CoursMecaniqueEnergie/Dynamique/Dynamique.tex.bak

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\chapter{La mécanique\index{mecanique@mécanique}\label{dynamique}}

\section{La \og mécanique\fg{}\index{mecanique@mécanique} d'Aristote\index{Aristote@Aristote}}

\subsection{Introduction}

\lettrine{O}{n pense généralement} aujourd'hui que la mécanique\index{mecanique@mécanique} d'Aristote\index{Aristote@Aristote} est dépassée. C'est vrai. Tout comme la mécanique de Newton\index{Newton@Newton} et la relativité restreinte\index{relativite@relativité!restreinte}. Et tout pousse à penser que la relativité générale\index{relativite@relativité!générale} pourrait être bientôt dépassée. En réalité chacune de ces théories répond à des questions bien précises dans un cadre limité. Les réponses données par ces théories à ces questions sont tout-à-fait pertinentes dans ce cadre. Il est alors important de bien comprendre l'utilité de maintenir la connaissance de ces théories. S'il est naturel aujourd'hui de maintenir dans les universités l'enseignement de la théorie de Newton parce qu'elle à permis d'envoyer des hommes sur la Lune, il est tout aussi important de présenter la théorie d'Aristote parce qu'elle est née de l'évidence et du sens commun et pour cette raison est partagée par tout un chacun. Il est donc très important de marquer bien précisément les limites aux réponses qu'elle peut fournir.

\subsection{Platon\index{Platon@Platon}}

La physique aristotélicienne est intimement liée à la cosmologie\index{cosmologie@cosmologie} de Platon, qui part d'une idée simple. Platon pense qu'il existe deux mondes tout-à-fait différents~: l'un, humain, composé par tout ce qui se trouve au-dessous de la Lune et l'autre, divin, composé par tout ce qui est au-dessus. 

\begin{quotation}
\og \textit{Le monde sublunaire\index{sublunaire@sublunaire} où règnent les apparences [\dots] est formé de couches étagées; il y a d'abord la Terre\index{element@élement!terre}, puis l'Eau\index{element@élément!eau}, l'Air\index{element@élément!air} et enfin le Feu\index{element@élément!feu} se situant tout au-dessus, vers les limites du monde sublunaire. Ce monde dans lequel vivent les hommes est imparfait, corruptible.\\
Le monde céleste [\dots] est le siège des idées. Il est formé de l'Éther\index{element@élément!éther}, le cinquième élément (ou quintessence). C'est là que se trouvent les astres qui sont des êtres éternels, parfaits, divins et immuables. Parfaits, ils doivent aussi avoir un mouvement parfait autour de la Terre, c'est-à-dire un mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire!uniforme} (MCU), ou éventuellement une combinaison de tels mouvements. Dans l'esprit pythagoricien, le MCU\index{MCU@MCU} est effectivement le mouvement qui, par ses qualités de symétrie et d'harmonie, est le plus parfait que l'on puisse imaginer.}\fg{}

\cite[p. 43 et 44.]{EL99}
\end{quotation}

C'est dans le cadre de cette cosmologie qu'Aristote va établir sa physique. Et cette décomposition de l'univers, ce qu'on peut aussi appeler le macrocosme, avec les quatre éléments \og chimiques\fg{} du monde sublunaire\index{monde@monde!sublunaire} a aussi longtemps influencé la médecine avec la théorie des humeurs\index{theorie@théorie!des humeurs}~:
\begin{quotation}
\og \textit{Selon cette théorie, la santé corporelle résulte de l'équilibre de quatre principes, ou humeurs (liquides), distincts -- le sang, le flegme, la bile jaune et la bile noire ou atrabile. Tout excès d'une de ces humeurs mène à des types de personnalités que l'on continue à qualifier de sanguines, flegmatiques, colériques et mélancoliques. Une domination plus complète d'une de ces humeurs entraîne une maladie [\dots] Le remède à la maladie, définie comme un déséquilibre entre les humeurs, consiste donc à réduire les humeurs en excès et à complémenter les humeurs affaiblies. La théorie des humeurs a ainsi inspiré la croyance séculaire en des thérapies considérées aujourd'hui comme totalement inefficaces, sinon barbares, parmi lesquelles la saignée (réduction de l'humeur sanguine), la suée, la purge, le vomissement, etc.\\Mais pourquoi, en l'absence de toute preuve directe de l'existence de telles humeurs, la médecine classique a-t-elle si lourdement insisté sur quatre, et seulement quatre, humeurs ? [\dots~Car] de même que les quatre humeurs régissaient le microcosme, les quatre éléments (l'air, le feu, la terre et l'eau) constituaient le macrocosme.}\fg{}

\cite[p. 136]{GSJ05}
\end{quotation}

Ainsi, on peut comprendre l'importance de la cosmologie de Platon\index{cosmologie@cosmologie!de Platon} dans le monde des Anciens. La recherche de principes simples et identiques pour tous les domaines de la connaissance n'est pas nouvelle et surtout pas l'apanage des scientifiques actuels.

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\urldef\aristote\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/La_Physique_%28Aristote%29}

\begin{figure*}[t]
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\begin{minipage}[b]{9cm}
\textbf{Aristote (384-322 av. J.-C.)\index{Aristote@Aristote}}

\medskip
Un homme du \(IV^e\) siècle av. J.-C., qui représentera la connaissance classique (la scolastique\index{scolastique@scolastique}) à partir du XIII\up{e} siècle et pendant plusieurs siècles après. Un homme dont la pensée servira l'Église catholique, suivant Thomas d'Acquin, pour imposer une vision cosmologique où l'homme est au centre de l'univers. Un homme qui découpera le monde en deux~: l'humain et le divin. Un homme dont l'idée maitresse est celle de fixité et qui sera placé au centre des débats sur le mouvement de la Terre.
\begin{quotation}
\og \textit{Il y a dans la nature trois ordres de recherche~: l'immobile (le premier moteur qui doit être immobile sinon il serait mu), le mu incorruptible (le ciel) et le mu corruptible (le monde sublunaire).}\fg{}~\endnote{Voir \aristote{}}
\end{quotation}
Un homme, ou plutôt une doctrine à laquelle les Bruno\index{Bruno@Bruno!Giordano} et Galilée\index{Galilee@Galilée} s'opposeront pour faire émerger l'idée d'une physique universelle.

\raggedleft{\footnotesize{Aristote peint par Raphaël, tiré de Wikipedia\endnote{Voir \url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Aristotle_by_Raphael.jpg=}}}
\end{minipage}
\hfill
\parbox[b]{6cm}{\includegraphics[width=6cm]{Aristotle_by_Raphael.eps}}
\end{minipage}
}
\end{figure*}

\subsection{Aristote\index{Aristote@Aristote}\label{Aristote}}

L'idée fondamentale de la dynamique\index{dynamique@dynamique} d'Aristote vient de l'observation commune du fait que le mouvement finit toujours par s'arrêter. Ainsi, selon Aristote, il existe pour chacun des cinq éléments\footnote{Il faut mentionner le parallèlisme entre les cinq éléments fondamentaux constituant l'univers et l'existence des cinq polyèdres réguliers convexes, dit platoniciens, que sont le tétraèdre, dont les quatres faces sont composées d'un triangle équilatéral, le cube, dont les six faces sont carrées, l'octaèdre, dont les huit faces sont un triangle équilatéral, le dodécaèdre, dont les douze faces sont pentagonales et l'icosaèdre, dont les vingt faces sont des triangles équilatéraux.}\index{cinq elements@cinq éléments} qui composent toute chose dans l'univers (la terre, l'eau, l'air, le feu et l'éther) un lieu de repos naturel\index{repos@repos!naturel}. Pour la terre, c'est le centre de l'univers (cela implique que le centre de la terre\index{centre@centre!de la terre} se trouve au centre de l'univers\index{centre@centre!de l'univers}). Pour l'eau, c'est sur la terre. Pour l'air, c'est sur l'eau ou la terre. Pour le feu, c'est au-dessus de l'air (c'est pourquoi le feu monte), mais au-dessous de la Lune. Enfin, pour l'éther, c'est au-dessus de la Lune.

\subsubsection{Cinématique\index{cinematique@cinématique}}

En conséquence, il existe des mouvements dits naturels\index{mouvement@mouvement!naturel}, ceux qui mènent un objet, selon sa composition, vers son lieu naturel de repos\index{lieu naturel@lieu naturel de repos}, et des mouvements dits forcés ou violents\index{mouvement@mouvement!violent}, ceux qui éloignent l'objet de son lieu naturel de repos. Par exemple, étant essentiellement composée de terre, une pierre qu'on laisse tomber va naturellement rejoindre, au plus près qu'il lui est possible de le faire, le centre de la terre. La chute d'un tel objet est donc un mouvement naturel. Par contre, le mouvement d'un boulet de canon est composé\index{mouvement@mouvement!composé}~: au début, le boulet, composé de terre, s'élève et ainsi s'éloigne de son lieu naturel de repos, le centre de l'univers. Son mouvement
est donc violent. Puis, il s'approche de la Lune, lieu divin dans lequel il n'existe qu'un mouvement éternel~: le mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire!uniforme} (MCU\index{MCU@MCU}), c'est-à-dire un mouvement que l'on pourrait dire sans mouvement, un mouvement à vitesse constante. Sa trajectoire prend donc une allure divine, c'est-à-dire tend vers le cercle. C'est la partie haute du mouvement du boulet. Puis, il retombe. Son mouvement redevient donc naturel.

Au total, on distingue donc trois types de mouvement dans la cinématique d'Aristote\index{cinematique@cinématique!d'Aristote}~: les mouvements naturels\index{mouvement@mouvement!naturel}, les mouvements violents\index{mouvement@mouvement!violent} et les mouvements divins\index{mouvement@mouvement!divin}. Les deux premiers se font essentiellement en ligne droite. Le dernier est circulaire à vitesse constante.

\subsubsection{Dynamique\index{dynamique@dynamique}}

Cette cinématique est complétée par une dynamique en parfaite logique avec la première. Car, si les objets ont un lieu naturel de repos, c'est que leur état naturel est précisément d'être au repos (comme les hommes en quelque sorte, et on peut bien penser que cette comparaison pouvait avoir un sens à cette époque). Ainsi, pour qu'ils restent en mouvement, il faut les y aider en exerçant sur eux une contrainte, une \og force\fg{} en termes modernes. Pour Aristote, l'état de mouvement\index{etat@état!de mouvement} est donc directement lié à la force\index{force@force} qui lui permet d'exister. Et bien entendu plus cette force est grande, plus l'état de mouvement sera grand, c'est-à-dire plus la vitesse\index{vitesse@vitesse} de l'objet sera importante.

