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Suite des exos sur les gaz parfaits.

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Guyot 2022-09-19 00:01:55 +02:00
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70
Annexe-Exercices/Annexe-Exercices.tex
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@ -2586,6 +2586,76 @@ Les valeurs des c\oe fficients de dilatation thermique sont celles du tableau \r
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
Un récipient contient deux kilogrammes d'hélium à une pression de deux bar. Déterminez la pression d'une même masse d'oxygène placée dans le même récipient~:
\begin{enumerate}
\item à la même température et
\item au double de la température.
\end{enumerate}
Réponses~: \SI{25000}{\pascal} et \SI{0,5e5}{\pascal}.
\begin{solos}
Par définition de la masse molaire, on a~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
On peut donc écrire la loi des gaz parfaits de la manière suivante~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\;\Rightarrow\;p\cdot M=m\cdot R\cdot \frac{T}{V}\]
Comme la masse, la température et le volume sont constant, on a aussi~:
\[p\cdot M=const\;\;\text{ou}\;\;p_1\cdot M_1=p_2\cdot M_2\]
Ainsi, pour le premier point, on a finalement~:
\[p_2=p_1\cdot \frac{M_1}{M_2}=2\cdot 10^5\cdot \frac{4}{32}=\SI{25000}{\pascal}\]
car la masse molaire de l'hélium vaut quatre et que l'oxygène de masse atomique seize est diatomique.
\smallskip
Si la température varie, l'équation des gaz parfaits devient~:
\[p\cdot \frac{M}{T}=\frac{m\cdot R}{V}\;\Rightarrow\;p\cdot \frac{M}{T}=const\]
ou sous la forme de deux états~:
\begin{align*}
p_1\cdot \frac{M_1}{T_1}=p_2\cdot \frac{M_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{M_1\cdot T_2}{M_2\cdot T_1}\\
p_2=2\cdot 10^5\cdot \frac{4\cdot 2\cdot T_1}{32\cdot T_1}=\SI{0,5e5}{\pascal}
\end{align*}
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
Un mobil-home a un volume de \SI{200}{\metre\cubed}.
\begin{enumerate}
\item Trouvez la masse d'air dans celui-ci à une température de \SI{20}{\celsius} et une atmosphère.
\item En supposant le mobil-home étanche, calculez la pression intérieure si la température passe à \SI{25}{\celsius}.
\item Si il n'est pas étanche, calculez la masse d'air qui s'en échappe.
\end{enumerate}
On peut considérer que la masse molaire de l'air est de \SI{29}{\gram\per\mol}. Réponses~: \SI{238}{\kilo\gram}, \SI{1,02e5}{\pascal} et \SI{4}{\kilo\gram}.
\begin{solos}
On tire de la définition de la masse molaire~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
\begin{enumerate}
\item La loi des gaz parfaits devient alors~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
La masse d'air qui se trouve dans le mobil-home est ainsi~:
\begin{align*}
m&=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 293,15}\\
&=\SI{241,183}{\kilo\gram}
\end{align*}
\item Avec une masse de \SI{241,183}{\kilo\gram} d'air, on a un nombre de moles de~:
\[n=\frac{241,183}{29\cdot 10^-3}=\SI{8316,652}{\mol}\]
Ainsi, par la loi des gaz parfaits, on a~:
\begin{align*}
p&=n\cdot R\frac{T}{V}=8316,652\cdot 8,31\cdot \frac{298,15}{200}\\
&=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
ou, parce que le volume ne change pas~:
\begin{align*}
\frac{P_1}{T_1}&=\frac{P_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
p_2&=1,013\cdot 10^5\cdot \frac{298,15}{293,15}=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
\item À \SI{25}{\celsius} et une atmosphère, le nombre de moles dans le mobil-home vaut~:
\[n=\frac{p\cdot V}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200}{8,31\cdot 298,15}=\SI{8177,181}{\mol}\]
Ainsi, la différence~:
\[\Delta n=8316,652-8177,181=\SI{139,471}{\mol}\]
constitue le nombre de moles qui sont sorties du mobil-home. La masse correspondante est~:
\[m=M\cdot n=29\cdot 10^{-3}\cdot 139,471=\SI{4}{\kilo\gram}\]
\end{enumerate}
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.
