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Fin des deux derniers exos sur les gaz parfaits.

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Guyot 2022-09-21 15:13:45 +02:00
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63
Annexe-Exercices/Annexe-Exercices.tex
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@ -2711,12 +2711,63 @@ Les valeurs des c\oe fficients de dilatation thermique sont celles du tableau \r
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.
% \begin{solos}
% Un autre corrigé de test.
% \end{solos}
%\end{exos}
\begin{exos}
Deux moles d'un gaz parfait dans un volume de \SI{16}{\litre} passent d'une température initiale \(T_0\) à une température finale de \SI{450}{\kelvin}. Cela se fait en deux étapes~:
\begin{enumerate}
\item on chauffe le gaz à une pression constante de \SI{100}{\kilo\pascal} jusqu'à un volume double du premier et
\item on le chauffe encore à volume constant jusqu'à la température finale.
\end{enumerate}
Trouvez la température initiale \(T_0\), la température intermédiaire \(T_1\) et la pression finale du gaz. Réponses~: \SI{96,27}{\kelvin}, \SI{192,54}{\kelvin} et \SI{233,7}{\kilo\pascal}.
\begin{solos}
La pression restant constante lors de la première étape de changement d'état du gaz, c'est-à-dire \(p_0=p_1=\SI{100}{\kilo\pascal}\), la loi des gaz parfaits suffit pour obtenir la température initiale~:
\begin{align*}
T_0&=\frac{p_0\cdot V_0}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 16\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{96,27}{\kelvin}
\end{align*}
On peut évidemment faire de même pour déterminer la température à l'état suivant~:
\begin{align*}
T_1&=\frac{p_1\cdot V_1}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 32\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{192,54}{\kelvin}
\end{align*}
Seul le volume doublant, la température double donc. Cela est vérifié par~:
\[\frac{V_0}{T_0}=\frac{V_1}{T_1}\;\Rightarrow\;T_1=T_0\cdot \frac{V_1}{V_0}=2\cdot T_0\]
Enfin, on peut faire de même pour calculer la pression à la fin~:
\begin{align*}
p_2&=n\cdot R\cdot \frac{T_2}{V_2}\\
&=2\cdot 8,31\cdot \frac{450}{32\cdot 10^{-3}}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
ou, comme le volume est constant~:
\begin{align*}
\frac{p_1}{T_1}&=\frac{p_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
&=100\cdot 10^3\cdot \frac{450}{192,54}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
On chauffe un gaz à volume constant, sous une pression de \SI{100}{\kilo\pascal} et une température de \SI{20}{\celsius} initiales. On le dilate ensuite à température constante lui permettant de revenir à l'état initial à pression constante. Son volume a alors doublé. Quelle température a-t-il alors ? Peut-on déterminer les volumes initiaux et finaux ? Réponse~: \SI{586,3}{\kelvin} et non.
\begin{solos}
Pour chacune des transformations, on peut écrire~:
\begin{description}
\item[Transformation à volume constant]
\[\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}\;\Rightarrow\;\frac{100\cdot 10^3}{293,15}=\frac{p_1}{T_1}\]
\item[Transformation à température constante]
\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\;\Rightarrow\;p_1\cdot V_1=100\cdot 10^3\cdot 2\cdot V_1\]
\item[Transformation à pression constante]
\[\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_0}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\]
\end{description}
De l'équation pour la transformation isotherme, on tire~:
\[p_1=2\cdot 100\cdot 10^3=\SI{200}{\kilo\pascal}\]
Avec l'équation de la transformation à volume constant, on a~:
\[T_1=200\cdot 10^3\cdot \frac{293,15}{100\cdot 10^3}=\SI{586,3}{\kelvin}\]
Ainsi, on a finalement \(T_1=T_2=\SI{586,3}{\kelvin}\).
\smallskip
L'équation pour la transformation à pression constante et correcte puisqu'elle dit~:
\[\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{586,3}=\frac{V_1}{293,15}\]
mais ne permet de calculer aucun des volumes initial et final.
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.

