\myclearpage

\chapter{Mécanique en plusieurs dimensions\label{Mvt2dim}}
\section{Préliminaires}
\lettrine{L}{a cinématique en plusieurs dimensions} présente un changement important dans les outils nécessaires pour son traitement par rapport à celle en une dimension. En effet, la présence de plusieurs dimensions nécessite un traitement vectoriel des équations. Celui-ci peut être assez complexe. C'est pourquoi, nous allons maintenant traiter de cet aspect de la mécanique.

\subsection{Dimensions\index{dimension@dimension}}
On dira du mouvement d'un système qu'il est bidimensionnel ou en deux dimensions quand il se fait dans un plan.

On dira du mouvement d'un système qu'il est tridimensionnel ou en trois dimensions quand il se fait dans tout l'espace.

\subsection{Système d'axes\index{systeme@système!d'axes}}
Le système d'axes généralement utilisé pour décrire le mouvement en deux dimensions est cartésien, c'est-à-dire qu'il est composé de deux axes perpendiculaires notés x et y et d'une unité identique pour les deux axes. On dit aussi que ce système est orthonormé.

Le système d'axes généralement utilisé pour décrire le mouvement en trois dimensions est cartésien, c'est-à-dire qu'il est composé de trois axes perpendiculaires notés x, y et z et d'une unité identique pour les trois axes. On dit aussi que ce système est orthonormé.

\section{Notion de vecteur en physique}
Sans entrer dans une définition mathématique rigoureuse de la notion de vecteur, nous pouvons définir un vecteur comme un objet mathématique ayant les propriétés suivantes~: une direction, un sens et une grandeur. On peut facilement se représenter cet objet en pensant à une flèche.

Beaucoup de grandeurs physique peuvent être représentées par des vecteurs. Cela concerne les grandeurs qui ont une direction, un sens et une intensité. Un exemple simple est celui de la vitesse. Celle-ci à manifestement une direction, un sens et une grandeur.

\subsection{Norme d'un vecteur}
On parle de grandeur pour exprimer de la norme du vecteur. On parle aussi de la valeur, de l'intensité voire de la longueur du vecteur, même s'il ne s'agit pas à proprement parler de la longueur du vecteur, mais de sa norme. Dans le cas du vecteur vitesse, par exemple, elle s'exprimerait en \si{\metre\per\second}, et non dans les unités d'une longueur.
En physique, par souci de simplicité, on note la norme d'un vecteur \(\overrightarrow{F}\) sous la forme \(F\). On a donc l'équivalence suivante~: \(F=||\overrightarrow{F}||\). Ainsi, le symbole d'un vecteur noté sans flèche au-dessus de lui représente sa norme.

\subsection{Opérations vectorielles}
Nous aurons besoin par la suite des deux opérations mathématiques entre vecteurs. L'une opère un produit entre deux vecteurs qui donne un nombre. C'est le produit scalaire. Il existe pour des vecteurs à deux dimensions. L'autre opère un produit entre deux vecteurs qui donne un vecteur. C'est le produit vectoriel. Comme le vecteur produit est perpendiculaire aux deux vecteurs utilisés, il n'existe qu'en trois dimensions. C'est pourquoi nous ne le traiterons pas dans ce chapitre.

\subsubsection{produit scalaire}
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\) se note \(\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}\). C'est un nombre qu'on peut noter A, par exemple.
\medskip

Il existe alors, compte tenu de la remarque qui précède, deux manière de calculer A à partir de \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\).
\smallskip

Premièrement, on a~:
\[A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=F \cdot d \cdot \cos(\alpha)\]
où l'angle \(\alpha\) est l'angle aigu entre les deux vecteurs \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\).
\medskip

Secondement, on a~:
\begin{align*}
A&=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}
F_x\\
F_y\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}
d_x\\
d_y\end{array}\right)\\
&=F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y
\end{align*}

Bien évidemment les unités de la grandeur obtenue par un produit scalaire sont la simple multiplication des unités des grandeurs composant l'opération.

\subsubsection{Produit vectoriel}
Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\) se note \(\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}\). C'est un vecteur qu'on peut noter \(\overrightarrow{M}\), par exemple.
\smallskip

Il existe alors, compte tenu de la remarque qui précède, deux manière de calculer \(\overrightarrow{M}\) à partir de \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\).
\medskip

Premièrement, on a~:
\[M=||\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}||=F \cdot d \cdot \sin(\alpha)\]
où l'angle \(\alpha\) est l'angle aigu entre les deux vecteurs \(\overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{d}\).
\medskip

Secondement, on a~:
\begin{align*}
\overrightarrow{M}&=\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}
F_x\\
F_y\\
F_z\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}
d_x\\
d_y\\
d_z\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array}{c}
F_y\cdot d_z-F_z\cdot d_y\\
F_z\cdot d_x-F_x\cdot d_z\\
F_x\cdot d_y-F_y\cdot d_x\end{array}\right)
\end{align*}

Bien évidemment les unités de la grandeur obtenue par un produit scalaire sont la simple multiplication des unités des grandeurs composant l'opération.

\section{Mécanique}
Beaucoup de grandeurs physiques sont vectorielles. Nous avons déjà vu de les grandeurs cinématiques de position \(\overrightarrow{x}\), de vitesse \(\overrightarrow{v}\) et d'accélération \(\overrightarrow{a}\) sont vectorielles. La notion de force \(\overrightarrow{F}\) l'est aussi, comme celle de moment \(\overrightarrow{M}\) ou de quantité de mouvement \(\overrightarrow{p}\). La mécanique en plusieurs dimensions est donc en cela différente de celle en une dimension. Nous allons voir maintenant dans quelle mesure seuls les termes changent et dans quelles mesure les concepts changent aussi.

