) plus longue (par un flou de l'extrémité de l'ombre), en raison des rayons provenant du bord du disque solaire.
@ -102,7 +102,7 @@ L'astronome Cassini, qui détermina pour la première fois la distance Terre-Sol
\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst}
\end{figure}
L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars $M$ et une étoile $E$ en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc}~:
L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars M et une étoile E en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc}~:
\[\delta=\frac{PC}{MO}\;\Rightarrow\;MO=\frac{PC}{\delta}\]
La distance \(PC\), approximativement la distance entre Paris et Cayenne, permet alors de trouver \(MO\). La distance de la Terre à Mars vaut alors~:
\begin{equation}\label{dtm}
@ -113,7 +113,7 @@ où \(R_T\) est le rayon de la Terre.
\smallskip
Le résultat est donné par Cassini\index{Cassini} lui-même~:
\begin{quotation}
``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus $\Psi$, vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus \(\Psi\), vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
\end{quotation}
Le résultat de la mesure est donc de quinze secondes d'arc. Mais attention, il s'agit de la parallaxe qui est la moitié de l'angle \(\delta\). Celui-ci vaut donc~: \(\delta=0,008332^{\circ}\) ou \SI{1,454e-4}{\radian}. Avec une distance de Paris à Cayenne de \SI{7082,1}{\kilo\metre} cela donne~:
\[MO=\frac{7,0821\cdot 10^6}{1,454\cdot 10^{-4}}=\SI{4,87e10}{\metre}\]
@ -150,7 +150,7 @@ d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(1-e)(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniuaexcentrique}\\
&=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(1-0,093)(686/365)^{2/3}-1}\nonumber\\
&=\SI{1,27e11}{\metre}\nonumber
\end{align}
\(e\) est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de Mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de $15\%$.
\(e\) est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de Mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de 15\%.
\section{La distance des étoiles}
On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de Mars est d'environ $15''$ d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour Mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la Terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la Terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple, pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 millisecondes d'arc.
On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de Mars est d'environ \ang{;;15} d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour Mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la Terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la Terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple, pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 millisecondes d'arc.

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@ -0,0 +1,156 @@
\myclearpage
\chapter{Mesures de distances}
\lettrine{I}{l est ici question} de présenter quelques exemples de mesures de distances\index{mesure!de distance}. L'objectif est de se rendre compte à la fois de l'ingéniosité des raisonnements mis en \oe uvre et des difficultés techniques qui se sont présentées. Cela permet de travailler avec des ordres de grandeurs qui ne nous sont pas familiers et de mieux apprécier les connaissances qui se trouvent derrière les chiffres que les tables mettent à notre disposition.
\section{La taille de la Terre}\label{tailleterre}
La mesure du rayon de la Terre la plus connue, car très simple et historiquement très ancienne, est celle d'Érathosthène\index{Eratosthene@Ératosthène} (284-192 av. J.-C.). Le principe est simple, mais la mise en \oe uvre beaucoup moins évidente. Nous allons successivement voir chacune de ces deux étapes.
\subsection{Le principe}
Il faut tout d'abord relever que nous ne connaissons le travail d'Érathosthène qu'à travers d'autres auteurs (L'astronome Cléomède\index{Cleomede@Cléomède}, l'historien Strabon\index{Strabon} et le naturaliste romain Pline l'ancien\index{Pline l'Ancien}). Ces sources, aussi éminentes soient-elles, ne doivent pas être exemptes de toute critique, comme nous le verrons par la suite.
Le principe de la mesure est simple. Considérons la figure \ref{erathostenetailleterre}. On y voit la Terre dont l'axe de rotation est incliné par rapport à la perpendiculaire au plan de l'écliptique\index{ecliptique@écliptique}. On y voit l'ancienne ville de Syène\index{Syene@Syène}, c'est-à-dire l'actuelle Assouan\index{Assouan}, qui se trouve sur le tropique du Cancer\index{tropique!du Cancer}, au moment du solstice d'été\index{solstice!d'été}. Le Soleil se trouve alors au zénith\index{zenith@zénith}, c'est-à-dire à la perpendiculaire de l'horizon du lieu. Ses rayons pourraient alors pénétrer jusqu'au plus profond d'un puits construit verticalement. Au même moment, on peut considérer l'ombre au sol d'un gnomon (un bâton vertical) planté plus au nord à Alexandrie\index{Alexandrie}. Sa longueur et celle du gnomon\index{gnomon} permettent de déterminer l'angle \(\alpha\) de la figure \ref{erathostenetailleterre}. Or, celui-ci a un correspondant au centre de la Terre qui sous-tend l'arc de cercle entre Syène et Alexandrie. Si, par ailleurs, on connaît la mesure de cet arc, il est aisé de déterminer la circonférence de la Terre\index{circonference@circonférence!de la terre} et, ainsi, son rayon.
\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Taille de la terre\label{erathostenetailleterre}}
\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Erathostene.pst}
\end{figure}
Comme Érathosthène à évalué la distance entre Syène et Alexandrie à \SI{5000}{stades} et la longueur de l'ombre portée par le gnomon\index{gnomon} à \(1/8\) de sa hauteur, on peut en déduire~:
\begin{enumerate}
\item que l'angle \(\alpha\) est (anachroniquement car Érathosthène l'a simplement obtenu à partir de mesures faites avec un scaphé\index{scaphe@scaphé}\footnote{\label{scaphe}Le scaphé est une sorte de bol en forme de demi-sphère muni en son centre d'un gnomon, c'est-à-dire un petit stylet vertical.}) donné par~: \[\tan(\alpha)=\frac{1/8}{1}=1/8\;\Rightarrow\;\alpha=7,13^{\circ}=7^{\circ}8'\]
\item que la circonférence de la Terre vaut~: \[C=5000\cdot \frac{360}{7,13}=\SI{252631}{stades}\]
\item et que son rayon vaut alors, \[C=2\cdot \pi\cdot R\,\Rightarrow\;R=\frac{252'631}{2\cdot \pi}=\SI{40208}{stades}\]
\end{enumerate}
Évidemment, il faut savoir ce que vaut un stade\index{stade}. Et là apparaît le premier problème. En effet, les estimations varient entre 157,5 et \SI{192,27}{\metre}. Si on utilise la première valeur, on a~:
\[R=40'208\cdot 157,5=\SI{6333}{\kilo\metre}\]
Ce qui représente, par rapport à la valeur actuelle, une erreur de~:
\[e=\frac{6'378-6'333}{6'378}\cdot 100=0,7\%\]
alors qu'avec la seconde valeur, on a~:
\[R=40'208\cdot 192,27=\SI{7730}{\kilo\metre}\]
Ce qui représente une erreur de~:
\[e=\frac{7'730-6378}{6378}\cdot 100=21,2\%\]
\subsection{Techniquement}
On loue souvent la méthode d'Érathosthène pour la précision de sa mesure. Mais comme on ne connaît pas de manière certaine la valeur du stade, il faut être très prudent.
D'autant plus prudent que ce n'est pas le seul problème posé par la mesure d'Érathosthène\footnote{Les points ci-dessus sont aussi développés dans \cite[p. 1193-1196]{AS02}.}. Jean-Baptiste Joseph Delambre\index{Delambre} dans \cite[p. 92-96.]{JJD21} développe une critique de la mesure d'Érathosthène basée sur les points suivants~:
\begin{description}
\item[La mesure de l'angle], tout d'abord. On ne sait pas précisément comment Érathosthène a mesuré cet angle. Il a pu utiliser un scaphé\footnote{Op. cit. \ref{scaphe}} ou d'un gnomon de grande taille (environ cinq mètres). Évidemment, la mesure avec un gnomon de cinq mètres est plus précise que celle avec un scaphé de plus petite taille. Or, avec un gnomon de cinq mètres, en imaginant une précision de \(\pm \SI{3}{\milli\metre}\) sur l'ombre portée, on peut déterminer l'imprécision sur l'angle en considérant un triangle rectangle de côté adjacent valant cinq mètres et de côté opposé valant \SI{3}{\milli\metre}. Ainsi, on a~:
\[tan(\Delta \alpha)=\frac{3}{5000}\;\Rightarrow\;\Delta \alpha=0,034^{\circ}=2'\]
Avec un gnomon de \SI{1}{\metre}, l'incertitude angulaire, correspondant à \SI{3}{\milli\metre} sur l'ombre, vaut plus de \(10'\). Ce qui met en évidence la difficulté à réaliser la mesure.
D'autant plus que l'ombre du Soleil n'est pas nette en raison de son diamètre apparent. En effet, le diamètre apparent\index{diametre@diamètre!apparent} du Soleil, c'est-à-dire l'angle sous lequel on le voit, est de \(32'\). Cela signifie que par rapport à l'ombre d'un gnomon idéal pointant directement vers le centre d'un soleil ponctuel, l'ombre d'un gnomon réel sera \(15'\) plus longue (par un flou de l'extrémité de l'ombre), en raison des rayons provenant du bord du disque solaire.
Au minimum donc, l'erreur est de l'ordre de \(17'\). Or, cela correspond alors à une erreur sur le rayon de la Terre d'environ \(5\%\) dans le cas d'un stade à \SI{157,5}{\metre} et à \(26\%\) au maximum dans le cas d'un stade de \SI{192,27}{\metre} !
\item[La mesure de l'arc], ensuite. Les calculs précédents montrent que la valeur du stade est déterminante pour la qualité de la mesure effectuée par Érathosthène. Mais, la valeur de l'arc aussi. Car, outre le fait que notre connaissance de la valeur du stade\index{stade} est incertaine, il semble que les mesures de distances aient pu se faire en durée de marche. Par exemple, à une journée de marche correspondrait \SI{200}{stades}. Ce qui permet de comprendre l'incertitude de la mesure. Par ailleurs, Érathosthène a lui-même fait un arrondi significatif. Considérant la distance de \SI{250000}{stades} pour la circonférence de la Terre (obtenue avec un angle de \(7^{\circ}12'\)), il détermine la distance par degré~: \(250000/360=\SI{694,44}{stades}\) et \dots l'arrondit à \SI{700}{stades}. Il recalcule alors la circonférence terrestre\index{circonference@circonférence!de la terre} et obtient \(700\cdot 360=\SI{252000}{stades}\).