On pourrait résumer la dynamique d'Aristote\index{dynamique@dynamique!d'Aristote} en termes anachroniques en disant que pour lui la vitesse est directement proportionnelle à la force~:
\begin{equation}
F\sim v
\end{equation}

Cette théorie est si naturelle qu'elle paraît évidente. Pour l'illustrer, considérons les quatre questions suivantes~:
\begin{enumerate}
\item Un canon pointe verticalement. A l'arrêt, il tire un obus qui lui retombe dessus. Qu'en est-il si le canon se déplace uniformément et horizontalement, tout en pointant toujours verticalement ? L'obus retombe-t-il derrière le canon, sur le canon ou devant ?
\item On laisse tomber un objet du haut de la Tour Eiffel\index{Eiffel@Eiffel}. Étant donné que la terre tourne, celle-ci se déplace. En conséquence, cet objet va-t-il tomber au pied exact de là où il a été lâché, un peu à l'est de ce point ou un peu à l'ouest ?
\item Un avion veut remettre des vivres aux rescapés d'un naufrage réunis sur une île déserte. Doit-il lâcher son colis avant l'île, sur l'île ou après elle ?
\item Un pirate lâche son couteau du haut de la vigie du grand mât. Le bateau est en pleine poursuite d'un autre vaisseau. Le couteau tombera-t-il du côté de la proue, du côté de la poupe ou au pied du grand mât du bateau ?
\end{enumerate}

Explications~:
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item Selon Aristote, au moment où l'obus quitte le canon, plus rien ne le pousse horizontalement. Il monte et redescend donc sur place. Comme pendant ce temps le canon se déplace, l'obus retombe derrière le canon.
      \item Actuellement, on considère l'inertie\index{inertie@inertie} de l'obus qui le fait se déplacer horizontalement à la même vitesse que le canon pendant qu'il monte et redescend. L'obus retombe donc sur le canon. L'expérience en atteste.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Selon Aristote, au moment où l'objet quitte le haut de la Tour Eiffel, plus rien ne le pousse horizontalement. Il descend donc sur place. Comme pendant ce temps la Tour Eiffel se déplace vers l'est, l'objet tombe à l'ouest de celle-ci.
      \item Actuellement, on considère l'inertie de l'objet qui le fait se déplacer horizontalement à la même vitesse que la Tour Eiffel pendant qu'il tombe. L'objet tombe donc au pied de la Tour Eiffel. L'expérience en atteste (enfin presque, car la terre tourne et en réalité\dots\ mais c'est une autre histoire).
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Selon Aristote, au moment où le colis quitte l'avion, plus rien ne le pousse horizontalement. Il tombe donc sur place. Il faudrait donc lâcher le colis juste au dessus de l'île.
      \item Actuellement, on considère l'inertie du colis qui le fait se déplacer horizontalement à la même vitesse que l'avion pendant qu'il tombe. Il faut donc le lâcher avant l'île pour qu'il arrive bien à destination. L'expérience en atteste.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Selon Aristote, au moment où le couteau quitte la vigie, plus rien ne le pousse horizontalement. Il tombe donc sur place. Comme pendant ce temps le bateau se déplace, le couteau tombe du côté de la poupe du bateau.
      \item Actuellement, on considère l'inertie du couteau qui le fait se déplacer horizontalement à la même vitesse que le bateau pendant qu'il tombe. Le couteau tombe donc au pied du grand mât. L'expérience en atteste.
      \end{itemize}
\end{enumerate}


Ainsi, la mécanique\index{mecanique@mécanique!d'Aristote} d'Aristote traduit le fait évident qu'il faut pousser un objet pour qu'il se déplace. Dans la vie de tous les jours, c'est exact parce qu'il y a du frottement\index{frottement@frottement}. Mais on sait aujourd'hui que cette affirmation est généralement fausse, qu'il n'est pas nécessaire d'exercer une force\index{force@force} sur un objet pour qu'il soit en mouvement.

Ainsi, on peut dire que la théorie d'Aristote\index{Aristote@Aristote} est fausse. Mais on peut aussi la voir comme une bonne théorie pour les cas de la vie courante. En effet, il semble normal de dire qu'il faut une force pour déménager un meuble d'un point à un autre et il est idiot de dire qu'il va se déplacer sans qu'on exerce de force sur lui. Il est intéressant de remarquer que les personnes qui soutiennent qu'il est absolument nécessaire d'exercer une force sur lui pour qu'il se déplace oublient que, immobile devant eux, il se déplace tout de même à cause de la rotation de la terre. Et cela sans qu'aucune force ne le pousse à le faire\footnote{Cela n'est pas tout-à-fait vrai, car pour qu'il tourne avec la terre, il est nécessaire qu'une force le mette en rotation. Il s'agit de son poids.}.

\medskip
Finalement, il faut mentionner le fait qu'aucune expérience irréfutable ne contredira la théorie d'Aristote\index{Aristote@Aristote} avant celle du pendule de Foucault\index{pendule@pendule!de Foucault} (1851) qui prouvera de manière indiscutable la rotation de la Terre. Pourtant, c'est bien avant cette date que la théorie d'Aristote a été rejetée. La découverte par Galilée de cratères sur la Lune, présentés dans le \og Sidereus Nuncius\fg{} en 1610, porta un premier coup au monde divin d'Aristote représenté par la perfection lunaire. Puis, des taches solaires\index{tache solaire@tache solaire}, qu'un tel astre divin n'aurait pas dû présenter, des satellites\index{satellite@satellite} tournant autour de Jupiter, évoquant encore l'idée que la Lune pourrait n'être que le satellite d'une Terre tournant elle-même autour du Soleil, ont ébranlé la théorie aristotélicienne. Finalement, les phases de Vénus\index{phases de venus@phases de Vénus}, dont la succession était incompatible avec le système géocentrique\index{geocentrique@géocentrique} d'Aristote, mais parfaitement expliquable avec une théorie héliocentrique\index{heliocentrique@héliocentrique}, ont mis à bas l'édifice. Dès ces découvertes connues des scientifiques d'alors, le monde d'Aristote s'est écroulé. Progressivement dans l'opinion publique, mais rapidement chez les intellectuels et malgré la condamnation de Galilée à rétracter ses idées.

Galilée n'a pas été le seul à entamer le dogme aristotélicien. Avant lui, Giordano Bruno\index{Bruno@Bruno!Giordano} soutint que les étoiles étaient des soleils pareils au nôtre, que la Terre tournait autour du soleil et que ce mouvement ne se voyait pas car nous y participions. Bruno fut brûlé vif par l'Église (qui ne reconnaît toujours pas son erreur !) en 1600.

La réflexion de ces hommes prépara la possibilité même de penser l'univers d'une autre manière. Mais, ce fut le travail d'autres scientifiques, dont Newton, qui donnèrent à la physique son véritable caractère universel en détruisant totalement l'idée des deux mondes d'Aristote. Nous allons voir que la théorie de Newton\index{Newton@Newton}, si elle résout les erreurs d'Aristote et est donc une théorie plus exacte que celle d'Aristote, a aussi ses propres limitations. Et jusqu'à aujourd'hui, malgré la prétention affirmée des physiciens à décrire l'ensemble de l'univers, il n'existe toujours pas de théorie universellement valable.

\section{Mécanique de Newton\index{mecanique@mécanique!de Newton}}\label{mecaniquenewton}

\subsection{Introduction}

Avec Einstein\index{Einstein@Einstein}, Newton est le plus grand physicien de tous les temps (bien qu'il faille se méfier des génies qui ont tous puisé à la source des nombreuses connaissances de leur temps, comme c'est particulièrement le cas de Newton) \cite[voir la préface de Jean-Pierre Luminet]{SH03}. C'est lui qui, avec les \og Principes mathématiques de la philosophie naturelle\index{Principia@Principia!mathematica}\fg{}\footnote{Cet ouvrage est aussi intitulé \og Principia mathematica \dots\fg{}} (entendez par \og philosophie naturelle\fg{} la physique) parus en 1687, pose pour la première fois les bases d'une théorie complète du mouvement et de ses causes. Mais il ne se limite pas à cela. Il publie aussi sa fameuse loi de la gravitation\index{loi@loi!de la gravitation}, qui détermine une relation d'attraction\index{attraction@attraction} très générale entre les corps qui ont une masse et étudie aussi l'optique\index{optique@optique} de son temps, domaine dans lequel il se signale par la découverte des anneaux dits de Newton.

\subsection{Mécanique}

Toute la mécanique de Newton repose sur trois axiomes\index{axiome@axiome}\footnote{Le terme d'axiome est intéressant ici puisqu'il souligne que toute la mécanique de Newton peut être logiquement déduite de ces postulats initiaux.} ou lois fondamentales\index{loi@loi!fondamentale}. L'invention (au sens de \og découverte\fg{}) de ces lois n'est pas due au hasard, mais découle directement d'une réflexion en opposition à la physique d'Aristote, comme on va le voir ci-dessous.

\begin{figure*}[t]
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\begin{minipage}[b]{9cm}
\textbf{Isaac Newton (1643-1727)\index{Newton@Newton!Isaac}}

\medskip
Newton est considéré comme l'un des deux plus grands physiciens de tous les temps (avec Einstein). Il formula les trois lois fondamentales de la dynamique\index{loi@loi!fondamentale de la dynamique} ainsi que la loi de la gravitation universelle. Pourtant cette dernière a été découverte par un autre~: Hooke. Voici le texte original de Newton~:
\begin{quotation}
\og \itshape{\textsc{Axiomes ou lois du mouvement}
\begin{itemize}
\item[\textsc{Loi 1}] Tout corps persévère en son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces \og imprimées\fg~le contraignent d'en changer.
\item[\textsc{Loi 2}] Le changement de mouvement est proportionnel à la force motrice imprimée et s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.
\item[\textsc{Loi 3}] La réaction est toujours contraire et égale à l'action~: ou encore les actions que deux corps exercent l'un sur l'autre sont toujours égales et dirigées en sens contraire.\fg{}~\cite[pp. 40 et 41.]{BM85}
\end{itemize}
}
\end{quotation}
\smallskip

\raggedleft{\footnotesize{Portrait de Newton tiré de Wikipedia\endnote{Voir \url=http://en.wikipedia.org/wiki/Image:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg=}}}
\end{minipage}
\hfill
% Attention cette ligne de commentaire est nécessaire pour placer l'image à côté du texte
\begin{minipage}[b]{6cm}
\includegraphics[width=6cm]{GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.eps}
\end{minipage}
\end{minipage}
}
\end{figure*}

\subsubsection{Les trois lois de Newton}

Présentons tout d'abord ces trois lois fondamentales.

\textbf{Première loi\index{premiere loi@première loi} (ou loi de l'inertie\index{loi@loi!de l'inertie})}

\begin{center}
\fbox{
\parbox{6.3cm}{\og Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si et seulement si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle.\fg \footnotemark
}}
\end{center}
\footnotetext{Le texte exact, traduit par Marie-Françoise Biarnais dans \textit{isaac
newton, principia mathematica}, Christian Bourgois Éditeur 1985, p.40, dit~:

\og Tout corps persévère en son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces imprimées le contraignent d'en changer.\fg}

Cette loi est en opposition totale avec la notion \og d'état de repos\index{etat@état!de repos}\fg{} d'Aristote. Pour Aristote\index{Aristote@Aristote}, un corps n'est dans son état de repos que s'il ne bouge pas par rapport au centre de l'univers. Ainsi, un état de mouvement ne peut être un état de repos, c'est-à-dire un état qui persévère. Pour lui, le mouvement ne dure pas, à moins qu'on le force à durer. Pour Newton, l'état de repos et l'état de mouvement rectiligne uniforme\index{mouvement@mouvement!rectiligne!uniforme} sont deux choses identiques.

Pour Aristote, un objet qui ne bouge pas n'est soumis à aucune force. Pour Newton, un objet qui bouge en se déplaçant en ligne droite et à vitesse constante n'est pas non plus soumis à une force\index{force@force}. En d'autres termes, pour Newton, il n'est pas nécessaire d'exercer une force pour qu'il y ait mouvement.

