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TeX
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\begin{Solution OS}{1}
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On commence par choisir le système. Pour éviter de devoir calculer la tension dans la corde, on le choisit comme constitué de la corde et des deux masses M et m.
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Les forces extérieures sont alors au nombre de trois. Le plan horizontal exerce sur la masse M une force de soutient verticale égale et opposée à son poids (mais qui ne sont pas l'action et la réaction l'une de l'autre), puisque la masse se déplace horizontalement. Ces deux forces s'annulent donc. Reste le poids de la masse m, seule force extérieure à agir pour accélérer le système.
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On peut donc écrire, selon la seconde loi de Newton~:
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\[\sum F^{ext}=m\cdot g=(M+m)\cdot a\]
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où M+m est la masse du système. Ainsi, finalement, on peut calculer la valeur de l'accélération~:
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\begin{align*}
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&m\cdot g=(M+m)\cdot a\;\Rightarrow\\
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&a=\frac{m}{M+m}\cdot g=\frac{2}{5}\cdot 9,81=\unit{3,924}{\metre\per\second\squared}
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\end{align*}
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À partir de l'accélération, on peut ensuite calculer la vitesse au bout d'un mètre, grâce à l'équation du MRUA~:
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\begin{align*}
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v^2&=v_0^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
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v^2&=0+2\cdot 3,924\cdot 1\;\Rightarrow\\
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v&=\sqrt{2\cdot 3,924}=\unit{2,8}{\metre\per\second}
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\end{align*}
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\end{Solution OS}
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\begin{Solution OS}{2}
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Deux forces agissent ici : la réaction du plan, qui lui est normale (c'est-à-dire perpendiculaire), et le poids de la masse. Comme la réaction du plan n'a aucune composante parallèlement au plan, elle ne peut être responsable de l'accélération de la masse le long de celui-ci.
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Il faut donc trouver la composante du poids qui est parallèle au plan incliné. L'angle entre le poids et un plan horizontal est de \unit{90}{\degree}. Quand le plan est incliné, cet angle diminue de la valeur de l'inclinaison. L'angle \(\beta\) entre le plan incliné et le poids et donc \(\beta=90-\alpha\).
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Comme la projection du poids selon l'angle \(\beta\) correspond à sa composante parallèle au plan, dans le triangle rectangle composé du poids comme hypoténuse et de ses composantes parallèle et perpendiculaire au plan, la composante parallèle au plan correspond au côté adjacent. Ainsi, on peut écrire~:
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\begin{align*}
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P_{//}&=P\cdot\cos(\beta)=P\cdot\cos(90-\alpha)\\
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&=P\cdot\sin(\alpha)
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\end{align*}
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La seconde loi de Newton s'écrit donc le long du plan incliné~:
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\begin{align*}
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\sum F^{ext}=P\cdot\sin(\alpha)&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
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m\cdot g\cdot\sin(\alpha)&=m\cdot a\;\Rightarrow\\
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a&=g\cdot\sin(\alpha)\;\Rightarrow\\
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a&=9,81\cdot\sin(20)=\unit{3,36}{\metre\per\second\squared}
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\end{align*}
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Avec une vitesse initiale nulle, pour un MRUA d'accélération calculée ci-dessus, la vitesse au bout d'un temps t=\unit{2}{\second} s'obtient par~:
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\[v=a\cdot t+v_0=3,36\cdot 2=\unit{9,72}{\metre\per\second}\]
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Une autre manière de résoudre le problème est de procéder avec méthode. Le système qu'on doit choisir est bien évidemment la masse m, puisque c'est de celle-ci qu'on cherche l'accélération pour en trouver la vitesse au bout de \unit{2}{\second}.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\caption[Plan incliné]{Le plan incliné}\label{incline}
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\medskip
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\def\svgwidth{6cm}
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\input{Annexe-Exercices/Images/incline.eps_tex}
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\end{figure}
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La figure \ref{incline} présente ensuite le dessin des forces extérieures et le choix du système d'axes. Remarquez que ce dernier l'a été selon l'inclinaison du plan. Il aurait pu ne pas en être ainsi, mais ce choix simplifie les calculs, car la masse étant contrainte à se déplacer le long du plan, son accélération perpendiculairement est nulle. Les équations de la seconde loi de Newton, obtenues par projection des forces extérieures et de l'accélération selon les axes, peuvent alors s'écrire :
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\begin{align*}
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\sum F^{ext}_x&=P_x=m\cdot a_x &\text{sur l'axe x}\\
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\sum F^{ext}_y&=R-P_y=m\cdot a_y=0 &\text{sur l'axe y}
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\end{align*}
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car l'accélération perpendiculairement au plan est nulle, comme déjà mentionné.
