\subsection{Potentiel}
\input{InputInclude/Tension}

Cette expression du travail, soit aussi de l'énergie, relativement à la tension donne lieu à une unité d'énergie : l'électronvolt. Il s'agit de l'énergie acquise par un électron accéléré sous une tension de \SI{1}{\volt}. Elle vaut évidemment \(E=q\cdot U=e\cdot 1=\SI{1,6e-19}{\joule}\).

\medskip
En considérant l'expression générale du travail comme l'intégrale du vecteur force par le vecteur infinitésimal de distance, on comprend bien que l'expression générale de la tension est donnée par les expression suivantes~:

\medskip
\fbox{
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{equation}
U=\int_i^f \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta V=V_f-V_i=-\int_i^f \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}
\end{equation}
\end{minipage}
}

\medskip
Considérons les deux exemples suivants~:
\begin{itemize}
\item La figure \ref{tensionuniforme} présente un champ électrique \(\overrightarrow{E}\) uniforme.
\begin{figure}
\centering
\input{Images/EPS/TensionUniforme.eps_tex}
\caption[tension unif.]{Tension dans un champ uniforme\label{tensionuniforme}}
\end{figure}
Comme le champ est uniforme, on peut calculer la tension comme suit~:
\begin{align}
U&=\int_i^f \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\overrightarrow{E}\cdot \int_i^f \overrightarrow{ds}\\
&=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{s}=E\cdot s\cdot \cos(\theta)=E\cdot d
\end{align}
De plus, par définition de la tension, on a~:
\begin{equation}
U=V_i-V_f=E\cdot d>0\;\Rightarrow\;V_i>V_f
\end{equation}
Cela signifie que le potentiel décroit en se déplaçant dans le sens de \(\overrightarrow{E}\).

\smallskip
Enfin, on peut définir la notion de lignes \og équipotentielles \fg{} de la manière suivante~:
\begin{align}
V_i-V_f&=0=\int_i^f \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}\;\Rightarrow\\
&\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=0\;\Rightarrow\;\overrightarrow{E}\perp\overrightarrow{ds}
\end{align}
Ce qui signifie que les lignes équipotentielles sont toujours perpendiculaires au champ électrique et qu'on peut s'en représenter un sur la figure \ref{tensionuniforme} par la ligne pointillée qui y figure.

\item Le second exemple concerne le potentiel d'une charge ponctuelle. La figure \ref{tensiongeneral} présente la situation d'une charge ponctuelle positive.
\begin{figure}
\centering
\input{Images/EPS/TensionGeneral.eps_tex}
\caption[tension charge ponctuelle]{Potentiel d'une charge ponctuelle\label{tensiongeneral}}
\end{figure}

Calculons la tension~:
\begin{align}
V_i-V_f&=\int_i^f \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\int_i^f E\cdot ds\cdot \cos(\theta)\\
&=\int_i^f E\cdot dr=\int_i^f \frac{k\cdot Q}{r^2}\cdot dr\\
&=k\cdot Q\cdot \int_i^f r^{-2}\cdot dr\\
&=[-k\frac{Q}{r}]_i^f=k\cdot Q\cdot (-\frac{1}{r_f}-(-\frac{1}{r_i}))\\
&=k\cdot Q\cdot (\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f})
\end{align}

Ainsi, en choisissant le zéro du potentiel pour le point f à l'infini, c'est-à-dire en faisant tendre \(r_f\,\rightarrow\,\infty\), on peut définir le potentiel à une distance r de la charge par~:
\begin{equation}
\fbox{$V_{Q\,ponctuelle}=k\cdot \frac{Q}{r}$}
\end{equation}
Et l'énergie associée par~:
\begin{equation}
\fbox{$E=q\cdot U=k\cdot \frac{q\cdot Q}{r}$}
\end{equation}
\end{itemize}
