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\begin{Solution}{1}
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La force se calcule dans les unit^^e9s du SI. On a donc :
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\begin{eqnarray*}
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q&=&12\,mC=12\cdot 10^{-3}\,C\\
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Q&=&4\,mC=4\cdot 10^{-3}\,C\\
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d&=&3\,cm=3\cdot 10^{-2}\,m
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, on peut calculer la force comme suit :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&k\cdot \frac{q\cdot Q}{d^2}\\
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&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{12\cdot 10^{-3}\cdot 4\cdot 10^{-3}}{(3\cdot 10^{-2})^2}\\
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&=&4,8\cdot 10^8\,N
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\end{eqnarray*}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{2}
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Dans les unit^^e9s du SI, on a :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&5\,mN=5\cdot 10^{-3}\,N\\
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d&=&5\,cm=5\cdot 10^{-2}\,m
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\end{eqnarray*}
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Par ailleurs, les deux charges sont identiques et on peut poser : $q=Q$.
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Ainsi, on peut ^^e9crire :
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\begin{eqnarray*}
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5\cdot 10^{-3}&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{q\cdot q}{(5\cdot 10^{-2})^2}\;\Rightarrow \\
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9\cdot 10^9\cdot q^2&=&5\cdot 10^{-3}\cdot 5\cdot 10^{-2})^2\;\Rightarrow \\
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q^2&=&\frac{5\cdot 10^{-3}\cdot 5\cdot 10^{-2})^2}{9\cdot 10^9} \\
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&=&1,38\cdot 10^{-15}\;\Rightarrow \\
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q&=&3,73\cdot 10^{-8}=37,3\,nC
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\end{eqnarray*}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{3}
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Un probl^^e8me identique serait : combien y a-t-il de pommes de $2\,kg$ dans un panier de pommes d'une masse totale de $24\,kg$ ? ^^c9videmment, on divise la masse totale des pommes par la masse d'une pomme : $24/2=12\,pommes$.
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Dans notre probl^^e8me, le panier d'^^e9lectron a une charge de $7\,\mu C=7\cdot 10^{-6}\,C$ et chaque ^^e9lectron une charge, dite ^^e9l^^e9mentaire, de $1,6\cdot 10^{-19}\,C$. Ainsi, le nombre d'^^e9lectrons vaut :
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$$n=\frac{7\cdot 10^{-6}}{1,6\cdot 10^{-19}}=4,375\cdot 10^{13}\,\acute electrons$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{4}
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Deux charges, consid^^e9r^^e9es comme ponctuelles, se trouvent ici en pr^^e9sence. L'une est le noyau, constitu^^e9 de six protons, et dont la charge vaut donc $Q_{noyau}=6\cdot e$, $e$ ^^e9tant la charge ^^e9l^^e9mentaire, c'est-^^e0-dire la charge d'un proton. L'autre est l'^^e9lectron, dont la charge vaut $q_{\acute electron}=e$, en valeur absolue.
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Ainsi, la force qui s'exerce entre ces deux charges vaut :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 6\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}{(10^{-10})^2}\\
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&=&1,38\cdot 10^{-7}\,N=138\,nN
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\end{eqnarray*}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{5}
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Pour la force ^^e9lectrique, on a :
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\begin{eqnarray*}
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F_e&=&k\cdot \frac{q_{proton}\cdot q_{\acute electron}}{d^2}\\
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&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{(1,6\cdot 10^{-19})^2}{(10^{-10})^2}\\
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&=&2,3\cdot 10^{-8}\,N
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\end{eqnarray*}
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Pour la force de gravitation, on a :
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\begin{eqnarray*}
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F_g&=&G\cdot \frac{m_{proton}\cdot m_{\acute electron}}{d^2}\\
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&=&6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{1,67\cdot 10^{-27}\cdot 9,1\cdot 10^{-31}}{(10^{-10})^2}\\
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&=&10^{-47}\,N
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, le rapport vaut :
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$$r=\frac{2,3\cdot 10^{-8}}{10^{-47}}=2,3\cdot 10^{39}$$
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Ce qui signifie que la force ^^e9lectrique est $2,3\cdot 10^{39}$ fois plus grande que la force gravifique ! C'est-^^e0-dire que la force ^^e9lectrique est une force bien plus forte que la force gravifique.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{6}
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Commen^^e7ons par d^^e9terminer le poids des deux ^^e9lectrons. ^^c0 la surface de la terre, on a :
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$$P=m\cdot g=(m_e+m_e)\cdot g=2\cdot m_e\cdot g$$
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Ainsi, la force ^^e9lectrique qui s'exerce entre les deux ^^e9lectrons s'^^e9crit :
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$$F=k\cdot \frac{e\cdot e}{d^2}=2\cdot m_e\cdot g\;\Rightarrow$$
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$$9\cdot 10^9\cdot \frac{(1,6\cdot 10^{-19})^2}{d^2}=2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}\cdot 10\;\Rightarrow$$
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$$d^2=9\cdot 10^9\cdot \frac{(1,6\cdot 10^{-19})^2}{2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}\cdot 10}=12,66\;\Rightarrow$$
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$$d=3,56\,m$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{7}
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La difficult^^e9 de ce probl^^e8me r^^e9side dans le fait qu'on ne conna^^eet ni la charge $q$ ou $Q$ de chaque objet, ni la distance $d$ qui les s^^e9pare. Mais comme la force qui s'exerce entre eux est connue, on peut ^^e9crire :
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$$F=400\,mN=400\cdot 10^{-3}=9\cdot 10^9\cdot \frac{q\cdot Q}{d^2}$$
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Par ailleurs, sans que $q$ et $Q$ ne changent, lorsque la distance $d$ entre les deux charges est diminu^^e9e d'un facteur neuf, soit pour la nouvelle distance $d'=d/9$, on peut ^^e9crire pour la nouvelle force $F'$ :
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\begin{eqnarray*}
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F'&=&k\cdot \frac{q\cdot Q}{d'^2}=k\cdot \frac{q\cdot Q}{(\frac{d}{9})^2}=k\cdot \frac{q\cdot Q}{\frac{d^2}{81}}\\
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&=&k\cdot \frac{q\cdot Q}{d^2}\cdot 81=400\cdot 10^{-3}\cdot 81=32,4\,N
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\end{eqnarray*}
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L'avant derni^^e8re ^^e9galit^^e9 ^^e9tant justifi^^e9e par la valeur de $F$.
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Remarquons enfin que le probl^^e8me contient formellement quatre inconnues ($F'$, $q$, $Q$ et $d$) pour deux ^^e9quations. On ne devrait donc pas pouvoir r^^e9soudre. Mais comme on ne cherche ni $q$, ni $Q$, ni $d$, on peut consid^^e9rer le groupe $q\cdot Q/d^2$ comme une seule inconnue. Ainsi, on a alors un syst^^e8me de deux ^^e9quations ^^e0 deux inconnues et une solution est possible.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{8}
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Chacune des deux charges $q$ et $Q$ exercent une force sur $q'$. Pour que cette derni^^e8re ne subisse aucune force, il faut donc que la somme vectorielle des deux forces exerc^^e9es par $q$ et $Q$ soit nulle. Pour cela, il faut que :
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\begin{itemize}
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\item les deux forces soient parall^^e8les,
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\item qu'elles soient oppos^^e9es et
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\item qu'elles aient une valeur ^^e9gale.
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\end{itemize}
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Pour que les deux forces soient parall^^e8les, il faut que les trois charges soient sur une m^^eame ligne. Sur celle-ci, on pourrait donc placer $q'$ soit entre les deux charges $q$ et $Q$, soit ^^e0 l'ext^^e9rieur du c^^f4t^^e9 de $q$, soit ^^e0 l'ext^^e9rieur du c^^f4t^^e9 de $Q$.
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Mais, pour que les deux forces soient oppos^^e9es, on ne peut placer $q'$ au centre, car alors les deux forces auraient m^^eame sens, en raison du signe oppos^^e9 des deux charges $q$ et $Q$.