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Si on considére l'angle \(\alpha\), en s'imaginant le plan incliné horizontal, on comprends qu'il se reporte entre le vecteur poids \(\overleftarrow{P}\) et sa compostante selon y \(P_y\).
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Avec le triangle rectangle formé par le poids et ses composantes et un peu de trigonométrie, on peut en déduire~:
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\begin{align*}
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P_x &= P\cdot \sin(\alpha)\\
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P_y &= P\cdot \cos(\alpha)
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\end{align*}
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Comme par ailleurs on sait que \(P=m\cdot g\), on peut réécrire les équations de Newton sur les axes comme~:
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\begin{align*}
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\sum F^{ext}_x&=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)=m\cdot a_x\\
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\sum F^{ext}_y&=R-m\cdot g\cdot \cos(\alpha)=m\cdot a_y=0
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\end{align*}
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La première de ces équations permet de trouver l'accélération du bloc selon le plan incliné~:
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\begin{align*}
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a=a_x&=g\cdot \sin(\alpha)\\
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&=9,81\cdot\sin(20)=\unit{3,36}{\metre\per\second\squared}
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\end{align*}
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\smallskip
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Mais une information supplémentaire nous est donnée par la seconde équation, c'est la valeur de la réaction R au plan~:
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\begin{align*}
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R&=m\cdot g\cdot \cos(\alpha)\\
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&=3\cdot 9,81\cdot \cos(20)=\unit{27,67}{\newton}
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\end{align*}
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Ensuite, le problème se résout de la même manière que précédemment.
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\end{Solution OS}
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\begin{Solution OS}{3}
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Le problème peut paraître complexe du fait de la présence de deux objets distincts se déplaçant selon deux axes différents. Pourtant, le fait que la corde soit inextensible fait de l'ensemble des deux masse et de la corde un système se déplaçant avec la même accélération. De plus, pour autant qu'on considère correctement l'action des forces sur chaque masse, on peut s'imaginer ce système se déplaçant d'un bloc horizontalement.
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Comme on ne connaît pas la tension dans la corde (on ne peut s'imaginer à priori qu'elle correspond au poids de la masse m), le choix du système comprenant les deux masses et la corde s'impose, car ainsi la tension dans la corde, en tant que force intérieure, n'apparaîtra pas dans les équations de Newton.
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Comme déjà dit, on peut considérer le système d'un seul tenant. On va donc imaginer un axe suivant la corde et orienté vers le bas du plan incliné, car la masse M étant plus grande que m, il est évident que le mouvement se fera dans ce sens. Ainsi, le signe de l'accélération sera positif.
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Reste à considérer les forces extérieures. Elles sont au nombre de quatre~:
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\begin{enumerate}
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\item le poids P de la masse M,
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\item la réaction R du plan incliné,
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\item celui p de la masse et
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\item la force exercée sur la corde par la poulie.
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\end{enumerate}
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La dernière est toujours perpendiculaire à la corde et ne participe donc pas au mouvement des masses. La troisième est toujours parallèle à la corde. La seconde est toujours perpendiculaire au plan incliné et ne participe elle aussi pas au mouvement. La première à une composante perpendiculaire au plan incliné et ne participe pas au mouvement, mais aussi une composante parallèle à ce plan et doit être considérée.