\subsection{Cinématique}
\subsubsection{Position}
La position d'un point dans un plan est donnée par un vecteur noté \(\overrightarrow{r}\), dont les composantes sont les deux coordonnées du point.
Par exemple, on pourrait avoir~:
\[\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}
3\\
4\end{array}\right)\;\si{\centi\metre}\]

On trouve aussi la notation \(\overrightarrow{x}\) qui est délicate car on note aussi \(x\) la première coordonnée du vecteur \(\overrightarrow{x}\). Ainsi, on écrirait~:
\[
\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array}\right)\;\si{\centi\metre}\]

\subsubsection{Vitesse}
La vitesse d'un objet dans un plan est donnée par un vecteur noté \(\overrightarrow{v}\). Ainsi, on pourrait avoir~:
\[
\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}
3,5\\
7\end{array}\right)\;\si{\metre\per\second}\]

La définition de la vitesse moyenne \(\overrightarrow{\overline v}\) devient donc~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle \overrightarrow{\overline v}=\frac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}\)}
\end{equation}

et celle de la vitesse instantanée \(\overrightarrow{v}\)~:
\begin{equation}\label{vitinstant}
\fbox{\(\displaystyle \overrightarrow{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{x}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}\)}
\end{equation}

\subsubsection{Accélération}
Bien évidemment, l'accélération est aussi donnée par un vecteur noté \(\overrightarrow{a}\).

La définition de l'accélération moyenne \(\overrightarrow{\overline a}\) devient donc~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle \overrightarrow{\overline a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}\)}
\end{equation}

et celle de l'accélération instantanée \(\overrightarrow{a}\)~:
\begin{equation}\label{accinstant}
\fbox{\(\displaystyle \overrightarrow{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\)}
\end{equation}

Ainsi, toute la cinématique peut être traité vectoriellement. De plus, naturellement, la représentation d'un vecteur en deux dimensions est la même que celle d'un vecteur en trois (ou quatre, pour la relativité) dimensions.

\subsection{Dynamique}
Bien évidemment, les trois lois de Newton s'expriment sous forme vectorielle. La force \(\overrightarrow{F}\) et l'accélération \(\overrightarrow{a}\), comme nous l'avons déjà vu, sont des grandeurs vectorielles. On peut donc exprimer cet trois lois ainsi~:

\subsubsection{Première loi}
\begin{center}
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
\begin{equation}
MRU\;\Leftrightarrow\;\sum\overrightarrow{F^{ext}}=0
\end{equation}
}}}
\end{center}

\subsubsection{Seconde loi}
\begin{center}
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
\begin{equation}
\sum\overrightarrow{F^{ext}}=m\overrightarrow{\cdot a}
\end{equation}
}}}
\end{center}

\subsubsection{Troisième loi}
\begin{center}
\fcolorbox[gray]{0}{0.90}{\fbox{\parbox[]{6.3cm}{
\begin{equation}
\overrightarrow{Action}= - \overrightarrow{R\acute eaction}
\end{equation}
}}}
\end{center}

\section{Exemples}
Le caractère vectoriel de ces trois lois a de nombreuses conséquences que nous allons maintenant illustrer à travers différents exemples. Relevons aussi que le caractère vectoriel des relations utilisée implique une importante utilisation de la trigonométrie. Nous renvoyons le lecteur à des cours de mathématiques pour aborder ce domaine que nous supposons ici connu.

\subsection{Statique}
\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Équilibre statique\label{ballon}}
\includegraphics[width=6cm]{Ballon.eps}
\end{figure}

Dans le cas où le système ne bouge pas, l'accélération est nulle et la seconde loi de Newton s'écrit~:
\[\sum \overrightarrow{F^{ext}}=\overrightarrow{0}\]
Ce sont les équations qui régissent l'équilibre statique des forces. Un exemple plus précis peut être donné en considérant un ballon attachée au sol par deux cordes qui font des angles \(\alpha\) et \(\beta\) respectivement avec le sol, comme décrit par la figure \ref{ballon}. Connaissant la masse du ballon \(m=100\,kg\) et la poussée \(\overrightarrow{F}\) du gaz sur le ballon, on peut se demander quelle est la valeur des forces \(\overrightarrow{T_1}\) et \(\overrightarrow{T_2}\) exercées sur les cordes qui le retiennent au sol. On considère que celles-ci sont souples et par conséquent que les forces \(\overrightarrow{T_1}\) et \(\overrightarrow{T_2}\) leur sont parallèles.