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Finalement, on doit placer $q'$ ^^e0 l'ext^^e9rieur des deux charges, du c^^f4t^^e9 de $Q$, car la distance entre $q$ et $q'$ est plus grande que celle entre $Q$ et $q'$. En effet, la d^^e9pendance en $1/r^2$ de la force, qui fait diminuer la force lorsqu'on augmente la distance, est compens^^e9e par sa proportionnalit^^e9 dans la valeur des charges en jeu. Ainsi, comme $q$ est la plus grande charge (en valeur absolue), il faut la placer plus loin que $Q$ dont la valeur est plus petite.
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Tout cela est valable quel que soit le signe de $q'$ qui ne fait que changer le sens des forces qui s'exercent.
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Pour d^^e9terminer la distance $d$ qui s^^e9pare $Q$ de $q'$, on pose (avec $10\,cm=0,1\,m$) :
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\begin{eqnarray*}
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F_{q\rightarrow q'}&=&F_{Q\rightarrow q'}\;\Rightarrow\\
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k\cdot \frac{9\cdot 10^{-6}\cdot q'}{(0,1+d)^2}&=&k\cdot \frac{2\cdot 10^{-6}\cdot q'}{d^2}\;\Rightarrow\\
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\frac{9}{(0,1+d)^2}&=&\frac{2}{d^2}\;\Rightarrow\\
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9\cdot d^2&=&2\cdot (0,1+d)^2\;\Rightarrow\\
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9\cdot d^2&=&2\cdot (0,01+0,2\cdot d+d^2)\;\Rightarrow\\
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9\cdot d^2&=&0,02+0,4\cdot d+2\cdot d^2\;\Rightarrow
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\end{eqnarray*}
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Soit finalement l'^^e9quation du second degr^^e9 :
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$$7\cdot d^2-0,4\cdot d-0,02=0$$
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La solution est alors donn^^e9e par :
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\begin{eqnarray*}
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d&=&\frac{0,4\pm \sqrt{(-0,4)^2-4\cdot 7\cdot (-0,02)}}{2\cdot 7}\\
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&=&\frac{0,4\pm 0,849}{14}\\
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&=&\begin{cases}0,0892\,m&q'\mathrm{\ \grave a\ l'ext\acute erieur}\\-0,0321\,m&q'\mathrm{\ \grave a\ l'int\acute erieur}\end{cases}
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\end{eqnarray*}
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Comme on a choisi d'^^e9crire la distance entre $q$ et $q'$ comme $(0,1+d)$ avec $q'$ ^^e0 l'ext^^e9rieur des deux charges $q$ et $Q$, la distance $d$ est positive si la charge $q'$ est ^^e0 l'ext^^e9rieur. C'est donc la solution positive qu'il faut retenir. L'autre solution correspond au cas o^^f9 $q'$ serait entre les deux charges. En effet, ce cas est possible, car la condition math^^e9matique de d^^e9part impose seulement que les deux forces soient ^^e9gales et non aussi qu'elles soient oppos^^e9es. Ainsi, la solution n^^e9gative correspond-elle au cas o^^f9 la charge $q'$ serait ^^e0 l'int^^e9rieur des deux charge et subirait deux forces ^^e9gales mais de m^^eame sens. Il faut la rejeter.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{9}
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On a simplement :
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\begin{eqnarray*}
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q+Q&=&780\,\mu C=780\cdot 10^{-6}\,C\;\Rightarrow\\
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q&=&780\cdot 10^{-6}-Q
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, on peut ^^e9crire :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&\\
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20,4&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{q\cdot Q}{1,23^2}\\
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&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{(780\cdot 10^{-6}-Q)\cdot Q}{1,23^2}\;\Rightarrow\\
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20,4&=&\frac{9\cdot 10^9\cdot 780\cdot 10^{-6}\cdot Q-9\cdot 10^9\cdot Q^2}{1,23^2}
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\end{eqnarray*}
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Et donc :
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$$20,4\cdot 1,23^2=7,02\cdot 10^6\cdot Q-9\cdot 10^9\cdot Q^2$$
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Ce qui donne l'^^e9quation du second degr^^e9 suivante :
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$$9\cdot 10^9\cdot Q^2-7,02\cdot 10^6\cdot Q+30,86=0$$
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dont la solution est donn^^e9e par :
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\begin{eqnarray*}
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Q&=&\\
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&=&\frac{7,02\cdot 10^6\pm \sqrt{(7,02\cdot 10^6)^2-4\cdot 9\cdot 10^9\cdot 30,86}}{2\cdot 9\cdot 10^9}\\
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&=&\frac{7,02\cdot 10^6\pm6,94\cdot 10^6}{18\cdot 10^9}=\begin{cases}775,5\,\mu C\\4,4\,\mu C\end{cases}
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\end{eqnarray*}
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Soit, pour l'autre charge :
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\begin{eqnarray*}
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q&=&780-Q=780-\begin{cases}775,5\\4,4\end{cases}=\begin{cases}4,5\,\mu C\\775,6\,\mu C\end{cases}
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\end{eqnarray*}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{10}
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Ce probl^^e8me est partiellement alg^^e9brique, en ce sens qu'on consid^^e8re $Q_T$ comme connu. La solution en sera donc fonction. ^^c9videmment, on peut ^^e9crire :
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$$q+Q=Q_T\;\Rightarrow\;Q=Q_T-q$$
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La force qui s'exerce entre les charges s'^^e9crit alors :
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$$F=k\cdot \frac{q\cdot Q}{d^2}=k\cdot \frac{q\cdot (Q_T-q)}{d^2}$$
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La force $F$ est donc une fonction de $q$ :
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$$F=F(q)$$
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C'est donc en annulant la d^^e9riv^^e9e de cette fonction qu'on en obtiendra la valeur maximale :
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$$F(\widehat q)\mathrm{\ max\ ou\ min\ si\ }\frac{d}{dq}F(\widehat q)=0$$
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La fonction qu'il faut d^^e9river est donc :
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$$F(q)=\frac{k\cdot Q_T}{d^2}\cdot q-\frac{k}{d^2}\cdot q^2$$
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Sa d^^e9riv^^e9e est :
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$$\frac{dF(q)}{dq}=\frac{k\cdot Q_T}{d^2}-\frac{k}{d^2}\cdot 2\cdot q$$
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En annulant cette d^^e9riv^^e9e, on trouve alors la valeur de $\widehat q$ pour laquelle la force est maximale ou minimale :
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\begin{eqnarray*}
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\frac{k\cdot Q_T}{d^2}-\frac{k}{d^2}\cdot 2\cdot \widehat q&=&0\;\Rightarrow\\
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Q_T-2\cdot \widehat q&=&0
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\end{eqnarray*}
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Soit finalement :
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$$\widehat q=\frac{Q_T}{2}=Q$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{11}
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Le champ est produit par la charge $Q=40\cdot 10^{-5}\,C=400\,\mu C$. Il faut le d^^e9terminer ^^e0 une distance $d=33\,cm$ d'elle.
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La direction et le sens sont donn^^e9s ^^e0 la figure \ref{champ33cm}.
