Ajout de la table de comparaison de chaleurs spécifiques en fonction du modèle d'équipartition de l'énergie

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@@ -563,6 +563,40 @@ Alors que pour une molécule triatomique rigide, on a trois degrés de liberté
 E=\frac{6}{2}\cdot n\cdot R\cdot T
 \end{equation}
 
+L'épreuve du théorème de l'équipartition de l'énergie va venir de sa confrontation avec les chaleurs spécifiques. En effet, comme on le verra par la suite au paragraphe \ref{par:chalspec}, page \pageref{par:chalspec}, on peut montrer que :
+\begin{align}
+C_V&=\frac{i}{2}\cdot R\\
+C_p&=(\frac{i}{2}+1)\cdot R=\frac{i+2}{2}\cdot R
+\end{align}
+Le tableau \ref{tab:equipartition} montre alors la bonne correspondance entre le modèle et les mesures pour toute une série de gaz différents.
+
+\begin{sidewaysfigure*}
+%\begin{figure*}[!b]
+\begin{shaded}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|cc|cc|cc|cc|cc|}
+\hline
+Type & nb liberté & \(C_V\) & \(C_V^{th}\) & \(C_p\) & \(C_p^{th}\) & \(C_p-C_V\) & R & \(\gamma = C_p/C_V\) & \(\gamma^{th}\)\\
+\hline
+Monoatomique & \color{red}{i=3} & & & & & & & & \\
+\(He\) & & 12,5 & \color{red}{12,47} & 20,8 & \color{red}{20,76} & 8,3 & \color{red}{8,31} & 1,66 & \color{red}{1,66}\\
+\(Ar\) & & 12,5 & \color{red}{12,47} & 20,8 & \color{red}{20,76} & 8,3 & \color{red}{8,31} & 1,67 & \color{red}{1,66}\\
+Diatomique & \color{blue}{i=5} &  &  & & & & & & \\
+\(H_2\) &  & 20,4 & \color{blue}{20,76} & 28,8 & \color{blue}{29,10} & 8,4 & \color{blue}{8,31} & 1,41 & \color{blue}{1,40} \\
+\(N_2\) &  & 20,8 & \color{blue}{20,76} & 29,1 & \color{blue}{29,10} & 8,3 & \color{blue}{8,31} & 1,40 & \color{blue}{1,40} \\
+\(O_2\) &  & 21,0 & \color{blue}{20,76} & 29,4 & \color{blue}{29,10} & 8,4 & \color{blue}{8,31} & 1,40 & \color{blue}{1,40} \\
+\(Cl_2\) & \color{green}{i=6} & 25,2 & \color{green}{24,93} & 34,0 & \color{green}{33,24} & 8,8 & \color{green}{8,31} & 1,35 & \color{green}{1,33} \\
+\(Cl_2\) & \color{violet}{i=7} &  & \color{violet}{29,1} &  & \color{violet}{37,39} & 8,8 & \color{violet}{8,31} & 1,35 & \color{violet}{1,28} \\
+Polyatomique & \color{violet}{i=7} & & & & & & & & \\
+\(CO_2\) &  & 28,5 & \color{violet}{29,1} & 37,0 & \color{violet}{37,39} & 8,5 & \color{violet}{8,31} & 1,31 & \color{violet}{1,28} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{shaded}
+%\end{figure*}
+\caption{Modèle de l'équipartition de l'énergie\\\color{red}{\(C_V=3R/2\)}, \color{blue}{\(C_V=5R/2\)}, \color{green}{\(C_V=6R/2\)}, \color{violet}{\(C_V=7R/2\)}\\\color{red}{\(C_p=5R/2\)}, \color{blue}{\(C_p=7R/2\)}, \color{green}{\(C_p=8R/2\)}, \color{violet}{\(C_p=9R/2\)}\label{tab:equipartition}}
+\end{sidewaysfigure*}
+
 \subsection{Premier principe}
 On peut maintenant énoncer le premier principe de la thermodynamique~:
 