\end{description}
Si ce qui précède montre qu'il faut être très prudent avec cette mesure de la Terre, cela permet aussi de se rendre compte qu'une mesure est toujours liée à l'incertitude\index{incertitude@incertitude} des termes qui ont permis de l'obtenir. Sans l'évaluation de ces incertitudes, la mesure peut ne pas être significative. Bien entendu la méthode utilisée par Érathosthène est remarquable. Mais sa portée n'en reste pas moins limitée par la précision des mesures qu'elle utilise. Et, parallèlement, la portée historique de cette mesure est aussi à évaluer à l'aulne de ces incertitudes. C'est pourquoi, tout historien consciencieux ne peut se passer d'avoir une bonne connaissances des méthodes de mesures utilisées à l'époque et des moyens mathématiques nécessaires pour évaluer leur précision.
\section{La taille de la Lune}\label{taillelune}
Une première méthode simple consiste à observer une éclipse de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. On peut voir alors l'ombre de la Terre sur la Lune. En reproduisant un cercle qui épouse la forme de cette ombre, on peut déterminer le rapport de taille entre ces deux corps. La méthode paraît simple. Cependant, elle se complique quand on considère les deux problèmes suivants~:
\begin{itemize}
\item La distance du Soleil à la Terre est finie et le Soleil a une taille importante par rapport à la Terre. Ainsi, l'ombre portée par la Terre sur la Lune n'a pas exactement la taille de la Terre.
\item Sans photographie d'éclipses de Lune, il est très difficile de trouver le rapport de la taille de l'ombre de la Terre à celle de la Lune.
\end{itemize}
Même de nos jours, si on utilise des images trop petites, l'incertitude sur le rayon du cercle qui sous-tend l'ombre de la Terre sur la Lune est important. La figure \ref{tailledelalune} montre en effet, suivant l'image choisie, un rapport de \(95/28,9=3,3\) à \(60/28,9=2,1\).
\begin{figure}[ht]
\centering
\caption[Taille de la lune]{Taille de la lune\label{tailledelalune} \par \scriptsize{Une taille incertaine\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia~: \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Eclipse_lune.jpg=. notamment pour le copyright de l'image. Remerciements à son auteur Luc Viatour.}}}
\includegraphics[width=6cm]{RayonLune.eps}
\end{figure}
Et cela sans tenir compte du premier point mentionné ci-dessus.
Cependant, cette méthode permet une première évaluation de la taille de la Lune. Pour cela, il faut encore tenir compte du premier point évoqué ci-dessus. On peut le faire de manière très rapide en constatant que lors des éclipses de Soleil\index{eclipse@éclipse!de Soleil}, l'ombre portée par la Lune sur la Terre est très petite. On estime que sur la distance Terre-Lune l'ombre de la Lune est réduite d'environ 70\%. On peut donc supposer qu'il en va de même pour l'ombre de la Terre portée sur la Lune lors d'éclipses de Lune\index{eclipse@éclipse!de Lune}. Ainsi, en prenant un rapport de diamètre de l'ombre de la Terre sur la Lune à la taille de la Lune de \(2,5\,\times\) environ, le rapport de la taille de la Terre (et non de son ombre sur la Lune) à celle de la Lune vaut \(3,5\,\times\) (car \(0,7^{-1}=1,4\) et \(2,5\cdot 1,4=3,5\,\times\)).
On peut alors calculer la taille de la Lune à partir de la mesure du rayon terrestre d'Érathosthène. Si on admet qu'il ait pu obtenir une valeur du rayon de la Terre \(R=\SI{6333}{\kilo\metre}\), le rayon de la Lune \(r\) est alors~:
\[r=\frac{R}{3,5}=\frac{6333}{3,5}=\SI{1809}{\kilo\metre}\]
Soit, par rapport à la valeur admise actuellement de \SI{1738}{\kilo\metre}, une erreur de 4\%.
\section{La distance Terre-Lune}
A partir de la valeur du rayon de la Terre, la mesure de la distance Terre-Lune est aisée. Il faut considérer que l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit la lune est d'un demi-degré, soit en radian \(\pi/360=\SI{0,0087}{\radian}\). Alors, à l'aide d'une simple relation liant la longueur d'un arc \(L\) à son angle \(\alpha\) au centre en radian et au rayon \(R\) du cercle, on tire~:
\begin{align*}
L&=\alpha\cdot R\;\Rightarrow\\
R&=\frac{L}{\alpha}=\frac{\phi_{lune}}{\alpha}\\
R&=d_{Terre-Lune}=\frac{3618}{0,0087}=\SI{415862}{\kilo\metre}
\end{align*}
Ce qui représente environ 8\% d'écart avec la valeur d'aujourd'hui.
\medskip
De nos jours, la distance de la Terre à la Lune est mesuré par la réflexion de faisceaux laser sur des miroirs déposés par les missions Apollo\index{Apollo}. Elle atteint une précision de l'ordre de quelques millimètres.
\section{La distance Terre-Soleil}
La mesure de distances plus importantes que celle de la Terre à la Lune fut réalisée par la suite à l'aide de la méthode de la parallaxe\index{parallaxe}. On peut évoquer ici cette méthode qui nécessite une observation en deux points différents de la Terre. Une variante de cette méthode sera utilisée pour la mesure des distances aux étoiles.
La mesure de la parallaxe repose sur l'idée suivante. Quand on observe son pouce levé devant soi à bout de bras avec l'\oe il droit puis l'\oe il gauche alternativement, on voit qu'il se déplace par rapport aux objets éloignés. Si le pouce est proche des yeux, il se déplace fortement et s'il est éloigné, il se déplace faiblement. L'observation de son mouvement permet donc de se faire une idée de la distance entre les yeux et le pouce.
En termes astronomiques, on voit sur la figure \ref{parallaxemars} que l'angle \(\alpha\) entre une étoile lointaine et la Polaire\index{Polaire} est le même pour deux points d'observation \(C\) et \(P\) sur la Terre. Pour un astre peu éloigné \(M\), ces deux angles \(\beta\) et \(\gamma\) sont différents. On appelle parallaxe\index{parallaxe} de l'astre \(M\) l'angle \(\delta\) qui vaut~:
\[\delta=\gamma-\beta\]
en raison du fait que deux droites parallèles sont toujours coupées par une troisième droite selon deux angles égaux.
L'astronome Cassini, qui détermina pour la première fois la distance Terre-Soleil à partir de la parallaxe de Mars, décrit la mesure ainsi~:
\begin{quotation}
``\textit{La meilleure méthode pour chercher la parallaxe de Mars par la correspondance des observations faites à Paris \& en Caïenne auroit été d'observer, par la lunette, la conjonction précise de cette planète avec une étoile fixe. Car si cette conjonction avoit été vue de l'un \& de l'autre lieu au même instant \& précisément de la même manière sans aucune distance, c'eût été une marque qu'il n'y avoit point de parallaxe sensible. S'il y en avoit eu quelque peu, à l'instant que Mars auroit paru toucher par son bord supérieur une Etoile fixe en Caïenne, il auroit paru à Paris un peu éloigné de la même Etoile vers l'Horizon, \& quand il auroit paru à Paris toucher l'Etoile par son bord inférieur, il auroit paru en Caïenne éloigné de la même Etoile vers le Zénit \& cette distance vue d'un lieu \& non pas de l'autre, aurait été attribuée à la parallaxe}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
\end{quotation}
\begin{figure}[ht]
\centering
\caption[Parallaxe de Mars]{Parallaxe de Mars\label{parallaxemars} \par \scriptsize{Première étape pour déterminer la distance Terre-Soleil.}}
\input{Annexe-MesuresDistances/Images/Parallaxe.pst}
\end{figure}
L'application de cette méthode pour déterminer la position d'un astre comme Mars\index{Mars}, \(M\) sur le schéma \ref{parallaxemars}, consiste à observer cette planète simultanément depuis deux endroits éloignés l'un de l'autre à la surface de la terre. Deux observateurs \(P\) et \(C\) (les astronomes Cassini\index{Cassini} à Paris et Richer\index{Richer} à Cayenne, en 1672) mesurent au même moment l'écart angulaire entre Mars M et une étoile E en arrière plan. La somme des deux angles mesurés constitue l'angle \(\delta\) au sommet du triangle \(PMC\), soit la parallaxe\index{parallaxe}. En raison de l'important éloignement de Mars par rapport à la distance \(PC\) (Paris-Cayenne\index{Paris-Cayenne}), on peut poser grâce à la relation \ref{relationdarc}, page \pageref{relationdarc}~:
\[\delta=\frac{PC}{MO}\;\Rightarrow\;MO=\frac{PC}{\delta}\]
La distance \(PC\), approximativement la distance entre Paris et Cayenne, permet alors de trouver \(MO\). La distance de la Terre à Mars vaut alors~:
\begin{equation}\label{dtm}
d_{T-M}=MO+OT=MO+R_T
\end{equation}
\(R_T\) est le rayon de la Terre.
\smallskip
Le résultat est donné par Cassini\index{Cassini} lui-même~:
\begin{quotation}
``\textit{Le 5 septembre 1672, trois jours avant l'opposition du Soleil à Mars, nous observâmes à Paris trois Etoiles dans l'Eau Aquarius marquées par Bayerus \(\Psi\), vers lesquelles Mars alloit par son mouvement particulier rétrograde, de sorte que l'on jugeoit qu'il en auroit pu cacher une. Il étoit alors un peu plus septentrional que la plus septentrionale des trois. On prit la hauteur Méridienne de celle-ci qui passoit la première; \& celle de la moyenne vers laquelle le mouvement particulier de Mars s'adressoit. Par le choix des Observations les plus exactes \& les plus conformes entre elles, on fixa à 15" la parallaxe que fait Mars de Paris à Caïenne}'' J. D. Cassini, dans ``Mémoires de l'Académie Royale des Sciences'', volume 8, année 1730.\endnote{\url=http://www.iap.fr/InformationCommunication/ArticlesGrandPublic/Etoiles/Transit/transit_parallaxe_mars_1672.html=}
\end{quotation}
Le résultat de la mesure est donc de quinze secondes d'arc. Mais attention, il s'agit de la parallaxe qui est la moitié de l'angle \(\delta\). Celui-ci vaut donc~: \(\delta=0,008332^{\circ}\) ou \SI{1,454e-4}{\radian}. Avec une distance de Paris à Cayenne de \SI{7082,1}{\kilo\metre} cela donne~:
\[MO=\frac{7,0821\cdot 10^6}{1,454\cdot 10^{-4}}=\SI{4,87e10}{\metre}\]
Soit une distance entre la Terre et Mars de~:
\[d_{T-M}=4,87\cdot 10^{10}+6,371\cdot 10^6=\SI{4,87e10}{\metre}\]
Mais ce n'est là que la distance de la Terre à Mars. Il fallait encore réaliser une condition de mesure pour obtenir la distance Terre-Soleil~: choisir le bon moment. Cassini précise que la mesure fut faite trois jours avant l'opposition\index{opposition} du Soleil à Mars. Cela signifie qu'alors la Terre se trouvait sur une même ligne entre Mars et le Soleil. A ce moment, et seulement à ce moment, on peut écrire~:
\begin{equation}\label{opposition}
d_{S-M}=d_{T-M}+d_{S-T}
\end{equation}
où on n'a pas tenu compte du caractère elliptique des orbites\index{orbite!elliptique}, notamment de celle de Mars (voir ci-dessous). Mais, l'équation \ref{opposition} a deux inconnues~: les distances Mars-Soleil et Terre-Soleil. Pour les déterminer, il faut une seconde équation.