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La grandeur se calcule comme suit :
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\begin{eqnarray*}
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E&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{40\cdot 10^{-5}}{0,33^2}\\
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&=&33'057'851\,N/C=33\,MN/C
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\end{eqnarray*}
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Champ ^^e0 33 cm}\label{champ33cm}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/Champ33cm.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{12}
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Nous avons ici ^^e0 d^^e9terminer un champ qui exerce une force donn^^e9e $F=8\cdot 10^{-4}\,N$ sur une charge $q=2\,\mu C=2\cdot 10^{-6}\,C$. Comme $q>0$, la relation :
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$$\overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E}$$
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implique que le champ est dans la m^^eame direction et le m^^eame sens que la force, comme indiqu^^e9 sur la figure \ref{champforce}.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Force et champ}\label{champforce}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/ChampForce.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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Sa valeur est ainsi :
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$$E=\frac{F}{q}=\frac{8\cdot 10^{-4}}{2\cdot 10^{-6}}=400\,N/C$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{13}
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Le champ total est la somme vectorielle des champs $\overrightarrow{E}_-$ et $\overrightarrow{E}_+$ respectivement cr^^e9^^e9s par les charges $Q_-$ et $Q_+$. On peut en calculer la valeur comme suit :
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\begin{eqnarray*}
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E_-&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{50\cdot 10^{-6}}{0,1^2}=45\,MN/C\\
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E_+&=&9\cdot 10^9\cdot \frac{40\cdot 10^{-6}}{0,1^2}=36\,MN/C
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\end{eqnarray*}
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Comme ces champs sont dans la m^^eame direction et le m^^eame sens (voir figure \ref{champ2charges}), la valeur du champ total est la somme arithm^^e9tique de $E_-$ et $E_+$ :
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$$E_{tot}=E_-+E_+=45+36=81\,MN/C$$
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Champ entre deux charges}\label{champ2charges}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/Champ2Charges.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{14}
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Pour que le proton soit en suspension, il faut que son poids $P$ soit compens^^e9 par la force ^^e9lectrique $F$ produite par le champ $E$. Comme la charge du proton est positive, le champ $\overrightarrow{E}$ est dans le m^^eame sens que la force $\overrightarrow{F}$, c'est-^^e0-dire oppos^^e9 au poids, comme le montre la figure \ref{protonsuspension}. Num^^e9riquement, on a alors :
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\begin{eqnarray*}
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q\cdot E&=&m\cdot g\;\Rightarrow\\
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E&=&\frac{m\cdot g}{q}=\frac{1,67\cdot 10^{-27}\cdot 10}{1,6\cdot 10^{-19}}=10^{-7}\,N/C
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\end{eqnarray*}
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Proton en suspension}\label{protonsuspension}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/ProtonSuspension.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{15}
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C'est la force $\overrightarrow{F}$ qui s'exerce sur le proton qui produit son acc^^e9l^^e9ration $\overrightarrow{a}$. Comme la masse $m$ du proton est positive, la seconde loi de Newton $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$ implique que la force $\overrightarrow{F}$ a m^^eame direction et sens que l'acc^^e9l^^e9ration. Comme $\overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E}$ et que la charge $q$ du proton est positive, le champ $\overrightarrow{E}$ a m^^eame direction et sens que la force. Donc, comme le montre la figure \ref{protonaccelere}, les trois vecteurs ont m^^eame direction et m^^eame sens.
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La grandeur du champ ^^e9lectrique $E$ est donn^^e9e par :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&m\cdot a=q\cdot E\;\Rightarrow\\
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E&=&\frac{m\cdot a}{q}=\frac{1,67\cdot 10^{-27}\cdot 74,3\cdot 10^3}{1,6\cdot 10^{-19}}\\
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&=&7,76\cdot 10^{-4}\,N/C
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\end{eqnarray*}
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Proton acc^^e9l^^e9r^^e9}\label{protonaccelere}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/ProtonAccelere.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{16}
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Traitons chaque point successivement.
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\begin{enumerate}
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\item Comme $\overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E}$ et que la charge $q$ de l'^^e9lectron est n^^e9gative, la force ^^e9lectrique $\overrightarrow{F}$ est de sens oppos^^e9 au champ. Mais comme le champ est dans le m^^eame sens que la vitesse initiale, la force est oppos^^e9e ^^e0 celle-ci. Ainsi, l'^^e9lectron va ralentir, puis d'arr^^eater et repartir en arri^^e8re. Il fera donc demi-tour.
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\item Comme :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&e\cdot E=c^{ste}=m\cdot a\;\Rightarrow\\
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a&=&c^{ste}=\frac{e\cdot E}{m}=\frac{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 6,2\cdot 10^3}{9,1\cdot 10^{-31}}\\
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&=&1,1\cdot 10^{15}\,m/s^2
|
|
\end{eqnarray*}
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|
L'acc^^e9l^^e9ration est constante et de valeur d^^e9termin^^e9e. C'est en fait une d^^e9c^^e9l^^e9ration et sa valeur est donc $a=-1,1\cdot 10^{15}\,m/s^2$. C'est un MRUA et on peut ^^e9crire :
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\begin{eqnarray*}
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v_f^2&=&v_i^2+2\cdot a\cdot d\;\Rightarrow\\
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0^2&=&(2,6\cdot 10^6)^2-2\cdot 1,1\cdot 10^{15}\cdot d\;\Rightarrow\\
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|
d&=&\frac{(2,6\cdot 10^6)^2}{2\cdot 1,1\cdot 10^{15}}=3\cdot 10^{-3}\,m=3\,mm
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\end{eqnarray*}
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|
\item On a encore :
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$$v_f=a\cdot t+v_i$$
|
|
avec, aux instants consid^^e9r^^e9s :
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|
$$v_i>0\; , \; v_f<0\; et \; v_i=v_f$$
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Ainsi, on peut ^^e9crire en se rappelant qu'on a une d^^e9c^^e9l^^e9ration :
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\begin{eqnarray*}
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|
-v_i&=&a\cdot t+v_i\;\Rightarrow\\
|
|
-2\cdot v_i&=&a\cdot t\;\Rightarrow\\
|
|
t&=&\frac{-2\cdot v_i}{a}=\frac{-2\cdot 2,6\cdot 10^6}{-1,1\cdot 10^{15}}\\
|
|
&=&4,73\cdot 10^9\,s=4,73\,ns
|
|
\end{eqnarray*}
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|
\end{enumerate}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{17}
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On a simplement :
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$$E=\frac{F_1}{q_1}=\frac{10^{-2}}{10^{-7}}=10^5\,N/C$$
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et pour la force :
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$$F_2=q_2\cdot E=10^{-8}\cdot 10^5=10^{-3}\,N$$
|
|
|
|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{18}
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|
Si on pose $q_1=4\,\mu C$ et $q_2=6\,\mu C$, $\overrightarrow{E}_1$ le champ ^^e9lectrique cr^^e9^^e9 par la charge $q_1$, $\overrightarrow{E}_2$ le champ ^^e9lectrique cr^^e9^^e9 par la charge $q_2$, $\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}$ la force cr^^e9^^e9e par $q_1$ qui s'exerce sur $q_2$ et $\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}$ la force cr^^e9^^e9e par $q_2$ qui s'exerce sur $q_1$, on a la situation pr^^e9sent^^e9e sur la figure \ref{lunlautre}. Par la troisi^^e8me loi de Newton, on peut affirmer que :
|
|
$$F_{1\rightarrow 2}=F_{2\rightarrow 1}=F=0,4\,N$$
|
|
Ainsi, chaque charge exerce sur l'autre la m^^eame force.