La traduction mathématique actuelle de la première loi élimine ainsi naturellement la référence à un état de repos pour l'inclure dans la loi en tant que mouvement rectiligne à vitesse constante\index{vitesse@vitesse!constante} nulle~:

\smallskip
\textbf{Première loi\index{loi@loi!première} (version actuelle)}

\begin{equation}
\fbox{\(\text{MRU}\;\Leftrightarrow\;\sum\overrightarrow{F^{ext}}=0\)}
\end{equation}

La double flèche signifie \og si et seulement si\fg{}. En d'autre termes, on peut lire cette loi dans les deux sens~:

\begin{itemize}
\item si un objet est en Mouvement Rectiligne Uniforme, alors on peut dire que la somme des forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle (\(\Rightarrow\)).
\item si on sait que la somme des forces qui s'exercent sur un objet est nulle, alors cet objet est en Mouvement Rectiligne Uniforme (\(\Leftarrow\)).
\end{itemize}

\textbf{Deuxième loi\index{loi@loi!seconde} (loi fondamentale de la dynamique\index{loi@loi!fondamentale de la dynamique})}\footnote{Le texte exact \cite[p. 41]{BM85} dit~: \og Le changement de mouvement est proportionnel à la force motrice imprimée et s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.\fg}
\begin{equation}
\fbox{\(\sum\overrightarrow{F^{ext}}=m\cdot\overrightarrow{a}\)}
\end{equation}

Cette loi exprime la relation entre cause et effet. La cause du mouvement\index{cause@cause!du mouvement} étant la force\index{force@force} totale qui s'exerce sur le système étudié et l'effet étant son accélération\index{acceleration@accélération}, la loi exprime la relation qui existe entre les deux par l'intermédiaire de la masse\index{masse@masse}. Ainsi la cause mène à une expression du mouvement, en l'occurrence l'accélération, qui permet d'obtenir en fin de compte la position\index{position@position} de l'objet au cours du temps, comme nous le verrons plus tard.

Par ailleurs nous reviendrons aussi sur la notion de force extérieure\index{force@force!extérieure}.

\smallskip
\textbf{Troisième loi\index{loi@loi!troisieme} (loi de l'action et de la réaction\index{loi@loi!de l'action et de la réaction})}

\begin{center}
\fbox{
\parbox{6.3cm}{
\og La réaction est toujours contraire et égale à l'action~: ou encore les actions que deux corps exercent l'un sur l'autre sont toujours égales et dirigées en sens contraire.\fg \footnotemark}}
\end{center}
\footnotetext{C'est le texte exact de \cite[p. 41]{BM85}}

Cette loi se traduit mathématiquement par le fait que le vecteur force exercée par un objet A sur un objet B est de mêmes grandeur et direction, mais de sens opposé au vecteur force exercée par l'objet B sur le A. En d'autres termes~:
\begin{equation}
\fbox{\(\overrightarrow A=-\overrightarrow R\)}
\end{equation}

\medskip{}

\subsubsection{Force extérieure}

L'énoncé de la troisième loi va nous faire revenir à la notion de force extérieure\index{force@force!extérieure} utilisée dans la loi fondamentale de la dynamique. En effet, selon la loi de l'action et de la réaction, lorsqu'on pousse un objet pour le mettre en mouvement, en réaction, il nous pousse avec une force de même intensité mais de sens contraire. Si on utilise, par ailleurs, la seconde loi, il semble donc à première vue, que la somme des forces en jeu est toujours nulle. Ainsi, l'accélération devrait être aussi nulle et l'objet ne devrait pas se mettre en mouvement. Bien entendu, l'expérience montre le contraire. Où est donc le problème ?

En réalité, sur un objet solide s'exercent une multitude de forces. Toutes ne sont pas responsables du mouvement de l'objet. Les forces d'interraction entre les différentes parties de celui-ci, par exemple, ne peuvent être tenues pour responsables du mouvement d'ensemble de l'objet. Cela reviendrait à dire qu'il peut s'accélérer lui-même. De la même manière, les forces exercées par l'objet sur son environnement ne peuvent avoir une action sur l'objet lui-même. Seules les forces exercées par l'environnement extérieur en sont capables.

Le problème vient donc du fait qu'en tenant compte simultanément des actions et des réactions dans la seconde loi, on implique des forces qui n'ont rien à voir avec la cause du mouvement. Il ne faut donc considérer que les forces extérieures\index{force@force!extérieure} qui s'exercent sur l'objet. La force exercée pour pousser l'objet doit donc apparaître en tant que force extérieure dans la seconde loi, alors que sa réaction, la force avec laquelle l'objet nous pousse, ne le doit pas.

Pour déterminer l'accélération d'un objet, on est donc amené à le définir en tant que système étudié. L'accélération impliquée dans la loi fondamentale de la dynamique est donc celle du système et les forces qui en sont la cause sont uniquement les forces exercées par l'extérieur sur ce système.

C'est donc la notion de force extérieure qui traduit la cause du mouvement\index{cause@cause!du mouvement}. Cette notion est centrale dans la mécanique de Newton. 

Précisons enfin que l'unité de la force est le Newton\index{Newton@Newton}, noté \si{\newton}. Il s'agit de la force nécessaire pour accélérer de \SI{1}{\metre\per\second\squared} une masse de \SI{1}{\kilo\gram}.

\subsubsection{Exemples}

\begin{itemize}
\item Une voiture roule en ligne droite à vitesse constante. La force qui lui permet de maintenir sa vitesse vaut \SI{200}{\newton}. Calculez la force de frottement.

\smallskip
\emph{Réponse}~: comme la voiture roule à vitesse constante et en ligne droite, la première loi de Newton nous indique que la somme des forces qui s'exercent sur elle est nulle. Ainsi, la force poussant la voiture étant vers l'avant et la force de frottement vers l'arrière, on peut dire que la force de frottement vaut aussi 200N.
\item Une voiture (de masse \(m=\SI{2000}{\kilo\gram}\)) accélère de \SI{0}{\metre\per\second} à \SI{100}{\kilo\metre\per\hour} en \SI{12}{\second}. Quelle distance a-t-elle parcouru ? D'où vient la force qui lui permet d'accélérer de telle manière et quelle est sa valeur ?

\smallskip
\emph{Réponse}~: \(\SI{100}{\kilo\metre\per\hour}=\SI{27,7}{\metre\per\second}\). Comme l'accélération se calcule, par définition~: \(a=(27,7-0)/12=\SI{2,31}{\metre\per\second\squared}\), la distance vaut alors~: \(x=2,31\cdot 12^2/2+0\cdot 12+0=\SI{166,6}{\metre}\).

La force qui lui permet d'accélérer vient du frottement\index{frottement@frottement} avec le sol. C'est le sol qui l'exerce. En effet, la force exercée par les pneus sur le sol est clairement vers l'arrière (pensez en effet au sens dans lequel serait projeté un petit caillou collé au pneu au moment du démarrage de la voiture). Ce ne sont donc pas les pneus qui permettent à la voiture de démarrer. D'ailleurs, sur sol gelé, malgré la rotation des pneus, elle ne pourrait pas démarrer. Ainsi, il faut considérer la force exercée par le sol sur les pneus. En effet, selon la troisième loi de Newton, celle-ci, en tant que réaction à l'action vers l'arrière des pneus sur le sol, s'exerce vers l'avant.

La valeur de la force de frottement se calcule aisément par \(F=m\cdot a=2000\cdot 2,31=\SI{4620}{\newton}\).
\item Une voiture (de masse \(m=\SI{2000}{\kilo\gram}\)) freine sur une distance de \SI{50}{\metre} pour éviter une collision avec un mur. Sa vitesse initiale étant de \SI{50}{\kilo\metre\per\hour}, calculez son accélération et la force qui lui permet de s'arrêter.

\smallskip
\emph{Réponse}~: On ne connaît ni l'accélération, ni le temps d'arrêt. On peut donc soit utiliser les deux équations de la position et de la vitesse (deux équations à deux inconnues) dans lesquelles apparaissent le temps et l'accélération, soit utiliser une relation dérivée de ces deux équations où n'apparaît pas le temps, mais seulement l'accélération. Cette relation est (voir annexe \ref{demo2})~:
\[v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})\]

Avec~: \(v_o=\SI{50}{\kilo\metre\per\hour}=\SI{13,8}{\metre\per\second}\), \(v=\SI{0}{\metre\per\second}\) et \(x-x_{o}=\SI{50}{\metre}\), on a~:
\[a_{o}=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot(x-x_{o})}=\frac{0^{2}-13,8^{2}}{2\cdot50}=\SI{-1,93}{\metre\per\second\squared}\]

Le signe négatif traduit une décélération\index{deceleration@décélération} (un freinage\index{freinage@freinage}).

Finalement, la force de freinage vaut~: \(F=m\cdot a=2000\cdot 1,93=\SI{3860}{\newton}\).
\end{itemize}

\subsection{Types de forces\index{type@type!de force}}

La deuxième loi de Newton propose de faire jouer à la notion de force le rôle de cause du changement du mouvement\index{cause@cause!du changement du mouvement}. Le programme de Newton consiste donc en premier lieu à rechercher les forces qui agissent sur le système étudié. Il est par conséquent fondamental de connaître les principales forces qui peuvent agir. Il y en a beaucoup. On ne pourra les étudier toutes. En fait, il en existe principalement quatre. Ce sont la force de gravitation\index{force@force!de gravitation}, la force électromagnétique\index{force@force!électromagnétique}, la force faible\index{force@force!faible} et la force forte\index{force@force!forte}. Elles sont dites fondamentales\index{force@force!fondamentale} parce qu'elles sont à l'origine de toutes les autres. En d'autres termes, toutes les autres sont une manifestation de la présence des forces fondamentales.

Dans le cadre de ce cours de mécanique nous en étudierons quatre, dont une seule fondamentale~: la force de gravitation, donnant lieu à la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle}.

\begin{figure}[!t]
\centering
\caption[La balance de Cavendish]{La balance de Cavendish\label{balancedecavendish} \par \scriptsize{Mesurer la force de gravitation\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia~: \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Cavendish-lab.jpg= notamment pour le copyright de l'image.}}}
\includegraphics[width=6cm]{Balance_de_Cavendish.eps}
\end{figure}

\subsubsection{Loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle}}\label{gravitationuniverselle}

La force de gravitation \(\overrightarrow{F}\) exprime l'attraction\index{attraction@attraction} à distance exercée par une masse sur une autre et réciproquement.

\begin{figure*}[t]
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\begin{minipage}[b]{9cm}
\textbf{Robert Hooke (1635-1703)\index{Hooke@Hooke!Robert}}

\medskip
Hooke\index{Hooke@Hooke} est un physicien bien moins connu que Newton. Pourtant, il mériterait de l'être plus car il est à l'origine de la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle}.
\begin{quotation}
\og \dots\ toute sa vie, Newton s'efforça [\dots] de s'attribuer la priorité sur maintes découvertes faites par ses contemporains ou ses précurseurs. Au-delà de la controverse bien connue avec Leibnitz\index{Leibnitz@Leibnitz} sur l'invention du calcul différentiel, Hooke fut la principale victime de la vindicte de Newton, après que Hooke eut prétendu -- à juste titre -- avoir découvert avant lui la loi du carré inverse décrivant mathématiquement la force d'attraction gravitationnelle capable de conférer aux planètes des orbites elliptiques\index{orbite@orbite!elliptique}. [\dots] Il apparaît donc que les actes des grands esprits scientifiques ne sont pas nécessairement dignes d'hommes au grand c\oe ur (mais est-ce une surprise ?).\fg{}~\cite[pp. V et VI.]{SH03}
\end{quotation}
\smallskip
Jean-Pierre Luminet, préface à l'édition française.
\end{minipage}
\hfill
% Attention, cette ligne de commentaire est nécessaire pour placer l'image à côté du texte
\fbox{
\begin{minipage}[b][8cm][c]{6cm}
Actuellement on ne connaît aucun portrait de Hooke dont on soit sûr (Newton a insisté pour qu'on retire le portrait de Hooke de la Royal Society).
\end{minipage}
}
\end{minipage}
}
\end{figure*}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Loi de la gravitation universelle.\label{gravitation}}
\psfrag{r}{r}
\psfrag{F}{\(\overrightarrow{F}\)}
\psfrag{-F}{\(-\overrightarrow{F}\)}
\psfrag{M}{M}
\psfrag{m}{m}
\includegraphics{Gravitation.eps}
\end{figure}