\smallskip
Il s'agit de la troisième loi de Kepler\index{Kepler!troisième loi}, donnée par l'équation \ref{keplertroisieme}, page \pageref{keplertroisieme}, appliquée au cas de la Terre et de Mars~:
\begin{equation}\label{oppositionkepler}
\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}
\end{equation}
\(d_{S-T}\) et \(d_{S-M}\) sont les distances Soleil-Terre et Soleil-Mars et \(T_T\) et \(T_M\) leur périodes respectives.
Le système composé des équations \ref{opposition} et \ref{oppositionkepler} est un système de deux équations à deux inconnues. Pour le résoudre, remplaçons la distance \(d_{S-M}\) de l'équation \ref{opposition} dans la troisième loi de Kepler \ref{oppositionkepler}~:
\begin{align}
\frac{d_{S-T}^3}{T_T^2}&=\frac{d_{S-M}^3}{T_M^2}\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}^3\frac{T_M^2}{T_T^2}&=d_{S-M}^3\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}^3(\frac{T_M}{T_T})^2&=(d_{T-M}+d_{S-T})^3\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}&=d_{T-M}+d_{S-T}\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}(\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-d_{S-T}&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}((\frac{T_M}{T_T})^{2/3}-1)&=d_{T-M}\;\Rightarrow\nonumber\\
d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniua}
\end{align}
Numériquement, avec les période de Mars et de la Terre \(T_T=365\,j\) et \(T_M=686\,j\), on obtient~:
\[d_{S-T}=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(686/365)^{2/3}-1}=\SI{9,31e10}{\metre}\]
Ce qui représente un écart de 38\% par rapport à la valeur de l'unité astronomique connue actuellement~: \(d_{T-S}=\SI{1,496e11}{\metre}\). Cet écart est important. La moitié de celui-ci peut être attribuée à l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de Mars. En effet, un calcul\footnote{En opposition, le demi-grand axe de l'orbite de Mars s'exprime en réalité par~: \(a_M=e\cdot a_M+d_{S-T}+d_{T-M}\). La grandeur \(e\cdot a_M\) représentant la distance du centre de l'ellipse\index{ellipse} de Mars au foyer\index{foyer} sur lequel se trouve le Soleil. On ne calcule plus alors dans l'équation de Kepler la distance \(d_{S-M}\), mais le demi-grand axe \(a_M\).} basé sur l'hypothèse d'une orbite terrestre circulaire, mais d'une orbite elliptique\index{orbite!elliptique} de Mars mène au résultat suivant~:
\begin{align}
d_{S-T}&=\frac{d_{T-M}}{(1-e)(T_M/T_T)^{2/3}-1}\label{cassiniuaexcentrique}\\
&=\frac{4,87\cdot 10^{10}}{(1-0,093)(686/365)^{2/3}-1}\nonumber\\
&=\SI{1,27e11}{\metre}\nonumber
\end{align}
\(e\) est l'excentricité\index{excentricite@excentricité} de l'orbite de Mars. La valeur obtenue à l'aide de l'équation \ref{cassiniuaexcentrique} ne représente plus alors qu'un écart de 15\%.
\section{La distance des étoiles}
On a vu que la parallaxe\index{parallaxe} de Mars est d'environ \angle{;;15} d'arc. Cette valeur est vraiment très petite. Il est donc impossible d'effectuer une mesure de la parallaxe d'une étoile à l'aide de la méthode utilisée pour Mars. Deux observations simultanées en deux endroits différents de la Terre ne permettent pas une telle mesure. Par la méthode de la parallaxe, la seule grandeur qu'il est possible de modifier est la distance entre les deux points d'observation. Comme des distances de l'ordre du rayon de la Terre ne suffisent pas, un effet de parallaxe plus important fut obtenu en effectuant la mesure à six mois d'intervalle. Ainsi, la distance entre les deux ``points de vue'' correspond au diamètre de l'orbite terrestre. La première mesure de la parallaxe d'une étoile (parallaxe stellaire\index{parallaxe!stellaire}) a été faite en 1838 par Friedrich Wilhelm Bessel\index{Bessel} pour la binaire 61 du Cygne. Mais, même pour une telle distance, les parallaxes d'étoiles restent inférieures à la seconde d'arc. Par exemple, pour Proxima du Centaure\index{Proxima du Centaure}, l'étoile la plus proche de nous, la parallaxe vaut 760 millisecondes d'arc.

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@ -38,7 +38,7 @@ Le changement de référentiel sur lequel se base la relativité restreinte de G
On peut donner la position du point \(P\) dans chaque référentiel à l'aide des coordonnées \(x\) et \(x'\). Si on admet, pour simplifier, que les deux référentiels avaient à \(t=\SI{0}{\second}\) la même origine, la position de l'origine du référentiel \(R'\) à un instant \(t\) par rapport à \(R\) vaut alors \(v_{ref}\cdot t\). On peut alors écrire pour le point \(P\)~:
\begin{equation}\label{eqtransgalilee}
\fbox{$\displaystyle x'=x-v_{ref}\cdot t$}
\fbox{\(\displaystyle x'=x-v_{ref}\cdot t\)}
\end{equation}
L'équation \ref{eqtransgalilee} constitue la transformation de Galilée, sous sa forme la plus simplifiée. Il faut cependant lui ajouter une équation ici évidente~:
\[t'=t\]
@ -53,7 +53,7 @@ v'&=v-v_{ref}\label{thmaddvit}
\end{align}
L'expression \ref{thmaddvit} constitue le théorème d'addition des vitesses. Il traduit l'idée que la vitesse d'un point \(P\) dans le référentiel \(R'\) correspond à sa vitesse dans le référentiel \(R\) à laquelle on soustrait la vitesse du référentiel \(R'\) lui-même. Plus simplement, en inversant l'équation \ref{thmaddvit}, on a~:
\begin{equation}\label{thmaddvit2}
\fbox{$\displaystyle v=v'+v_{ref}$}
\fbox{\(\displaystyle v=v'+v_{ref}\)}
\end{equation}
L'équation \ref{thmaddvit2} se comprend ainsi~: par rapport au sol, la vitesse du passager d'un train correspond à sa vitesse par rapport au train à laquelle on ajoute la vitesse du train lui-même (par rapport au sol).
@ -61,7 +61,7 @@ L'équation \ref{thmaddvit2} se comprend ainsi~: par rapport au sol, la vitesse
La transformation de Galilée permet maintenant d'étudier précisément le changement des lois de la physique par changement de référentiel. La transformation de Galilée se restreint aux référentiels en MRU\index{MRU} les uns par rapport aux autres. La relativité de Galilée\index{relativite@relativité!de Galilée} utilisant implicitement cette transformation est donc une relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}. Voyons donc dans quelle mesure la transformation de Galilée modifie la seconde loi de Newton.
\medskip
Comme précédemment, notons avec un indice $_i$ l'instant initial et un indice $_f$ l'instant final et calculons la force \(F'\) exercée sur un objet de masse m dont l'accélération dans le référentiel \(R'\) vaut \(a'\)~:
Comme précédemment, notons avec un indice \(_i\) l'instant initial et un indice \(_f\) l'instant final et calculons la force \(F'\) exercée sur un objet de masse m dont l'accélération dans le référentiel \(R'\) vaut \(a'\)~:
\begin{align*}
F'&=m\cdot a'=m\cdot \frac{v'_f-v'_i}{t'_f-t'_i}\\
&=m\cdot \frac{(v_f-v_{ref})-(v_i-v_{ref})}{t_f-t_i}\\
@ -69,7 +69,7 @@ F'&=m\cdot a'=m\cdot \frac{v'_f-v'_i}{t'_f-t'_i}\\
\end{align*}
On utilise l'équation \ref{thmaddvit} pour changer de référentiel et le fait qu'en relativité galiléenne la masse \(m\) est invariante par changement de référentiel. Finalement, on obtient~:
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle F'=m\cdot a'=m\cdot a=F$}
\fbox{\(\displaystyle F'=m\cdot a'=m\cdot a=F\)}
\end{equation}
Ainsi, la seconde loi\index{seconde loi} de Newton s'écrit de la même manière dans les deux référentiels \(R\) et \(R'\). On dit qu'elle est formellement invariante\index{invariance!formelle} par changement de référentiel. En d'autres termes, aucune expérience vérifiant la seconde loi de Newton ne peut permettre de faire la distinction entre les référentiels \(R\) et \(R'\). Pour Bruno\index{Bruno Giordano}, cela s'exprime par~: ``Ainsi je ne puis en rien être certain de ce qui distingue un corps mobile d'un corps stable.'' et pour Galilée, ``\dots aucun des effets mentionnés [\dots] ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l'arrêt~\dots'' comme on l'a vu dans les citations ci-dessus.

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@ -84,7 +84,7 @@ Le calcul est simple. Il se base sur les données suivantes~:
\begin{itemize}
\item la distance du Soleil au centre de la galaxie vaut environ~: \(R_{S\rightarrow G}=\SI{26000}{\lightyear}\) et
\item la période sidérale\index{periode@période!sidérale} de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie vaut environ~: $T_s=\SI{220e6}{\year}$
\item la période sidérale\index{periode@période!sidérale} de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie vaut environ~: \(T_s=\SI{220e6}{\year}\)
\end{itemize}
On calcule le nombre de secondes que représentent 220 millions d'années~:
@ -108,7 +108,7 @@ v&=\frac{d}{t}=\frac{2\cdot \pi\cdot R_{S\rightarrow G}}{T_s}\\
\end{align*}
Cette vitesse est incroyable. Nous ne la ressentons à nouveau pas ou peu toujours à cause de l'inertie\index{inertie}.