|
|
|
|
Mais, comme la valeur de chaque charge est diff^^e9rente, le champ ^^e9lectrique produit l'est aussi. Le champ ^^e9lectrique produit par la charge $q_1$ exerce son action, la force $F$, sur la charge $q_2$. De la m^^eame mani^^e8re, le champ produit par la charge $q_2$ exerce son action, l'autre force $F$, sur la charge $q_1$. Ainsi, par $F=q\cdot E$, on a :
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\begin{eqnarray*}
|
|
E_1&=&\frac{F}{q_2}=\frac{0,4}{6\cdot 10^{-6}}=66'666\,N/C\\
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|
E_2&=&\frac{F}{q_1}=\frac{0,4}{4\cdot 10^{-6}}=100'000\,N/C
|
|
\end{eqnarray*}
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Une charge et l'autre}\label{lunlautre}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/LunLautre.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{19}
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Les deux charges ont m^^eame valeur. On peut donc calculer le champ ^^e9lectrique ^^e0 $25\,cm$ de l'une par :
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$$E_{25}=9\cdot 10^9\cdot \frac{10^{-6}}{0,25^2}=144\,kN/C$$
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|
On peut aussi calculer le champ ^^e0 $75-25=50\,cm$ de l'autre par :
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$$E_{50}=9\cdot 10^9\cdot \frac{10^{-6}}{0,5^2}=36\,kN/C$$
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|
Les deux charges ^^e9tant positives, chacune d'elle cr^^e9^^e9e un champ de sens oppos^^e9 ^^e0 l'autre. Ce champ pointe ^^e0 l'oppos^^e9 de la charge qui l'a cr^^e9^^e9. Le plus grand est celui cr^^e9^^e9 par la charge ^^e0 $25\,cm$. Le champ r^^e9sultant pointe donc vers la charge ^^e0 $50\,cm$ et sa valeur est :
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$$E_{total}=E_{25}-E_{50}=144-36=108\,kN/C$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{20}
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|
Pour ne pas surcharger le dessin, la figure \ref{champtroischarges} ne pr^^e9sente que le champ total issu des trois charges en un seul point. Attention, les lignes de construction sont importantes pour les champs issus de chaque charge et pour la construction des sommes vectorielles issues de ces champs.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Champ produit par trois charges}\label{champtroischarges}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/ChampTroisCharges.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{21}
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|
Par $F=m\cdot a$, on trouve la force n^^e9cessaire ^^e0 acc^^e9l^^e9rer la charge $q$ :
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$$F=m\cdot a=10^{-3}\cdot 3=3\cdot 10^{-3}\,N$$
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|
Le champ ^^e9lectrique n^^e9cessaire pour produire cette force est alors :
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$$E=\frac{F}{q}=\frac{3\cdot 10{-3}}{1\cdot 10^{-6}}=3000\,N/C$$
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|
La charge n^^e9cessaire pour cr^^e9er ce champ ^^e9lectrique est finalement donn^^e9e par :
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\begin{eqnarray*}
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E&=&k\cdot \frac{Q}{d^2}\;\Rightarrow\\
|
|
Q&=&E\cdot \frac{d^2}{k}=3000\cdot \frac{2^2}{9\cdot 10^9}\\
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|
&=&1,33\cdot 10^{-6}\,C=1,33\,\mu C
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\end{eqnarray*}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{22}
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|
Il faut relever que les valeurs indiqu^^e9es dans la table \ref{resistancesdiversessol} sont indicatives et d^^e9pendent parfois de l'^^e9tat des ^^e9l^^e9ments utilis^^e9s pour faire la mesure (l'humidit^^e9 par exemple).
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\begin{table}[H]
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\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
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|
\hline
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|
^^c9l^^e9ment&R^^e9sistance ($\Omega$)\tabularnewline
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|
\hline
|
|
\hline
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|
Fil ^^e9lectrique&$\sim 10$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Corps humain&$\sim 100'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Semelle plastique&$\sim 10'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Stylo feutre&$>\,10'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Crayon de papier&$\sim 30$
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|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Crayon de couleur&$> 1'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Bois sec (2 cm)&$>\,1'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
T^^e2teur&$>\,100'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Verre&$>\,100'000'000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}\end{center}
|
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|
|
\caption{R^^e9sistances diverses}
|
|
\label{resistancesdiversessol}
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|
\end{table}
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{23}
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|
Si l'oiseau pose une seule patte sur le fil, comme ce dernier a une r^^e9sistance tr^^e8s faible (pour ^^e9viter de dissiper de la chaleur et perdre ainsi de l'^^e9nergie inutilement), l'essentiel du courant va passer dans le fil. Comme la r^^e9sistance de l'oiseau est en g^^e9n^^e9ral assez importante, la fraction de courant qui va passer dans la patte ne lui est pas dangereuse.
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|
De la m^^eame mani^^e8re, la r^^e9sistance du fil ^^e9tant tr^^e8s faible par rapport ^^e0 celle de l'oiseau et la tension entre elles peu importante, s'il pose les deux pattes, m^^eame si un partie du courant peut passer ^^e0 travers son corps, celui-ci sera trop faible pour que l'oiseau soit en danger.
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|
|
|
Par contre, s'il pose l'autre patte sur un conducteur connect^^e9 ^^e0 la terre, la diff^^e9rence de potentiel, c'est-^^e0-dire la tension entre ses deux pattes est une haute tension et malgr^^e9 une r^^e9sistance du corps de l'oiseau importante, la d^^e9charge est fatale.
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|
IL faut retenir de cela, qu'un parachutiste accroch^^e9 par accident ^^e0 une ligne haute tension ne risque rien tant qu'il n'est pas en contact avec la terre (^^e9ventuellement par l'interm^^e9diaire de l'^^e9chelle de ses sauveteurs). Avant de lui venir en aide, il est donc imp^^e9rativement n^^e9cessaire de couper le courant dans la ligne.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{24}
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|
La loi d'Ohm donne :
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|
\begin{eqnarray*}
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|
U&=&R\cdot I\;\Rightarrow\\
|
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I&=&\frac{U}{R}=\frac{230}{1500}=0,1534\,A=153,4\,mA
|
|
\end{eqnarray*}
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Ce courant est mortel. Il y a br^^fblures importantes et arr^^eat cardiaque.
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|
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|
M^^eame si l'appareil n'^^e9tait pas enclench^^e9, mais seulement branch^^e9 ^^e0 la prise murale, l'eau, en s'infiltrant ^^e0 l'int^^e9rieur permettrait le passage du courant et l'^^e9lectrocution persisterait. Pour ^^e9viter le danger, il faudrait d^^e9brancher l'appareil de la prise murale.
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|
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{25}
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|
Supposons un personne de r^^e9sistance corporelle faible $R=100\,k\Omega$. La loi d'Ohm donne alors :
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|
\begin{eqnarray*}
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|
U&=&R\cdot I\;\Rightarrow\\
|
|
I&=&\frac{U}{R}=\frac{230}{100'000}=0,00012\,A=1,2\,mA
|
|
\end{eqnarray*}
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Ce courant n'est absolument pas dangereux. Attention pourtant aux risques de br^^fblures par ^^e9chauffement du fil lors du d^^e9marrage des voitures qui n^^e9cessite un fort courant.
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|
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\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{26}
|
|
La prise de terre constitue un dispositif de protection des personnes. Or, tant ^^e0 l'ext^^e9rieur que dans les caves, l'humidit^^e9 diminue la r^^e9sistance du corps. Les risques d'^^e9lectrocution sont donc plus importants. Ce sont donc des lieux pour lesquels il faut ^^eatre mieux prot^^e9g^^e9. Signalons que la l^^e9gislation impose pour les nouvelles constructions de poser un fusible ^^e0 courant de d^^e9faut (FI) pour les prises qui aboutissent dans les salles de bain, les caves et ^^e0 l'ext^^e9rieur.
|
|
|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{27}
|
|
Surtout, ne pas tenter de le d^^e9gager en se saisissant de lui. Il faut tenter de couper le courant le plus rapidement possible en utilisant les fusibles.
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|
|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{28}
|
|
La comparaison des r^^e9sistances donn^^e9es dans la table \ref{resistancesdiversessol} permet de se rendre compte que la r^^e9sistance de la mine d'un crayon de couleur est importante, alors que celle d'un crayon de papier (du carbone) est faible. Ainsi, il est tr^^e8s dangereux de mettre un crayon de papier dans une prise. Pour un crayon de couleur, malgr^^e9 sa haute r^^e9sistance, il ne faut pas oublier que le crayon peut ^^eatre humide en surface, au niveau du bois (souvent les enfants le mettent ^^e0 la bouche), et que cela est aussi tr^^e8s dangereux.
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|
|
|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{29}
|
|
A partir d'un courant de $2\,mA$. Il reste peu de risques d'^^e9lectrocution. Mais, il n'est pas impossible que le fusible ne d^^e9clenche pas lorsqu'il est derri^^e8re un transformateur pour des raisons que nous ne d^^e9velopperons pas ici. Il faut donc garder ^^e0 l'esprit que malgr^^e9 son efficacit^^e9, il faut rester sur ses gardes.