Réponse~:
Il faut écrire les équations de la seconde loi de Newton sur chaque axe~:
\begin{align*}
\mbox{sur x}&:\;\sum F_x=0\\
\mbox{sur y}&:\;\sum F_y=0
\end{align*}
Pour cela, il faut trouver les composantes de chaque forces sur les axes. Le poids \(\overrightarrow{P}\) et la force de poussée \(\overrightarrow{F}\) sont toutes deux verticales, mais par rapport au système d'axes choisi sur la figure \ref{ballon}, la composante verticale du poids est négative. En ce qui concerne les tensions, considérant que les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont comptés par rapport à l'horizontale, on peut écrire, en tenant compte des signes de chaque composante par rapport au système d'axes~:
\begin{align*}
T_{1x}&=-T_1\cdot \cos(\alpha)&\mbox{ et }\;\;&T_{1y}=-T_1\cdot \sin(\alpha)\\
T_{2x}&=T_2\cdot \cos(\beta)&\mbox{ et }\;\;&T_{2y}=-T_2\cdot \sin(\beta)
\end{align*}
On peut alors écrire les équations du mouvement~:
\begin{align*}
\mbox{sur x}&:&T_2\cdot \cos(\beta)-T_1\cdot \cos(\alpha)=0\\
\mbox{sur y}&:&F-P-T_1\cdot \sin(\alpha)-T_2\cdot \sin(\beta)=0
\end{align*}
Nous sommes alors en présence d'un système de deux équations à deux inconnues~: \(T_1\) et \(T_2\). De la première équation, on tire \(T_2\)~:
\[T_2=\frac{T_1\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\]
et on remplace dans la seconde~:
\[F-P-T_1\cdot \sin(\alpha)-T_1\cdot \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta)=0\]
où on a utilisé la définition de la tangente~:
\[\tan(\beta)=\sin(\beta)/\cos(\beta)\]
En mettant en évidence \(T_1\) et le déplaçant à droite de l'équation, on a~:
\[F-P=T_1\cdot (\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\tan(\beta))\]
et donc finalement avec \(P=m\cdot g\)~:
\[T_1=\frac{F-m\cdot g}{\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\tan(\beta)}\]
et pour \(T_2\)~:
\[T_2=\frac{(F-m\cdot g)\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\beta)\cdot (\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\cdot\tan(\beta))}\]

\subsection{Plan incliné}
\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Le plan incliné\label{planincline}}
\includegraphics[width=6cm]{Planincline.eps}
\end{figure}

A l'instar de la chute libre, on peut considérer le problème historique\footnote{Cela serait la manière selon laquelle Galilée à procédé pour trouver la dépendance de la hauteur de chute d'un objet en fonction du carré du temps écoulé.} suivant~:

déterminez l'accélération d'une masse \(m\) qui glisse le long d'un plan incliné faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale. On néglige les frottements.\\
Réponse~:

Comme le montre la figure \ref{planincline}, deux forces extérieures seulement s'exercent sur la masse \(m\). Il s'agit de son poids \(\overrightarrow{P}\) et de la réaction du plan incliné \(\overrightarrow{R}\). Celle-ci est perpendiculaire au plan, car il n'y a pas de frottement. On prend pour système la masse \(m\). Pour écrire les équations du mouvement, on doit choisir un système d'axes approprié. Dans ce cas particulier, nous allons tout d'abord choisir le système d'axes dessiné sur la figure \ref{planincline}. Il faut alors écrire la seconde loi de Newton sur chaque axe~:
\begin{align*}
\mbox{sur x}&:\;\sum F_x=m\cdot a_x\\
\mbox{sur y}&:\;\sum F_y=m\cdot a_y
\end{align*}
On doit donc décomposer chaque forces sur les axes pour pouvoir en faire la somme. Sur la figure \ref{planincline}, les composantes du poids sont notées \(\overrightarrow{P_x}\) et \(\overrightarrow{P_y}\). L'angle \(\alpha\) du plan incliné se retrouvant entre le vecteur \(\overrightarrow{P}\) et sa composante \(\overrightarrow{P_y}\), clairement, on a~:
\begin{align*}
P_x&=P\cdot \sin(\alpha)\\
P_y&=P\cdot \cos(\alpha)
\end{align*}
Ainsi, on peut écrire en tenant compte du signe négatif de \(P_y\) qui indique que son sens est opposé à celui de l'axe y~:
\begin{align*}
&\mbox{sur x}: & P\cdot \sin(\alpha)&=m\cdot a_x\\
&\mbox{sur y}: & R-P\cdot \cos(\alpha)&=m\cdot a_y
\end{align*}
car, \(\overrightarrow{P}\) n'a de composante que sur l'axe y. Or, l'accélération sur l'axe y est manifestement nulle. En effet, la masse ne s'enfonce pas dans le plan et ne décolle pas. Par ailleurs, par définition du poids, on a~: \(P=m\cdot g\). On en déduit que~:
\begin{align*}
&\mbox{sur x}: & m\cdot g\cdot \sin(\alpha)&=m\cdot a_x\\
&\mbox{sur y}: & R-m\cdot g\cdot \cos(\alpha)&=0
\end{align*}
Et donc, si on pose \(a=a_x\) (comme \(a_y=0\))~:
\begin{align*}
&\mbox{sur x}: & a&=g\cdot \sin(\alpha)\\
&\mbox{sur y}: & R&=m\cdot g\cdot \cos(\alpha)
\end{align*}
La solution est donc trouvée. En plus de celle-ci on a aussi obtenu à l'aide de l'équation du mouvement sur l'axe y la valeur de R (qui n'était pas demandée).
\medskip

La résolution de ce problème peut aussi se faire dans un système d'axes vertical et horizontal, comme présenté dans la figure \ref{planincline2}.
\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Le plan incliné\label{planincline2}}
\includegraphics[width=6cm]{Planincline2.eps}
\end{figure}

On voit que la décomposition des forces sur les axes n'est pas plus complexe que précédemment. Ce qui change, c'est que l'accélération aussi doit être décomposée. En effet, aucune des deux composantes n'est maintenant nulle. Ainsi, les équations du mouvement deviennent (en tenant compte des signes)~:
\begin{align*}
&\mbox{sur x}: & R_x&=m\cdot a_x\\
&\mbox{sur y}: & R_y-m\cdot g&=-m\cdot a_y
\end{align*}
Manifestement, l'angle \(\alpha\) se retrouve entre \(\overrightarrow{R}\) et \(\overrightarrow{R_y}\) et entre \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{a_x}\). On peut donc écrire~:
\begin{align*}
R_y&=R\cdot \cos(\alpha)\\
R_x&=R\cdot \sin(\alpha)
\end{align*}
et~:
\begin{align*}
a_x&=a\cdot \cos(\alpha)\\
a_y&=a\cdot \sin(\alpha)
\end{align*}
et les équations deviennent~:
\begin{align*}
\mbox{sur x}&:&R\cdot \sin(\alpha)&=m\cdot a\cdot \cos(\alpha)\\
\mbox{sur y}&:&R\cdot \cos(\alpha)-m\cdot g&=-m\cdot a\cdot \sin(\alpha)
\end{align*}
Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues \(R\) et \(a\).