Notons que cette vitesse est la même pour toutes les étoiles proches du Soleil qui participent au mouvement de rotation autour du centre de la galaxie. Mais le Soleil a aussi un mouvement propre, c'est-à-dire qu'une partie de sa vitesse ne correspond pas à sa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie. Cette composante vaut environ $20\,km/s$.\endnote{Voir le site \url=http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php=}
Notons que cette vitesse est la même pour toutes les étoiles proches du Soleil qui participent au mouvement de rotation autour du centre de la galaxie. Mais le Soleil a aussi un mouvement propre, c'est-à-dire qu'une partie de sa vitesse ne correspond pas à sa vitesse de rotation autour du centre de la galaxie. Cette composante vaut environ \SI{20}{\kilo\metre\per\second}.\endnote{Voir le site \url=http://www.dil.univ-mrs.fr/~gispert/enseignement/astronomie/5eme_partie/voieLactee.php=}
Relevons enfin une règle bien pratique pour la transformation d'unité entre les \si{\metre\per\second} et les \si{\kilo\metre\per\hour}. On a en effet~:
\[\SI{1}{\kilo\metre\per\hour}=\frac{1\,km}{1\,h}=\frac{1000\,m}{3600\,s}=\SI{1 / 3,6}{\metre\per\second}\]

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@ -61,7 +61,7 @@ h=\;&(\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot60\cdot60)^{2}}{4
& -6,37\cdot10^{6}=\SI{35857}{\kilo\metre}
\end{align*}
Il s'agit de l'altitude des satellites en orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Pour des latitudes plus élevées, on comprend bien que plus on monte vers le pôle, plus le satellite sera bas sur l'horizon. Il se peut même qu'ils soient sous l'horizon. C'est pouquoi d'autres types d'orbites sont nécessaires, comme l'orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l'aide de plusieurs satellites les régions polaires vingt-quatre heures sur vingt-quatre.
Il s'agit de l'altitude des satellites en orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Pour des latitudes plus élevées, on comprend bien que plus on monte vers le pôle, plus le satellite sera bas sur l'horizon. Il se peut même qu'ils soient sous l'horizon. C'est pourquoi d'autres types d'orbites sont nécessaires, comme l'orbite de Molniya, qui permet de couvrir à l'aide de plusieurs satellites les régions polaires vingt-quatre heures sur vingt-quatre.
\smallskip
L'équation \ref{vitessesatgeostat} permet alors de déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Pour un rayon de la terre \(R_T=\SI{6,37e6}{\metre}\) et une altitude \(h=\SI{35,857e6}{\metre}\), on a~:

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@ -31,7 +31,7 @@ Lorsque deux élèves font une expérience, ils présentent un seul rapport et o
En règle générale, pour oublier le moins de choses importantes possibles, un rapport\index{rapport!de travail pratique} est structuré de la manière qui suit.
D'un point de vue typographique, il faut relever que les titres de sections ne doivent pas être soulignés, ni ponctués (ni par un point, ni par un double point). Ils sont simplement mis en évidence par une taille de caractère légèrement suppérieure à celle du corps de base.
D'un point de vue typographique, il faut relever que les titres de sections ne doivent pas être soulignés, ni ponctués (ni par un point, ni par un double point). Ils sont simplement mis en évidence par une taille de caractère légèrement supérieure à celle du corps de base.
\subsubsection{Préliminaires}
@ -108,27 +108,27 @@ s & cm & cm/s\\
0,1 & 0,10 & \\
\hline
\hline
$\begin{array}{c}
\(\begin{array}{c}
2,0\\
2,4\\
2,6\end{array}$&
$\begin{array}{c}
2,6\end{array}\)&
\(\begin{array}{c}
31,6\\
17,8\\
12,4\end{array}$&
$\begin{array}{c}
12,4\end{array}\)&
\(\begin{array}{c}
1,8\\
3,2\\
4,8\end{array}$\\
4,8\end{array}\)\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Si les mesures sont trop nombreuses, pour améliorer la lisibilité du rapport, on peut les reporter en annexe\index{annexe}. Encore une fois, il faut alors impérativement présenter les résultats principaux, significatifs ou importants qui constituent, à proprement parlé, les résultats de l'expérience. Par exemple, dans la recherche d'une accélération à partir de mesures d'une distance parcourue et d'un temps, on peut reporter en annexe les nombreuses mesures réalisées, mais pas les valeurs d'accélération qui en découlent et constituent les résultats de l'expérience.
Par ailleurs, il faut ici insister sur ce qui est nécessaire pour permettre la comparaison entre théorie et expérience. Une notion simple permet de quantifier la différence entre une mesure, notée $valeur_{exp}$, et une valeur théorique, notée \(valeur_{th}\), celle d'écart\index{ecart@écart} ou d'erreur\index{erreur}~:
Par ailleurs, il faut ici insister sur ce qui est nécessaire pour permettre la comparaison entre théorie et expérience. Une notion simple permet de quantifier la différence entre une mesure, notée \(valeur_{exp}\), et une valeur théorique, notée \(valeur_{th}\), celle d'écart\index{ecart@écart} ou d'erreur\index{erreur}~:
\begin{equation}\label{defecart}
\fbox{$\displaystyle e(\%)=\frac{valeur_{th}-valeur_{exp}}{valeur_{th}}\cdot100$}
\fbox{\(\displaystyle e(\%)=\frac{valeur_{th}-valeur_{exp}}{valeur_{th}}\cdot100\)}
\end{equation}
Lorsqu'une valeur théorique est très précisément connue, on parle d'erreur\index{erreur} à la valeur théorique plutôt que d'écart.
@ -191,7 +191,7 @@ Identifier le pulsar sur les photographies (des deux étoiles centrales, c'est c
Faire un tableau où figureront pour chaque filament~: la distance \(x_1\) en \si{\arcsecond} de la première photographie, la distance \(x_2\) en \si{\arcsecond}
de la seconde photo, et le mouvement propre
\[v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\; \text{}\;\Delta x=x_{2}-x_{1}\; et\;\Delta t=\SI{34,1}{ans}\]
\[v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\; \text{}\;\Delta x=x_{2}-x_{1}\; et\;\Delta t=\SI{34,1}{\year}\]
A titre de contrôle, mesurer de la même manière la distance de quelques étoiles au pulsar, sur chaque photographie.
@ -209,7 +209,7 @@ Des astronomes chinois du haut Moyen Âge ont signalé l'apparition, en l'année
Une partie très importante du travail du physicien est de déterminer la (ou les) grandeur\index{grandeur} pertinente pour décrire le phénomène étudié.
Ici, on s'intéresse à la période\index{periode@période} du pendule, c'est-à-dire au temps qu'il met pour faire un aller-retour. Il s'agit de déterminer quelles variables\index{variable} (quels paramètres) pourraient influer cette grandeur. On peut citer pêle-mêle la masse et la longueur du pendule, sa position initiale (l'angle du fil par rapport à la verticale), son poids, le fluide dans lequel il se trouve, etc. Tous ces paramètres n'ont pas forcément de liens avec la grandeur choisie pour décrire le phénomène. Dans un premier temps, on peut donc en éliminer certains qui paraissent en première approximation n'avoir aucun rôle, en raison des difficultés pour les mesurer, des impossibilités matérielles pour les déterminer ou du coût qu'ils engendrent. Bien entendu, il faut tenter de minimiser l'influence de paramètres que l'on ne pourrait prendre en considération pour diverses raisons tout en les sachant importants.
Ici, on s'intéresse à la période\index{periode@période} du pendule, c'est-à-dire au temps qu'il met pour faire un aller-retour. Il s'agit de déterminer quelles variables\index{variable} (quels paramètres) pourraient influer cette grandeur. On peut citer entre autres la masse et la longueur du pendule, sa position initiale (l'angle du fil par rapport à la verticale), son poids, le fluide dans lequel il se trouve, etc. Tous ces paramètres n'ont pas forcément de liens avec la grandeur choisie pour décrire le phénomène. Dans un premier temps, on peut donc en éliminer certains qui paraissent en première approximation n'avoir aucun rôle, en raison des difficultés pour les mesurer, des impossibilités matérielles pour les déterminer ou du coût qu'ils engendrent. Bien entendu, il faut tenter de minimiser l'influence de paramètres que l'on ne pourrait prendre en considération pour diverses raisons tout en les sachant importants.
D'autre part, pratiquement, il est indispensable de réaliser l'expérience en ne faisant varier qu'un seul paramètre\index{parametre@paramètre} à la fois. Dans le cas présent, comme seules les variables masse, longueur et angle initial ont été choisies, il faut réaliser trois séries de mesures~:
@ -224,7 +224,7 @@ Finalement, il faut relever deux choses. Premièrement, la nécessité d'évalue
\subsection{Organisation des données et graphiques}
L'objectif est avant tout la clarté\index{clarte@clarté}. L'organisation des données repose sur une grandeur (la période d'oscillation T) et trois variables (la masse m, la longueur L et l'angle initial $\alpha$). Il est fondamental d'étudier chacune de ces trois variables indépendamment. Pour cela on fixe une valeur pour les deux autres (en général la plus grande possible pour limiter les incertitudes, bien que pour l'angle initial il ne faudrait pas dépasser \SI{15}{\degree} pour que la théorie classique \(T\approx\sqrt{L}\) soit valable) et on ne fait varier que celle qui est choisie. Ainsi, dans le cas du pendule, on est amené à construire trois tableaux~: \(T(m)\), \(T(L)\) et \(T(\alpha)\). Pour des raisons de clarté, on ne répète pas pour chaque mesure la valeur des variables fixées.
L'objectif est avant tout la clarté\index{clarte@clarté}. L'organisation des données repose sur une grandeur (la période d'oscillation T) et trois variables (la masse m, la longueur L et l'angle initial \(\alpha\)). Il est fondamental d'étudier chacune de ces trois variables indépendamment. Pour cela on fixe une valeur pour les deux autres (en général la plus grande possible pour limiter les incertitudes, bien que pour l'angle initial il ne faudrait pas dépasser \SI{15}{\degree} pour que la théorie classique \(T\approx\sqrt{L}\) soit valable) et on ne fait varier que celle qui est choisie. Ainsi, dans le cas du pendule, on est amené à construire trois tableaux~: \(T(m)\), \(T(L)\) et \(T(\alpha)\). Pour des raisons de clarté, on ne répète pas pour chaque mesure la valeur des variables fixées.
En ce qui concerne les graphes, comme la variable change pour chaque expérience, il faut aussi construire trois graphes qui correspondent aux trois tableaux précédents. On ne représente sur ceux-ci que les points effectivement mesurés. On ne relie donc jamais les points. Finalement, il ne faut pas oublier le titre, la date, le nom des grandeurs et les unités obligatoirement présents sur chaque graphe.
