CoursElectriciteMagnetisme/Electrocinetique/kirchhoff.tex

\subsection{Lois de Kirchhoff}
L'utilisation de plusieurs éléments électriques ou électroniques dans un circuit peut le rendre rapidement très complexe. 

\subsubsection{Résistance équivalente}
\input{InputInclude/ResistanceEquivalente}

\subsubsection{Lois de Kirchhoff}
Dans le cas où sont présents dans le circuit plus d'un générateur, la méthode permettant de trouver les courants par réduction des résistances en une résistance équivalente ne fonctionne plus.

Il existe une méthode générale permettant de faire le calcul des éléments inconnu d'un système complexe de manière simple. Il s'agit des équations de Kirchhoff. Celles-ci sont de deux types~: des équations de mailles et des équations aux n\oe uds.

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Un n\oe ud est un élément de circuit où parvient plusieurs fils conducteurs. Par conservation de la charge, la somme des courants qui \og entrent \fg{} dans un n\oe ud doit être égale à celle qui sort. Ainsi, si les fils portant les courant 1 à 5 sont reliés à un n\oe ud et que les courants 1, 2 et 4 entrent dans le n\oe ud et les courants 3 et 5 en sortent, on peut écrire l'équation de n\oe ud suivante :
\begin{equation}
I_1+I_2+I_4=I_3+I_5
\end{equation}
Un circuit peut comporter de multiples n\oe uds, mais généralement seul n-1 équations sont exploitables, si n est le nombre de n\oe ud.

Les équations aux n\oe uds constituent la première partie des équations de Kirchhoff.

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Une maille est une partie du circuit qu'on peut parcourir d'un bout à l'autre en revenant là où on est parti. Ainsi, un simple circuit fermé constitué d'un générateur et d'une résistance est une maille. On peut choisir un sens, dit sens de parcours, pour parcourir cette maille. Par exemple, on part de la borne positive du générateur, on suit le fil jusqu'à la résistance, on la traverse, on en ressort, suit le fil jusqu'à la borne négative du générateur et, finalement, on revient au départ à la borne positive du générateur.

Admettons qu'on ne connaisse pas le sense du courant parcourant cette maille et qu'on décide arbitrairement de le mettre allant de la borne négative par la résistance à la borne positive, soit dans le sens contraire de celui qu'il a en réalité. Choisissons le sens de parcours décrit ci-dessus. On pourrait écrire~:
\begin{equation}
U+R\cdot I=0\;\Rightarrow\;I=-U/R<0
\end{equation}
Ainsi, le courant aurait été négatif, ce qui montrerait que le sens qu'on lui a choisi est faux. Si on avait choisi le sens de parcours dans l'autre sens, on aurait pu écrire~:
\begin{equation}
-U-R\cdot I=0\;\Rightarrow\;I=-U/R<0
\end{equation}
Le signe du courant aurait encore montré notre erreur.

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Par contre, si on avait décidé de choisir le courant par hasard dans le bon sens, c'est à dire de la borne positive du générateur, par la résistance, à sa borne négative et qu'on ait choisi le premier sens de parcours (le même que celui du courant), on aurait pu écrire~:
\begin{equation}
U-R\cdot I=0\;\Rightarrow\;I=U/R>0
\end{equation}
Le courant aurait été positif et le circuit correctement décrit. En changeant le sens de parcours, on aurait alors pu écrire~:
\begin{equation}
-U+R\cdot I=0\;\Rightarrow\;I=U/R>0
\end{equation}
Et le circuit aurait été bien décrit.

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On voit que le calcul du courant et son signe dépendent du signe donné aux tensions (aux bornes du générateur ou de la résistance). Quelle règle doit on appliquer pour choisir ces signes correctement ? 

Les équations de mailles, correctement écrites du point de vue de leurs signes, constituent la seconde partie des loi de Kirchhoff.