On tire \(R\) de la première équation~:
\[R=\frac{m\cdot a\cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\]
et on remplace dans la dernière~:
\[\frac{m\cdot a\cdot \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}-m\cdot g=-m\cdot a\cdot \sin(\alpha)\]
C'est-à-dire, en multipliant par \(\sin(\alpha)\)~:
\[m a\cdot \cos^2(\alpha)-m g\cdot \sin(\alpha)=-m a\cdot \sin^2(\alpha)\]
ou en réorganisant les termes~:
\[m\cdot a\cdot (\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\]
Et comme \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\), on a~:
\[m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin(\alpha)\]
Soit, finalement le même résultat que précédemment~:
\[a=g\cdot \sin(\alpha)\]
Le calcul est cependant bien plus long. Il est donc important de bien choisir le système d'axes pour minimiser les développements algébriques et par conséquent les fautes de calcul.

\subsection{Balistique}
Nous avons déjà parlé de balistique au paragraphe \ref{balistique} pour illustrer les MRU et MRUA. Le cas balistique qui va être considéré ici est celui, classique, d'un projectile tiré depuis l'origine d'un système d'axes avec une vitesse \(\overrightarrow{v_o}\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale (voir figure \ref{tirbalistique}).

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Tir balistique\label{tirbalistique}}
\includegraphics[width=5cm]{Tirbalistique.eps}
\end{figure}

Il s'agit~:
\begin{enumerate}
\item d'établir l'équation de la trajectoire,
\item de calculer les coordonnées du point le plus haut,
\item de trouver la portée du tir,
\item de déterminer l'angle pour atteindre un point C de coordonnées \((x_1;y_1)\) et
\item d'obtenir l'équation de la parabole de sécurité du tir.
\end{enumerate}
Voyons comment procéder~:
\begin{enumerate}
\item En tenant compte de la seconde loi de Newton, on a~:
\[m\cdot \overrightarrow{g}=m\cdot \overrightarrow{a}\]
C'est-à-dire, en tenant compte du sens des axes~:
\[\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}
0\\
-g
\end{array}\right)\]
Ainsi, avec les conditions initiales données, les équations du mouvement sur les axes sont les suivantes~:

sur x~:
\begin{align*}
x&=v_{ox}\cdot t+x_o=v_{ox}\cdot t\\
v_x&=v_{ox}=v_o\cdot \cos(\alpha)\\
a_x&=0
\end{align*}
sur y~:
\begin{align*}
y&=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 +v_{oy}\cdot t+y_o\\
&=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 +v_{oy}\cdot t\\
v_y&=-g\cdot t+v_{oy}=-g\cdot t+v_o\cdot \sin(\alpha)\\
a_y&=-g
\end{align*}
On tire alors \(t\) de l'équation de la position sur x~:
\[t=\frac{x}{v_o\cdot \cos(\alpha)}\]
Et on le remplace dans l'équation de la position sur y~:
\begin{align*}
y&=-\frac{1}{2}\cdot g\left(\frac{x}{v_o\cdot \cos(\alpha)}\right)^2+v_o\cdot \sin(\alpha)\cdot t\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{g}{v_o^2\cdot \cos^2(\alpha)}\cdot x^2+\tan(\alpha)\cdot x
\end{align*}
Cette équation est de la forme
\[y(x)=a\cdot x^2+b\cdot x\]
C'est l'expression d'une parabole.
\item Pour trouver le point S le plus haut, il suffit de considérer le fait qu'en ce point, la composante verticale de la vitesse est nulle. Ainsi, on peut trouver \(t_S\), le temps mis pour atteindre le sommet S~:
\begin{align*}
v_y=0&\Rightarrow 0=-g\cdot t_S+v_o\cdot \sin(\alpha)\\
&\Rightarrow t_S=\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}
\end{align*}
Puis, il suffit de remplacer ce temps dans les équations de la position sur chaque axes~:
\begin{align*}
x_S&=v_o\cdot \cos(\alpha)\cdot\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\\
&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)\\
y_S&=-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\right)^2+\frac{v_o^2\cdot \sin^2(\alpha)}{g}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{v_o^2\cdot \sin^2(\alpha)}{g}
\end{align*}
\item Le temps mis par le projectile pour retomber au sol est par symétrie le double de \(t_S\). On peut le vérifier en posant \(y=0\) dans l'équation de la position sur l'axe vertical. On obtient~:
\[t_P=2\cdot \frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\]
Ce qui nous permet de déterminer la portée L du projectile~:
\begin{align}
x_P&=L=v_o\cdot \cos(\alpha)\cdot 2\cdot \frac{v_o\cdot \sin(\alpha)}{g}\nonumber \\
&=2\cdot \frac{v_0^2}{g}\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)\nonumber \\
&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(2\cdot \alpha)\label{Portée}
\end{align}
Car, \(2\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\cdot \alpha)\).\\
Une conséquence de ce résultat est qu'on peut déterminer l'angle sous lequel on doit tirer pour que le tir une porté L~:
\begin{align*}
L&=\frac{v_o^2}{g}\cdot \sin(2\cdot \alpha)\;\Rightarrow\;\sin(2\cdot \alpha)=\frac{g\cdot L}{v_o^2}\\
&\Rightarrow\;\alpha = \arcsin(\frac{g\cdot L}{v_o^2})/2
\end{align*}
\item Pour déterminer l'angle nécessaire pour atteindre le point C de coordonnée \((x_1;y_1)\), il faut partir de l'équation de la parabole appliquée au point C~:
\[y_1=-\frac{1}{2}\cdot g\cdot\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)}+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
et isoler \(\tan(\alpha)\). Mathématiquement, on a que \(1/ \cos^2(\alpha)=1+\tan^2(\alpha)\). Ainsi~:
\[y_1=-\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 (1+\tan^2(\alpha))+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
Et on obtient une équation du second degré en \(\tan(\alpha)\)~:
\[-\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\cdot \tan^2(\alpha)+x_1\cdot \tan(\alpha)\]
\[-(y-1+\frac{1}{2}\cdot g\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)=0\]
Ainsi, on a pour solution~:
\[\tan(\alpha)=\]
\[\frac{-x_1\pm \sqrt{x_1^2-4\cdot \frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 \left(y_1+\frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\right)}}{-2\cdot \frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2}\]
Ainsi, en fonction de la valeur du discriminant \(\Delta\)~:
\[\Delta =\]
\[-x_1\pm \sqrt{x_1^2-\frac{4}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2 \left(y_1+\frac{1}{2} g \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2\right)}\]
on peut avoir trois cas~:
\begin{figure}[t]
\centering
\subfigure[Deux angles]{\label{deuxangles}
\includegraphics[width=4cm]{Tira.eps}}
\subfigure[Un angle]{\label{unangle}
\includegraphics[width=4cm]{Tirb.eps}}
%Je ne sais pas pourquoi, il faut placer le caption en bas pour que la référence des sous-figures soit correcte !
\caption{Tirs balistiques}\label{tir}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item si \(\Delta > 0\), à cause du \(\pm\), deux angles de tir sont possible. C peut être atteint à la montée ou à la descente (voir figure \ref{deuxangles})
\item si \(\Delta = 0\), un seul angle est possible. C n'est en général pas atteint au sommet de la trajectoire (voir figure \ref{unangle}). Ce n'est le cas que pour un angle de \SI{90}{\degree}.
\item si \(\Delta < 0\), comme la racine d'un nombre négatif n'existe pas, aucun angle ne permet d'atteindre C. On dit que C est hors de portée ou hors de la parabole de sécurité (voir figure \ref{parabolesecurite}).
\end{itemize}

\item Le lieu des points qui ne peuvent être atteint qu'avec un seul angle est appelé \og parabole de sécurité\fg. En effet, il définit les zones dans lesquelles un point peut être ou ne pas être atteint. La figure \ref{parabolesecurite} montre clairement cette frontière.

Il faut relever que les points qui ne peuvent être atteints que sous un seul angle ne correspondent pas aux sommets des paraboles de tir (sauf pour le tir à la verticale). On peut voir sur la figure \ref{parabolesecurite} que les sommets des paraboles de tir sont à l'intérieur de la parabole de sécurité.

\begin{figure}
\centering
\caption{Parabole de sécurité\label{parabolesecurite}}
\includegraphics[width=6cm]{Parabolesecurite.eps}
\end{figure}

Pour en obtenir l'équation, il suffit d'annuler le discriminant \(\Delta\) vu au point précédent. Ainsi, on a~:
\[\Delta=x_1^2-2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot (y_1+\frac{1}{2}g\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)=0\]
et donc~:
\begin{align*}
x_1^2&=2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot (y_1+\frac{1}{2}g\left(\frac{x_1}{v_o}\right)^2)\\
x_1^2&=2g\cdot \frac{x_1^2}{v_o^2}\cdot y_1+g^2\cdot \left(\frac{x_1}{v_o}\right)^4\\
1&=2g\cdot \frac{y_1}{v_o^2}+g^2\cdot \frac{x_1^2}{v_o^4}\\
1&=\frac{g}{v_o^2}\cdot (2y_1+\frac{gx_1^2}{v_o^2})\\
\frac{v_o^2}{g}&=2y_1+\frac{gx_1^2}{v_o^2}
\end{align*}
Ce qui donne en définitive l'équation d'une parabole~:
\[y_1=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_o^2}\cdot x_1^2+\frac{1}{2}\frac{v_o^2}{g}\]

\end{enumerate}

\subsection{Mouvement circulaire uniforme~: MCU}

\subsubsection{Définition}
Le mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire uniforme} (MCU\index{MCU@MCU}) traduit le déplacement d'un objet sur un cercle
et à vitesse constante. Il est intéressant d'étudier ce mouvement qui, tout en se déroulant à vitesse constante, est produit par une accélération\index{acceleration@accélération} non nulle.

