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\chapter{Physique théorique\index{physique@physique!théorique}}\label{physiquetheorique}
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\section{Introduction}
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Ce chapitre constitue une introduction à la physique théorique. Il présente la notion fondamentale d'action sous la forme la plus simple possible. Il s'inspire des idées de l'excellent ouvrage \emph{Le minimum théorique} de \cite{SU03}. Le formalisme développé dans ces ouvrage est clairement inaccessible ici. C'est pourquoi, un effort important a été fait pour s'en dégager et rester au niveau de mathématiques simples. Si le formalisme mathématique vous intéresse, reportez-vous à cet ouvrage.
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Le tableau \ref{energie}, page \pageref{energie}, présente la notion d'énergie comme située au niveau de la vitesse, soit \og une intégration \fg{} au-dessus de l'accélération. La relation fondamentale de la dynamique, soit la seconde loi de Newton, se situant au niveau de l'accélération, déterminer la vitesse se fait mathématiquement par intégration. Par contre, avec l'énergie, une relation directe plus \og physique \fg{} à la vitesse est possible.
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\medskip
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Dans ce chapitre, on va montrer que la notion d'énergie se trouve au sein d'un principe fondamental qu'on peut voir comme générateur des équations du mouvement, le \emph{principe de moindre action}\index{principe@principe!de moindre action}.
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\medskip
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Pour le comprendre, il faut revenir sur les deux formes d'énergie potentielle et cinétique.
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\section{Énergie potentielle\index{energie@énergie!potentielle}}
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Il s'agit d'un concept fondamental au même titre que l'énergie cinétique.
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\begin{quotation}
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Le principe de base - qu'on appelle le \emph{principe de l'énergie potentielle} - déclare que toutes les forces proviennent d'une fonction d'énergie potentielle notée V(x). \citep[p. 106]{SU03}
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\end{quotation}
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Les équations \ref{fderiveenpot} et \ref{fintenpot}, page \pageref{fintenpot} traduisent mathématiquement ce principe~:
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\begin{equation}\label{thfderiveenpot}
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F=-\frac{d}{dx}E_{pot}
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\end{equation}
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Et inversement~:
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\begin{equation}\label{thfintenpot}
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\fbox{\(\displaystyle\Delta E_{pot}=-A=-\int_{A}^{B} F\cdot dx\)}
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\end{equation}
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Évidemment, la relation est différentielle ou intégrale puisqu'on passe du niveau de l'accélération à celui de la vitesse.
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\section{Énergie cinétique}
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Rappelons aussi la notion d'énergie cinétique~:
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\begin{equation}
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E_{cin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2
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\end{equation}
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qui va donner lieu au \emph{théorème de l'énergie cinétique}.
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\section{Quantité de mouvement}
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Enfin, rappelons aussi celle de quantité de mouvement et sa conservation exprimée par l'équation \ref{consqtitemvt}, page \pageref{consqtitemvt}~:
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\begin{equation}\label{thconsqtitemvt}
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\fbox{\(\overrightarrow p=constante\)}
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\end{equation}
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\section{Conservation de l'énergie}
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Il est intéressant de considérer le théorème de conservation de l'énergie mécanique donné par l'équation \ref{consenmec0}, page \ref{consenmec0}~:
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\begin{equation}\label{thconsenmec0}
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\fbox{\(\displaystyle E_{mec}=const.\)}
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\end{equation}
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Avec la définition de l'énergie mécanique~:
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\begin{equation}\label{thenmec}
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E_{m\acute ec}=E_{cin}+E_{pot}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}+m\cdot g\cdot h
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\end{equation}
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on peut montrer que celui-ci implique la seconde loi de Newton. En effet, si conservation de l'énergie il y a, c'est que sa dérivée s'annule. On peut donc écrire~:
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\begin{align*}
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\frac{d}{dt}E_{mec}&=\frac{d}{dt}(E_{cin}+E_{pot})\\
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&=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+E_{pot})\\
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&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \frac{d}{dt}v^2+\frac{d}{dt}E_{pot}\\
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&=\frac{1}{2}\cdot m\cdot 2\cdot v\cdot \frac{d}{dt}v+\frac{d}{dx}\frac{dx}{dt}E_{pot}\\
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&=m\cdot v\cdot \frac{dv}{dt}+\frac{dx}{dt}\frac{d}{dx}E_{pot}\\
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&=m\cdot v\cdot a+v\cdot (-\frac{d}{dx}\int_{A}^{B} F\cdot dx)\\
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&=v\cdot (m\cdot a-F)=0\;\Rightarrow\\
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F&=m\cdot a
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\end{align*}
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Ce qu'il fallait démontrer. |