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\fbox{
%\begin{minipage}[b]{9cm}
\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Règles d'écriture des équations Kirchhoff}

Préalablement à l'écriture des équations, il est nécessaire de numéroter chaque maille et de lui choisir un sens de parcours. Puis, pour chaque fil, il faut numéroter son courant et lui choisir un sens, si possible logique, sinon au hasard. Ensuite~:
\begin{itemize}
\item pour chaque n\oe uds, il faut écrire l'équation de la somme des courant entrant égale à celle des courants sortant.
\item pour chaque maille, en suivant le sens de parcours, il faut écrire la tension aux bornes de chaque élément de la manière suivante~: pour les générateurs, il faut mettre le signe de la borne par laquelle on sort du générateur en suivant le sens de parcours et pour les résistances, il faut mettre une tension négative si le sens de parcours est identique au sens du courant traversant la résistance. Négative sinon.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\medskip
Illustrons la résolution du circuit complexe de la figure \ref{circuitkirchhoff} par les équations de Kirchhoff. Sur la figure \ref{circuitkirchhoff}, sont déjà notés les trois mailles et leur sens de parcours, ainsi que les courants.

\begin{figure}[t]
\centering
\input{Images/EPS/Circuitkirchhoff.eps_tex}
\caption{Circuit complexe}\label{circuitkirchhoff}
\end{figure}

\smallskip
Le point préalable à l'écriture des équation de Kirchhoff est donc fait.

\smallskip
Commençons donc par écrire les équations aux n\oe uds. Il y en a deux, car il y a deux n\oe uds. Respectivement pour le n\oe ud du haut et pour celui du bas de la figure, voici les équations qu'on obtiens~:
\begin{align}
I_1+I_3&=I_2\\
I_2&=I_1+I_3
\end{align}
On constate que ces deux équations sont identiques. On a donc bien n-1 équations, si n=2, puisqu'on a deux n\oe uds.

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Trois mailles sont présentes. En partant chaque fois d'un générateur, on peut écrire respectivement pour chaque maille numérotés de 1 à 3~:
\begin{align}
+U_1-R_1\cdot I_1-R_2\cdot I_2&=0\\
+R_2\cdot I_2+R_3\cdot I_3-U_2&=0\\
+U_1-R_1\cdot I_1+R_3\cdot I_3-U_2&=0
\end{align}
Pour donner un exemple numérique concret, choisissons une tension \(U_1=\SI{10}{\volt}\), des résistances \(R_1=\SI{1}{\ohm}\), \(R_2=\SI{2}{\ohm}\) et \(R_3=\SI{3}{\ohm}\) et un courant \(I_2=\SI{2}{\ampere}\).

On cherche la valeur des courants \(I_1\) et \(I_3\) et celle de la tension \(U_2\).

En réécrivant les équations de Kirchhoff avec les valeurs ci-dessus, on a~:
\begin{align}
I_1+I_3&=2\label{noeud}\\
10-1\cdot I_1-2\cdot 2&=0\label{maille1}\\
2\cdot 2+3\cdot I_3-U_2&=0\label{maille2}\\
10-1\cdot I_1+3\cdot I_3-U_2&=0\label{maille3}
\end{align}
La résolution de ces équation commence par l'équation \ref{maille1} qui permet d'écrire~:
\[6-I_1=0\;\Rightarrow\;I_1=\SI{6}{\ampere}\]
Comme le courant est positif, son sens a été correctement choisi.

À l'aide de l'équation \ref{noeud}, on a alors~:
\[6+I_3=2\;\Rightarrow\;I_3=\SI{-4}{\ampere}\]
et le sens du courant \(I_3\) à été choisi faux et se dirige en réalité vers le générateur de tension \(U_2\).

On peut enfin utiliser l'une des deux équations \ref{maille2} ou \ref{maille3} pour calculer \(U_2\)~:
\begin{align}
4-12-U_2&=0\;\Rightarrow\;U_2=\SI{-8}{\volt}\\
10-6-12-U_2&=0\;\Rightarrow\;U_2=\SI{-8}{\volt}
\end{align}
Ainsi la tension aux bornes du second générateur est-elle négative. Comment le comprendre ?

\begin{figure}[t]
\centering
\input{Images/EPS/Circuitkirchhoff2.eps_tex}
\caption{Potentiels}\label{circuitkirchhoff2}
\end{figure}

Sur la figure \ref{circuitkirchhoff2} se trouvent notés les potentiels de chaque fils. Le fil en haut à droite est à un potentiel de \SI{-8}{\volt}. La raison en est le choix tout à fait arbitraire du zéro du potentiel à la borne négative des deux générateurs. Mais il aurait très bien pu en être autrement. Ainsi, si on avait choisi ce zéro sur le fil en haut à droite, c'est-à-dire à la borne positive du second générateur, alors sa borne positive aurait été à \SI{8}{\volt}, la borne positive du premier générateur à \SI{18}{\volt} et le n\oe ud du haut à \SI{12}{\volt}.

En réalité, ce ne sont que les différences de potentiel, soit les tensions, qui sont importantes.