@ -260,7 +260,7 @@ Il s'agit aussi de trouver deux théories permettant de calculer l'accélératio
Pour déterminer l'accélération d'un mobile sur un plan incliné, on peut suivre deux raisonnements.
\begin{enumerate}
\item On peut établir une simple relation linéaire entre l'angle du plan et l'accélération. En effet, sachant que l'accélération d'un objet en chute libre vaut $a=9,81\,m/s^2$, on peut faire les correspondances suivantes~: \(\SI{0}{\degree}\;\Rightarrow\;\SI{0}{\metre\per\second\squared}\) et \(\SI{90}{\degree}\;\Rightarrow\;\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\)
\item On peut établir une simple relation linéaire entre l'angle du plan et l'accélération. En effet, sachant que l'accélération d'un objet en chute libre vaut \(g=\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\), on peut faire les correspondances suivantes~: \(\SI{0}{\degree}\;\Rightarrow\;\SI{0}{\metre\per\second\squared}\) et \(\SI{90}{\degree}\;\Rightarrow\;\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\)
Cela mène à la relation suivante~: \[a=g\cdot \alpha/90\]
\item On peut considérer que l'accélération du mobile qui descend le long du rail incliné est la composante le long de ce plan du vecteur correspondant à l'accélération du mobile en chute libre. Il s'agit donc de projeter le vecteur \(\overrightarrow g\) de norme \(g=\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\) perpendiculairement au plan incliné. La figure représentant cette projection est un triangle rectangle d'hypoténuse \(g\) et de côté adjacent \(a\) recherché. On obtient donc la relation suivante~: \[a=g\cdot \sin(\alpha)\].
@ -322,7 +322,7 @@ Ce qui correspond à la vitesse qu'on peut trouver de manière cinématique.
\section{Le chariot à masse pendante}
L'idée est d'accélérer un chariot au moyen d'une masse suspendue. Il se dépalace sur un rail horizontal avec peu de frottements. La masse pendante y est attachée à l'aide d'une petite ficelle. Une poulie permet de faire descendre la masse tout en tirant le chariot horizontalement. On fait varier la masse pendante pour obtenir différentes accélérations.
L'idée est d'accélérer un chariot au moyen d'une masse suspendue. Il se déplace sur un rail horizontal avec peu de frottements. La masse pendante y est attachée à l'aide d'une petite ficelle. Une poulie permet de faire descendre la masse tout en tirant le chariot horizontalement. On fait varier la masse pendante pour obtenir différentes accélérations.
C'est une expérience portant sur la seconde loi de Newton. Elle est intéressante si on laisse l'expérimentateur construire sa propre théorie menant à l'accélération du système chariot-masse pendante. Il est alors possible de comparer une théorie construite de toute pièce (sur la base de la seconde loi de Newton\index{seconde!loi!de Newton}) avec les résultats expérimentaux. Ceux-ci sont obtenus à partir de l'hypothèse d'un MRUA\index{MRUA} à l'aide de l'équation de la position utilisée avec une vitesse initiale nulle. Une série de mesures de diverses distances parcourues en fonction du temps, permet de trouver l'accélération\index{accélération}.
Le résultat ne sera pas explicité ici puisqu'il permettrait de découvrir la bonne théorie, ce qui n'est pas l'objectif recherché.

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@ -8,7 +8,7 @@
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.1}Introduction}{161}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.2}Op\IeC {\'e}rateur d'unit\IeC {\'e}s}{161}}
\newlabel{express_unite}{{A.1}{161}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.3}Analyse dimentionnelle}{162}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.3}Analyse dimensionnelle}{162}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.4}Les unit\IeC {\'e}s du Syst\IeC {\`e}me International}{163}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {A.4.1}Exemple}{163}}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {A.5}Conversions}{163}}

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@ -6,7 +6,7 @@
\section{Introduction}
\lettrine{L}{es unités} sont des ``objets'' d'une importance capitale pour exprimer la valeur d'une grandeur. À chacune d'elle peut correspondre beaucoup d'unités. C'est parfaitement compréhensible étant donné la variété des domaines auxquels elles s'appliquent et à priori il est naturel que chacun définisse les unités qui lui sont les plus pratiques. Mais, deux problèmes se posent alors. Le premier tient dans le fait que plus le nombre d'unités est grand, plus il est difficile de les faire correspondre entre elles. Le second tient dans le fait qu'effectuer des calculs complexes génère des unités complexes. On se heurte donc à des problèmes de \emph{conversion} et à des problèmes de \emph{construction} des unités. C'est pour régler ces deux types de problèmes qu'a été inventé le \emph{Système International d'unités}.
\lettrine{L}{es unités} sont des \og objets\fg{} d'une importance capitale pour exprimer la valeur d'une grandeur. À chacune d'elle peut correspondre beaucoup d'unités. C'est parfaitement compréhensible étant donné la variété des domaines auxquels elles s'appliquent et à priori il est naturel que chacun définisse les unités qui lui sont les plus pratiques. Mais, deux problèmes se posent alors. Le premier tient dans le fait que plus le nombre d'unités est grand, plus il est difficile de les faire correspondre entre elles. Le second tient dans le fait qu'effectuer des calculs complexes génère des unités complexes. On se heurte donc à des problèmes de \emph{conversion} et à des problèmes de \emph{construction} des unités. C'est pour régler ces deux types de problèmes qu'a été inventé le \emph{Système International d'unités}.
\section{Opérateur d'unités}
@ -48,13 +48,13 @@ Mais, des situations plus complexes peuvent se présenter. Pour la période d'un
\end{align*}
On voit qu'appliquer l'opérateur d'unité à une racine revient à l'appliquer aux termes de la racine et que diviser une unité par une fraction de deux autres revient à la multiplier par l'inverse de cette fraction, comme en algèbre ordinaire. Ainsi aussi, la racine du carré d'une unité correspond-elle à l'unité elle-même.
Ainsi, par la suite nous rencontrerons des combinaisons d'unités s'appuyant sur des opérations arithmétiques et il sera possible de les manipuler en tant que telles. C'est pourquoi nous dirons que l'opérateur d'unité est un opérateur algébrique. Nous allons voir qu'il est possible de se livrer aussi à une étude des lois du point de vue de leurs unités à travers ce qu'on nomme une \emph{analyse dimentionnelle}.
Ainsi, par la suite nous rencontrerons des combinaisons d'unités s'appuyant sur des opérations arithmétiques et il sera possible de les manipuler en tant que telles. C'est pourquoi nous dirons que l'opérateur d'unité est un opérateur algébrique. Nous allons voir qu'il est possible de se livrer aussi à une étude des lois du point de vue de leurs unités à travers ce qu'on nomme une \emph{analyse dimensionnelle}.
\section{Analyse dimentionnelle}
\section{Analyse dimensionnelle}
Pour comprendre les relations entretenues par différentes grandeurs, plusieurs méthodes sont à notre disposition. Les deux principales sont la déduction mathématique utilisée à partir des axiomes d'une théorie et l'induction expérimentale. L'analyse dimentionnelle est un outil supplémentaire permettant la vérification des lois. On entend par analyse dimentionnelle l'étude des dimensions des grandeurs impliquées, c'est-à-dire l'analyse de leurs unités. Par exemple, si on envisage la force centripète \(F\) exercée par la corde qui retient un objet en rotation, on peut écrire~:
Pour comprendre les relations entretenues par différentes grandeurs, plusieurs méthodes sont à notre disposition. Les deux principales sont la déduction mathématique utilisée à partir des axiomes d'une théorie et l'induction expérimentale. L'analyse dimensionnelle est un outil supplémentaire permettant la vérification des lois. On entend par analyse dimensionnelle l'étude des dimensions des grandeurs impliquées, c'est-à-dire l'analyse de leurs unités. Par exemple, si on envisage la force centripète F exercée par la corde qui retient un objet en rotation, on peut écrire~:
\[F=m\cdot \frac{v}{R}\]
\(m\) est la masse de l'objet, \(v\) sa vitesse et \(R\) le rayon du cercle parcouru. En effet, intuitivement, la force doit être forte pour une grande masse et une vitesse importante. Par contre, en imaginant une voiture qui prend un virage, on s'imagine bien que c'est pour un rayon petit que cette force doit être grande. D'où la forme de la relation proposée.
où m est la masse de l'objet, v sa vitesse et R le rayon du cercle parcouru. En effet, intuitivement, la force doit être forte pour une grande masse et une vitesse importante. Par contre, en imaginant une voiture qui prend un virage, on s'imagine bien que c'est pour un rayon petit que cette force doit être grande. D'où la forme de la relation proposée.
Mais, cette relation est-elle correcte ? Pour en savoir plus procédons à une analyse dimensionnelle. La seconde loi de Newton nous permet d'écrire~:
\[[F]=[m]\cdot [a]=\si{\kilogram\metre\per\second\squared}\]
@ -66,12 +66,12 @@ et on peut en déduire que la relation est fausse, uniquement sur la base d'une
La correction est assez facile à trouver. Comme il faut l'inverse d'un temps au carré et que le temps n'apparaît que dans la vitesse, on peut essayer~:
\[F=m\cdot \frac{v^2}{R}\]
Et l'analyse dimentionnelle~:
Et l'analyse dimensionnelle~:
\[\si{\kilogram\metre\per\second\squared}=\si{\kilogram}\cdot \frac{\si{\metre\squared\per\second\squared}}{\si{\metre}}\]
confirme alors l'exactitude de cette relation.
\smallskip
Un tel outil est très puissant et si simple à utiliser qu'il est important de le faire systèmatiquement.
Un tel outil est très puissant et si simple à utiliser qu'il est important de le faire systématiquement.
\section{Les unités du Système International}
Nous avons dit précédemment que le Système International d'unités\index{Système!International d'unités} (SI\index{SI}) a sa raison d'être, non pas dans l'uniformisation (qui n'a pas de sens véritable puisqu'à chaque type de problème un système d'unité adéquat doit être choisi pour simplifier la représentation numérique) mais dans la simplification des calculs. En effet, tous les calculs effectués dans ce système sont prévus (au niveau des constantes utilisées) pour donner des résultats dont les unités restent dans ce système.