L'expression mathématique de cette loi, qui fait référence à la figure \ref{gravitation}, est la suivante~:

\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle \overrightarrow{F}=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^{3}}\cdot\overrightarrow{r}\)}
\end{equation}

\bigskip{}
Cette loi est présentée ci-dessus sous sa forme vectorielle. Elle traduit donc en même temps la direction (qui lie les centres des deux masses), le sens (attraction des deux corps) et la grandeur du vecteur force \(\overrightarrow{F}\). Souvent on utilise une forme plus courante qui ne traduit que la grandeur de la force, mais présente plus clairement sa dépendance au carré\index{carre@carré!de la distance} de la distance (\(r^2\))~:

\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle F=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^{2}}\)}
\end{equation}

Remarquons que~:

\begin{itemize}
\item la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle} n'est valable que pour des corps ponctuels\index{corps@corps!ponctuel} ou sphériques\index{corps@corps!sphérique},
\item qu'elle traduit une action à distance\index{action@action!à distance}, ce qui posera par la suite de graves problèmes,
\item que Newton était conscient des problèmes qu'une action à distance pouvait poser, mais qu'il n'y a pas trouvé de réponse satisfaisante,
\item que la constante G est une constante fondamentale appelée \og constante de la gravitation universelle\index{constante@constante!de la gravitation universelle}\fg{}, et vaut \(G=\SI{6,67e-11}{\newton\metre\squared\per\kilo\gram\squared}\). Cette constante est très petite. Cela traduit une force relativement faible (même si pour des masses conséquentes comme la Terre et le Soleil par exemple, elle peut avoir une valeur importante). Nous verrons, avec la force électrique\index{force@force!électrique}, un exemple de force beaucoup plus forte.
\end{itemize}

\subsubsection{Le poids\index{poids@poids}}

On a vu au paragraphe \ref{accg} que l'accélération\index{acceleration@accélération} à la surface de la Terre d'un objet en chute libre\index{chute@chute!libre} (c'est-à-dire qui n'est soumis à aucun frottement) vaut \(g=\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\). Or, en chute libre, la seule force qui s'exerce est le poids. Ainsi, selon la deuxième loi de Newton, on peut écrire~:
\[P=F=m\cdot a=m\cdot g\;\Rightarrow\]
\begin{equation}
\fbox{\(P=m\cdot g\)}
\end{equation}

Évidemment le poids étant une force, il s'exprime en newtons.

\bigskip{}
On peut aussi comprendre le poids d'une autre manière. On peut considérer que le poids n'est que l'expression de la force de gravitation\index{force@force!de gravitation} qui s'exerce entre la Terre et le corps considéré placé à la surface de celle-ci. Ainsi, à l'aide de la loi de la gravitation, on peut écrire~:
\[F=G\cdot\frac{M_{terre}\cdot m}{r_{terre}^{2}}=m\cdot g\]

Il faut bien comprendre que le poids\index{poids@poids} et la gravitation\index{force@force!de gravitation} ne constituent pas deux choses distinctes, mais qu'il s'agit de la même force! Ainsi, on peut écrire, à la suite de l'équation précédente~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle g=G\cdot\frac{M_{Terre}}{r_{Terre}^{2}}=\SI{9,81}{\metre\per\second\squared}\)}
\end{equation}

C'est l'expression de l'accélération\index{acceleration@accélération} d'un corps en chute libre à la surface de la Terre. On peut donc facilement généraliser cette équation pour un corps autre que la Terre~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle g=G\cdot\frac{M_{plan\acute ete}}{r^2_{plan\acute ete}}\)}
\end{equation}

En particulier aussi, on peut utiliser l'expression de g ci-dessus pour exprimer la variation de l'accélération terrestre en fonction de l'altitude\index{altitude@altitude}~:
\[g=G\cdot\frac{M_{Terre}}{(r_{Terre}+h)^{2}}\]

où h est l'altitude au-dessus de la surface de la Terre. On constate donc que l'accélération diminue avec l'altitude. Par conséquent, le poids aussi. On peut donc se poser la question suivante~: de combien \og maigrit\fg{}-on en montant au sommet de l'Everest\index{Everest@Everest} ?

\paragraph{Exemple}

Déterminez la perte de poids que constate une personne de masse \(m=\SI{80}{\kilo\gram}\) en passant du bord de la mer au sommet de l'Everest\index{Everest@Everest} (\(\sim \SI{8000}{\metre}\)).

\smallskip
Solution~:

On trouve l'accélération terrestre au niveau de la mer~:
\begin{align*}
g_{mer}&=G\cdot\frac{M_{Terre}}{(r_{Terre}+h)^{2}}\\
&=6,67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5,97\cdot10^{24}}{(6,37\cdot10^{6}+0)^{2}}\\
&=\SI{9,81344}{\metre\per\second\squared}
\end{align*}

Puis l'accélération terrestre au sommet de l'Everest~:
\begin{align*}
g_{Everest}&=G\cdot\frac{M_{Terre}}{(r_{Terre}+h)^{2}}\\
&=6,67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5,97\cdot10^{24}}{(6,37\cdot10^{6}+8000)^{2}}\\
&=\SI{9,78884}{\metre\per\second\squared}
\end{align*}

Ainsi, le poids de la personne au niveau de la mer vaut~:
\[P_{mer}=m\cdot g_{mer}=80\cdot9,81344=\SI{785}{\newton}\]

et à \SI{8000}{\metre}~:
\[P_{Everest}=m\cdot g_{Everest}=80\cdot9,78884=\SI{783}{\newton}\]

La différence est donc de~: \(\Delta P=785-783=\SI{2}{\newton}\)

Au niveau de la mer, cela correspond à une variation de masse de~:
\[\Delta m=\frac{\Delta P}{g_{mer}}=\frac{2}{9,81344}=\SI{204}{\gram}\]

\subsubsection{Masse et poids}

La relation entre masse et poids\index{poids@poids} est donc celle qui lie une quantité de matière à la force exercée sur elle par un autre corps (la Terre par exemple). Or, déterminer une quantité de matière n'est pas simple, alors que mesurer une force l'est~: un simple ressort comprimé le permet. D'où l'idée de rapporter la force exercée sur un objet à sa quantité de matière, c'est-à-dire sa masse\index{masse@masse}, via l'équation~:
\[m=\frac{F}{a}\]

Il est alors un appareil dont la mesure peut prêter à confusion~: la balance\index{balance@balance}. Et même si le langage est précis, on dit \og je vais mesurer mon poids sur la balance\fg{}, il est nécessaire d'insister sur le fait qu'une balance mesure le poids et non la masse. Car il faut bien comprendre que la mesure du poids à l'aide d'une balance passe nécessairement par l'utilisation d'un ressort\index{ressort@ressort} (ou un mécanisme du même type) dont la force de réaction limite l'enfoncement. C'est cette force de réaction qui est mesurée par la balance\index{balance@balance} et non la masse de la personne, comme pourrait nous le faire croire l'indication donnée en kilogrammes. On peut s'en convaincre en mesurant la masse d'un objet à l'aide d'une balance alternativement placée sur la Terre et sur la Lune. Même si la masse est la même dans les deux cas, la balance va donner des indications différentes. Elle est en effet simplement calibrée pour indiquer la masse à partir d'un poids mesuré sur la Terre. L'opération revient à écrire~:
\[m=\frac{F}{g}\]

où \(g\) est l'accélération à la surface de la Terre. Ainsi, si la balance est utilisée sur la Lune, son indiquation sera erronnée, car c'est alors l'accélération lunaire qu'il faudrait utiliser. Donc, si une balance indique la masse, c'est en réalité le poids qu'elle mesure.

\subsubsection{Poids apparent}\label{poidsapparent}

Le poids\index{poids@poids} n'est donc rien d'autre que la force de gravitation\index{force@force!de gravitation} qui s'exerce sur une personne à la surface d'un corps donné. Selon la loi de la gravitation universelle, il est notamment fonction de la masse\index{masse@masse} de ce corps et de celle de la personne (d'où l'usage d'une balance pour le mesurer et le rapporter à cette masse). Mais, selon cette loi, il n'est pas fonction de l'état de mouvement de la personne. Comment comprendre alors que le poids mesuré par une balance dans un ascenseur en mouvement puisse varier, comment comprendre qu'un astronaute puisse s'entraîner à l'état d'apesanteur dans un avion au voisinage de la terre, où ce poids n'a certainement pas disparu ?

\smallskip

Pour le comprendre, il faut faire appel à l'idée d'un poids apparent\index{poids@poids!apparent}. Car, en réalité, une balance placée dans un ascenseur qui se déplace ne mesure pas le poids réel de la personne, mais ce qu'on appelle son poids apparent. De quoi s'agit-il ? Considérons tout d'abord la personne placée sur une balance dans un ascenseur immobile (voir figure \ref{3ascenseur}\endnote{Voir wikicommons~: \url{http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Wikiman\_1m80.svg}}).  A l'arrêt, la force du ressort \(R\) est égale au poids de la personne. La situation des forces est celle présentée à la figure \ref{a=0}.
\begin{figure}[t]
\centering
\psfrag{a=0}{\(a=0\)}
\psfrag{a<0}{\(a<0\)}
\psfrag{a>0}{\(a>0\)}
\psfrag{mg}{\(m\cdot g\)}
\psfrag{R}{R}
\psfrag{Fin}{\(F_{in}\)}
\subfigure[a<0\label{a<0}]{\includegraphics[width=2cm]{Ascenseur_neg.eps}}\qquad
\subfigure[a=0\label{a=0}]{\includegraphics[width=2cm]{Ascenseur_zero.eps}}\qquad
\subfigure[a>0\label{a>0}]{\includegraphics[width=2cm]{Ascenseur_pos.eps}}
\caption{Poids apparent}\label{3ascenseur}
\end{figure}
Dans cette situation, on peut écrire la deuxième loi de Newton ainsi~:
\begin{align}
R-m\cdot g&=m\cdot 0=0\;\Rightarrow\label{eqa=0}\\
R&=m\cdot g\nonumber
\end{align}
On constate bien que la mesure \(R\) faite par la balance marque le poids.

Considérons maintenant le cas décrit par la figure \ref{a>0} où l'ascenseur monte. Par rapport au cas statique, aucune force supplémentaire ne s'est ajoutée. Par contre, comme l'ascenseur accélère vers le haut, on doit maintenant écrire l'équation du mouvement ainsi~:
\begin{align}
R-m\cdot g&=m\cdot a\neq0\;\Rightarrow\label{eqa>0}\\
R&=m\cdot g+m\cdot a\nonumber
\end{align}
La mesure \(R\) de la balance ne marque alors plus le poids, mais celui-ci augmenté du terme \(m\cdot a\). On peut facilement le comprendre~: la réaction \(R\) doit non seulement compenser le poids mais aussi lui permettre d'accélérer.

Maintenant, considérons le problème depuis l'ascenseur en mouvement. En constatant l'augmentation du poids, on pourrait croire à l'apparition d'une nouvelle force qui l'augmente. Ce qui, bien évidemment n'est pas le cas. Mais force est de constater que la balance marque à travers sa réaction \(R\) une autre valeur. Or, depuis l'ascenseur, le mouvement d'accélération de la personne n'existe pas. Elle se trouve en équilibre sur une balance et une personne non avertie pourrait penser que l'équation du mouvement est simplement celle donnée par \ref{eqa=0}. Ce qui est faux et montre une limite\index{limite@limite!de la deuxième loi} dans l'utilisation de la deuxième loi de Newton.