% \begin{solos}

70
Annexe-Exercices/Annexe-Exercices.tex.bak
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@ -2586,6 +2586,76 @@ Les valeurs des c\oe fficients de dilatation thermique sont celles du tableau \r
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
Un récipient contient deux kilogrammes d'hélium à une pression de deux bar. Déterminez la pression d'une même masse d'oxygène placée dans le même récipient~:
\begin{enumerate}
\item à la même température et
\item au double de la température.
\end{enumerate}
Réponses~: \SI{25000}{\pascal} et \SI{0,5e5}{\pascal}.
\begin{solos}
Par définition de la masse molaire, on a~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
On peut donc écrire la loi des gaz parfaits de la manière suivante~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\;\Rightarrow\;p\cdot M=m\cdot R\cdot \frac{T}{V}\]
Comme la masse, la température et le volume sont constant, on a aussi~:
\[p\cdot M=const\;\;\text{ou}\;\;p_1\cdot M_1=p_2\cdot M_2\]
Ainsi, pour le premier point, on a finalement~:
\[p_2=p_1\cdot \frac{M_1}{M_2}=2\cdot 10^5\cdot \frac{4}{32}=\SI{25000}{\pascal}\]
car la masse molaire de l'hélium vaut quatre et que l'oxygène de masse atomique seize est diatomique.
\smallskip
Si la température varie, l'équation des gaz parfaits devient~:
\[p\cdot \frac{M}{T}=\frac{m\cdot R}{V}\;\Rightarrow\;p\cdot \frac{M}{T}=const\]
ou sous la forme de deux états~:
\begin{align*}
p_1\cdot \frac{M_1}{T_1}=p_2\cdot \frac{M_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{M_1\cdot T_2}{M_2\cdot T_1}\\
p_2=2\cdot 10^5\cdot \frac{4\cdot 2\cdot T_1}{32\cdot T_1}=\SI{0,5e5}{\pascal}
\end{align*}
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
Un mobil-home a un volume de \SI{200}{\metre\cubed}.
\begin{enumerate}
\item Trouvez la masse d'air dans celui-ci à une température de \SI{20}{\celsius} et une atmosphère.
\item En supposant le mobil-home étanche, calculez la pression intérieure si la température passe à \SI{25}{\celsius}.
\item Si il n'est pas étanche, calculez la masse d'air qui s'en échappe.
\end{enumerate}
On peut considérer que la masse molaire de l'air est de \SI{29}{\gram\per\mol}. Réponses~: \SI{238}{\kilo\gram}, \SI{1,02e5}{\pascal} et \SI{4}{\kilo\gram}.
\begin{solos}
On tire de la définition de la masse molaire~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
\begin{enumerate}
\item La loi des gaz parfaits devient alors~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
La masse d'air qui se trouve dans le mobil-home est ainsi~:
\begin{align*}
m&=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 293,15}\\
&=\SI{241,183}{\kilo\gram}
\end{align*}
\item Avec une masse de \SI{241,183}{\kilo\gram} d'air, on a un nombre de moles de~:
\[n=\frac{241,183}{29\cdot 10^-3}=\SI{8316,652}{\mol}\]
Ainsi, par la loi des gaz parfaits, on a~:
\begin{align*}
p&=n\cdot R\frac{T}{V}=8316,652\cdot 8,31\cdot \frac{298,15}{200}
&=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
ou, parce que le volume ne change pas~:
\begin{align*}
\frac{P_1}{T_1}&=\frac{P_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
p_2=1,013\cdot 10^5\cdot \frac{298,15}{293,15}=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
\item À \SI{25}{\celsius} et une atmosphère, le nombre de moles dans le mobil-home vaut~:
\[n=\frac{p\cdot V}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200}{8,31\cdot 298,15}=\SI{8177,181}{\mol}\]
Ainsi, la différence~:
\[\Delta n=8316,652-8177,181=\SI{139,471}{\mol}\]
constitue le nombre de moles qui sont sorties du mobil-home. La masse correspondante est~:
\[m=M\cdot n=29\cdot 10^{-3}\cdot 139,471=\SI{4}{\kilo\gram}\]
\end{enumerate}
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.