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@ -1137,7 +1137,7 @@
\indexentry{ecliptique@\IeC {\'e}cliptique}{201}
\indexentry{maree@mar\IeC {\'e}e!c\IeC {\^o}ti\IeC {\`e}re}{201}
\indexentry{limite de Roche}{201}
\indexentry{croute terrestre}{201}
\indexentry{cro\IeC {\^u}te terrestre}{201}
\indexentry{Io}{201}
\indexentry{volcanisme}{201}
\indexentry{anneau d'ast\IeC {\'e}ro\IeC {\"\i }des}{202}

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@ -1,4 +1,4 @@
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.17 (TeX Live 2016/Debian) (preloaded format=latex 2018.12.20) 2 APR 2019 19:04
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.17 (TeX Live 2016/Debian) (preloaded format=latex 2018.12.20) 2 APR 2019 23:08
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runsystem(rm -f w18-test-2019421144.tex)...executed.
runsystem(rm -f w18-test-2019421388.tex)...executed.
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@ -1987,7 +1987,6 @@ LaTeX Warning: Label `encindef' multiply defined.
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(./Annexe-Rotations/Annexe-Rotations.aux) (./Annexe-MRUA/Annexe-MRUA.aux)
(./Annexe-ChuteLune/Annexe-ChuteLune.aux)
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[12])
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[13]
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[14
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[]\T1/lmr/m/n/10 On montre (voir an-nexe E.1[]) que pour un
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<./ThermodynamiqueOS/Images/Dilatationlineaire.eps> [137
[137
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<./ThermodynamiqueOS/Images/Bilame.eps>
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Underfull \hbox (badness 1028) in paragraph at lines 156--158
[]\T1/lmr/m/n/10 Une pis-cine de [][][][][][][][] est rem-plie
[]
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Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 377--378
[]\T1/lmr/m/n/10 A tem-pé-ra-ture
[]
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Underfull \hbox (badness 1325) in paragraph at lines 379--380
\T1/lmr/m/n/10 pé-ra-ture aug-mente, alors le vo-lume aug-
[]
[143]
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[144]
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Underfull \hbox (badness 2469) in paragraph at lines 451--452
[]\T1/lmr/m/n/10 L'approche in-tui-tive nous ayant ap-pris par
[]
Overfull \hbox (1.63594pt too wide) in paragraph at lines 474--475
Overfull \hbox (1.63594pt too wide) in paragraph at lines 473--474
[][]
[]
[145]
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<./Thermodynamique/Images/DiagTravailPV.eps> [146]
Underfull \hbox (badness 1024) in paragraph at lines 548--549
Underfull \hbox (badness 1024) in paragraph at lines 547--548
[]\T1/lmr/m/n/10 Cela consti-tue le prin-cipe d'équi-par-ti-tion de
[]
LaTeX Warning: Reference `diagrammepv' on page 147 undefined on input line 595.
LaTeX Warning: Reference `diagrammepv' on page 147 undefined on input line 594.
[147]
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File: ./ThermodynamiqueOS/Images/Moteur4.eps Graphic file (type eps)
<./ThermodynamiqueOS/Images/Moteur4.eps>
Underfull \hbox (badness 1365) in paragraph at lines 975--976
Underfull \hbox (badness 1365) in paragraph at lines 974--975
[]\T1/lmr/m/n/10 Naturellement, les dif-fé-rentes gran-deurs sont
[]
@ -3836,7 +3832,7 @@ File: ./ThermodynamiqueOS/Images/Allumage.eps Graphic file (type eps)
File: ./ThermodynamiqueOS/Images/TempsMoteur.eps Graphic file (type eps)
<./ThermodynamiqueOS/Images/TempsMoteur.eps>
Underfull \hbox (badness 3919) in paragraph at lines 1134--1134
Underfull \hbox (badness 3919) in paragraph at lines 1133--1133
[]\T1/lmr/m/n/8 (d) Temps mo-
[]
@ -3845,7 +3841,7 @@ File: ./ThermodynamiqueOS/Images/Echappement.eps Graphic file (type eps)
File: ./ThermodynamiqueOS/Images/Evacuation.eps Graphic file (type eps)
<./ThermodynamiqueOS/Images/Evacuation.eps> [154]
Underfull \hbox (badness 1859) in paragraph at lines 1142--1143
Underfull \hbox (badness 1859) in paragraph at lines 1141--1142
[]\T1/lmr/m/n/10 (\T1/lmr/m/n/9 fig. 11.13(a)[]) Pen-dant ce pre-mier
[]
@ -3856,15 +3852,15 @@ File: ./ThermodynamiqueOS/Images/DiagPVDiesel.eps Graphic file (type eps)
<./ThermodynamiqueOS/Images/DiagPVDiesel.eps> [156] [157]
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4.
3.
Underfull \hbox (badness 6641) in paragraph at lines 1316--1316
Underfull \hbox (badness 6641) in paragraph at lines 1315--1315
[]\T1/lmr/bx/n/14.4 Thermodynamique sta-
[]
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LaTeX Warning: Reference `' on page 158 undefined on input line 1316.
[158]) [159
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]
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6.
File: ./Annexe-TravauxPratiques/Images/RailHorizontal.eps Graphic file (type ep
s)
<./Annexe-TravauxPratiques/Images/RailHorizontal.eps>
Underfull \hbox (badness 1648) in paragraph at lines 77--78
[]\T1/lmr/m/n/10 Les ré-sul-tats doivent im-pé-ra-ti-ve-ment fi-gu-rer
[]
[176]
LaTeX Warning: Reference `explegraphe' on page 177 undefined on input line 86.
File: ./Annexe-TravauxPratiques/Images/ExpleGraphe.eps Graphic file (type eps)
<./Annexe-TravauxPratiques/Images/ExpleGraphe.eps> [177] [178]
<./Annexe-TravauxPratiques/Images/ExpleGraphe.eps>
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[177] [178]
Underfull \hbox (badness 1205) in paragraph at lines 188--189
\T1/lmr/m/n/10 ouest) et me-su-rer suc-ces-si-ve-ment les dis-tances
[]
@ -4376,12 +4382,12 @@ LaTeX Warning: \oval, \circle, or \line size unavailable on input line 161.
]
Underfull \hbox (badness 1983) in paragraph at lines 305--313
Underfull \hbox (badness 1983) in paragraph at lines 304--312
\T1/lmr/m/n/10 peuvent lui per-mettre est de [][] (route
[]
Underfull \hbox (badness 1112) in paragraph at lines 328--329
Underfull \hbox (badness 1112) in paragraph at lines 327--328
[]\T1/lmr/m/n/10 Un avion s'ap-proche d'un porte-avions à
[]
@ -4392,7 +4398,7 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
This may cause the page layout to be inconsistent, however.
[210]
Underfull \hbox (badness 3826) in paragraph at lines 546--557
Underfull \hbox (badness 3826) in paragraph at lines 545--556
[]\T1/lmr/m/n/10 Une moto passe de [][] à
[]
@ -4403,42 +4409,42 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
This may cause the page layout to be inconsistent, however.
[211]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 563--564
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 562--563
[]\T1/lmr/m/n/10 Si on sup-pose sa vi-tesse ho-ri-zon-tale
[]
Underfull \hbox (badness 1622) in paragraph at lines 563--564
Underfull \hbox (badness 1622) in paragraph at lines 562--563
\T1/lmr/m/n/10 constante, à quelle dis-tance du pied du
[]
Underfull \hbox (badness 1681) in paragraph at lines 563--564
Underfull \hbox (badness 1681) in paragraph at lines 562--563
\T1/lmr/m/n/10 bord de la plate-forme arrivera-t-il dans
[]
Overfull \hbox (8.06133pt too wide) in paragraph at lines 669--670
Overfull \hbox (8.06133pt too wide) in paragraph at lines 668--669
[]
[]
Overfull \hbox (9.56909pt too wide) in paragraph at lines 671--672
Overfull \hbox (9.56909pt too wide) in paragraph at lines 670--671
[]
[]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 673--674
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 672--673
[]\T1/lmr/m/n/10 Il
[]
Underfull \hbox (badness 7326) in paragraph at lines 675--676
Underfull \hbox (badness 7326) in paragraph at lines 674--675
[]\T1/lmr/m/n/10 Vérifier que le
[]
Overfull \hbox (8.10452pt too wide) in paragraph at lines 677--678
Overfull \hbox (8.10452pt too wide) in paragraph at lines 676--677
[]
[]
@ -4466,7 +4472,7 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
File: ./Annexe-Exercices/Images/deuxpoulies.eps Graphic file (type eps)
<./Annexe-Exercices/Images/deuxpoulies.eps>)
Underfull \hbox (badness 1552) in paragraph at lines 1365--1402
Underfull \hbox (badness 1552) in paragraph at lines 1364--1401
[]\T1/lmr/m/n/10 Reprenez la si-tua-tion du pro-
[]
@ -4477,18 +4483,18 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
This may cause the page layout to be inconsistent, however.
[214]
Underfull \hbox (badness 1603) in paragraph at lines 1553--1554
Underfull \hbox (badness 1603) in paragraph at lines 1552--1553
[]\T1/lmr/m/n/10 Une voi-ture a une masse $\OML/lmm/m/it/10 m \OT1/lmr/m/n/10 =
[]
Underfull \hbox (badness 5970) in paragraph at lines 1687--1714
Underfull \hbox (badness 5970) in paragraph at lines 1686--1713
\T1/lmr/m/n/10 Réponses : [][], [][], [][] et
[]
Underfull \hbox (badness 3439) in paragraph at lines 1744--1745
Underfull \hbox (badness 3439) in paragraph at lines 1743--1744
[]\T1/lmr/m/n/10 À l'aide d'un cha-riot d'une
[]
@ -4509,7 +4515,7 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
Output from handle ans going to Solutions.tex
File ans already open
Underfull \hbox (badness 1117) in paragraph at lines 1849--1850
Underfull \hbox (badness 1117) in paragraph at lines 1848--1849
[]\T1/lmr/m/n/10 d'une voi-ture de masse [][] rou-lant à
[]
@ -4520,12 +4526,12 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
This may cause the page layout to be inconsistent, however.
[216]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2197--2204
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2196--2203
[]\T1/lmr/m/n/10 Un par-ti-cu-lier consomme
[]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2197--2204
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2196--2203
[][] \T1/lmr/m/n/10 d'éner-gie élec-trique. Il dé-sire
[]
@ -4535,10 +4541,17 @@ Package Fancyhdr Warning: \headheight is too small (12.2pt):
We now make it that large for the rest of the document.
This may cause the page layout to be inconsistent, however.
[217] (./Solutions.tex [218] [219] [220]
File: ./Annexe-Exercices/Images/GraphesMRU.eps Graphic file (type eps)
[217] (./Solutions.tex
<./Annexe-Exercices/Images/GraphesMRU.eps>
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[218] [219]
LaTeX Warning: Reference `defecart' on page 220 undefined on input line 150.