En effet, dans sa version la plus simple, elle n'est pas valable pour des référentiels accélérés\index{referentiel@référentiel!accéléré}, comme c'est le cas de notre ascenseur. Mais, pour ne pas renoncer à utiliser cette loi dans ce cadre élargi, on peut faire une modification formelle qui consiste à admettre l'existence d'une fausse force supplémentaire \(F_{in}\) uniquement dans le cas de référentiels accélérés. Vue depuis l'ascenseur, on écrit alors~:
\begin{align*}
R-m\cdot g-F_{in}&=0\;\Rightarrow\\
R&=m\cdot g+F_{in}
\end{align*}
et on identifie cette pseudo-force \(F_{in}\) au terme \(m\cdot a\) de l'équation du mouvement \ref{eqa>0}. En effet, celle-ci peut être écrite comme~:
\[R-m\cdot g-m\cdot a=0\]
Ainsi, on constate, dans ce second exemple où le référentiel est accéléré, que le poids donné par une balance n'est pas le poids réel dû à la force de gravitation. Ce poids est dit poids apparent et est composé de la force de gravitation, à laquelle il faut adjoindre une pseudo-force d'inertie\index{force@force!d'inertie}. Mais, il faut relever que cette force est fictive\index{force@force!fictive}. En effet, rien n'exerce de force supplémentaire au poids vers le bas. Au contraire, c'est la force de réaction de la balance, qui est vers le haut et est nécessaire pour accélérer la personne, qui est à l'origine de la force d'inertie. Nous verrons par la suite que ce problème se retrouve dans les mouvements circulaires\index{mouvement@mouvement!circulaire} où une vraie force, la force centripète\index{force@force!centripète}, est à l'origine d'une fausse force, la force centrifuge\index{force@force!centrifuge}, et cela pour les mêmes raisons.

Considérons enfin le cas décrit par la figure \ref{a<0} où l'ascenseur descend. Pour cela, dans l'équation du mouvement, il faut relever que nous avons précédemment compté positivement les termes orientés vers le haut, comme la réaction \(R\), et négativement ceux dont le sens est vers le bas, comme le poids. Par là, nous avons choisi un axe pointant vers le haut. Ainsi, dans le cas d'une accélération vers le haut, le terme \(m\cdot a\) était compté positivement. Dans le cas qui nous occupe maintenant, il est vers le bas et doit être compté négativement. L'équation du mouvement devient alors~:
\begin{align*}
R-m\cdot g&=-m\cdot a\;\Rightarrow\\
R&=m\cdot g-m\cdot a
\end{align*}
et le poids apparent \(R\) noté par la balance est plus faible que le poids réel puisqu'il est diminué de \(m\cdot a\) qui peut être considéré comme une pseudo-force d'inertie.

\medskip

L'exemple de la relation entre poids et poids apparent\index{poids@poids!apparent} montre donc que le mouvement d'un objet n'est pas sans incidence sur la mesure de son poids. C'est particulièrement le cas pour les cosmonautes qui s'entraînent à l'état d'apesanteur\index{apesanteur@apesanteur} en avion. Cette apesanteur fictive n'est obtenue que grâce à la chute simultanée de l'avion autour des cosmonautes, ce qui rend leur poids apparent nul.

Ainsi, par la suite, dans le problème de l'analyse du phénomène de marée notamment, il faudra tenir compte des mouvements accélérés.

\smallskip

De plus, cet exemmple marque les limites de la deuxième loi de Newton qui n'est valable, sous sa forme la plus simple, que pour des référentiels qui se déplacent à vitesse constante, référentiels dits inertiels\index{referentiel@référentiel!inertiel}. Pour des référentiels non-inertiels\index{referentiel@référentiel!non-inertiel}, des référentiels accélérés, il est nécessaire de la modifier en y ajoutant des pseudo-forces d'inertie qui traduisent l'état de mouvement du référentiel. Mais nous y reviendrons.

\subsubsection{Gravitation et MCU}\label{accmcu}

Une des nombreuses applications intéressantes de la loi de la gravitation universelle est la détermination de l'altitude à laquelle il faut placer un satellite\index{satellite@satellite} en orbite\index{orbite@orbite} pour qu'il soit géostationnaire\index{geostationnaire@géostationnaire}. Ce cas est présenté en annexe \ref{geostat}. Il repose sur la loi de la gravitation universelle et sur la dynamique du mouvement circulaire uniforme.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption[La sensation des mouvements]{La sensation des mouvements\label{mcun} \par \scriptsize{Gravitation, poids et mouvement circulaire\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia~: \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Rollercoaster_Tornado_Avonturenpark_Hellendoorn_Netherlands.jpg=}}}
\includegraphics[width=6cm]{MCU2.eps}
\end{figure}

Comme on l'a vu (voir paragraphe \ref{MvtCU}), le MCU\index{MCU@MCU} est un mouvement à vitesse constante, mais à accélération non nulle. La présence d'une accélération implique celle d'une force\index{force@force}. Celle-ci est naturellement dans la même direction et le même sens que l'accélération. En effet, cela découle de la deuxième loi de Newton et du fait que la masse est toujours positive. Cette accélération, nommée centripète\index{centripete@centripète} (et non centrifuge\index{centrifuge@centrifuge}), est donc créée par une force dirigée vers le centre de rotation qui dévie l'objet de sa trajectoire. Cela est parfaitement compatible avec la première loi de Newton puisque selon elle, seule la présence d'une force peut expliquer une trajectoire non rectiligne.

Il est important de bien différencier la force centripète, qui est dirigée vers le centre du cercle de la trajectoire, de la pseudo-force centrifuge qui traduit l'impression d'être éjectée que peut avoir une personne qui est en rotation dans un manège, par exemple. Nous sommes là, comme au paragraphe \ref{poidsapparent}, dans le cadre d'un mouvement accéléré~: le mouvement circulaire uniforme. L'étude de ce mouvement peut se faire en observant sa dynamique de l'extérieur. On écrit alors l'équation du mouvement naturellement ainsi~:
\[F_{centrip\grave ete}=m\cdot a_{centrip\grave ete}=m\cdot \frac{v^2}{R}\]
Une seule force est présente~: la force centripète\index{force@force!centripète}. Elle est réelle et peut correspondre à la force de gravitation exercée par une planète se trouvant au centre de l'orbite (considérée comme) circulaire d'un satellite ou à la force exercée par une ficelle sur la masse d'une fronde ou encore à la force de frottement exercée par la route sur les pneus d'une voiture dans un virage.

Mais, on peut aussi étudier le mouvement en analysant la dynamique d'un objet qui est fixe à l'intérieur du manège. Comme celui-ci est alors à l'arrêt par rapport à ce qui l'entoure, la deuxième loi de Newton doit présenter une somme des forces qui est nulle. Pour cela, la force centripète doit être compensée par une pseudo-force dite centrifuge\index{force@force!centrifuge} et dirigée radialement vers l'extérieur du manège. Mais cette force est fictive\index{force@force!fictive}. Elle ne traduit que les limites de la deuxième loi de Newton qui, pour pouvoir être utilisée dans un référentiel accéléré, doit prendre en compte la pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force@pseudo-force}. Ainsi, écrire l'équation du mouvement en passant à gauche son terme de droite permet d'en obtenir une expression valable aussi dans le référentiel non inertiel\index{referentiel@référentiel!non inertiel} que constitue le manège. On peut donc écrire~:
\begin{align}
F_{centrip\grave ete}&=m\cdot \frac{v^2}{R}\;\Rightarrow\label{inertiel}\\
F_{centrip\grave ete}-m\cdot \frac{v^2}{R}&=0\;\Rightarrow\nonumber\\
F_{centrip\grave ete}-F_{centrifuge}&=0\label{centrifugenoninertiel}
\end{align}
L'équation \ref{inertiel} constitue la loi de Newton correctement écrite dans un référentiel non accéléré\index{referentiel@référentiel!non accéléré}, dit inertiel\index{referentiel@référentiel!inertiel}. Par contre, l'équation \ref{centrifugenoninertiel}, tout en étant formellement correcte puisqu'elle dérive de \ref{inertiel}, est conceptuellement fausse puisque la force centrifuge n'existe pas. En réalité, elle est écrite ainsi pour que la deuxième loi de Newton reste valable dans le référentiel en rotation\index{referentiel@référentiel!en rotation}, non-inertiel, et traduise l'impression fictive qu'une force en éjecte l'objet vers l'extérieur. Impression fictive\index{force@force!fictive}, en effet, car si la force centripète n'était pas là, conformément à la première loi de Newton, l'objet irait tout simplement tout droit, marquant l'absence irréfutable de la force centrifuge.

\medskip

Dans le cas du mouvement de la Lune, la force centripète\index{force@force!centripète} est celle de la gravitation universelle, communément nommée poids\index{poids@poids}. On peut donc bien dire que la Lune tourne autour de la terre parce qu'elle lui tombe dessus sous l'effet de son poids. Et son poids la fait bien accélérer, mais sans que sa vitesse n'augmente. En effet, la vitesse de la Lune dans son mouvement quasi-circulaire autour de la terre étant perpendiculaire à son poids, et donc à son accélération, aucune composante de cette dernière n'existe parallèlement à la vitesse. On peut ainsi dire que le poids de la Lune ne sert qu'à la faire tourner. Elle tombe donc bien sur la Terre tout en paraissant suspendue en état d'apesanteur\index{apesanteur@apesanteur}. Mais c'est une apesanteur fictive.

\bigskip
Ainsi, Newton\index{Newton@Newton} réconcilie les deux univers de Platon\index{Platon@Platon} séparés par la Lune, le monde sublunaire\index{monde@monde!sublunaire} et le monde supralunaire\index{monde@monde!supralunaire}, à l'aide justement de ce corps qui en traçait la frontière~: la Lune\index{Lune@Lune}. Elle devient un corps comme les autres dans un univers réunifié ou les objets du monde supralunaire acquièrent un statut sublunaire et où la Terre se met à tourner autour du Soleil comme les corps parfaits du monde supralunaire. La figure \ref{chuteprincipia} des Principia (voir aussi page \pageref{chutelunenewton}) apparaît donc comme centrale dans l'univers newtonnien, puisqu'elle présente la lune comme l'élément unificateur des deux mondes.

\begin{figure}[ht]
\centering
\caption{L'idée de la chute de la Lune\label{chuteprincipia}\\Illustration des Principia.}

\includegraphics[width=6.5cm]{newton_isaac_h5.eps}
\end{figure}

Mais la révolution ne s'arrête pas là. Le mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire uniforme} perd son statut de perfection en devenant un cas particulier du mouvement elliptique\index{mouvement@mouvement!elliptique} suivant lequel s'établira désormais la mécanique céleste.

\subsubsection{Troisième loi de Kepler}
Au paragraphe \ref{loiskepler}, page \pageref{loiskepler}, nous avons vu que les mouvements des planètes se font sur des ellipses. Or, dans la pluspart des cas, ces ellipses sont très proches de cercles et l'approximation d'un mouvement circulaire uniforme peut être faite. Dans ce cas, on peut retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler donnée par l'équation \ref{keplertroisieme}, page \ref{keplertroisieme}, à partir de la deuxième loi de Newton. En effet, avec la force de gravitation comme force centripète, on a~:
\begin{equation}\label{gravcentri}
G\cdot \frac{M\cdot m}{a^2}=m\cdot \frac{v^2}{a}
\end{equation}

Pour un mouvement circulaire, la vitesse est donnée par~:
\begin{equation}\label{vitcirc}
v=\frac{2\cdot \pi\cdot a}{T}
\end{equation}

En remplaçant l'équation \ref{vitcirc} dans \ref{gravcentri}, on obtient~:
\begin{align}
G\cdot \frac{M\cdot m}{a^2}&=m\cdot \frac{(2\cdot \pi\cdot a/T)^2}{a}\;\Rightarrow\nonumber \\
G\cdot \frac{M}{a^2}&=\frac{4\cdot \pi^2\cdot a}{T^2}\;\Rightarrow\nonumber \\
\frac{a^3}{T^2}&=\frac{G\cdot M}{4\cdot \pi^2}\label{troiskeplernewton}
\end{align}

L'équation \ref{troiskeplernewton} constitue la troisième loi de Kepler.