@@ -882,7 +916,7 @@ Q&=0\\
 }}
 \end{center}
 
-\subsection{Chaleurs spécifiques}
+\subsection{Chaleurs spécifiques}\label{par:chalspec}
 Rappelons que la chaleur spécifique molaire est définie comme la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'un gaz de un degré. Soit~:
 \begin{equation}
 C=\frac{Q}{n\cdot \Delta \theta}\;\Rightarrow\;Q=n\cdot C\cdot \Delta \theta

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@@ -374,13 +374,13 @@ On appelle \textit{équation d'état}\index{équation d'état} la relation math
 Pour trouver l'expression de cette équation des gaz parfaits, on se base sur quatre constatations~:
 
 \begin{description}
-\item[Loi de Boyle-Mariotte] A température constante, si le volume diminue, alors la pression augmente.
+\item[Loi de Boyle-Mariotte] À température constante, si le volume diminue, alors la pression augmente.
 \[p\thicksim \frac{1}{V}\]
-\item [Loi de Charles] A pression constante, si la température augmente, alors le volume augmente.
+\item [Loi de Charles] À pression constante, si la température augmente, alors le volume augmente.
 \[V\thicksim T\]
-\item [Loi de Gay-Lussac] A volume constant, si la température augmente, alors la pression augmente.
+\item [Loi de Gay-Lussac] À volume constant, si la température augmente, alors la pression augmente.
 \[p\thicksim T\]
-\item [] A température et volume constant, si le nombre de molécules N augmente, alors la pression augmente.
+\item [] À température et volume constant, si le nombre de molécules N augmente, alors la pression augmente.
 \[p\thicksim N\]
 \end{description}
 On peut alors résumer ces comportements par la relation suivante~:
@@ -563,6 +563,40 @@ Alors que pour une molécule triatomique rigide, on a trois degrés de liberté
 E=\frac{6}{2}\cdot n\cdot R\cdot T
 \end{equation}
 
+L'épreuve du théorème de l'équipartition de l'énergie va venir de sa confrontation avec les chaleurs spécifiques. En effet, comme on le verra par la suite au paragraphe \ref{par:chalspe, on peut montrer que :
+\begin{align}
+C_V&=\frac{i}{2}\cdot R\\
+C_p&=(\frac{i}{2}+1)\cdot R=\frac{i+2}{2}\cdot R
+\end{align}
+Le tableau \ref{tab:equipartition} montre alors la bonne correspondance entre le modèle et les mesures pour toute une série de gaz différents.
+
+\begin{sidewaysfigure*}
+%\begin{figure*}[!b]
+\begin{shaded}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|cc|cc|cc|cc|cc|}
+\hline
+Type & nb liberté & \(C_V\) & \(C_V^{th}\) & \(C_p\) & \(C_p^{th}\) & \(C_p-C_V\) & R & \(\gamma = C_p/C_V\) & \(\gamma^{th}\)\\
+\hline
+Monoatomique & \color{red}{i=3} & & & & & & & & \\
+\(He\) & & 12,5 & \color{red}{12,47} & 20,8 & \color{red}{20,76} & 8,3 & \color{red}{8,31} & 1,66 & \color{red}{1,66}\\
+\(Ar\) & & 12,5 & \color{red}{12,47} & 20,8 & \color{red}{20,76} & 8,3 & \color{red}{8,31} & 1,67 & \color{red}{1,66}\\
+Diatomique & \color{blue}{i=5} &  &  & & & & & & \\
+\(H_2\) &  & 20,4 & \color{blue}{20,76} & 28,8 & \color{blue}{29,10} & 8,4 & \color{blue}{8,31} & 1,41 & \color{blue}{1,40} \\
+\(N_2\) &  & 20,8 & \color{blue}{20,76} & 29,1 & \color{blue}{29,10} & 8,3 & \color{blue}{8,31} & 1,40 & \color{blue}{1,40} \\
+\(O_2\) &  & 21,0 & \color{blue}{20,76} & 29,4 & \color{blue}{29,10} & 8,4 & \color{blue}{8,31} & 1,40 & \color{blue}{1,40} \\
+\(Cl_2\) & \color{green}{i=6} & 25,2 & \color{green}{24,93} & 34,0 & \color{green}{33,24} & 8,8 & \color{green}{8,31} & 1,35 & \color{green}{1,33} \\
+\(Cl_2\) & \color{violet}{i=7} &  & \color{violet}{29,1} &  & \color{violet}{37,39} & 8,8 & \color{violet}{8,31} & 1,35 & \color{violet}{1,28} \\
+Polyatomique & \color{violet}{i=7} & & & & & & & & \\
+\(CO_2\) &  & 28,5 & \color{violet}{29,1} & 37,0 & \color{violet}{37,39} & 8,5 & \color{violet}{8,31} & 1,31 & \color{violet}{1,28} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{shaded}
+%\end{figure*}
+\caption{Modèle de l'équipartition de l'énergie\\\color{red}{\(C_V=3R/2\)}, \color{blue}{\(C_V=5R/2\)}, \color{green}{\(C_V=6R/2\)}, \color{violet}{\(C_V=7R/2\)}\\\color{red}{\(C_p=5R/2\)}, \color{blue}{\(C_p=7R/2\)}, \color{green}{\(C_p=8R/2\)}, \color{violet}{\(C_p=9R/2\)}\label{tab:equipartition}}
+\end{sidewaysfigure*}
+
 \subsection{Premier principe}
 On peut maintenant énoncer le premier principe de la thermodynamique~:
 