[220]
File: ./Annexe-Exercices/Images/GraphesMRU.eps Graphic file (type eps)
<./Annexe-Exercices/Images/GraphesMRU.eps>
Underfull \hbox (badness 1838) in paragraph at lines 276--278
\T1/lmr/m/n/10 Les deux po-si-tions sont bien évi-dem-ment les
[]
@ -5059,12 +5072,12 @@ LaTeX Warning: There were multiply-defined labels.
)
Here is how much of TeX's memory you used:
34315 strings out of 494830
648745 string characters out of 6176634
728457 words of memory out of 5000000
36484 multiletter control sequences out of 15000+600000
34311 strings out of 494830
648574 string characters out of 6176634
727790 words of memory out of 5000000
36482 multiletter control sequences out of 15000+600000
147718 words of font info for 110 fonts, out of 8000000 for 9000
36 hyphenation exceptions out of 8191
56i,29n,92p,10526b,1509s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
Output written on CoursMecaniqueOSDF.dvi (266 pages, 1701420 bytes).
Output written on CoursMecaniqueOSDF.dvi (266 pages, 1683604 bytes).

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@ -270,7 +270,7 @@
\contentsline {chapter}{\numberline {A}Syst\IeC {\`e}mes d'unit\IeC {\'e}s}{161}
\contentsline {section}{\numberline {A.1}Introduction}{161}
\contentsline {section}{\numberline {A.2}Op\IeC {\'e}rateur d'unit\IeC {\'e}s}{161}
\contentsline {section}{\numberline {A.3}Analyse dimentionnelle}{162}
\contentsline {section}{\numberline {A.3}Analyse dimensionnelle}{162}
\contentsline {section}{\numberline {A.4}Les unit\IeC {\'e}s du Syst\IeC {\`e}me International}{163}
\contentsline {subsection}{\numberline {A.4.1}Exemple}{163}
\contentsline {section}{\numberline {A.5}Conversions}{163}

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@ -13,7 +13,7 @@
\[\SI{1,496e11}{\metre}=\SI{1,496e8}{\kilo\metre}\]
Par ailleurs, par définition de l'unité astronomique (UA), on a~:
\[\SI{1,496e11}{\metre}=\SI{1}{UA}\]
Finalement, avec $1\,AL=9,46\cdot 10^{15}\,m$, on a~:
Finalement, avec \(\SI{1}{\lightyear}=\SI{9,46e15}{\metre}\), on a~:
\begin{align*}
\SI{1,496e11}{\metre}&=\frac{1,496\cdot 10^{11}}{9,46\cdot 10^{15}}\\
&=\SI{1,58e-5}{AL}\cong\SI{16}{\micro AL}
@ -58,7 +58,7 @@
L&=5000\cdot 160=\SI{8e5}{\metre}\\
\alpha&=7,5\cdot \frac{\pi}{180}=\SI{0,13}{\radian}
\end{align*}
Ainsi, le rayon de la Terre d'Eratosthène valait~:
Ainsi, le rayon de la Terre d'Ératosthène valait~:
\[R=\frac{8\cdot 10^5}{0,13}=\SI{6111550}{\metre}=\SI{6111,55}{\kilo\metre}\]
Sachant que la valeur actuelle du rayon moyen de la Terre vaut~:
\[R_{Terre}=\SI{6371,03}{\kilo\metre}\]
@ -353,7 +353,7 @@ On a successivement~:
En ce qui concerne la vitesse, dans le troisième cas on peut simplement déterminer la vitesse par~:
\[v=a\cdot t=9,81\cdot 1,53-1=\SI{14}{\metre\per\second}=\SI{50,5}{\kilo\metre\per\hour}\]
Ce qui donne la même valeur que précedemment en raison de la faible vitesse verticale initiale et de l'arrondi. Celle-ci doit cependant être comptée et doit l'être négativement (\(v_o=\SI{-1}{\metre\per\second}\)), car elle est vers le haut alors que l'axe est vers le bas.
Ce qui donne la même valeur que précédemment en raison de la faible vitesse verticale initiale et de l'arrondi. Celle-ci doit cependant être comptée et doit l'être négativement (\(v_o=\SI{-1}{\metre\per\second}\)), car elle est vers le haut alors que l'axe est vers le bas.
\end{Solution}
\begin{Solution}{28}
@ -972,7 +972,7 @@ On a successivement~:
\begin{Solution}{66}
La puissance du vent est donnée par la relation \ref{puissvent}~:
\[P_{vent}=\frac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot v^3\]
Soit avec une surface $S=\pi\cdot R^2$, une vitesse en unités SI \(v=\SI{6}{\metre\per\second}\) et les valeurs données~:
Soit avec une surface \(S=\pi\cdot R^2\), une vitesse en unités SI \(v=\SI{6}{\metre\per\second}\) et les valeurs données~:
\begin{align*}
P_{vent}&=\frac{1}{2}\cdot 1,293\cdot \pi\cdot 22^2\cdot 6^3\\
&=\SI{212333}{\watt}=\SI{212,333}{\kilo\watt}

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@ -135,7 +135,7 @@
car l'accélération perpendiculairement au plan est nulle, comme déjà mentionné.
\smallskip
Si on considére l'angle \(\alpha\), en s'imaginant le plan incliné horizontal, on comprends qu'il se reporte entre le vecteur poids \(\overleftarrow{P}\) et sa compostante selon y \(P_y\).
Si on considère l'angle \(\alpha\), en s'imaginant le plan incliné horizontal, on comprends qu'il se reporte entre le vecteur poids \(\overleftarrow{P}\) et sa composante selon y \(P_y\).
Avec le triangle rectangle formé par le poids et ses composantes et un peu de trigonométrie, on peut en déduire~:
\begin{align*}
@ -254,7 +254,7 @@
\[T=m\cdot g=80\cdot 9,81=\SI{784,8}{\newton}\]
\item À vitesse constante, la force permettant au ballon de s'élever est donc égale au poids de ce qu'il soulève. La force d'ascension vaut donc \(F=\SI{1765,8}{\newton}\).
Si on lâche \SI{20}{\kilo\gram} de lest, la masse de la nacelle devient égale à \SI{80}{\kilo\gram}. La seconde loi de Newton permet alors de calculer l'acclération~:
Si on lâche \SI{20}{\kilo\gram} de lest, la masse de la nacelle devient égale à \SI{80}{\kilo\gram}. La seconde loi de Newton permet alors de calculer laccélération~:
\begin{align*}
\sum F^{ext}&=F-(M+m)\cdot g=(M+m)\cdot a\;\Rightarrow\\
a&=\frac{F}{M+m}-g=\frac{1765,8}{80+80}-9,81\\
@ -308,7 +308,7 @@
Ainsi, quand on tire la corde d'une longueur L, la poulie monte d'une longueur L/2.
\bigskip
Pour revenir au système des deux poulies du problème, la remarque précédente se traduit par le fait que quand la masse m descent d'une longueur L, la masse M monte d'une longueur L/2.
Pour revenir au système des deux poulies du problème, la remarque précédente se traduit par le fait que quand la masse m descend d'une longueur L, la masse M monte d'une longueur L/2.
L'accélération étant une distance divisée par un temps au carré, on comprends facilement que cela signifie que l'accélération de la masse m vaut simplement le double de celle de la masse M, soit~:
\[a_m=2\cdot a_M\]
@ -411,7 +411,7 @@
M&=(L-y)\cdot \rho=(L-y)\cdot\frac{M}{L}\\
m&=y\cdot \rho=y\cdot\frac{M}{L}
\end{align*}
Ainsi, on peut simplement écrire l'équation de l'acclération~:
Ainsi, on peut simplement écrire l'équation de laccélération~:
\begin{align*}
a&=\frac{m}{M+m}\cdot g=\frac{y\cdot M/L}{(L-y)\cdot M/L+y\cdot M/L}\cdot g\\
&=\frac{y}{(L-y)+y}\cdot g=\frac{y}{L}\cdot g

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@ -14,7 +14,7 @@ La seconde se base sur l'énergie cinétique des molécules. Elle est dite de Ke
La définition du zéro absolu est loin d'être évidente. En réalité, la définition même d'une échelle de température l'est aussi. Car, pour des thermomètres basés sur la dilatation des solides (voir paragraphe \ref{dilatation}), comme pour ceux basés sur la dilatation des liquides (thermomètres au mercure, par exemple), la proportionnalité de l'allongement avec la température n'est pas garantie.
Paradoxalement, car la maîtrise théorique nécessaire à l'utilisation d'un tel thermomètre ne le laisse pas penser, c'est avec des thermomètres à gaz que les meilleurs résultats sont obtenus. En effet, pour certains gaz particuliers dits parfaits, la variation de volume est parfaitement proportionnelle à la température. La figure \ref{thermometreagaz} présente les éléments d'un thermomètre à gaz. Son principe de fonctionnement est le suivant~: on maintient constante la pression exercée sur un gaz par l'intermédiaire d'un tube en U rempli de mercure. dont on peut abaisser l'une des branches (celle de droite sur la figure \ref{thermometreagaz}) pour rééquilibrer les niveaux de mercure après dilatation du gaz.
Paradoxalement, car la maîtrise théorique nécessaire à l'utilisation d'un tel thermomètre ne le laisse pas penser, c'est avec des thermomètres à gaz que les meilleurs résultats sont obtenus. En effet, pour certains gaz particuliers dits parfaits, la variation de volume est parfaitement proportionnelle à la température, pour autant que la pression reste constante. Le principe de fonctionnement d'un thermomètre à gaz est donc le suivant~: on maintient constante la pression exercée sur un gaz par l'intermédiaire d'un tube en U rempli de mercure dont on peut abaisser ou monter l'une des branches pour rééquilibrer le niveau de mercure après dilatation du gaz. La différence de hauteur mesurée permet alors d'obtenir la température.