Mais la nouvelle forme de cette équation met en évidence le rôle de la masse \(M\) du corps central\footnote{Remarquons que cette forme de la troisième loi de Kepler où l'un des corps tourne de manière circulaire autour de l'autre dont la masse est très grande par rapport au premier trahit quelque peu la seconde loi qui porte sur le caractère elliptique de la trajectoire. Dans le cas où le rapport de masse est quelconque, la troisième loi s'exprime par~:\[\frac{a^3}{T^2}=M+m\]où \(a\) est le demi-grand axe de l'orbite et \(T\) la période. La démonstration de cette relation à l'aide de la loi de la gravitation universelle est plus complexe et ne sera pas abordée ici.} qui peut être calculée à partir du rayon de l'orbite et de la période\index{periode@période} du corps en rotation autour de lui. Cela constitue une méthode de calcul de la masse des astres\index{masse@masse!des astres}, comme celle de Jupiter à partir du rayon de l'orbite et de la période de Io, par exemple, ou celle de la Lune.

La masse de la Lune peut en effet être très simplement évaluée à partir de la troisième loi de Kepler. Pour cela, de l'équation \ref{troiskeplernewton}, on commence par tirer l'expression de la masse de la Lune~:
\begin{equation}\label{masselunekepler}
M_{Lune}=\frac{4\cdot \pi^2}{G}\cdot \frac{d_{Terre-Lune}^3}{T_{Lune}^2}
\end{equation}
Pour déterminer cette masse, il faut donc la période de la Lune  sa distance à la Terre. Pour la période, on peut en première approximation, utiliser la période synodique\index{periode@période!synodique}, c'est-à-dire le temps entre deux pleines lunes. Celle-ci vaut~: 29 jours et 13 heures, soit \(etT=\SI{2552400}{\second}\). Pour la distance à la Terre, on peut recourir à l'observation des éclipses\index{eclipse@éclipse}. En effet, en observant l'ombre de la Terre sur la Lune lors d'une éclipse lunaire, on constate que le rapport des diamètres est d'environ deux fois et demi (rapport cependant difficile à obtenir, voir annexe \ref{taillelune}). De plus, en constatant lors des éclipses solaires\index{eclipse@éclipse!solaire}, que l'ombre de la Lune portée par le Soleil sur la Terre est très petite, on peut évaluer qu'un objet tel que la Lune voit son ombre réduite d'un diamètre lunaire environ sur la distance Terre-Lune. Il doit en aller de même pour l'ombre de la Terre sur la Lune. Ainsi, le vrai rapport des diamètres ne doit pas être de deux fois et demi, mais de trois fois et demi. En d'autres termes~:
\[\phi_{Terre}=3,5\cdot \phi_{Lune}\]
Au III\up{e} siècle avant J-C, Ératosthène\index{Eratosthene@Ératosthène} parvient (semble-t-il, car sa mesure prête à discussion, voir annexe \ref{tailleterre}) à déterminer que la circonférence\index{circonference@circonférence!de la Terre} de la Terre vaut un peu plus que \SI{39000}{\kilo\metre}, soit que la Terre a un diamètre de~:
\[\phi=\frac{39'000}{\pi}=\SI{12414}{\kilo\metre}\]
Cela implique que le diamètre de la Lune vaut~:
\[\phi_{Lune}=\frac{12'414}{3,5}=\SI{3547}{\kilo\metre}\]
Or, l'angle \(\alpha\) sous lequel on voit la Lune est d'un demi-degré, soit en radian \(\pi/360=\SI{0,0087}{\radian}\). A l'aide d'une simple relation liant la longueur d'un arc L à son angle au centre \(\alpha\), exprimé en radian, et au rayon R du cercle, on obtient~:
\begin{align*}
L&=\alpha\cdot R\;\Rightarrow\\
R&=\frac{L}{\alpha}=\frac{\phi_{Lune}}{\alpha}\\
R&=d_{Terre-Lune}=\frac{3'547}{0,0087}=\SI{407701}{\kilo\metre}
\end{align*}
Ce qui représente environ 6\% d'écart avec la valeur d'aujourd'hui.

A partir de là, l'équation \ref{masselunekepler}, nous permet d'estimer la masse de la Lune~:
\[M_{Lune}=\frac{4\cdot \pi^2}{G}\cdot \frac{407'701'000^3}{2'552'400^2}=\SI{6,2e24}{\kilo\gram}\]
ce qui représente un ordre de grandeur \num{100} fois trop grand sur \num{1e24}. Ce qui n'est tout de même pas si mal.

\bigskip
De la même manière, on peut évaluer la masse du Soleil grâce à la vitesse de rotation de la Terre autour de celui-ci et à la distance Terre-Soleil. En effet, en supposant le mouvement circulaire uniforme, on peut écrire~:
\[G\cdot \frac{M_{Soleil}\cdot m_{Terre}}{d_{Terre-Soleil}^2}=m_{Terre}\frac{v_{Terre}^2}{d_{Terre-Soleil}}\]
Comme précédemment, la force de gravitation joue ici le rôle de force centripète. Après simplification et réorganisation des termes, on obtient~:
\begin{align*}
M_{Soleil}&=\frac{v_{Terre}^2\cdot d_{Terre-Soleil}}{G}\\
&=\frac{30'000^2\cdot 1,496\cdot 10^{11}}{6,67\cdot 10^{-11}}\\
&=\SI{2e30}{\kilo\gram}
\end{align*}
puisque la vitesse de la Terre autour du Soleil vaut environ \SI{30}{\kilo\metre\per\second} (voir exercice \ref{vitrotterresoleil}, page \pageref{vitrotterresoleil}) et la distance Terre-Soleil \SI{1,496e11}{\metre} (voir le tableau \ref{grandeurs}, page \pageref{grandeurs}).

\subsubsection{Les marées\index{maree@marée}}\label{paramarees}

L'application des lois de la physique humaine (monde sublunaire) à l'univers dans son ensemble va non seulement permettre de mieux comprendre la physique des objets célestes, mais aussi de mieux comprendre la physique de la Terre elle-même. La physique newtonienne et la loi de la gravitation universelle vont en effet donner une explication probante des marées (voir l'annexe \ref{chapmarees} pour une explication plus mathématique).

Pour bien comprendre ce succès, il faut tout d'abord donner une description de ce phénomène très complexe. Il n'est pas possible d'aborder celui-ci de manière exhaustive et nous nous limiterons à une descriptions des phénomènes qui trouvent une explication dans la théorie dite statique\index{maree@marée!théorie statique} de Newton (nous n'aborderons pas la théorie ondulatoire\index{maree@marée!théorie ondulatoire} de Laplace) et dans les mouvements des principaux corps responsables des marées~: la Lune et le Soleil. Encore que certaines propriétés des marées, parfaitement explicables grâce à ces mouvements, ne seront pas abordés par manque de place. Pour une description physique plus approfondie et très claire des marées, on peut consulter \cite{OG04}.

De nos jours, seule la théorie ondulatoire de Laplace permet une prédiction suffisante pour les marées côtières\index{maree@marée!côtière} notamment. Cette théorie faisant appel à des équations très complexes, le recours à l'informatique est absolument nécessaire\footnote{Pour une description très mathématique mais très complète du phénomène de marée, voir \cite{BS07}}.

De plus, dans ce paragraphe, on se limitera à l'explication des marées de pleine mer\index{maree@marée!de pleine mer} et de basse mer\index{maree@marée!de basse mer} (voir ci-dessous) crées par l'influence de la Lune. Pour les marées de vives eaux\index{maree@marée!de vive eau} et de mortes eaux\index{maree@marée!de morte eau}, qui font intervenir l'influence du Soleil, il faudra se reporter à l'annexe \ref{chapmarees}.

\bigskip
La principale période caractéristique de la marée est celle qui rythme les pleines mers et les basses mers. Contrairement à ce à quoi on pourrait s'attendre en pensant que c'est l'action de la Lune qui élève la mer, ce n'est pas une pleine mer (ou basse mer) par jour qui se produit, mais deux. La période de rotation de la Terre sur elle-même étant d'une journée et celle de la Lune d'un mois, un point à l'équateur (voir figure \ref{logiquemaisfaux}) devrait se trouver à marée haute une seule fois par jour. En effet, en une journée le déplacement de la Lune est assez faible pour qu'on puisse le négliger en première approximation. Ce qui implique que pendant cette période l'eau en état de marée haute reste fixe et se situe du côté de la Lune.

\begin{figure}[t]
\centering
\subfigure[Logique mais faux\label{logiquemaisfaux}]{\includegraphics[width=6cm]{PleineBasseMer1.eps}}

\subfigure[Le cas réel\label{lecasreel}]{\includegraphics[width=6cm]{PleineBasseMer2.eps}}
\caption{Pleines et basses mers}
\end{figure}

Comme cela n'est pas le cas et qu'on constate l'existence de deux marées (haute ou basse) par jour, à douze heures d'intervalle, on est bien forcé de décrire le phénomène non seulement avec une marée haute\index{maree@marée!haute} du côté de la Lune (figure \ref{logiquemaisfaux}), mais simultanément avec une autre marée haute à l'opposé de celle-ci, comme présenté sur la figure \ref{lecasreel}.

Ce rythme de deux marées par jour a constitué le principal problème pour l'explication des marées par l'influence de la Lune, jusqu'à la théorie de Newton.

C'est la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle} qui va donner une idée plus précise du phénomène. Mais cela ne va pas se faire aussi simplement qu'on peut le penser. En particulier, le rapport des influences de la Lune et du Soleil qui peut être précisément établi grâce à elle, pose aussi problème. En effet, on peut calculer la force exercée par la Lune sur une masse m située sur Terre par~:
\begin{align*}
F_{Lune}&=G\cdot\frac{M_{Lune}\cdot m}{d_{Terre-Lune}^2}\\
&=6,67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{7,35\cdot 10^{22}\cdot m}{(3,844\cdot 10^8)^2}\\
&=3,32\cdot 10^{-5}\cdot m
\end{align*}
Pour une masse \(m=\SI{100}{\kilo\gram}\), cela correspond à une force \(F=\SI{3,32e-3}{\newton}=\SI{3,32}{\milli\newton}\).

Par ailleurs, on peut calculer la force exercée par le Soleil sur une masse \(m\) située sur terre par~:
\begin{align*}
F_{Soleil}&=G\cdot\frac{M_{Soleil}\cdot m}{d_{Terre-Soleil}^2}\\
&=6,67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{1,981\cdot 10^{30}\cdot m}{(1,496\cdot 10^{11})^2}\\
&=5,90\cdot 10^{-3}\cdot m
\end{align*}
Pour une masse \(m=\SI{100}{\kilo\gram}\), cela correspond à une force \(F=\SI{5,90e-1}{\newton}=\SI{590}{\milli\newton}\).