69
Annexe-Exercices/Annexe-Exercices.tex.bak
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@ -2545,13 +2545,15 @@ Les valeurs des c\oe fficients de dilatation thermique sont celles du tableau \r
\end{exos}
\begin{exos}
Une boite cubique de \SI{20}{\centi\metre} d'arête et remplie d'azote à \SI{0}{\celsius} sous une pression d'un bar. On la chauffe à \SI{20}{\celsius}. Quelle force s'exerce sur chaque parois ? Réponse~:
Une boite cubique de \SI{20}{\centi\metre} d'arête et remplie d'azote à \SI{0}{\celsius} sous une pression d'un bar. On la chauffe à \SI{20}{\celsius}. Quelle force s'exerce sur chaque paroi ? Réponse~: \SI{4293}{\newton}.
\begin{solos}
Le volume de la boite est \(V=0,2^3=\SI{0,008}{\metre\cubed}\). Il ne change pas, pas plus que la quantité d'azote qu'il contient. Ainsi, la loi des gaz parfaits peut s'écrire~:
\begin{align*}
\frac{p_1}{T_1}&=\frac{p_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
p_2&=10^5\cdot \frac{293,15}{273,15}=\SI{}{\pascal}
p_2&=10^5\cdot \frac{293,15}{273,15}=\SI{107,322}{\kilo\pascal}
\end{align*}
La force sur chaque parois est donc de~:
\[F=p\cdot S=107 322\cdot 0,2^2=\SI{4293}{\newton}\]
\end{solos}
\end{exos}
@ -2709,12 +2711,63 @@ Les valeurs des c\oe fficients de dilatation thermique sont celles du tableau \r
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.
% \begin{solos}
% Un autre corrigé de test.
% \end{solos}
%\end{exos}
\begin{exos}
Deux moles d'un gaz parfait dans un volume de \SI{16}{\litre} passent d'une température initiale \(T_0\) à une température finale de \SI{450}{\kelvin}. Cela se fait en deux étapes~:
\begin{enumerate}
\item on chauffe le gaz à une pression constante de \SI{100}{\kilo\pascal} jusqu'à un volume double du premier et
\item on le chauffe encore à volume constant jusqu'à la température finale.
\end{enumerate}
Trouvez la température initiale \(T_0\), la température intermédiaire \(T_1\) et la pression finale du gaz. Réponses~: \SI{96,27}{\kelvin}, \SI{192,54}{\kelvin} et \SI{233,7}{\kilo\pascal}.
\begin{solos}
La pression restant constante lors de la première étape de changement d'état du gaz, c'est-à-dire \(p_0=p_1=\SI{100}{\kilo\pascal}\), la loi des gaz parfaits suffit pour obtenir la température initiale~:
\begin{align*}
T_0&=\frac{p_0\cdot V_0}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 16\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{96,27}{\kelvin}
\end{align*}
On peut évidemment faire de même pour déterminer la température à l'état suivant~:
\begin{align*}
T_1&=\frac{p_1\cdot V_1}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 32\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{192,54}{\kelvin}
\end{align*}
Seul le volume doublant, la température double donc. Cela est vérifié par~:
\[\frac{V_0}{T_0}=\frac{V_1}{T_1}\;\Rightarrow\;T_1=T_0\cdot \frac{V_1}{V_0}=2\cdot T_0\]
Enfin, on peut faire de même pour calculer la pression à la fin~:
\begin{align*}
p_2&=n\cdot R\cdot \frac{T_2}{V_2}\\
&=2\cdot 8,31\cdot \frac{450}{32\cdot 10^{-3}}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
ou, comme le volume est constant~:
\begin{align*}
\frac{p_1}{T_1}&=\frac{p_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
&=100\cdot 10^3\cdot \frac{450}{192,54}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
\end{solos}
\end{exos}
\begin{exos}
On chauffe un gaz à volume constant, sous une pression de \SI{100}{\kilo\pascal} et une température de \SI{20}{\celsius} initiales. On le dilate ensuite à température constante lui permettant de revenir à l'état initial à pression constante. Son volume a alors doublé. Quelle température a-t-il alors ? Peut-on déterminer les volumes initiaux et finaux ? Réponse~: \SI{586,3}{\kelvin} et non.
\begin{solos}
Pour chacune des transformations, on peut écrire~:
\begin{description}
\item[Transformation à volume constant]
\[\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}\;\Rightarrow\;\frac{100\cdot 10^3}{293,15}=\frac{p_1}{T_1}\]
\item[Transformation à température constante]
\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\;\Rightarrow\;p_1\cdot V_1=100\cdot 10^3\cdot 2\cdot V_1\]
\item[Transformation à pression constante]
\[\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_0}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\]
\end{description}
De l'équation pour la transformation isotherme, on tire~:
\[p_1=2\cdot 100\cdot 10^3=\SI{200}{\kilo\pascal}\]
Avec l'équation de la transformation à volume constant, on a~:
\[T_1=200\cdot 10^3\cdot \frac{293,15}{100\cdot 10^3}=\SI{586,3}{\kelvin}\]
Ainsi, on a finalement \(T_1=T_2=\SI{586,3}{\kelvin}\).