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Avec l'angle \(\alpha\) défini, on peut reprendre le raisonnement évoqué au problème \ref{planinclinesimple}, évoquant le triangle rectangle formé par le poids de la masse M et se composantes et affirmant que l'angle \(\alpha\) est celui entre le poids et sa composante perpendiculaire au plan, pour écrire que la composante parallèle au plan vaut~:
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\[P_{//}=M\cdot g\cdot \sin(\alpha)\]
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\smallskip
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À partir de là, on peut écrire l'équation du mouvement du système (des deux masse et de la corde)~:
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\[\sum F^{ext}=M\cdot g\cdot \sin(\alpha)-m\cdot g=(M+m)\cdot a\]
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et calculer l'accélération~:
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\begin{align*}
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a&=\frac{M\cdot g\cdot \sin(\alpha)-m\cdot g}{M+m}\\
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&=\frac{5\cdot 9,81\cdot \sin(30)-3\cdot 9,81}{5+3}\\
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&=\unit{-0,6}{\metre\per\second\squared}
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\end{align*}
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Le signe négatif signifie que la masse M monte vers le haut du plan incliné.
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Pour calculer la tension dans la corde, il est indispensable de changer de système pour la faire apparaître en tant que force extérieure dans l'équation de Newton.
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Trois éléments peuvent prétendre servir de système.
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La corde en premier lieu. Si on la considère seule, à l'une de ses extrémités la masse m exerce sur elle une force \(T_m\) et à l'autre la masse M exerce une tension à priori différente \(T_M\). La force exercée par la poulie reste perpendiculaire et ne contribue pas au mouvement. On peut donc écrire~:
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\[T_M-T_m=\mu\cdot a\]
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où \(\mu\) est la masse de la corde. Or, si cette masse est nulle, indépendamment de l'accélération, le deux tensions sont égales. Cela est évidemment valable pour tous les éléments de la corde dont on dira donc qu'elle exerce une force \(T\) à déterminer.
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Le système corde ne permet donc pas de la trouver.
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Restent les deux masses. Pour la masse M interviendra dans l'équation du mouvement un sinus qu'on va éviter en considérant m.
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Sur m, avec un axe pointant toujours vers le haut, l'équation de Newton devient très simple~:
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\begin{align*}
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\sum F{ext}&=T-m\cdot g=m\cdot a\;\Rightarrow\\
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T&=m\cdot (a+g)=3\cdot (-0,6+9,81)\\
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&=\unit{27,6}{\newton}
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\end{align*}
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Pour vérifier ce résultat, choisissons l'autre masse (M) pour système. On écrira alors~:
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\begin{align*}
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\sum F^{ext}&=-T+M\cdot g\cdot \sin(\alpha)=M\cdot a\;\Rightarrow\\
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T&=M\cdot g\cdot \sin(\alpha)-M\cdot a\\
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&=5\cdot 9,81\cdot \sin(30)-5\cdot (-0,6)\\
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&=\unit{27,6}{\newton}
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\end{align*}
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\end{Solution OS}
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\begin{Solution OS}{4}
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Pour calculer la vitesse de chute, il suffit de trouver la vitesse d'un objet en chute libre au bout de \unit{2}{\metre} de déplacement. Avec les équations du MRUA, on a~:
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\begin{align*}
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v&=\sqrt{2\cdot g\cdot h}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 2}\\
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&=\unit{6,26}{\metre\per\second}
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\end{align*}
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\medskip
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Ensuite, si on considère que la descente en parachute se fait à vitesse constante, c'est-à-dire avec une accélération nulle, on peut écrire~:
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\begin{align*}
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\sum F^{ext}&=-T+m\cdot g=m\cdot a=0\;\Rightarrow\Rightarrow\\
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T&=m\cdot g=70\cdot 9,81=\unit{686,7}{\newton}
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\end{align*}
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En d'autre termes, le parachute n'a à supporter que le poids du parachutiste.
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\begin{exos}
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\end{Solution OS}
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\begin{Solution OS}{5}
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Un corrigé de test.
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\end{Solution OS}
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