\smallskip
Le rapport \(r\) de la force de marée due au Soleil à celle due à la Lune est alors de~:
\begin{equation}\label{rapportlunesoleil}
r=\frac{F_{Soleil}}{F_{Lune}}=\frac{590}{3,32}=177,7
\end{equation}

\medskip
Cela contredit l'hypothèse que les marées sont essentiellement dues à l'influence de la Lune. C'est évidemment faux. Les deux calculs effectués ci-dessus représentent en fait un cas ou tout les corps, Soleil, Lune et Terre, sont immobiles. Ce qui n'est pas du tout le cas.

\bigskip
Il ne faut donc pas seulement considérer l'influence gravifique de la Lune sur la Terre, mais aussi le mouvement de ces deux corps. En d'autres termes, il faut considérer la dynamique du système Terre-Lune à travers la deuxième loi de Newton tout prenant en compte une interaction due à la gravitation.

\smallskip
Le problème peut essentiellement être abordé de deux manières. La plus connue est celle qu'on désigne par \og construction de Proctor\fg{}\index{construction@construction!de Proctor}. Elle a le mérite de faire apparaître clairement la cause physique de la marée haute opposée à la lune. Elle a cependant le désavantage de procéder par une différence de deux forces qui ne s'appliquent pas au même endroit, ce qui pose des problèmes conceptuels dans l'emploi de la deuxième loi de Newton\index{loi@loi!deuxième}.

Dans le cadre de ce paragraphe, on va présenter la construction de Proctor, car elle a aussi le mérite de permettre une visualisation bidimensionnelle simple des forces de marée. Mais il ne faudra pas oublier qu'elle n'est que le résultat d'un développement bien plus rigoureux basé sur la deuxième loi de Newton. Ce développement est présenté en annexe \ref{chapmarees}.

\medskip
Pour comprendre la dynamique du système Terre-Lune, il faut s'imaginer la rotation de la Lune autour de la Terre. Si la Terre avait une masse infinie, la Lune tournerait autour du centre de la Terre. Or, ce n'est pas le cas. La Terre à une masse \(M_{Terre}=\SI{5,97e24}{\kilo\gram}\) et la Lune une masse de \(M_{Lune}=\SI{7,35e22}{\kilo\gram}\), ce qui représente pour la Lune un rapport \(p\) à la masse totale du système de~:
\begin{align*}
p&=\frac{M_{Lune}}{M_{Terre}+M_{Lune}}\\
&=\frac{7,35\cdot10^22}{5,97\cdot 10^{24}+7,35\cdot10^22}=0,012=1,2\%
\end{align*}
Ce n'est pas négligeable. En effet, pour cette raison, le centre de gravité\index{centre@centre!de gravité} du système Terre-Lune ne correspond pas au centre de la Terre. Il se situe à une distance du centre de la Terre correspondant au rapport de masses \(p\) calculé ci-dessus, soit \(1,2\%\) de la distance Terre-Lune~:
\[r=0,012\cdot 3,84\cdot 10^5=\SI{4608}{\kilo\metre}\]
Par rapport au rayon de la Terre, qui est de \(\SI{6371}{\kilo\metre}\), cela représente~:
\[\frac{4608}{6371}=72,3\%\]

\begin{figure}[t]
\centering
\caption[Système Terre-Lune]{Le système dynamique Terre-Lune\label{pleinebassemercg} \par \scriptsize{Le centre de gravité du système C n'est pas au centre de la Terre.}}
\includegraphics[width=6cm]{PleineBasseMerCG.eps}
\end{figure}

Ainsi, la Lune ne tourne pas vraiment autour de la Terre mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune. La figure \ref{pleinebassemercg} présente la situation. Le système tourne autour de l'axe \(\Delta\) qui passe par le centre de gravité C. Le centre de la Terre O et le point P tournent aussi autour de cet axe, se déplaçant en O' et P'. En plus de la rotation diurne en \(\SI{24}{\hour}\) sur elle-même, la Terre tourne donc autour du centre de gravité C en un mois environ. Cette rotation crée une pseudo-force dite centrifuge\index{force@force!centrifuge} qui est à l'origine de la marée haute à l'opposé de la Lune, mais l'action existe aussi en PP'.

\smallskip
Il faut relever la complexité de cette action qui existe aussi pour les masses d'eau qui sont du côté de la Lune. L'ensemble de ces forces se traduit mathématiquement par une action très simple sur le centre de la Terre et, formellement, cela revient à considérer le rapport des forces de gravitation s'exerçant à la surface de la Terre avec celles s'exerçant au centre de celle-ci.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption[Construction de Proctor]{Marées~: la construction de Proctor\label{constructionproctor} \par \scriptsize{Richard Anthony Proctor, astronome anglais du XIX\up{e} siècle.}}
\includegraphics[width=6cm]{ConstructionProctor.eps}
\end{figure}

La figure \ref{constructionproctor} présente la situation. On y voit la décomposition de l'effet de marée \(\overrightarrow F_{mar\acute ee}\) en deux forces~: l'attraction gravitationnelle de la Lune \(\overrightarrow F_g\) et une force d'inertie\index{force@force!d'inertie} \(\overrightarrow F_{in}\).

\smallskip
En première analyse, on comprend bien en effet qu'une masse d'eau située au point P soit à la fois attirée par la Lune et soulevée vers l'extérieur par la rotation de la Terre autour du centre de gravité Terre-Lune. Si le point P était situé à l'opposé de la Lune, le raisonnement serait parfaitement justifié. Par contre, pour le point P indiqué (intentionnellement) sur la figure \ref{constructionproctor}, on comprend mal que la force d'inertie soit dirigée \emph{vers} l'axe de rotation. En réalité, il y a derrière la force d'inertie une physique des objets en rotation où cette pseudo-force\index{pseudo-force@pseudo-force} joue un rôle différent des vraies forces. Il s'agit d'une physique des référentiels non inertiels\index{referentiel@référentiel!non inertiel} décrite à l'annexe \ref{relativite}. En fait, la force d'inertie devrait être appliquée au référentiel lié au centre de la Terre, soit au point O. En effet, il s'agit d'une pseudo-force, dite centrifuge, qui n'apparaît dans l'équation de Newton que dans le cas de référentiels en rotation\index{referentiel@référentiel!en rotation}. Comme la deuxième loi de Newton n'est valable que dans des référentiels inertiels\index{referentiel@référentiel!inertiel}, c'est-à-dire en translation uniforme les uns par rapport aux autres (voir annexe \ref{relativite}), pour la préserver dans des référentiels en rotation, il faut y ajouter des pseudo-forces d'inertie\index{pseudo-force@pseudo-force!d'inertie} traduisant le mouvement de rotation du référentiel. Dans ce cas particulier, il s'agit d'une pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force@pseudo-force!centrifuge} appliquée au centre de la Terre O et dirigée à l'opposé du centre de masse C du système Terre-Lune. L'annexe \ref{chapmarees} donne le développement correct de ce problème sur l'axe Terre-Lune. Ce développement constitue une justification de la construction de Proctor\index{construction@construction!de Proctor}. Il constitue aussi le c\oe ur de l'explication newtonienne du phénomène de marée, puisqu'il a pour origine l'application de la deuxième loi de Newton et de la loi de la gravitation universelle.

\smallskip
De nos jours, le graphe du vecteur \(\overrightarrow F_{mar\acute ee}\) le long d'un méridien est relativement simple à réaliser avec un ordinateur. La construction de Proctor en permet le tracé approximatif sans calcul, puisque la direction de \(\overrightarrow F_{mar\acute ee}\) est celle qui relie le point d'application de la force au point N (sur la figure \ref{constructionproctor}) dont la règle de Proctor dit qu'il est situé sur la ligne qui relie la Terre à la Lune, à trois fois la distance \(\delta\) correspondant à la hauteur de la projection orthogonale du point P sur cette ligne.

\begin{figure*}[t]
\centering
\caption[Force de marée]{Marées~: le champ de forces\label{mareechampforce} \par \scriptsize{Selon la construction de Proctor.}}
\includegraphics[width=12cm]{Proctor.eps}
\end{figure*}

\smallskip
Le résultat correspond au graphe du champ vectoriel\index{maree@marée!champ vectoriel} le long du méridien présenté sur la figure \ref{mareechampforce}.

On peut montrer sur la base de la deuxième loi de Newton et de la loi de la gravitation universelle (voir \cite[p. 416]{GC88}) que le vecteur \(\overrightarrow F_{mar\acute ee}\) correspondant à la force de marée s'exerçant sur une masse \(m\) d'eau située au point de coordonnées \((x,y)\) d'un référentiel cartésien lié au centre de la Terre (dans le plan d'un méridien) vaut~:
\begin{equation}\label{eqmareevect}
\overrightarrow F_{mar\acute ee}=G\cdot \frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot {2\cdot x \choose -y}
\end{equation}
Où \(M_L\) est la masse de la Lune et \(d_{T-L}\) la distance Terre-Lune.

L'expression de la force \(\overrightarrow F_{mar\acute ee}\) donnée par \ref{eqmareevect} trouve sa représentation graphique dans le champ de vecteurs représenté à la figure \ref{mareechampforce}. On y voit l'attraction de la Lune sur les masses d'eau qui se trouvent de son côté et, de l'autre côté, l'effet de la force d'inertie (pseudo-force centrifuge). Deux marées hautes se trouvent donc aux antipodes l'une de l'autre. La Terre tournant sur elle-même bien plus rapidement que la Lune tourne autour d'elle, l'existence de deux marées par jour trouve donc ici une explication à travers l'application de la deuxième loi de Newton.

Remarquez aussi la symétrie du champ de forces par rapport à l'axe (en traitillé sur la figure \ref{mareechampforce}) passant par le centre \(O\) de la Terre. Mais, attention, cet axe ne correspond pas à l'axe de rotation diurne de la Terre sur elle-même. En effet, il est perpendiculaire au plan de rotation de la Lune autour de la Terre qui fait un angle de \(5^{\circ}9'\) par rapport au plan de l'écliptique\index{plan@plan!de l'écliptique} (le plan de rotation de la terre autour du Soleil). Comme le plan équatorial, lui-même perpendiculaire à l'axe de rotation diurne de la Terre, fait un angle de \(23^{\circ}26'\) avec le plan de l'écliptique, l'axe de rotation de la Terre sur elle-même et celui du système Terre-Lune ne correspondent pas.

\bigskip
Si déterminer par calcul la force de marée s'exerçant sur une masse donnée d'eau constitue un grand progrès, cette explication peut sembler limitée puisqu'elle ne prédit pas directement les hauteurs d'eau. Et la vérification de l'expression de la force peut sembler de prime abord difficile à réaliser.

Pour comprendre dans quelle mesure l'explication newtonienne correspond numériquement avec les observations, considérons une forme réduite de l'équation \ref{eqmareevect}. Il s'agit de l'expression de celle-ci sur une masse \(m\) d'eau située sur l'axe Terre-Lune. La détermination de cette force est présentée à l'annexe \ref{chapmarees}, équation \ref{forcedemareebalance}, page \pageref{forcedemareebalance}. Le résultat est le suivant~:
\begin{equation}\label{eqmaree}
F_{mar\acute ee}=2\cdot G\cdot \frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T
\end{equation}
Évidemment, cette force est proportionnelle à la masse \(M_L\) de la Lune, puisque la marée est en partie due à la force de gravitation. Mais, contrairement à la loi de la gravitation, elle n'est pas inversément proportionnelle au carré de la distance Terre-Lune, car elle est aussi en partie due à la force d'inertie\index{force@force!d'inertie} (ou pseudo-force centrifuge\index{pseudo-force@pseudo-force!centrifuge}). La somme de ces deux forces (de gravitation et d'inertie) varie comme l'inverse du \emph{cube} de la distance Terre-Lune. C'est là une différence importante qui va permettre de déterminer le rapport d'influence de la Lune et du Ssoleil sur les masses océaniques.

