\chapter{La projection de Mercator}\label{annexe:projectionmercator}

Cette annexe a pour but de se familiariser avec les bases de la projection de Mercator.

Au préalable, c'est à la projection cylindrique équidistante ou projection équirectangulaire ou projection géographique que nous allons nous intéresser.

\section{Équirectangulaire}
Sa simplicité apparente en fait un bon point de départ pour appréhender l'intérêt de la projection de Mercator. Un projection équirectangulaire \dots
\begin{quotation}
\textit{[\dots] se définit (partiellement) comme une projection de la surface du globe sur la surface d'un cylindre, dont l'axe se confond avec l'axe des pôles et contient les origines des vecteurs de projection. Les méridiens sont alors projetés sur des lignes verticales espacées de manière égale, et les parallèles sont aussi projetés sur des lignes horizontales équidistantes (espacement horizontal constant). Ce dernier point différencie cette projection de la projection de Mercator. De plus, contrairement à la projection de Mercator, la projection cylindrique équidistante n'est pas conforme. Elle n'est pas non plus équivalente, mais aphylactique (elle conserve les distances le long des méridiens, d'où le nom « projection cylindrique équidistante »).} \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Projection_cylindrique\_\%C3\%A9quidistante}{Wikipedia}.
\end{quotation}

La figure \ref{figure:equirectangulaire} présente la situation.
\begin{figure*}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Equirectangular-projection}
\caption{Projection équirectangulaire (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Equirectangular-projection.jpg}{Wikimedia commons}).\label{figure:equirectangulaire}}
\end{figure*}

Cette projection est intéressante, car, si elle est centrée sur l'équateur et le méridien de Greenwich (latitude et longitude nulles), la projection est mathématiquement très simple~:
\begin{align*}
x&=\lambda\\
y&=\phi
\end{align*}
où \(\lambda\), \(\phi\), x et y sont respectivement la longitude, la latitude, la position sur l'abscisse et y la position sur l'ordonnée.

Cette transformation ne conserve ni les angles, elle est non conforme, ni les aires, elle est non équivalente. Mais elle préserve les distances sur les méridiens, mais pas sur les grands cercles. La figure \ref{figure:indicatriceequirectangulaire} donne son indicatrice de Tissot (voir \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Projection\_cylindrique\_\%C3\%A9quidistante}{Wikipedia}), une représentation visuelle des déformations qu'elle produit. On voit que le rayon vertical des ellipses présentées demeure constant, alors que celui horizontal change.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{TissotEquirectangulaire}
\caption{Indicatrice de la transformation équirectangulaire (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tissot\_indicatrix\_world\_map\_equirectangular\_proj.svg?uselang=fr}{Wikimedia commons}).\label{figure:indicatriceequirectangulaire}}
\end{figure}

\section{Mercator}
\subsection{Loxodromie}
Conçue à l'origine pour préserver les angles afin de permettre une navigation à cap constant sur une \emph{loxodromie}, la projection de Mercator est conforme. En effet, la courbe présentée sur la figure \ref{figure:loxodrome} est construite en parcourant le globe selon un angle \(\beta\) avec les méridiens qui est constant.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{Loxodrome}
\caption{Une loxodrome (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Loxodrome.svg}{Wikimedia commons})\label{figure:loxodrome}}
\end{figure}

Il faut relever qu'une loxodrome n'est pas une courbe minimisant la distance parcourue, comme le montre la figure \ref{figure:loxoorthodromie}, avec en jaune la loxodrome et en rouge l'orthodrome de distance minimale.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{LoxoOrthoDromie}
\caption{Loxo et ortho-dromie (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Loxodromie2.png}{Wikimedia commons})\label{figure:loxoorthodromie}}
\end{figure}

Avec une projection de Mercator (conforme), une loxodromie est transformée en ligne droite. Ainsi, avec une carte projetée selon Mercator, si on trace une droite à partir d'un point, on visualise sans difficultés où un déplacement à cap constant va nous mener. Il s'agit donc d'une carte très pratique pour la navigation.

\medskip
Mais comment la construire ? Si avec une projection équirectangulaire la transformation mathématique est évidente, avec une projection de Mercator, c'est loin d'être le cas.

Le travail de Mercator a été réalisé avant la découverte du calcul infinitésimal puisque sa carte a été publiée en 1569. Comme les relations mathématiques qui traduisent cette projection ne peuvent être déterminée qu'avec une équation différentielle, c'est par une construction réalisée par pas qu'elle a pu se faire.