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|
|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{30}
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|
Le risque principal est que la phase vienne toucher le bo^^eetier sans que celui-ci ne d^^e9charge vers la terre (l'appareil peut ^^eatre sur une table isol^^e9e du sol, par exemple). L'appareil est branch^^e9, son bo^^eetier est ^^e0 $230\,V$ et on ne se rend compte de rien. Il suffit alors de toucher l'appareil pour ^^eatre ^^e9lectrocut^^e9.
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|
|
|
Ce risque serait ^^e9limin^^e9. En effet, avec le d^^e9faut d^^e9crit pr^^e9c^^e9demment et une ligne de terre, au moment de brancher l'appareil, le bo^^eetier aurait imm^^e9diatement d^^e9charg^^e9 vers le sol ^^e0 travers la ligne de terre. Le courant de la phase aurait alors fortement augment^^e9 et le fusible (ou le disjoncteur) aurait saut^^e9.
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|
|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{31}
|
|
Tant que les personnes restent dans l'autocar, ils sont isol^^e9s du sol par les pneus (isolants). Il ne risquent donc rien. ^^c9videmment, il ne faut pas descendre, car alors la personne cr^^e9erait un court-circuit (un circuit de faible r^^e9sistance) vers la terre et l'^^e9lectrocution pourrait avoir lieu. Il faut donc tout simplement couper le courant dans la ligne haute tension.
|
|
|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{32}
|
|
La table \ref{resistancesdiversessolcourant} pr^^e9sente les courants pour chaque ^^e9l^^e9ment. Le calcul se base simplement sur la loi d'Ohm :
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|
$$U=R\cdot I\;\Rightarrow\;I=\frac{U}{R}$$
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|
\begin{table}[H]
|
|
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
|
\hline
|
|
^^c9l^^e9ment&R ($\Omega$)&I ($mA$)\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\hline
|
|
Fil ^^e9lec.&$\sim 10$&23'000
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Corps&$\sim 100'000$&2,3
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Semelle plast.&$\sim 10'000'000$&0,023
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Stylo feutre&$>\,10'000'000$&0,023
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Crayon papier&$\sim 30$&7667
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Crayon couleur&$> 1'000'000$&0,23
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Bois sec (2 cm)&$>\,1'000'000$&0,23
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
T^^e2teur&$>\,100'000'000$&0,0023
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Verre&$>\,100'000'000$&0,0023
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}\end{center}
|
|
|
|
\caption{R^^e9sistances diverses}
|
|
\label{resistancesdiversessolcourant}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{33}
|
|
Voir paragraphe \ref{LeTateur}. La personne ne doit par craindre une ^^e9lectrocution, car la partie ``tournevis'' conductrice est enrob^^e9e d'un isolant et reli^^e9e (en s^^e9rie) ^^e0 une tr^^e8s forte r^^e9sistance.
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{34}
|
|
La table \ref{puissancesdiversessol} donne des ordre de grandeur des puissances des principaux appareils domestiques. Ils sont issus de la documentation des appareils.
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|
\begin{table}[H]
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|
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
|
|
\hline
|
|
Appareils&Puissance (W)\tabularnewline
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|
\hline
|
|
\hline
|
|
Ampoule normale&$40$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Ampoule basse consommation&$7\equiv 40$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
S^^e8che cheveux&$\sim 1000-1600$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Baladeur&$\sim 5$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Aspirateur&$\sim 1300-1700$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Cha^^eene HiFi (tot)&$\sim 200$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Ordinateur (tot)&$\sim 300$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Cuisini^^e8re&$\sim 1000-3000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Four micro-onde&$\sim 1000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Machine ^^e0 laver la vaisselle&$\sim 1000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
Machine ^^e0 laver le linge&$\sim 3000$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
S^^e8che linge&$\sim 2500$
|
|
\tabularnewline
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}\end{center}
|
|
|
|
\caption{Puissances diverses}
|
|
\label{puissancesdiversessol}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{35}
|
|
On a simplement :
|
|
$$P=U\cdot I\;\Rightarrow\;I=\frac{P}{U}=\frac{4}{12}=0,333\,A=333\,mA$$
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{36}
|
|
On a simplement :
|
|
$$P=U\cdot I=9\cdot 0,4=3,6\,W$$
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{37}
|
|
On a simplement :
|
|
$$P=\frac{U^2}{R}\;\Rightarrow\;U=\sqrt{P\cdot R}=\sqrt{0,25\cdot 800}=14,14\,V$$
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{38}
|
|
La principale difficult^^e9 de ce probl^^e8me est de bien comprendre dans quelles unit^^e9s on travaille.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item R^^e9solvons tout d'abord le probl^^e8me dans les unit^^e9s du syst^^e8me international. Dans celles-ci, le temps s'exprime en secondes. Ainsi, $t=7\,h=7\cdot 3'600=25'200\,s$. On peut ensuite calculer facilement l'^^e9nergie n^^e9cessaire pour laisser allum^^e9 la lampe :
|
|
$$P=\frac{E}{t}\;\Rightarrow\;E=P\cdot t=200\cdot 25'200=5'040'000\,J$$
|
|
Mais, le co^^fbt est donn^^e9 en $cts/kWh$. Il faut donc convertir le r^^e9sultat de joules en kilowattheures. Comme $1\,kWh=3,6\cdot 10^6\,J$, on peut ^^e9crire :
|
|
$$E=5'040'000\,J=\frac{5'040'000}{3,6\cdot 10^6}=1,4\,kWh$$
|
|
Ainsi, le co^^fbt total est donn^^e9 par :
|
|
$$c=20\cdot 1,4=28\,cts$$
|
|
|
|
\item Mais, on peut r^^e9soudre bien plus facilement ce probl^^e8me en n'utilisant pas les unit^^e9s du syst^^e8me international. En effet, on peut convertir la puissance en $kW$ :
|
|
$$P=200\,W=0,2\,kW$$
|
|
et utiliser des heures pour le temps :
|
|
$$P=\frac{E}{t}\;\Rightarrow\;E=P\cdot t=0,2\cdot 7=1,4\,kWh$$
|
|
Puis, comme pr^^e9c^^e9demment, le co^^fbt total est donn^^e9 par :
|
|
$$c=20\cdot 1,4=28\,cts$$
|
|
\end{itemize}
|
|
Il appara^^eet clairement ici que l'utilisation d'unit^^e9s autres que celles du syst^^e8me international est judicieuse puisqu'elle simplifie nettement les calculs.