% \begin{solos}

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CoursMecaniqueOS.pdf
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CoursMecaniqueOSDF.pdf
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55
SolutionsOS.tex
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@ -911,6 +911,59 @@
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{28}
Par définition de la masse molaire, on a~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
On peut donc écrire la loi des gaz parfaits de la manière suivante~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\;\Rightarrow\;p\cdot M=m\cdot R\cdot \frac{T}{V}\]
Comme la masse, la température et le volume sont constant, on a aussi~:
\[p\cdot M=const\;\;\text{ou}\;\;p_1\cdot M_1=p_2\cdot M_2\]
Ainsi, pour le premier point, on a finalement~:
\[p_2=p_1\cdot \frac{M_1}{M_2}=2\cdot 10^5\cdot \frac{4}{32}=\SI{25000}{\pascal}\]
car la masse molaire de l'hélium vaut quatre et que l'oxygène de masse atomique seize est diatomique.
\smallskip
Si la température varie, l'équation des gaz parfaits devient~:
\[p\cdot \frac{M}{T}=\frac{m\cdot R}{V}\;\Rightarrow\;p\cdot \frac{M}{T}=const\]
ou sous la forme de deux états~:
\begin{align*}
p_1\cdot \frac{M_1}{T_1}=p_2\cdot \frac{M_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{M_1\cdot T_2}{M_2\cdot T_1}\\
p_2=2\cdot 10^5\cdot \frac{4\cdot 2\cdot T_1}{32\cdot T_1}=\SI{0,5e5}{\pascal}
\end{align*}
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{29}
On tire de la définition de la masse molaire~:
\[M=\frac{m}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{m}{M}\]
\begin{enumerate}
\item La loi des gaz parfaits devient alors~:
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
La masse d'air qui se trouve dans le mobil-home est ainsi~:
\begin{align*}
m&=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 293,15}\\
&=\SI{241,183}{\kilo\gram}
\end{align*}
\item Avec une masse de \SI{241,183}{\kilo\gram} d'air, on a un nombre de moles de~:
\[n=\frac{241,183}{29\cdot 10^-3}=\SI{8316,652}{\mol}\]
Ainsi, par la loi des gaz parfaits, on a~:
\begin{align*}
p&=n\cdot R\frac{T}{V}=8316,652\cdot 8,31\cdot \frac{298,15}{200}\\
&=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
ou, parce que le volume ne change pas~:
\begin{align*}
\frac{P_1}{T_1}&=\frac{P_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
p_2&=1,013\cdot 10^5\cdot \frac{298,15}{293,15}=\SI{103027,78}{\pascal}
\end{align*}
\item À \SI{25}{\celsius} et une atmosphère, le nombre de moles dans le mobil-home vaut~:
\[n=\frac{p\cdot V}{R\cdot T}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 200}{8,31\cdot 298,15}=\SI{8177,181}{\mol}\]
Ainsi, la différence~:
\[\Delta n=8316,652-8177,181=\SI{139,471}{\mol}\]
constitue le nombre de moles qui sont sorties du mobil-home. La masse correspondante est~:
\[m=M\cdot n=29\cdot 10^{-3}\cdot 139,471=\SI{4}{\kilo\gram}\]
\end{enumerate}
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{30}
Procédons simplement au calcul de l'incertitude absolue.
\smallskip
@ -957,7 +1010,7 @@
Cette expression est légèrement différente de la précédente. Mais, le second terme est négligeable en raison de la présence de l'incertitude sur le temps au carré. On voit ainsi qu'il est nécessaire de faire attention aux ordres de grandeurs.
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{29}
\begin{Solution OS}{31}
\dots
\end{Solution OS}