\smallskip
L'équation pour la transformation à pression constante et correcte puisqu'elle dit~:
\[\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{586,3}=\frac{V_1}{293,15}\]
Mais ne permet de calculer aucun des volumes initial et final.
\end{solos}
\end{exos}
%\begin{exos}
% Un énoncé de test.

BIN
CoursMecaniqueOS.pdf
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BIN
CoursMecaniqueOSDF.pdf
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49
SolutionsOS.tex
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@ -1008,6 +1008,53 @@
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{33}
La pression restant constante lors de la première étape de changement d'état du gaz, c'est-à-dire \(p_0=p_1=\SI{100}{\kilo\pascal}\), la loi des gaz parfaits suffit pour obtenir la température initiale~:
\begin{align*}
T_0&=\frac{p_0\cdot V_0}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 16\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{96,27}{\kelvin}
\end{align*}
On peut évidemment faire de même pour déterminer la température à l'état suivant~:
\begin{align*}
T_1&=\frac{p_1\cdot V_1}{n\cdot R}\\
&=\frac{100\cdot 10^3\cdot 32\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=\SI{192,54}{\kelvin}
\end{align*}
Seul le volume doublant, la température double donc. Cela est vérifié par~:
\[\frac{V_0}{T_0}=\frac{V_1}{T_1}\;\Rightarrow\;T_1=T_0\cdot \frac{V_1}{V_0}=2\cdot T_0\]
Enfin, on peut faire de même pour calculer la pression à la fin~:
\begin{align*}
p_2&=n\cdot R\cdot \frac{T_2}{V_2}\\
&=2\cdot 8,31\cdot \frac{450}{32\cdot 10^{-3}}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
ou, comme le volume est constant~:
\begin{align*}
\frac{p_1}{T_1}&=\frac{p_2}{T_2}\;\Rightarrow\;p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}\\
&=100\cdot 10^3\cdot \frac{450}{192,54}=\SI{233,7}{\kilo\pascal}
\end{align*}
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{34}
Pour chacune des transformations, on peut écrire~:
\begin{description}
\item[Transformation à volume constant]
\[\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}\;\Rightarrow\;\frac{100\cdot 10^3}{293,15}=\frac{p_1}{T_1}\]
\item[Transformation à température constante]
\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\;\Rightarrow\;p_1\cdot V_1=100\cdot 10^3\cdot 2\cdot V_1\]
\item[Transformation à pression constante]
\[\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_0}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\]
\end{description}
De l'équation pour la transformation isotherme, on tire~:
\[p_1=2\cdot 100\cdot 10^3=\SI{200}{\kilo\pascal}\]
Avec l'équation de la transformation à volume constant, on a~:
\[T_1=200\cdot 10^3\cdot \frac{293,15}{100\cdot 10^3}=\SI{586,3}{\kelvin}\]
Ainsi, on a finalement \(T_1=T_2=\SI{586,3}{\kelvin}\).
\smallskip
L'équation pour la transformation à pression constante et correcte puisqu'elle dit~:
\[\frac{2\cdot V_1}{T_2}=\frac{V_1}{T_0}\;\Rightarrow\;\frac{2\cdot V_1}{586,3}=\frac{V_1}{293,15}\]
mais ne permet de calculer aucun des volumes initial et final.
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{35}
Procédons simplement au calcul de l'incertitude absolue.
\smallskip
@ -1054,7 +1101,7 @@
Cette expression est légèrement différente de la précédente. Mais, le second terme est négligeable en raison de la présence de l'incertitude sur le temps au carré. On voit ainsi qu'il est nécessaire de faire attention aux ordres de grandeurs.
\end{Solution OS}
\begin{Solution OS}{34}
\begin{Solution OS}{36}
\dots
\end{Solution OS}