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\chapter{Ordre de grandeur, erreur et incertitudes}

\section{Ordre de grandeur}

\section{Écart et erreur}
On peut facilement déterminer l'écart entre deux valeurs $a$ et $b$ par leur différence $a-b$. On peut, par exemple, mesurer la longueur $L$ des baguettes de pain vendues par un boulanger et déterminer les différents écarts entre elles. Par exemple, on pourrait avoir une série de mesures telles que celle données dans le tableau \ref{baguettepain}.

\begin{table}[ht]
\centering
\caption{La longueur des baguettes de pain}\label{baguettepain}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
\textbf{L} & \textbf{Écart} & \textbf{Écart} & \textbf{Erreur} & \textbf{Erreur}\\
\centi\metre	&\centi\metre	&\%	&\centi\metre	&\%\\
\hline
60	&-2	&-3.2	&0	&0.0\\
65	&3	&4.8	&5	&8.3\\
64	&2	&3.2	&4	&6.7\\
58	&-4	&-6.5	&-2	&-3.3\\
61	&-1	&-1.6	&1	&1.7\\
57	&-5	&-8.1	&-3	&-5.0\\
60	&-2	&-3.2	&0	&0.0\\
64	&2	&3.2	&4	&6.7\\
62	&0	&0.0	&2	&3.3\\
65	&3	&4.8	&5	&8.3\\
63	&1	&1.6	&3	&5.0\\
60	&-2	&-3.2	&0	&0.0\\
64	&2	&3.2	&4	&6.7\\
65	&3	&4.8	&5	&8.3\\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{Moyennes}\\
\hline
62	&0.0	&0.0	&2.0	&3.3\\
\hline 
\end{tabular}
\end{table}

On voit immédiatement que le calcul des écarts pose un problème : il faut déterminer les écarts entre chaque baguettes deux par deux. On peut le faire. Mais quel sens cela a-t-il ?

Par contre, déterminer quel est l'écart à la moyenne des baguettes est plus instructif. La moyenne vaut \unit{62}{\centi\metre} et la seconde colonne du tableau \ref{baguettepain} présente les écarts. On voit alors facilement que l'écart ne dépasse pas \unit{5}{\centi\metre}. Ce qui peut avoir de l'importance si on a faim.

Par ailleurs, si on sait que le boulanger avait décidé de faire des baguettes de \unit{60}{\centi\metre}, on peut se poser une autre question : quel est l'écart à cette valeur ? La quatrième colonne y apporte une réponse. Comme on utilise ce qu'on peut appeler une référence, on parlera d'\emph{erreur}, plutôt que d'écart. Ce qui est alors intéressant, c'est qu'on voit que le boulanger à tendance à faire des baguettes trop grandes. Cela peut avoir une importance pour lui s'il a prévu un budget précis de matières premières pour des baguettes de \unit{60}{\centi\metre}. Cela permet aussi de s'interroger sur la règle utilisée par le boulanger pour estimer la longueur des baguettes. Comme ses baguettes sont trop longues, on peut penser que sa règle est aussi trop longue, ce qui peut avoir pour conséquence une mauvaise estimation de la longueur de la baguette par le boulanger. On parlera alors d'une \emph{erreur systèmatique}\index{erreur systématique} induite par un matériel mal calibré. Ce type d'erreur se détecte par la présence d'une importante quantité de signes systématiquement positifs ou systématiquement négatifs dans les écarts. En effet, si la règle avait une longueur correcte, l'erreur faite par le boulanger devrait être aléatoirement répartie autour de la valeur de \unit{60}{\centi\metre} et les signes positifs et négatifs des écarts devraient être en nombres à peu près identiques.

Figurent aussi dans le tableau \ref{baguettepain} les écarts et erreurs relatifs en pourcents. Il s'agit du rapport entre l'écart et la valeur de référence : la moyenne pour l'écart et \unit{60}{\centi\metre} pour l'erreur. Autant pour l'écart que pour l'erreur, on a donc :
\begin{equation}
e=\frac{val-val_{ref}}{val_{ref}}\cdot 100
\end{equation}

\begin{table}[ht]
\centering
\caption{La longueur d'autres baguettes de pain}\label{baguettepain2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
\textbf{L} & \textbf{Écart} & \textbf{Écart} & \textbf{Erreur} & \textbf{Erreur}\\
\centi\metre	&\centi\metre	&\%	&\centi\metre	&\%\\
\hline
40	&-2	&-4.8	&0	&0.0\\
44	&2	&4.8	&4	&10.0\\
41	&-1	&-2.4	&1	&2.5\\
44	&2	&4.8	&4	&10.0\\
43	&1	&2.4	&3	&7.5\\
42	&0	&0.0	&2	&5.0\\
44	&2	&4.8	&4	&10.0\\
42	&0	&0.0	&2	&5.0\\
42	&0	&0.0	&2	&5.0\\
43	&1	&2.4	&3	&7.5\\
43	&1	&2.4	&3	&7.5\\
41	&-1	&-2.4	&1	&2.5\\
40	&-2	&-4.8	&0	&0.0\\
39	&-3	&-7.1	&-1	&-2.5\\
\hline
\multicolumn{5}{|c|}{Moyennes}\\
\hline
42	&0.0	&0.0	&2.0	&5.0\\
\hline 
\end{tabular}
\end{table}

Ces indications sont importantes si on désire comparer la production de deux boulangers dont la longueur de la baguette de référence n'est pas la même. Considérons le tableau \ref{baguettepain2} qui décrit la production d'un boulanger dont la baguette de référence est de \unit{40}{\centi\metre}. On voit que la moyenne des écarts est nulle comme pour le boulanger précédent. Ce qui est normal en raison du choix de la valeur moyenne comme référence. On voit aussi que la moyenne des erreurs est la même et qu'il y a une grande systématique dans celle-ci, puisqu'elles sont pratiquement toutes positives. Cela signifie probablement, comme précédemment, que l'appareil de  mesure à un bied, que la règle utilisée est trop longue. Par contre, on voit grâce à la dernière colonne donnant l'erreur relative que celle-ci est plus importante pour le second boulanger. Cela s'explique facilement. En effet, l'erreur moyenne est la même, mais la baguette de référence du second boulanger est plus courte (\unit{40}{\centi\metre}). Ainsi, malgré la différence de longueur de la baguette de référence, l'erreur relative permet de comparer les erreurs des deux boulangers.

\section{Incertitude}