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\chapter{MRUA développements}

\section{La position\index{position}}

\lettrine{P}{our un MRUA}, la position est donnée par \label{demo}:

\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle x=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}$}
\end{equation}

Démonstration~:

Par définition la vitesse moyenne est~:

\[\overline{v}=\frac{x-x_{o}}{t}\;\Rightarrow\; x=\overline{v}\cdot t+x_{o}\]

Mais, la vitesse moyenne peut aussi s'exprimer par~:
\[\overline{v}=\frac{v+v_{o}}{2}\]

Ainsi, on a~:
\[x=\overline{v}\cdot t+v_{o}=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}\]

Or, par définition de l'accélération (constante)~:
\[\overline{a}=a_{o}=\frac{v-v_{o}}{t}\;\Rightarrow\; v=a_{o}\cdot t+v_{o}\]

Donc, on a~:

\begin{align*}
x&=\frac{v+v_{o}}{2}\cdot t+x_{o}=\frac{a_{o}\cdot t+v_{o}+v_{o}}{2}+x_{o}\\
&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
\end{align*}

C'est ce qu'il fallait démontrer.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption[\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée]{\emph{Discours concernant deux sciences nouvelles} de Galilée\label{deuxsciences} \par \scriptsize{Discours dans lesquels Galilée présente ses expériences sur la chute des corps et fonde la mécanique. Il tente aussi d'y créer une science de la résistance des matériaux\endnote{Voir le site de l'encyclopédie Wikipedia~: \url=http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Galileo_Galilei\%2C_Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche_Intorno_a_Due_Nuove_Scienze\%2C_1638_\%281400x1400\%29.png=.}}}
\includegraphics[width=6cm]{Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche.eps}
\end{figure}

\section{Une autre relation bien pratique\label{pratique}}

\subsection{Cinématique}

Jusqu'à présent, les relations obtenues (la vitesse et la position) sont fonctions du temps. Il est néanmoins pratique dans bien des cas de disposer d'une relation où le facteur temps n'apparaît pas. Cette relation est facilement obtenue en éliminant le temps des deux équations de la vitesse et de la position. Pour le calcul on part de équations du MRUA suivantes~:

\begin{align*}
v&=a_{o}\cdot t+v_{o}\\
x&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}
\end{align*}

Elles constituent généralement un système de deux équations à deux inconnues, dont le temps $t$ est l'une d'elles. Pour résoudre ce système et éliminer le temps par substitution, on tire $t$ de la première équation~:

\[t=\frac{v-v_{o}}{a_{o}}\]

et on le remplace dans la seconde (faire le contraire est aussi réalisable, mais mathématiquement plus complexe)~:

\begin{align*}
x&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot(\frac{v-v_{o}}{a_{o}})^{2}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
&=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot\frac{(v-v_{o})^{2}}{a_{o}^{2}}+v_{o}\cdot\frac{v-v_{o}}{a_{o}}+x_{o}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}}{a_{o}}+\frac{v\cdot v_{o}-v_{o}^{2}}{a_{o}}+x_{o}\\
&=\frac{v^{2}-2\cdot v\cdot v_{o}+v_{o}^{2}+2\cdot v\cdot v_{o}-2\cdot v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}
\end{align*}

\[\Rightarrow\; x=\frac{v^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot a_{o}}+x_{o}\;\Rightarrow\]

\begin{equation}\label{sanst}
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
\end{equation}

Cette relation\label{demo2} est indépendante du temps $t$. Elle est canoniquement présentée sous cette forme.

\subsection{Énergie}

Il faut relever que la relation \ref{sanst} peut aussi être obtenue grâce au théorème de conservation de l'énergie. En effet, imaginons un objet de masse \(m\) à une hauteur \(h\) qu'on lance à une vitesse \(v_o\) vers le bas. Son énergie cinétique initiale est non nulle, de même que son énergie potentielle initiale. Son énergie potentielle finale est nulle. Par contre, son énergie cinétique finale ne l'est pas. Par conservation de l'énergie, on peut écrire~:
\begin{gather*}
E_{cin}^i+E_{pot}^i=E_{cin}^f+E_{pot}^f\;\Rightarrow\\
\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_o^2+m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
v^2=v_o^2+2\cdot g\cdot h
\end{gather*}
Soit, de manière plus générale, en posant \(g=a\) et \(h=x-x_o\), ce qu'il fallait démontrer~:

\begin{equation*}
\fbox{$v^{2}=v_{o}^{2}+2\cdot a_{o}\cdot(x-x_{o})$}
\end{equation*}