\subsection{Dilatation}\label{dilatation}
Un corps solide soumis à un changement de température voit ses dimensions changer. Considérons d'abord le cas d'un corps étendu dans une seule dimension. Une tige mince par exemple. On constate expérimentalement (voir figure \ref{dilatationlineaire}) que la variation de sa longueur \(\Delta L\) est proportionnelle à sa longueur initiale \(L_o\), à la variation de température \(\Delta \theta\) qu'il subit et à un coefficient \(\alpha\) traduisant la réaction de la matière qui le constitue au changement de température. On a ainsi~:
@ -23,10 +23,9 @@ Un corps solide soumis à un changement de température voit ses dimensions chan
\end{equation}
\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Dilatation linéaire\label{dilatationlineaire}}
\begin{center}\includegraphics{Dilatationlineaire.eps}\end{center}
\includegraphics{Dilatationlineaire.eps}
\end{figure}
Les unités du coefficient de dilatation linéaire \(\alpha\) s'expriment donc par des \si{\per\celsius} ou des \si{\per\kelvin}. Ce coefficient est donc fonction de la matière utilisée. La table \ref{coefflineaire} en donne différentes valeurs pour différentes matières~:

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@ -14,7 +14,7 @@ La seconde se base sur l'énergie cinétique des molécules. Elle est dite de Ke
La définition du zéro absolu est loin d'être évidente. En réalité, la définition même d'une échelle de température l'est aussi. Car, pour des thermomètres basés sur la dilatation des solides (voir paragraphe \ref{dilatation}), comme pour ceux basés sur la dilatation des liquides (thermomètres au mercure, par exemple), la proportionnalité de l'allongement avec la température n'est pas garantie.
Paradoxalement, car la maîtrise théorique nécessaire à l'utilisation d'un tel thermomètre ne le laisse pas penser, c'est avec des thermomètres à gaz que les meilleurs résultats sont obtenus. En effet, pour certains gaz particuliers dits parfaits, la variation de volume est parfaitement proportionnelle à la température. La figure \ref{thermometreagaz} présente les éléments d'un thermomètre à gaz. Son principe de fonctionnement est le suivant~: on maintient constante la pression exercée sur un gaz par l'intermédiaire d'un tube en U rempli de mercure. dont on peut abaisser l'une des branches (celle de droite sur la figure \ref{thermometreagaz}) pour rééquilibrer les niveaux de mercure après dilatation du gaz.
Paradoxalement, car la maîtrise théorique nécessaire à l'utilisation d'un tel thermomètre ne le laisse pas penser, c'est avec des thermomètres à gaz que les meilleurs résultats sont obtenus. En effet, pour certains gaz particuliers dits parfaits, la variation de volume est parfaitement proportionnelle à la température, pour autant que la pression reste constante. Le principe de fonctionnement d'un thermomètre à gaz est donc le suivant~: on maintient constante la pression exercée sur un gaz par l'intermédiaire d'un tube en U rempli de mercure dont on peut abaisser ou monter l'une des branches pour rééquilibrer le niveau de mercure après dilatation du gaz. La différence de hauteur mesurée permet alors d'obtenir la température.
\subsection{Dilatation}\label{dilatation}
Un corps solide soumis à un changement de température voit ses dimensions changer. Considérons d'abord le cas d'un corps étendu dans une seule dimension. Une tige mince par exemple. On constate expérimentalement (voir figure \ref{dilatationlineaire}) que la variation de sa longueur \(\Delta L\) est proportionnelle à sa longueur initiale \(L_o\), à la variation de température \(\Delta \theta\) qu'il subit et à un coefficient \(\alpha\) traduisant la réaction de la matière qui le constitue au changement de température. On a ainsi~:
@ -23,10 +23,9 @@ Un corps solide soumis à un changement de température voit ses dimensions chan
\end{equation}
\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{Dilatation linéaire\label{dilatationlineaire}}
\begin{center}\includegraphics{Dilatationlineaire.eps}\end{center}
\includegraphics{Dilatationlineaire.eps}
\end{figure}
Les unités du coefficient de dilatation linéaire \(\alpha\) s'expriment donc par des \si{\per\celsius} ou des \si{\per\kelvin}. Ce coefficient est donc fonction de la matière utilisée. La table \ref{coefflineaire} en donne différentes valeurs pour différentes matières~:
@ -1210,7 +1209,7 @@ Ainsi le rendement d'un moteur à essence est~:
\end{equation}
\smallskip
Pour l'air, on a \(\gamma=1,4\). Avec un rapport de compression typique de huit, le rendement est suppérieur à 50\%. Or, dans la pratique, on ne dépasse guère les 25\%.
Pour l'air, on a \(\gamma=1,4\). Avec un rapport de compression typique de huit, le rendement est supérieur à 50\%. Or, dans la pratique, on ne dépasse guère les 25\%.
\subsection{Moteur Diesel}
Le fonctionnement d'un moteur diésel n'est pas très différent de celui d'un moteur à essence. Pour ce dernier, on a dit que le rapport de compression était d'environ huit. C'est insuffisant pour allumer le mélange spontanément, sans utiliser l'étincelle d'une bougie. Le rapport de compression d'un moteur Diesel étant d'environ quinze, celui-ci est assez important pour élever fortement la température de l'air. Ainsi, lorsque le carburant est injecté à la fin de la compression, il s'enflamme spontanément, mais d'une manière moins explosive que dans un moteur à essence. La transformation thermodynamique correspondant à l'allumage n'est donc plus une isochore, mais une isobare et le diagramme PV est alors celui de la figure \ref{diagetatmotdiesel}.
@ -1234,9 +1233,9 @@ Le fonctionnement d'un moteur diésel n'est pas très différent de celui d'un m
\end{figure}
\medskip
Comme le cycle d'Otto, le cycle Diesel est donc aussi constitué de deux adiabatiques pendant lesquelles aucune chaleur n'est échangée. Comme dans le cycle d'Otto, la chaleur est rejettée pendant l'échappement. La chaleur absorbée l'est donc pendant la transformation isobare. On a ainsi~:
Comme le cycle d'Otto, le cycle Diesel est donc aussi constitué de deux adiabatiques pendant lesquelles aucune chaleur n'est échangée. Comme dans le cycle d'Otto, la chaleur est rejetée pendant l'échappement. La chaleur absorbée l'est donc pendant la transformation isobare. On a ainsi~:
\[Q_{abs}=n\cdot C_P\cdot (T_3-T_2)\]
et, comme chaleur rejettée~:
et, comme chaleur rejetée~:
\[Q_{rej}=n\cdot C_V\cdot (T_1-T_4)\]
La différence constitue le travail fourni par le système pendant le cycle, une partie étant produite par le gaz pendant le temps moteur et une autre absorbée par celui-ci pendant la compression. Attention, \(Q_{rej}>0\) et il faut donc soit additionner les deux chaleur pour avoir le travail qui constitue leur différence ou soustraire l'opposé de la chaleur rejetée, soit \(|Q_{rej}|=n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)\). On a donc~:
\begin{align*}
@ -1309,12 +1308,12 @@ Fondamentalement, c'est le même que celui d'un climatiseur.
\subsection{Pompe à chaleur}
\subsection{Cycle de Carnot}
Il s'agit d'un cycle très important, car il possède un rendement maximum qu'aucun moteur ne peut dépasser. Ce rendement n'est pas de 100\%, pour des raisons dues au second principe que nous verrons au paragraphe \ref{secondprincipe}. Comme il dépend de la température des sources chaude et froide, une comparaison des rendements n'est pas siginficative. En effet, la différence de température entre les deux sources implique des rendements maximum différents. C'est pouquoi on utilise le rendement de Carnot pour comparer l'efficacité des moteurs.
Il s'agit d'un cycle très important, car il possède un rendement maximum qu'aucun moteur ne peut dépasser. Ce rendement n'est pas de 100\%, pour des raisons dues au second principe que nous verrons au paragraphe \ref{secondprincipe}. Comme il dépend de la température des sources chaude et froide, une comparaison des rendements n'est pas significative. En effet, la différence de température entre les deux sources implique des rendements maximum différents. C'est pourquoi on utilise le rendement de Carnot pour comparer l'efficacité des moteurs.
Voyons maintenant sur quelles transformations repose le cycle de Carnot. Pour cela examinons la figure \ref{diagpvcarnot} qui donne son diagramme PV.
\section{Thermodynamique statistique}\label{thermostat}
Au paragraphe \ref{apprmolecul}, nous avons considéré un gaz parfait du point de vue de ses éléments constitutifs. Reprenons cette approche pour déterminer comment un état donné est réalisé microscopiquement par un gaz. Pour cela, partons d'un volume divisé en trois parties et qui contient trois molécules sans interractions mutuelles. Nous ne prendrons pas en compte les différentes manières de répartir l'énergie interne entre les quatre molécules. Dénombrons le nombre d'états possibles, c'est-à-dire le nombre de manières différentes de placer les trois molécules dans les trois parties. On suppose que les molécules sont identiques. La figure \ref{} montre qu'il existe dix états microscopique différent, dont un comporte une seule molécule dans chaque partie, six comportent deux molécules dans l'une et/ou l'autre des parties et trois comportent trois molécules dans l'une des parties. Visiblement, sur la base du seul critère de la position des molécules, la probabilité de réalisation d'un état avec une, deux ou trois molécules dans une partie est très différente. Certains états sont réalisés plus souvent que d'autres, comme ici celui avec deux molécules dans l'une des parties. Visuellement cet état est aussi le plus désordonné.
Au paragraphe \ref{apprmolecul}, nous avons considéré un gaz parfait du point de vue de ses éléments constitutifs. Reprenons cette approche pour déterminer comment un état donné est réalisé microscopiquement par un gaz. Pour cela, partons d'un volume divisé en trois parties et qui contient trois molécules sans interactions mutuelles. Nous ne prendrons pas en compte les différentes manières de répartir l'énergie interne entre les quatre molécules. Dénombrons le nombre d'états possibles, c'est-à-dire le nombre de manières différentes de placer les trois molécules dans les trois parties. On suppose que les molécules sont identiques. La figure \ref{} montre qu'il existe dix états microscopique différent, dont un comporte une seule molécule dans chaque partie, six comportent deux molécules dans l'une et/ou l'autre des parties et trois comportent trois molécules dans l'une des parties. Visiblement, sur la base du seul critère de la position des molécules, la probabilité de réalisation d'un état avec une, deux ou trois molécules dans une partie est très différente. Certains états sont réalisés plus souvent que d'autres, comme ici celui avec deux molécules dans l'une des parties. Visuellement cet état est aussi le plus désordonné.
De manière plus générale, considérons un volume \(V\) décomposé en \(n\) parties de volume \(v=V/n\) contenant \(N\) particules différentes. On peut mettre la première particule dans l'une ou l'autre des \(n\) parties. De la même manière, on peut placer les \(N\) particules suivantes de \(n\) manières différentes. Au total, on a donc \(n^N\) manières de peupler notre volume \(V\). Or, comme \(n=V/v\), on a~:
\[n^N=(\frac{V}{v})^N\sim V^N\]