\subsection{Mathématiquement}
On peut obtenir la transformation de Mercator en partant du fait qu'elle est conforme. Comme les angles sont préservée, il existe une homothétie entre un rectangle sur la sphère et sa projection sur la carte. Même si un rectangle sur la sphère n'est pas une figure plane, d'un point de vue infinitésimal on peut considérer que c'est le cas. Une véritable homothétie existe donc entre le rectangle formé de petits arcs de cercles sur la sphère et le rectangle plan de la carte.

Ainsi, si on note dx, dy les côtés du rectangle sur la carte et dl, dL les côtés en longitude, Latitude respectivement du rectangle sur le globe, la relation d'homothétie s'écrit alors~:
\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=\frac{dL}{dl}
\end{equation}
En notant \(\phi\) la latitude et \(\lambda\) la longitude, on peut écrire \(/d\phi\) le côté \og vertical \fg{} et \(d\lambda\) le côté \og horizontal \fg{} du rectangle sur le globe. En posant R pour le rayon de la terre, on a alors que \(dl=R\cos(\phi)\cdot d\lambda\) et \(dL=R\cdot d\phi\). La relation d'homothétie devient alors~:
\begin{equation}\label{equation:homothetie}
\frac{dy}{dx}=\frac{R\cdot d\phi}{R\cos(\phi)\cdot d\lambda}
\end{equation}
En effet, si la longueur en latitude dL est directement proportionnelle à la variation de latitude, la longueur en longitude dl dépend de la latitude, puisque les méridiens se rejoignent aux pôles. Or, comme dl est exacte à l'équateur et nulle aux pôles, elle dépend du cosinus de la latitude, comme on peut le constater sur la figure \ref{figure:projmerkator}. En effet, la grandeur dl se retrouve à l'identique sur le plan équatorial et diminue au fur et à mesure qu'on s'approche du pôle ou du centre de la Terre, comme le cosinus de la latitude \(\phi\).

La relation entre la distance horizontale dx sur la carte et celle en longitude \(d\lambda\) sur la sphère est quant à elle triviale. Elle définit l'écart en distance sur la carte entre deux méridiens, par exemple. Cela s'exprime par~:
\begin{equation}\label{equation:triviale}
dx=c\cdot d\lambda\;\Rightarrow\;\frac{dx}{d\lambda}=c
\end{equation}

\begin{figure}
\centering
\caption{Grandeurs de la projection de Mercator.\label{figure:projmerkator}}
\def\svgwidth{\linewidth}
\input{images/ProjectionMerkatorSphere.eps_tex}
\end{figure}

À partir des équations \ref{equation:homothetie} et \ref{equation:triviale}, on peut écrire~:
\begin{align}
\frac{dy}{d\phi}&=\frac{R\cdot dx}{R\cos(\phi)\cdot d\lambda}\;\Rightarrow\nonumber\\
\frac{dy}{d\phi}&=\frac{c}{\cos(\phi)}=\frac{c}{\sin(\pi/2+\phi)}\nonumber\\
&=\frac{c}{2\cdot\sin(\pi/4+\phi/2)\cos(\pi/4+\phi/2)}\nonumber\\
&=c\cdot\frac{\frac{1}{2\cdot\cos^2(\pi/4+\phi/2)}}{\tan(\pi/4+\phi/2)}\nonumber\\
&=c\cdot\frac{\frac{d(tan(\pi/4+\phi/2))}{d\phi}}{tan(\pi/4+\phi/2)}
\end{align}
En effectuant le changement de variable~:
\begin{equation}
z=tan(\pi/4+\phi/2)
\end{equation}
on peut écrire~:
\begin{align}
\frac{dy}{d\phi}&=c\cdot\frac{dz/d\phi}{z}\;\Rightarrow\nonumber\\
dy&=dz/z\label{equation:aintegrer}
\end{align}
L'équation \ref{equation:aintegrer}, s'intègre facilement~:
\begin{align*}
\int_0^y dy &=c\cdot \int \frac{1}{z}dz\;\Rightarrow\\
y&=c\cdot ln(z)
\end{align*}
et en resubstituant l'expression de z, on trouve finalement~:
\begin{equation}
\boxed{
y(\phi)=c\cdot(ln(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2})))
}
\end{equation}

\medskip
Pour d'autres propriétés et quelques calculs très bien faits, consultez \cite{Rousseau}.

\section{Indicatrice}
Voici avec la figure \ref{figure:indicatricemercator} l'indicatrice de la transformation de Mercator qui montre bien la déformation en latitude et celle en longitude, cette dernière étant due au redressement des méridiens qui normalement convergent aux pôles (voir paragraphe \ref{cercles}).

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{TissotMercator}
\caption{Indicatrice de la transformation de mercator (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tissot\_indicatrix\_world\_map\_Mercator\_proj.svg}{Wikimedia commons}).\label{figure:indicatricemercator}}
\end{figure}