@@ -753,7 +787,7 @@ La variation d'énergie interne s'écrit~:
 \end{align*}
 ou à l'aide de la loi des gaz parfaits~:
 \begin{align*}
-\Delta u&=\frac{i}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\\
+\Delta U&=\frac{i}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\\
 &=\frac{i}{2}\cdot \Delta (n\cdot R\cdot T)\\
 &=\frac{i}{2}\cdot \Delta (p\cdot V)
 \end{align*}
@@ -852,7 +886,7 @@ et en remplaçant la constante \(c\) par l'une ou l'autre de ses valeurs~:
 \begin{align*}
 A&=\frac{1}{1-\gamma}\cdot [c\cdot V_f^{-\gamma+1}-c\cdot V_i^{-\gamma+1}]\\
 &=\frac{1}{1-\gamma}\cdot [p_f\cdot V_f^\gamma\cdot V_f^{-\gamma+1}-p_i\cdot V_i^\gamma\cdot V_i^{-\gamma+1}]\\
-&=\frac{1}{1-\gamma}\cdot [p_f\cdot V_f-p_i\cdot V_i]=\frac{1}{\gamma-1}\cdot \Delta(p\cdot V)
+&=\frac{1}{1-\gamma}\cdot [p_f\cdot V_f-p_i\cdot V_i]=\frac{1}{1-\gamma}\cdot \Delta(p\cdot V)
 \end{align*}
 Et ainsi, finalement, on peut écrire le travail sous la forme~:
 \begin{equation}\label{travailadiabatique}
@@ -872,7 +906,7 @@ Transformation adiabatique
 \begin{align}
 \Delta U&=\frac{i}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\\
 &=\frac{i}{2}\cdot \Delta (p\cdot V)\\
-A&=-\Delta U=\frac{1}{\gamma-1}\cdot \Delta(p\cdot V)\\
+A&=-\Delta U=\frac{1}{1-\gamma}\cdot \Delta(p\cdot V)\\
 Q&=0\\
 &p\cdot V^\gamma=const\\
 &T\cdot V^{\gamma-1}=const\\\label{tvadiabat}
@@ -1168,6 +1202,12 @@ La pression reste donc constante et le volume revient à son minimum \(V_2\).
 \psfrag{A}{\(A\)}
 \psfrag{V1}{\(V_1\)}
 \psfrag{V2}{\(V_2\)}
+\psfrag{p2}{\(p_2\)}
+\psfrag{p3}{\(p_3\)}
+\psfrag{1}{1}
+\psfrag{2}{2}
+\psfrag{3}{3}
+\psfrag{4}{4}
 \psfrag{a ; f}{(a) ; (f)}
 \psfrag{b}{(b)}
 \psfrag{c}{(c)}
@@ -1183,7 +1223,7 @@ Le cycle d'Otto est donc essentiellement constitué de deux adiabatiques et de d
 \[Q_{abs}=n\cdot C_V\cdot (T_3-T_2)\]
 Évidemment la chaleur est rejetée pendant l'échappement. De la même manière, on peut écrire~:
 \[Q_{rej}=n\cdot C_V\cdot (T_1-T_4)\]
-La différence constitue le travail fourni par le système pendant le cycle, une partie étant produite par le gaz pendant le temps moteur et une autre absorbée par celui-ci pendant la compression. Attention, \(Q_{rej}>0\) et il faut donc soit additionner les deux chaleur pour avoir le travail qui constitue leur différence ou soustraire l'opposé de la chaleur rejetée, soit \(|Q_{rej}|=n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)\). On a donc~:
+La différence constitue le travail fourni par le système pendant le cycle, une partie étant produite par le gaz pendant le temps moteur et une autre absorbée par celui-ci pendant la compression. Attention, \(Q_{rej}<0\) et il faut donc soit additionner les deux chaleur pour avoir le travail qui constitue leur différence ou soustraire l'opposé de la chaleur rejetée, soit \(|Q_{rej}|=n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)\). On a donc~:
 \[A=Q_{abs}-Q_{rej}=n\cdot C_V\cdot (T_3-T_2-T_4+T_1)\]
 Le rendement est alors~:
 \begin{align*}
@@ -1224,6 +1264,9 @@ Le fonctionnement d'un moteur diésel n'est pas très différent de celui d'un m
 \psfrag{A}{\(A\)}
 \psfrag{V1}{\(V_1\)}
 \psfrag{V2}{\(V_2\)}
+\psfrag{V3}{\(V_3\)}
+\psfrag{p1}{\(p_1\)}
+\psfrag{p2}{\(p_2\)}
 \psfrag{a ; f}{(a) ; (f)}
 \psfrag{b}{(b)}
 \psfrag{c}{(c)}
@@ -1237,7 +1280,7 @@ Comme le cycle d'Otto, le cycle Diesel est donc aussi constitué de deux adiabat
 \[Q_{abs}=n\cdot C_P\cdot (T_3-T_2)\]
 et, comme chaleur rejetée~:
 \[Q_{rej}=n\cdot C_V\cdot (T_1-T_4)\]
-La différence constitue le travail fourni par le système pendant le cycle, une partie étant produite par le gaz pendant le temps moteur et une autre absorbée par celui-ci pendant la compression. Attention, \(Q_{rej}>0\) et il faut donc soit additionner les deux chaleur pour avoir le travail qui constitue leur différence ou soustraire l'opposé de la chaleur rejetée, soit \(|Q_{rej}|=n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)\). On a donc~:
+La différence constitue le travail fourni par le système pendant le cycle, une partie étant produite par le gaz pendant le temps moteur et une autre absorbée par celui-ci pendant la compression. Attention, \(Q_{rej}<0\) et il faut donc soit additionner les deux chaleur pour avoir le travail qui constitue leur différence ou soustraire l'opposé de la chaleur rejetée, soit \(|Q_{rej}|=n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)\). On a donc~:
 \begin{align*}
 A&=Q_{abs}-Q_{rej}\\
 &=n\cdot C_P\cdot (T_3-T_2)-n\cdot C_V\cdot (T_4-T_1)
@@ -1245,7 +1288,7 @@ A&=Q_{abs}-Q_{rej}\\
 Le rendement est alors~:
 \begin{align*}
 \eta&=\frac{n\cdot C_P\cdot (T_3-T_2)-n\cdot C_V\cdot (T_4+T_1)}{n\cdot C_V\cdot (T_3-T_2)}\\
-&=1-\frac{C_V\cdot (T_4-T_1)}{n\cdot C_P\cdot (T_3-T_2)}\\
+&=1-\frac{C_V\cdot (T_4-T_1)}{C_P\cdot (T_3-T_2)}\\
 &=1-\frac{T_1\cdot C_V\cdot (T_4/T_1-1)}{T_2\cdot C_P\cdot (T_3/T_2-1)}
 \end{align*}
 Or, l'équation \ref{adiavariation1}, valable pour une transformation adiabatique, peut s'écrire~:
@@ -1359,7 +1402,7 @@ En résumé, pour un cycle de Carnot, le rendement ne dépend que des températu
 Le rendement d'une machine thermique réelle ne pouvant dépasser celle de Carnot, comme on le montrera au paragraphe \ref{secondprincipe}, elle ne peut jamais être de 100\%.
 