\subsubsection{Cinématique\index{cinematique@cinématique}}
La cinématique du mouvement circulaire uniforme est identique à celle du MRU\index{MRU@MRU} si on remplace les distances par des angles. Ainsi, en guise de position, on prendra l'angle des coordonnées circulaires\index{coordonnee@coordonnée!circulaire} (voir figure \ref{circulaire}). A partir de là, la vitesse et l'accélération angulaires moyennes se définissent très simplement~:
\[x(t)\quad\rightarrow\quad\theta(t)\]
\[\overline{v}(t)\quad\rightarrow\quad\overline{\omega}(t)=\frac{\theta-\theta_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\]
\[\overline{a}(t)\quad\rightarrow\quad\overline{\alpha}(t)=\frac{\omega-\omega_{o}}{t-t_{o}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\]

Bien entendu, on a aussi pour les grandeurs instantanées~:
\[\omega(t)=\begin{array}{c}
lim\\
\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}\]
\[\alpha(t)=\begin{array}{c}
lim\\
\Delta t\rightarrow0\end{array}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{d\omega}{dt}\]

Ce définitions sont valables pour tout mouvement circulaire, en particulier s'il n'est pas uniforme. Dans le cas d'un MCU\index{MCU@MCU}, on a encore~: \(\omega(t)=\omega_{o}\) et \(\alpha(t)=0\, m/s^{2}\).

\bigskip{}
Par ailleurs, la relation liant le rayon d'un arc de cercle à la valeur de ce dernier, relation traduite dans la figure \ref{arc}, permet
de relier les grandeurs linéaires (\(x(t),\, v(t)\)) et celles qui sont angulaires (\(\theta(t),\,\omega(t)\))~:
\[L=\theta\cdot R\]

implique par dérivation~:
\[\frac{dL}{dt}=v=\omega\cdot R=\frac{d\theta}{dt}\cdot R\;\Rightarrow\; v=\omega\cdot R\]

\subsubsection{Relation importante}
La complexité de la dynamique de ce mouvement tient dans son caractère bidimensionnel. En d'autres termes, il est nécessaire de tenir compte du caractère vectoriel de la vitesse (voir figure~: \ref{dimMCU})

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Mouvement circulaire uniforme\label{dimMCU}}
\includegraphics[width=4cm]{MCU.eps}
\end{figure}

Ainsi, la rotation du vecteur vitesse {}``produit'' un vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}\). Or, par définition de l'accélération~:
\[\overrightarrow{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}\]

si \(\Delta\overrightarrow{v}\) est non nul, alors il y a accélération. Sur la figure on voit aussi que la direction de \(\Delta\overrightarrow{v}\), comme celle de l'accélération \(\overrightarrow{a}\), est radiale et plus précisément dans le sens du centre du cercle.

Le mouvement circulaire uniforme est donc particulier en ce sens que tout en se déroulant à vitesse (scalaire\index{vitesse@vitesse!scalaire})
constante, il se déroule avec une accélération non nulle, mais qui est perpendiculaire à la vitesse.

De plus, on montre que la valeur de l'accélération\index{acceleration@accélération} est~:
\begin{equation}
\fbox{\(\displaystyle a=\frac{v^{2}}{R}\)}
\end{equation}

où v est la vitesse scalaire et R le rayon du cercle.

\bigskip
En effet, selon la figure \ref{dimMCU}, on a~:
\[\Delta x=\alpha\cdot R \mbox{  et  } \Delta v=\alpha\cdot v\]

où \(\Delta x\) est la longueur de l'arc de cercle entre les deux instants où on considère la vitesse. Si \(\Delta t\) est le temps entre ces
deux instants, on peut écrire~:
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\alpha\cdot v}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v}{R}\cdot v=\frac{v^{2}}{R}\]

C'est ce qu'il fallait démontrer.

\subsubsection{Dynamique\index{dynamique@dynamique}}
Si on comprend que le MCU\index{MCU@MCU} est un mouvement à vitesse constante, mais à accélération non nulle, on peut immédiatement saisir la présence d'une force\index{force@force}. Celle-ci est naturellement dans la même direction et le même sens que l'accélération. En effet, cela découle de la seconde loi de Newton~: \(\overrightarrow{F}=m\cdot\overrightarrow{a}\) et du fait que la masse est toujours positive. Cette accélération, nommée centripète\index{acceleration@accélération!centripète} (et non centrifuge\index{acceleration@accélération!centrifuge}), est donc créée par une force (nommée aussi centripète\index{force@force!centripète}) qui dévie l'objet de sa trajectoire rectiligne. Cela est parfaitement compatible avec la première loi de Newton, puisque la cause de la trajectoire circulaire est bien une force.

\subsubsection{Virages inclinés}
Le problème des virages relevés est intéressant, car il combine des problèmes de statique et de dynamique des plans inclinés avec des problèmes de forces de frottement. Il s'agit de déterminer la vitesse à laquelle une voiture peut passer un virage relevé faisant un angle \(\alpha\) avec l'horizontale. Plusieurs cas sont à traiter~:
\paragraph{Vitesses minimales}
Deux cas sont à considérer~: celui où la pente du virage est assez faible pour que la force de frottement statique empêche le glissement vers le bas et celui où, sans vitesse, la voiture glisserait vers le bas malgré la force de frottement.