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{39}
|
|
La principale difficult^^e9 de ce probl^^e8me est de bien comprendre dans quelles unit^^e9s on travaille.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item R^^e9solvons tout d'abord le probl^^e8me dans les unit^^e9s du syst^^e8me international. Dans celles-ci la charge s'exprime en coulomb. Or, la charge nous est donn^^e9e ici par $\Delta q=45\,AH$. Il s'agit bien d'une charge, puisque :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
I&=&\frac{\Delta q}{t}\;\Rightarrow\;\Delta q=I\cdot t\;\Rightarrow\\
|
|
\verb|[|\Delta q\verb|]|&=&[I]\cdot [t]=\begin{cases}A\cdot s&SI\\A\cdot h&pas\,SI\end{cases}
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Il s'agit donc de trouver la relation entre les $Ah$ et les $C$. Pour cela, d^^e9terminons la charge $\Delta q$ en $C$ d^^e9plac^^e9e par un courant $I$ de $1\,A$ pendant un temps $t$ d'une heure. On a :
|
|
$$\Delta q=I\cdot t=1\cdot 3'600=3600\,C$$
|
|
Car $1\,h=3600\,s$. Cette m^^eame charge peut ^^eatre calcul^^e9e en $Ah$ de la mani^^e8re suivante :
|
|
$$\Delta q=I\cdot t=1\cdot 1=1\,Ah$$
|
|
Ainsi, on a l'^^e9quivalence :
|
|
$$1\,Ah=3600\,C$$
|
|
La charge consid^^e9r^^e9e dans notre probl^^e8me est donc :
|
|
$$\Delta q=45\,Ah=45\cdot 3600=162'000\,C$$
|
|
Cela permet de calculer l'^^e9nergie emmagasin^^e9e dans la batterie :
|
|
$$E=\Delta q\cdot U=162'000\cdot 12=1'944'000\,J$$
|
|
|
|
\item Mais, il y a beaucoup plus simple. On peut calculer l'^^e9nergie de la batterie en utilisant directement une charge en $Ah$. Ainsi, on a :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
E&=&\Delta q\cdot U=45\cdot 12=540\,Ah\cdot V\\
|
|
&=&540\,AVh=540\,Wh
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
car :
|
|
$$P=U\cdot I\,\Rightarrow\,[P]=W=[U]\cdot [I]=V\cdot A=A\cdot V$$
|
|
Plus simplement, on peut alors exprimer l'^^e9nergie de la batterie par :
|
|
$$E=540\,Wh=0,54\,kWh$$
|
|
\end{itemize}
|
|
^^c9videmment, suivant les cas, le r^^e9sultat n'est pas exprim^^e9 dans les m^^eames unit^^e9s. Mais, c'est bien le m^^eame. En effet, comme $1\,kWh=3,6\cdot 10^6\,J$, on a :
|
|
$$E=0,54\,kWh=0,54\cdot 3,6\cdot 10^6=1'944'000\,J$$
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|
La solution n'utilisant pas les unit^^e9s du syst^^e8me international est bien plus rapide. Si on peut se permettre d'exprimer le r^^e9sultat dans une unit^^e9 qui n'est pas celle du syst^^e8me international, elle est pr^^e9f^^e9rable. Notons que les $kWh$ sont une unit^^e9 d'^^e9nergie assez r^^e9pandue pour que, dans la plupart des cas, on puisse se permettre de l'utiliser.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{40}
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On peut r^^e9soudre ce probl^^e8me de deux mani^^e8res :
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\begin{itemize}
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\item On trouve le temps gr^^e2ce ^^e0 la d^^e9finition du courant :
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$$I=\frac{\Delta q}{t}\,\Rightarrow\;t=\frac{\Delta q}{I}$$
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Pour cela, il faut trouver le courant $I$ n^^e9cessaire ^^e0 faire briller une ampoule de $60\,W$ sous une tension de $12\,V$ :
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$$P=U\cdot I\;\Rightarrow\;I=\frac{P}{U}=\frac{60}{12}=5\,A$$
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|
On a alors :
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$$t=\frac{45}{5}=9\,h$$
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Remarquez que les unit^^e9s du syst^^e8me international n'ont pas ^^e9t^^e9 utilis^^e9es.
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\item On peut calculer l'^^e9nergie contenue dans la batterie par :
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$$E=q\cdot U=45\cdot 12=540\,AhV=540\,Wh$$
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Puis, par d^^e9finition de la puissance, trouver le temps :
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$$P=\frac{E}{t}\,\Rightarrow\,t=\frac{E}{P}=\frac{540}{60}=9\,h$$
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Dans ce cas aussi, les unit^^e9s du syst^^e8me international n'ont pas ^^e9t^^e9 utilis^^e9es pour des raisons de simplicit^^e9.
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\end{itemize}
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{41}
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Il faut trouver le nombre de $kWh$ n^^e9cessaire pour cette action. On a :
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\begin{eqnarray*}
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E&=&P\cdot t=25\cdot 365\cdot 14\\
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|
&=&127'750\,Wh=127,75\,kWh
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\end{eqnarray*}
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Le co^^fbt est donc :
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$$c=127,75\cdot 0,20=25,55.-$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{42}
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On peut r^^e9soudre le probl^^e8me de deux mani^^e8res :
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\begin{itemize}
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\item La puissance totale est de :
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$$P=2\cdot 40+2+2\cdot 6=94\,W$$
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|
Le courant n^^e9cessaire pour obtenir une telle puissance sous une tension de $12\,V$ est de :
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$$P=U\cdot I\;\Rightarrow\;I=\frac{P}{U}=\frac{94}{12}=7,833\,A$$
|
|
Ainsi le temps de fonctionnement est donn^^e9 par la d^^e9finition du courant :
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$$I=\frac{\Delta q}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{\Delta q}{I}=\frac{40}{7,833}=5,1\,h$$
|
|
\item L'^^e9nergie contenue dans la batterie est :
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$$E=\Delta q\cdot U=40\cdot 12=480\,AhV=480\,Wh$$
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|
Comme vu pr^^e9c^^e9demment, la puissance totale est de :
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|
$$P=2\cdot 40+2+2\cdot 6=94\,W$$
|
|
Et le temps de fonctionnement est donc :
|
|
$$P=\frac{E}{t}\;\Rightarrow\;t=\frac{E}{P}=\frac{480}{94}=5,1\,h$$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{43}
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Pour trouver le diam^^e8tre du fil par la loi de Pouillet, il faut d^^e9terminer sa r^^e9sistance :
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$$P=\frac{U^2}{R}\;\Rightarrow\;R=\frac{U^2}{P}=\frac{230^2}{2000}=26,45\,\Omega$$
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|
La loi de Pouillet et la valeur de la r^^e9sistivit^^e9 du fer $\rho=9,7\cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot m$, trouv^^e9e dans la table, donnent alors :
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\begin{eqnarray*}
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|
R&=&\rho\cdot \frac{L}{S}\;\Rightarrow\\
|
|
S&=&\rho\cdot \frac{L}{R}=9,7\cdot 10^{-8}\cdot \frac{1500}{26,45}=5,5\cdot 10^{-6}\,m^2
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Or, la surface est donn^^e9e par :
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\begin{eqnarray*}
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S&=&\pi\cdot (\frac{d}{2})^2\;\Rightarrow\\
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|
d&=&2\cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}}=2\cdot \sqrt{\frac{5,5\cdot 10^{-6}}{\pi}}=2,65\cdot 10^{-3}\,m
|
|
\end{eqnarray*}
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|
Ainsi, le diam^^e8tre du fil est de :
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$$d=2,65\cdot 10^{-3}\,m=2,65\,mm$$
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{44}
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|
L'^^e9nergie totale n^^e9cessaire chaque jour est de :
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$$E_{jour}=3,3\cdot 3+5\cdot 0,1\cdot 4+3\cdot 1,1+1,8=17\,kWh$$
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|
Pendant un mois, l'^^e9nergie d^^e9pens^^e9e est de :
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$$E_{mois}=30\cdot 17=510\,kWh$$
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Le co^^fbt est donc de :
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$$c=510\cdot 0,2=102.-$$
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Pour une utilisation pendant une ann^^e9e, l'^^e9nergie n^^e9cessaire est de :
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$$E_{ann\acute ee}=365\cdot 17=6205\,kWh$$
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|
Par ailleurs, chaque kilogramme de charbon produit une ^^e9nergie de :
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\begin{eqnarray*}
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E&=&7000\,kcal=7000\cdot 10^3\,cal=7\cdot 10^6\cdot 4,186\\
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&=&29'302\,kJ=\frac{29,302\cdot 10^6}{3,6\cdot 10^6}=8,14\,kWh
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|
\end{eqnarray*}
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|
Comme seulement 35\% de cette ^^e9nergie est exploitable, chaque kilogramme fournit en r^^e9alit^^e9 :
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|
$$E_{r\acute eel}=0,35\cdot 8,14=2,85\,kWh$$
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|
Ainsi, le nombre de kilogrammes n^^e9cessaire ^^e0 produire une ^^e9nergie totale de $6205\,kWh$ par ann^^e9e, est de :
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$$n=\frac{6205}{2,85}=2178,1\,kg$$
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|
Soit plus de deux tonnes de charbon !
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{45}
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La puissance utilis^^e9e par le moteur est :
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$$P_{utilis\acute ee}=U\cdot I=230\cdot 4,5=1035\,W$$
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C'est la puissance ^^e9lectrique qui rentre dans le moteur.
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La puissance m^^e9canique que le moteur fournit est de :
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$$P_{utile}=0,4\,CV=0,4\cdot 736=294,4\,W$$
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C'est la puissance m^^e9canique qui ressort du moteur.