On a vu que le rapport des forces gravifiques exercées par la Lune et par le Soleil sur une masse d'eau vaut \(r=177,7\) (voir équation \ref{rapportlunesoleil}). Ce qui est en contradiction avec l'observation qui montre une influence prédominante de la Lune sur le Soleil. Cette contradiction tient au fait que la force d'inertie a été négligée. Pour en tenir compte, on peut recalculer le rapport \(r\) à partir de l'équation \ref{eqmaree} appliquée à la Lune et au Soleil~:
\begin{align}
F_{mar\acute ee}^{Lune}&=2\cdot G\cdot \frac{M_L\cdot m}{d_{T-L}^3}\cdot R_T\\
F_{mar\acute ee}^{Soleil}&=2\cdot G\cdot \frac{M_S\cdot m}{d_{T-S}^3}\cdot R_T
\end{align}
Le rapport s'exprime alors par~:
\begin{align}
r&=\frac{F_{mar\acute ee}^{Soleil}}{F_{mar\acute ee}^{Lune}}=\frac{M_S/d_{T-S}^3}{M_L/d_{T-L}^3}\nonumber\\
&=\frac{M_S}{M_L}\left(\frac{d_{T-L}}{d_{T-S}}\right)^3=\frac{1,99\cdot 10^{30}}{7,35\cdot 10^{22}}\left(\frac{3,84\cdot 10^8}{1,50\cdot 10^{11}}\right)^3\nonumber\\
&=0,46\label{rapportjuste}
\end{align}
Ce rapport correspond à une influence plus importante de la Lune par rapport au Soleil d'environ \(1/0,46=2,17\times\). Pour les marées océaniques\index{maree@marée!océanique} (en plein océan et non côtières où d'autres phénomènes entrent en jeu) ce rapport est bien vérifié, ce qui lève la contradiction évoquée précédemment et confirme la théorie de Newton.

\bigskip
On en restera là pour un première analyse du phénomène de marée grâce à la théorie de la gravitation et à la dynamique newtonienne. Mais bien d'autres aspects devraient être évoqués. Quelques uns le sont dans l'annexe \ref{chapmarees}. Cependant, comme déjà dit, ils ne sortent pas du cadre de l'explication astronomique, celle exprimée en termes d'ondes n'étant pas du niveau de ce cours.

\subsubsection{Le frottement\index{frottement@frottement}}

Pour comprendre la force de frottement\index{frottement@frottement}, il faut réaliser l'expérience suivante~:

on tire avec un dynamomètre\index{dynamometre@dynamomètre} une masse posée sur une table. Pendant un premier temps, la masse ne bouge pas. Cela signifie que la force qu'on exerce est égale à la force de frottement\index{frottement@frottement}. Même si on tire de plus en plus fort, la masse ne bouge pas. Donc, la force de frottement augmente en même temps et dans la même mesure que celle que l'on exerce. C'est le cas jusqu'à un certain point nommé \og imminence de glissement\index{imminence@imminence!de glissement}\fg{}. A ce moment-là, la force de frottement, dite \og statique\index{statique@statique}\fg{} parce que le masse ne bouge pas encore, est maximale. Si on augmente encore, ne serait-ce qu'un tout petit peu, la force de traction, la masse se met en mouvement et on constate en général que la force de frottement diminue légèrement. Ensuite, même si on augmente la force de traction, la force de frottement ne varie plus. Ce comportement est résumé sur le graphique de la figure \ref{forcefrott}.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{La force de frottement\label{forcefrott}}
\psfrag{Force de frottement}{Force de frottement}
\psfrag{Domaine}{Domaine}
\psfrag{statique}{statique}
\psfrag{dynamique}{dynamique}
\psfrag{Force de traction}{Force de traction}
\psfrag{Fcin.}{\(F_{cin.}\)}
\psfrag{Fstat.max.}{\(F_{stat.max.}\)}
\psfrag{45}{45\(^\circ\)}
\includegraphics{ForceFrottement.eps}
\end{figure}

Par ailleurs, pour un frottement de type sec\index{frottement@frottement!sec}, c'est-à-dire entre deux surfaces solides (voir figure \ref{freindewagon}), on montre que la force ne dépend pas de la surface de frottement, mais seulement de la nature des surfaces et de la réaction du sol (la force exercée par le sol sur la masse). Ainsi, on peut écrire~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle F_{frott.\, stat.\, max}=\mu_{o}\cdot N\)}
\end{equation}

où \(\mu_{o}\) est le c\oe fficient de frottement statique\index{coefficient@c\oe fficient de frottement!statique} qui traduit l'influence de la nature des surfaces et N est la force de réaction\index{force@force!de réaction}. De la même manière, on a aussi~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle F_{frott.\, cin.}=\mu_{c}\cdot N\)}
\end{equation}

où \(\mu_{c}\) est le c\oe fficient de frottement cinétique\index{coefficient@c\oe fficient de frottement!cinétique}.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Freins de wagon\label{freindewagon}}
\includegraphics[width=6cm]{Frein_de_wagon.eps}
\end{figure}

D'autre part, on a, comme la figure \ref{forcefrott} le montre, la relation suivante~:
\[\mu_{o}\geq\mu_{c}\]

Enfin, il faut relever qu'en réalité la situation est plus complexe. Même si le modèle de la force de frottement cinétique présente une force indépendante de la vitesse, on peut observer des variations en fonction de la vitesse (notamment une décroissance). De plus, sa linéarité en fonction de la réaction normale du sol n'est pas toujours exacte. Il s'agit donc d'un modèle qui a ses limites.

\paragraph{Exemple}

Calculez la distance de freinage\index{distance@distance!de freinage} d'une voiture roulant à \SI{50}{\kilo\metre\per\hour} sur une route mouillée dont les c\oe fficients de frottement avec les pneus valent~: \(\mu_{o}=0,4\) et \(\mu_{c}=0,3\). Le conducteur ne sait pas freiner.

\smallskip
Solution~:

Comme le conducteur ne sait pas freiner, il bloque les roues et elles glissent sur la chaussée. Le c\oe fficient de frottement est donc \(\mu_{c}=0,3\). La force de frottement vaut alors~:
\[F_{frot.}=\mu_{c}\cdot N=\mu_{c}\cdot m\cdot g\]

et, la deuxième loi de Newton implique~:
\begin{align*}
a&=\frac{F_{frot.}}{m}=\frac{\mu_{c}\cdot m\cdot g}{m}=\mu_{c}\cdot g\\
&=0,3\cdot9,81=\SI{2,943}{\metre\per\second\squared}
\end{align*}

Par ailleurs, on a aussi~: \(v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a\cdot d\)

Ainsi, on tire~:
\[d=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot a}=\frac{0^{2}-13,9^{2}}{2\cdot(-2,943)}=\SI{32,8}{\metre}\]

Car \(\SI{50}{\kilo\metre\per\hour}=\SI{13,9}{\metre\per\second}\) et \(a<0\) pour une décélération.

\subsubsection{La force d'un ressort\index{ressort@ressort}}

Il est particulièrement intéressant de comprendre comment agit la force d'un ressort. En effet, c'est un premier modèle traduisant les liaisons inter-atomiques\index{liaison@liaison!interatomique} à l'intérieur d'un cristal\index{cristal@cristal} par exemple. Mais beaucoup d'autres cas pourraient être présentés (voir figure \ref{essieudewagon}).

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Essieu de wagon\label{essieudewagon}}
\includegraphics[width=6cm]{Essieu_de_wagon.eps}
\end{figure}

Dans le domaine où le ressort a un comportement plastique\index{plastique@plastique} (c'est-à-dire quand sa variation de longueur est parfaitement réversible), on montre que l'expression donnant le force de rappel par rapport à l'état d'équilibre où le ressort est détendu, est~:
\begin{equation}
\fbox{\(F=-k\cdot x\)}
\end{equation}

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Force élastique d'un ressort\label{ressort}}
\psfrag{x}{x}
\psfrag{+}{+}
\psfrag{ressort au repos}{ressort au repos}
\psfrag{ressort étiré}{ressort étiré}
\psfrag{F~: force de rappel}{\(F\)~: force de rappel}
\psfrag{F}{F}
\includegraphics{Ressort.eps}
\end{figure}

où \(k\) appelée \emph{constante du ressort}, traduit sa \og dureté\fg{} et s'exprime en \(N/m\). Le signe négatif vient du fait que si le ressort est étiré c'est une force de rappel dirigée dans le sens contraire de l'axe.

\paragraph{Exemple}

On suspend à un ressort de constante \(k=\SI{200}{\newton\per\metre}\) une masse de \SI{2}{\kilo\gram}. Calculez son allongement\index{allongement@allongement}.

\smallskip
Solution~:

L'équilibre des forces (le poids vers le bas et la force de rappel du ressort vers le haut) mène à la solution suivante~:
\[m\cdot g=k\cdot x\Rightarrow x=\frac{m\cdot g}{k}=\frac{2\cdot9,81}{200}=\SI{9,81}{\centi\metre}\]

\begin{sidewaysfigure*}
%\begin{figure*}[!b]
\begin{shaded}
\begin{center}
\begin{minipage}{16cm}
	\begin{minipage}[b]{16cm}
		\begin{center}
		\textsc{Résumé des grandeurs et unités}
		\end{center}
		\smallskip
	\end{minipage}\\
	\begin{minipage}[t]{16cm}
		\begin{center}
		\begin{tabular}{lll}
		\textbf{Grandeur} & \textbf{Symbole} & \textbf{Unité} \\
		Distance & r & \si{\metre} \\
		Masse & m, M & \si{\kilo\gram} \\
		Force & F & \si{\newton} \\
		Constante de la gravitation & \(G=\num{6,67e-11}\) & \si{\newton\metre\squared\per\kilo\gram\squared} \\
		Coefficient de frottement & \(\mu\) & - \\
		Constante du ressort & k & \si{\newton\per\metre} \\
		\end{tabular} 
		\end{center}
	\end{minipage}\\
	
	\bigskip
	
	\begin{minipage}[b]{16cm}
		\begin{center}
		\textsc{Résumé des lois de la dynamique}
		\end{center}
		\smallskip
	\end{minipage}\\
	\begin{minipage}[t]{8cm}
		\textbf{Lois de Newton}
		
		Les lois fondamentales de la dynamique~:
		\begin{align}
		MRU &\Leftrightarrow \Sigma \overrightarrow{F}^{ext}=0\\
		\Sigma \overrightarrow{F}^{ext}&=m\cdot \overrightarrow{a}\\
		\overrightarrow{Action}&=-\overrightarrow{R\acute eaction}\\
		\end{align}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[c]{2.3cm}
		et
		% \[\stackrel{\displaystyle a_{o}=0}{\Longleftrightarrow}\]
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{6cm}
		\textbf{Forces}
		
		Quelques lois~:
		\begin{align}
		\overrightarrow{P}&=m\cdot \overrightarrow{g}\\
		F&=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\
		F&=-k\cdot x\\
		F&=\mu\cdot N
		\end{align}
	\end{minipage}\\

	\bigskip

	\begin{minipage}[b]{16cm}
	\textbf{MCU}~: force centripète de natures diverses \begin{equation} F_c=m\cdot \frac{v^2}{R}\;\;\Rightarrow \;\;a_c=\frac{v^2}{R}\end{equation}
	\end{minipage}
\end{minipage}
\end{center}
\end{shaded}
%\end{figure*}
\caption{Résumé de mécanique}
\end{sidewaysfigure*}