On note \(m\) la masse de la voiture et \(r\) le rayon du virage.
\begin{enumerate}
\item Vitesse minimale nulle.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Virages incliné~: vitesse minimale\label{viragesvmin0}}
\includegraphics[width=6cm]{Viragesvmin0.eps}
\end{figure}

La situation est celle décrite à la figure \ref{viragesvmin0}. On se trouve dans le cas d'une voiture sur une pente et qui ne glisse pas vers le bas. La vitesse minimale de la voiture est alors nulle. On peut augmenter la pente jusqu'à ce que la force de frottement statique ne compense plus la composante du poids parallèle au plan incliné. La composante parallèle au plan incliné est donnée par~:
\[P_{//}=mg\cdot \sin(\alpha)\]
et la force de frottement statique maximale par~:
\[F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R\]
et ainsi, la somme des forces sur l'axe \(x_{//}\) étant nulle, on a pour l'angle \(\alpha'\) de l'imminence de glissement~:
\[\mu_s\cdot R=mg\cdot \sin(\alpha')\]
or, la seconde loi de Newton sur l'axe \(y_\perp\), donne~:
\[R=mg\cdot \cos(\alpha')\]
Ainsi, on a~:
\[\mu_s\cdot mg\cdot \cos(\alpha')=mg\cdot \sin(\alpha')\]
c'est-à-dire~:
\[\tan(\alpha')=\mu_s\]
et finalement~:
\[\alpha'=\arctan(\mu_s)\]
Ainsi, pour conclure, la vitesse minimale \(v_{min}\) pour passer un virage dont l'angle d'inclinaison \(\alpha\) est tel que \(\alpha \leq \arctan(\mu_s)\) est nulle.
\[v_{min}=0\;\mbox{pour \(\alpha\) tel que}\;\alpha \leq \arctan(\mu_s)\]
\item Vitesse minimale non nulle.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Virages incliné~: vitesses minimale\label{viragesvminpas0}}
\includegraphics[width=6cm]{Viragesvminpas0.eps}
\end{figure}

Si \(\alpha>\arctan(\mu_s)\), il est nécessaire qu'il y ait une vitesse pour ne pas glisser. En effet, en décomposant la seconde loi de Newton sur les axes \(x\) et \(y\) de la figure \ref{viragesvminpas0}, on a~:

sur l'axe x~:
\[R\cdot \sin(\alpha)-F_{fr\,stat\,max} \cos(\alpha)=m\cdot \frac{v_{min}^2}{r}\]
sur l'axe y~:
\[R\cdot \cos(\alpha)+F_{fr\,stat\,max} \sin(\alpha)-mg=0\]
et ainsi, avec \(F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R\), on a~:
\[R\cdot (\sin(\alpha)-\mu_s\cdot \cos(\alpha))=m\cdot \frac{v_{min}^2}{r}\]
et~:
\[R\cdot (\cos(\alpha)+\mu_s\cdot \sin(\alpha))=m\cdot g\]
et, en divisant les deux équations~:
\[\frac{\sin(\alpha)-\mu_s\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)+\mu_s\cdot \sin(\alpha)}=\frac{v_{min}^2}{R\cdot g}\]
D'où finalement~:
\[v_{min}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)-\mu_s}{1+\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
\end{enumerate}

\paragraph{Vitesses maximales}
Là encore deux cas se présentent. Le cas où la pente n'est pas assez grande pour maintenir la voiture sur sa trajectoire. Cela signifie que la compostant du poids parallèle au plan incliné n'est pas suffisante pour faire tourner la voiture. Il faut lui adjoindre la force de frottement. Or, comme cette dernière a un maximum, il existe une vitesse maximale pour laquelle on peut passer le virage. L'autre cas est celui ou la pense est suffisamment forte pour maintenir la voiture sur sa trajectoire même sans frottement. Cela signifie que la compostant du poids parallèle au plan incliné est suffisante pour faire tourner la voiture. On peut alors passer le virage même sur de la glace et la vitesse maximale est infinie.

\begin{enumerate}
\item Vitesse maximale finie.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\caption{Virages incliné~: vitesse maximale\label{viragesvmaxfinie}}
\includegraphics[width=6cm]{Viragesvmaxfinie.eps}
\end{figure}

Comme le montre la figure \ref{viragesvmaxfinie}, la force de frottement est donc cette fois-ci vers le bas de la pente. Les équations de Newton deviennent~:
sur l'axe x~:
\[R\cdot \sin(\alpha)+F_{fr\,stat\,max} \cos(\alpha)=m\cdot \frac{v_{max}^2}{r}\]
sur l'axe y~:
\[R\cdot \cos(\alpha)-F_{fr\,stat\,max}\cdot \sin(\alpha)-mg=0\]
et ainsi, avec \(F_{fr\,stat\,max}=\mu_s\cdot R\), on a~:
\[R\cdot (\sin(\alpha)+\mu_s\cdot \cos(\alpha))=m\cdot \frac{v_{max}^2}{r}\]
et~:
\[R\cdot (\cos(\alpha)-\mu_s\cdot \sin(\alpha))=m\cdot g\]
et, en divisant les deux équations~:
\[\frac{\sin(\alpha)+\mu_s\cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)-\mu_s\cdot \sin(\alpha)}=\frac{v_{max}^2}{R\cdot g}\]
D'où finalement~:
\[v_{max}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)+\mu_s}{1-\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
Il existe donc une vitesse maximale pour des angles inférieurs à un angle \(\alpha''\) déterminé au point suivant.