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Le rendement se calcule alors par :
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$$\eta=\frac{P_{utile}}{P_{utilis\acute ee}}=\frac{294,4}{1035}=0,284=28,4\%$$
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\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{46}
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La ville re^^e7oit $600\,kW$ directement exploitable. Pour les deux tensions donn^^e9es, on peut d^^e9terminer le courant n^^e9cessaire pour fournir cette puissance par :
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\begin{eqnarray*}
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P&=&U\cdot I\;\Rightarrow\\
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I&=&\frac{P}{U}=\begin{cases}\frac{600\cdot 10^3}{50'000}\\ \frac{600\cdot 10^3}{15'000}\end{cases}=\begin{cases}12\,A\\40\,A\end{cases}
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\end{eqnarray*}
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On voit clairement que le courant n^^e9cessaire est plus important lorsque la puissance est fournie sous une basse tension.
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Les pertes thermiques dans la ligne de $4\,\Omega$ sont alors donn^^e9e par :
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$$P=R\cdot I^2=\begin{cases}4\cdot 12\\4\cdot 40\end{cases}=\begin{cases}48\,W\\160\,W\end{cases}$$
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On voit que les pertes sont plus importantes sous une basse tension. Cela est du au fait que le courant est plus important et que les fils chauffent plus. La diff^^e9rence est ici de $160-48=112\,W$.
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Cela explique pourquoi l'^^e9nergie ^^e9lectrique est transport^^e9e sur des lignes haute-tension : les pertes sont plus faibles. Avec des supra-conducteurs (conducteurs de r^^e9sistance nulle) cela ne serait pas n^^e9cessaire.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{47}
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Pour trouver le rayon du fil par la loi de Pouillet, il faut d^^e9terminer sa r^^e9sistance. On ^^e9crit ici :
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$$P=R\cdot I^2\;\Rightarrow\;R=\frac{P}{I^2}=\frac{1}{10^2}=0,01\,\Omega$$
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|
On applique ensuite la loi de Pouillet :
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\begin{eqnarray*}
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|
R&=&\rho\cdot \frac{L}{S}\;\Rightarrow\\
|
|
S&=&\rho\cdot \frac{L}{R}=1,68\cdot 10^{-8}\cdot \frac{1}{0,01}\\
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|
&=&1,68\cdot 10^{-6}\,m^2
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Et le rayon est alors :
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\begin{eqnarray*}
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S&=&\pi\cdot r^2\;\Rightarrow\\
|
|
r&=&\sqrt{\frac{S}{\pi}}=\sqrt{\frac{1,68\cdot 10^{-6}}{\pi}}\\
|
|
&=&7,31\cdot 10^{-4}\,m\simeq1\,mm
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{48}
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|
Le vecteur $\overrightarrow L$ est orient^^e9 nord-sud, vers le sud. Le champ magn^^e9tique terrestre $\overrightarrow B_{terre}$ est lui orient^^e9 nord-sud, mais vers le nord. Ces deux vecteurs sont parall^^e8les, mais oppos^^e9s. L'angle entre eux est donc de $180\degres$. Ainsi, on a :
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|
$$F=I\cdot L\cdot B\cdot \sin(180)=0\,N$$
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|
La force de Laplace est donc nulle.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Fil droit orient^^e9 est-ouest}\label{fildroitestouest}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/FilDroitEstOuest.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
|
|
Par contre, si le vecteur $\overrightarrow L$ est orient^^e9 est-ouest, vers l'ouest, l'angle qu'il fait avec le vecteur $\overrightarrow B_{terre}$, orient^^e9 lui nord-sud vers le nord, est de $90\degres$. Ainsi, on a :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
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F&=&I\cdot L\cdot B\cdot \sin(90)\\
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|
&=&10\cdot 20\cdot 21,594\cdot 10^{-6}=0,00432\,N
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
La figure \ref{fildroitestouest} pr^^e9sente la situation. La r^^e8gle du tire-bouchon d^^e9termine le sens du vecteur $\overrightarrow F$, ^^e0 partir de l'^^e9quation de Laplace :
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|
$$\overrightarrow F=I\cdot \overrightarrow L \times \overrightarrow B$$
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|
La force est donc vers le bas, comme le montre la figure \ref{fildroitestouest}.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{49}
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|
La figure \ref{pylones} pr^^e9sente la situation. La r^^e8gle du tire-bouchon donne clairement une force verticale vers le haut.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Fils sur des pyl^^f4nes}\label{pylones}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/Pylones.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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|
Comme l'angle $\beta=30\degres$, on peut ^^e9crire :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&I\cdot L\cdot B\cdot \sin(90-\beta)\\
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|
&=&20\cdot 200\cdot 21,594\cdot 10^{-6}\cdot \sin(90-30)\\
|
|
&=&0,0748\,N
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|
\end{eqnarray*}
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|
|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{50}
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La figure \ref{deuxfilsverticaux} pr^^e9sente la situation. Le symbole $\bigodot$ signifie que le courant dans le fil sort de la feuille, soit va vers le haut. C'est le cas pour les deux fils.
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La r^^e8gle du tire-bouchon, pouce dans le sens du courant du fil, les doigts se refermant dans le sens de rotation du champ magn^^e9tique autour du fil, permet de repr^^e9senter les vecteurs champ magn^^e9tique ^^e0 une distance $d$ du fil (ceux-ci sont tangent ^^e0 la ligne de champ circulaire autour du fil).
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La m^^eame r^^e8gle du tire-bouchon, mais cette fois-ci appliqu^^e9e ^^e0 la loi de Laplace : doigts sur le vecteur $\overrightarrow L_2$ du second fil, se refermant sur le vecteur $\overrightarrow B$, permet de placer le pouce pour d^^e9terminer le sens de la force $\overrightarrow F$.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Deux fils verticaux}\label{deuxfilsverticaux}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/DeuxFilsVerticaux.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{51}
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La figure \ref{filspire} pr^^e9sente la situation. Les symboles $\bigodot$ et $\bigotimes$ repr^^e9sentent respectivement un vecteur qui sort de la page et un vecteur qui rentre dans la page.
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Les forces exerc^^e9es par le fil sur la spire aux points les plus ^^e9loign^^e9s du fil sont not^^e9es $F_{f\rightarrow s}$. Elles vont vers la droite. Par contre, la force exerc^^e9e par la spire sur le fil, not^^e9e $F_{s\rightarrow f}$, va vers la gauche, conform^^e9ment ^^e0 la troisi^^e8me loi de Newton, $action=-r\acute eaction$.
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Relevons que le champ magn^^e9tique cr^^e9^^e9 par la spire en son centre est perpendiculaire ^^e0 la spire et de sens donn^^e9 par la r^^e8gle du tire-bouchon avec les doigts qui suivent le courant dans la spire et le pouce qui donne le champ magn^^e9tique.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Un fil et une spire}\label{filspire}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
|
|
^^I{Images/EPS/FilSpire.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
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|
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|
\end{Solution}
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|
\begin{Solution}{52}
|
|
La figure \ref{avion} pr^^e9sente la situation. Ici la loi de Lorentz est appliqu^^e9e :
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$$\overrightarrow F=q\cdot \overrightarrow v\times \overrightarrow B$$
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|
Comme la charge $q$ est positive, la r^^e8gle du tire-bouchon s'applique simplement en pla^^e7ant les doigts de la main droite sur le vecteur $\overrightarrow v$ et en allant avec ceux-ci sur le vecteur $\overrightarrow B$. Le pouce montre alors le sens de la force $\overrightarrow F$.
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{Un avion charg^^e9}\label{avion}
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^^I\smallskip{}
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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^^I{Images/EPS/Avion.eps}\end{center}
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^^I\end{figure}
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On d^^e9termine la valeur de la force par :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&q\cdot v\cdot B\cdot \sin(90-40)\\
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&=&10\cdot (343+\frac{50}{3,6})\cdot 21,594\cdot 10^{-6}\cdot \sin(50)\\
|
|
&=&0,059\,N
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|
\end{eqnarray*}
|
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|
\end{Solution}
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\begin{Solution}{53}
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La figure \ref{eclairvoiture} pr^^e9sente la situation. Manifestement, la force de Laplace implique que la force $\overrightarrow F$ sur l'^^e9clair rentre dans la feuille (r^^e8gle du tire-bouchon).
