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La loi d'Ohm n'est valable que pour un circuit\index{circuit} fermé composé d'un générateur et d'une seule résistance\index{resistance@résistance}. Lorsqu'on est confronté à un système de plusieurs résistances\index{resistance@résistance} les calculs se compliquent. Une méthode simple pour résoudre ce genre de problème est celle dite de la résistance\index{resistance@résistance} équivalente. Elle consiste à remplacer le circuit\index{circuit} complexe composé de plusieurs résistances par un circuit\index{circuit!équivalent} équivalent composé d'une seule résistance\index{resistance@résistance} appelée alors résistance\index{resistance@résistance!équivalente} équivalente. Ce circuit est constitué d'un générateur de même tension\index{tension} et produisant le même courant\index{courant} que pour le circuit\index{circuit} complexe. Le problème est alors de trouver la valeur de cette résistance\index{resistance@résistance!équivalente} équivalente. On distingue deux cas simples.
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\opt{OS}{\paragraph{Deux résistances\index{resistance@résistance} en série\index{resistance@résistance!en série}}}
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\opt{DF}{\section{Deux résistances\index{resistance@résistance} en série\index{resistance@résistance!en série}}}
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Le générateur délivre une tension\index{tension} \(U\). Notons \(U_{1}\) la tension\index{tension} aux bornes de la résistance\index{resistance@résistance} \(R_{1}\) et \(U_{2}\) celle aux bornes de \(R_{2}\) (voir figure \ref{serieos}).
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Circuit\index{circuit} de deux résistances\index{resistance@résistance} en
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série\label{serieos}}
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\includegraphics{Serie.eps}
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\end{figure}
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On peut écrire :
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\[U=U_{1}+U_{2}\]
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et selon la loi d'Ohm :
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\[U_{1}=R_{1}\cdot I\quad et\quad U_{2}=R_{2}\cdot I\]
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Pour le circuit\index{circuit} équivalent, on a :
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\[U=R\cdot I\]
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Ainsi, on peut écrire en combinant les équations ci-dessus :
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\[R\cdot I=R_{1}\cdot I+R_{2}\cdot I\]
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et donc finalement :
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\begin{equation}
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\fbox{$R=R_{1}+R_{2}$}
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\end{equation}
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Ainsi, pour résumer, la résistance équivalente d'un circuit\index{circuit} avec deux résistance\index{resistance@résistance}s en série est égale à la somme de chacune des deux résistance\index{resistance@résistance}s.
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\opt{OS}{\paragraph{Deux résistance\index{resistance@résistance}s en parallèles\index{resistance@résistance!en parallèle}}}
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\opt{DF}{\section{Deux résistance\index{resistance@résistance}s en parallèles\index{resistance@résistance!en parallèle}}}
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Le courant\index{courant} dans ce circuit\index{circuit} (voir figure \ref{paralleleos}) n'est pas le même dans les deux résistance\index{resistance@résistance}s.
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\begin{figure}[t]
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\centering
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\caption{Circuit\index{circuit} de deux résistance\index{resistance@résistance}s en
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parallèle\label{paralleleos}}
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\includegraphics{Parallele.eps}
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\end{figure}
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On peut écrire :
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\[I=I_{1}+I_{2}\]
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et selon la loi d'Ohm :
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\[U=R_{1}\cdot I_{1}=R_{2}\cdot I_{2}\]
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et donc :
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\[I=\frac{U}{R}\quad I_{1}=\frac{U}{R_{1}}\quad I_{2}=\frac{U}{R_{2}}\]
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Pour le circuit\index{circuit} équivalent, on a encore :
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\[U=R\cdot I\]
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Ainsi, on peut écrire en combinant les équations ci-dessus :
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\[\frac{U}{R}=\frac{U}{R_{1}}+\frac{U}{R_{2}}\]
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et donc finalement :
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\begin{equation}
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\fbox{$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}$}
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\end{equation}
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Remarquons par ailleurs que :
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\[R<R_{1}\, et\, R_{2}\]
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