\item Vitesse maximale infinie.
Cette vitesse maximale devient infinie pour des angles tels que le dénominateur de la fraction s'annule~:
\[1-\mu_s\cdot \tan(\alpha'')=0\]
C'est-à-dire pour un angle \(\alpha''\) tel que~:
\[\tan(\alpha'')=\frac{1}{\mu_s}\]
Ainsi, il n'existe pas de vitesse maximale pour des angles supérieurs ou égaux à \(\alpha''\)~:
\[v_{max}=0\;\mbox{pour \(\alpha\) tel que}\;\alpha \geq \arctan(\frac{1}{\mu_s})\]
\end{enumerate}
En résumé, on peut définir deux angles~:
\[\alpha'=\arctan(\mu_s)\;\mbox{ et }\;\alpha''=\arctan(\frac{1}{\mu_s})\]
et deux vitesses~:
\[v_{1}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)-\mu_s}{1+\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
et~:
\[v_{2}=\sqrt{R\cdot g\cdot \frac{\tan(\alpha)+\mu_s}{1-\mu_s\cdot \tan(\alpha)}}\]
La situation est alors la suivante~:
\begin{enumerate}
\item pour un angle inférieur à \(\alpha'\), pour passer le virage, il n'existe pas de vitesse minimale, mais une vitesse maximale~:
\[v_{min}=0\;\mbox{ et }\;v_{max}=v_2\]
\item pour un angle supérieur à \(\alpha'\), mais inférieur à \(\alpha''\), pour passer le virage, il existe une vitesse minimale et une vitesse maximale~:
\[v_{min}=v_1\;\mbox{ et }\;v_{max}=v_2\]
\item et pour un angle supérieur à \(\alpha''\), pour passer le virage, il existe une vitesse minimale, mais pas de vitesse maximale~:
\[v_{min}=v_1\;\mbox{ et }\;v_{max}=\infty\]
\end{enumerate}

\subsection{Satellite en orbite géostationnaire}\label{dimgeostat}
\subsubsection{Introduction}
Un exemple intéressant de l'utilisation de la seconde loi de Newton\index{loi@loi!seconde loi}, du mouvement circulaire uniforme\index{mouvement@mouvement!circulaire uniforme} et de la loi de la gravitation universelle\index{loi@loi!de la gravitation universelle}, est donné par le calcul de l'altitude\index{altitude@altitude} nécessaire pour qu'un satellite\index{satellite@satellite} soit en orbite géostationnaire\index{orbite@orbite!géostationnaire}.

\subsubsection{Théoriquement}
On va donc utiliser les équations suivantes~:

\bigskip{}
\(F=m\cdot a\)~: seconde loi de Newton

\(a=\frac{v^{2}}{R}\)~: mouvement circulaire uniforme

\(F=G\cdot\frac{M\cdot m}{R^{2}}\)~: loi de la gravitation universelle

\bigskip{}
De ces trois lois, on tire~:
\[G\cdot\frac{M_{T}\cdot m_{s}}{(R_{T}+h)^{2}}=m_{s}\cdot\frac{v^{2}}{(R_{T}+h)}\]

où~:
\begin{itemize}
\item G est la constante de la gravitation universelle,
\item \(M_{T}\) est la masse de la terre,
\item \(m_{s}\) est la masse du satellite,
\item \(R_{T}\) est le rayon de la terre,
\item \(h\) est l'altitude du satellite et
\item \(v\) est la vitesse linéaire du satellite.
\end{itemize}

\bigskip{}
Avec, par définition de la vitesse, pour une trajectoire circulaire~:
\[v=\frac{2\cdot\pi\cdot(R_{T}+h)}{T}\]

où~:
\(T\) est la période\index{periode@période} du mouvement, c'est à dire le temps que doit mettre le satellite pour faire un tour autour de la terre.

\bigskip{}
De là on tire (faites les calculs par vous même)~:
\[h=(\frac{G\cdot M_{T}\cdot T^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R_{T}\]

\subsubsection{Numériquement}
Le calcul est simple~:
\begin{align*}
h&=(\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}\cdot(24\cdot 3600)^{2}}{4\cdot\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}\\
&-6,37\cdot10^{6}=\SI{35857}{\kilo\metre}
\end{align*}

\subsection{Mouvement central}
Un mouvement central\footnote{Une bonne description des mouvements centraux se trouve dans~: \cite{GC88} pp. 140-163. Notamment, s'y trouve une bonne analyse du mouvement des satellites.} est un mouvement dont l'accélération pointe toujours vers le même point. Il existe essentiellement deux types de mouvement centraux. Ceux dont l'accélération est inversement proportionnelle à la distance et ceux où elle est inversement proportionnelle à la distance au carré. Nous n'allons considérer ici que ces derniers qui sont en relation avec la loi de la gravitation universelle. On parle alors de mouvements kepleriens.

\subsubsection{Mouvement kepleriens}
On va donc considérer un mouvement dont l'accélération est une conséquence de la deuxième loi de Newton et de la loi de la gravitation universelle~:
\[\overrightarrow{a}=G\cdot \frac{M}{r^3}\cdot \overrightarrow{r}\]
Pour un mouvement central keplerien, on montre~:
\begin{enumerate}
\item que la trajectoire est dans un plan,
\item que le mouvement suit la loi des aires~:
le vecteur décrivant la position de l'objet balaye des aires égales pendant des temps égaux.
\item que la trajectoire est une conique dont le foyer correspond au point central,
\item que si la trajectoire est un ellipse dont le demi-grand axe vaut \(a\), alors la période du mouvement est~:
\[T=2\pi\cdot \sqrt{\frac{a^3}{\kappa}}\]
ou \(\kappa\) est une constante du mouvement.
\end{enumerate}

\subsubsection{Loi de Kepler}
Kepler énonça trois lois qui dérivent des précédentes et de la forme de l'accélération. Elles s'appliquaient aux planètes, mais on sait aujourd'hui qu'elles ont une portée plus importante, puisqu'elles peuvent aussi s'appliquer aux satellites par exemple. Elles s'énoncent de la manière suivante~:
\begin{enumerate}
\item La trajectoire des planètes autour du soleil est une ellipse dont il occupe un des foyers.
\item Le vecteur dont l'origine est sur le soleil et qui décrit la position de la planète balaye des aires égales dans des temps égaux.
\item Le carré du rapport des périodes vaut le cube du rapport des grands axes.
\[\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\]
\end{enumerate}