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\begin{figure}[!ht]
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^^I\caption{^^c9clair sur une voiture}\label{eclairvoiture}
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^^I\smallskip{}
|
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^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
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|
^^I{Images/EPS/EclairVoiture.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
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|
Pour d^^e9terminer sa valeur, il faut trouver l'angle $\beta$ entre $\overrightarrow L$ et $\overrightarrow B$. On a que :
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|
$$\tan(\beta)=\frac{100}{200}\;\Rightarrow\;\beta=26,57\degres$$
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|
La force se calcule alors par :
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\begin{eqnarray*}
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F&=&I\cdot L\cdot B\cdot \sin(\beta)\\
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|
&=&10'000\cdot \sqrt{200^2+100^2}\cdot 21,594\\
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|
&&\cdot 10^{-6}\cdot \sin(26,57)\\
|
|
&=&21,6\,N
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{54}
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|
La figure \ref{deviationmagnetique} pr^^e9sente la situation. Le vecteur vitesse $\overrightarrow v$ pointant vers la droite et en supposant le vecteur $\overrightarrow B$ sortant de la feuille, le produit vectoriel $\overrightarrow v\times \overrightarrow B$ pointe vers le bas. Mais, attention, pour avoir la force de Lorentz, il faut encore multiplier par la charge de l'^^e9lectron qui est n^^e9gative. Cela inverse le sens de la force qui pointe alors vers le haut, conform^^e9ment ^^e0 ce qu'on d^^e9sire pour d^^e9vier l'^^e9lectron comme convenu. Donc le champ $\overrightarrow B$ sort de la feuille.
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|
\begin{figure}[!ht]
|
|
^^I\caption{D^^e9viation magn^^e9tique}\label{deviationmagnetique}
|
|
^^I\smallskip{}
|
|
^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
|
|
^^I{Images/EPS/DeviationMagnetique.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
|
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|
|
Par ailleurs, on a :
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\begin{eqnarray*}
|
|
F&=&q\cdot v\cdot B\cdot \sin(90)\;\Rightarrow\\
|
|
B&=&\frac{F}{q\cdot v}=\frac{10^{-15}}{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 10^3}\\
|
|
&=&6,25\,T
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{55}
|
|
L'^^e9nergie ^^e9lectrique fournie par le champ ^^e9lectrique ^^e0 l'^^e9lectron de charge $q=1,6\cdot 10^{-19}\,C$ sous la tension $U=1000\,V$ vaut :
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|
$$E=q\cdot U=1,6\cdot 10^{-19}\cdot 1000=1,6\cdot 10^{-16}\,J$$
|
|
Cette ^^e9nergie est transform^^e9e en ^^e9nergie cin^^e9tique et on a :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
E&=&\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\;\Rightarrow\\
|
|
v&=&\sqrt{\frac{2\cdot E}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 10^{-16}}{9,1\cdot 10^{-31}}}\\
|
|
&=&18'752\,km/s=6,25\%\,c
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Soit $6,25\%$ de la vitesse lumi^^e8re.
|
|
|
|
\end{Solution}
|
|
\begin{Solution}{56}
|
|
Comme le champ est perpendiculaire ^^e0 la vitesse, le sinus vaut un et on a simplement :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
F&=&q\cdot v\cdot B\\
|
|
&=&1,6\cdot 10^{-19}\cdot 18'752\cdot 10^3\cdot 10^{-3}=3\cdot 10^{-15}\,N\\
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Comme on le voit sur la figure \ref{deviationmagnetiquesurecran}, le mouvement de l'^^e9lectron est un mouvement circulaire uniforme (MCU). En effet, la force ^^e9tant perpendiculaire ^^e0 la vitesse, elle ne fait que d^^e9vier l'^^e9lectron. Pour un tel mouvement, l'acc^^e9l^^e9ration prend la forme suivante :
|
|
$$a=\frac{v^2}{R}$$
|
|
La seconde loi de Newton donne alors :
|
|
\begin{eqnarray}\label{rayoncyclotron}
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|
F&=&q\cdot v\cdot B=m\cdot \frac{v^2}{R}\;\Rightarrow \nonumber \\
|
|
R&=&\frac{m\cdot v}{q\cdot B}\\
|
|
&=&\frac{9,1\cdot 10^{-31}\cdot 18'752\cdot 10^3}{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-3}} \nonumber \\
|
|
&=&0,1067\,m \nonumber
|
|
\end{eqnarray}
|
|
\begin{figure}[!ht]
|
|
^^I\caption{D^^e9viation magn^^e9tique sur un ^^e9cran}\label{deviationmagnetiquesurecran}
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^^I\smallskip{}
|
|
^^I\begin{center}\includegraphics%[width=5cm]
|
|
^^I{Images/EPS/DeviationMagnetiqueSurEcran.eps}\end{center}
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|
^^I\end{figure}
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|
Par ailleurs, ^^e0 partir de la figure \ref{deviationmagnetiquesurecran}, on peut ^^e9crire :
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\begin{eqnarray*}
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|
L&=&R\cdot \sin(\beta)\;\Rightarrow\\
|
|
\beta&=&\arcsin(\frac{L}{R})=\arcsin(\frac{0,03}{0,1067})=16,33\degres
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Et finalement, toujours d'apr^^e8s la figure \ref{deviationmagnetiquesurecran}, on a :
|
|
\begin{eqnarray*}
|
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d&=&R-R\cdot \cos(\beta)\\
|
|
&=&0,1067-0,1067\cdot \cos(16,33)\\
|
|
&=&0,0043\,m=4,3\,mm
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
|
|
\end{Solution}
|
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\begin{Solution}{57}
|
|
C'est la force de Lorentz :
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|
$$\overrightarrow F_{magn}=q\cdot \overrightarrow v\times \overrightarrow B$$
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|
Pour annuler la force magn^^e9tique, il faut que :
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|
$$\overrightarrow F_{\acute electr}=-\overrightarrow F_{magn}$$
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|
Ainsi, le champ ^^e9lectrique n^^e9cessaire est :
|
|
\begin{eqnarray*}
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|
q\cdot \overrightarrow E&=&-q\cdot \overrightarrow v\times \overrightarrow B\\
|
|
\overrightarrow E&=&-\overrightarrow v\times \overrightarrow B
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
La trajectoire de l'^^e9lectron est alors une droite, car la sommes des forces qui s'exercent sur lui est nulle.
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Num^^e9riquement, on a alors :
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$$E=v\cdot B\;\Rightarrow\;v=\frac{E}{B}$$
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Sous cette condition, les particules ne sont pas d^^e9vi^^e9es. Pour r^^e9aliser un s^^e9lecteur de vitesse, il suffit donc de placer un ^^e9cran muni d'un trou dans la direction de la vitesse initiale des particules et de les faire traverser deux champs dont le rapport des grandeurs correspond ^^e0 la vitesse choisie.
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\end{Solution}
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\begin{Solution}{58}
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L'^^e9quation \ref{rayoncyclotron} de l'exercice \ref{exotv} nous permet de calculer la charge des particules inconnues :
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\begin{eqnarray*}
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R&=&\frac{m\cdot v}{q\cdot B}\;\Rightarrow\\
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q&=&\frac{m\cdot v}{R\cdot B}=\frac{9,1\cdot 10^{-31}\cdot 500'000'000/3,6}{0,01\cdot 10\cdot 10^{-3}}\\
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&=&1,26\cdot 10^{-18}\,C
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\end{eqnarray*}
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Or, la charge de l'^^e9lectron $e=1,6\cdot 10^{-19}\,C$. Il ne s'agit donc pas d'^^e9lectrons.
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\end{Solution}
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