 \section{Thermodynamique statistique}\label{thermostat}
-Au paragraphe \ref{apprmolecul}, nous avons considéré un gaz parfait du point de vue de ses éléments constitutifs. Reprenons cette approche pour déterminer comment un état donné est réalisé microscopiquement par un gaz. Pour cela, partons d'un volume divisé en trois parties et qui contient trois molécules sans interactions mutuelles. Nous ne prendrons pas en compte les différentes manières de répartir l'énergie interne entre les quatre molécules. Dénombrons le nombre d'états possibles, c'est-à-dire le nombre de manières différentes de placer les trois molécules dans les trois parties. On suppose que les molécules sont identiques. La figure \ref{} ... montre qu'il existe dix états microscopique différent, dont un comporte une seule molécule dans chaque partie, six comportent deux molécules dans l'une et/ou l'autre des parties et trois comportent trois molécules dans l'une des parties. Visiblement, sur la base du seul critère de la position des molécules, la probabilité de réalisation d'un état avec une, deux ou trois molécules dans une partie est très différente. Certains états sont réalisés plus souvent que d'autres, comme ici celui avec deux molécules dans l'une des parties. Visuellement cet état est aussi le plus désordonné.
+Au paragraphe \ref{apprmolecul}, nous avons considéré un gaz parfait du point de vue de ses éléments constitutifs. Reprenons cette approche pour déterminer comment un état donné est réalisé microscopiquement par un gaz. Pour cela, partons d'un volume divisé en trois parties et qui contient trois molécules sans interactions mutuelles. Nous ne prendrons pas en compte les différentes manières de répartir l'énergie interne entre les quatre molécules. Dénombrons le nombre d'états possibles, c'est-à-dire le nombre de manières différentes de placer les trois molécules dans les trois parties. On suppose que les molécules sont identiques. La figure ... montre qu'il existe dix états microscopique différent, dont un comporte une seule molécule dans chaque partie, six comportent deux molécules dans l'une et/ou l'autre des parties et trois comportent trois molécules dans l'une des parties. Visiblement, sur la base du seul critère de la position des molécules, la probabilité de réalisation d'un état avec une, deux ou trois molécules dans une partie est très différente. Certains états sont réalisés plus souvent que d'autres, comme ici celui avec deux molécules dans l'une des parties. Visuellement cet état est aussi le plus désordonné.
 
 De manière plus générale, considérons un volume \(V\) décomposé en \(n\) parties de volume \(v=V/n\) contenant \(N\) particules différentes. On peut mettre la première particule dans l'une ou l'autre des \(n\) parties. De la même manière, on peut placer les \(N\) particules suivantes de \(n\) manières différentes. Au total, on a donc \(n^N\) manières de peupler notre volume \(V\). Or, comme \(n=V/v\), on a~:
 \[n^N=(\frac{V}{v})^N\sim V^N\]