La loi d'Ohm n'est valable que pour un circuit\index{circuit} fermé composé d'un générateur et d'une seule résistance\index{resistance@résistance}. Lorsqu'on est confronté à un système de plusieurs résistances\index{resistance@résistance} les calculs se compliquent. Une méthode simple pour résoudre ce genre de problème est celle dite de la résistance\index{resistance@résistance} équivalente. Elle consiste à remplacer le circuit\index{circuit} complexe composé de plusieurs résistances par un circuit\index{circuit!équivalent} équivalent composé d'une seule résistance\index{resistance@résistance} appelée alors résistance\index{resistance@résistance!équivalente} équivalente. Ce circuit est constitué d'un générateur de même tension\index{tension} et produisant le même courant\index{courant} que pour le circuit\index{circuit} complexe. Le problème est alors de trouver la valeur de cette résistance\index{resistance@résistance!équivalente} équivalente. On distingue deux cas simples.

\opt{OS}{\paragraph{Deux résistances\index{resistance@résistance} en série\index{resistance@résistance!en série}}}
\opt{DF}{\section{Deux résistances\index{resistance@résistance} en série\index{resistance@résistance!en série}}}

Le générateur délivre une tension\index{tension} \(U\). Notons \(U_{1}\) la tension\index{tension} aux bornes de la résistance\index{resistance@résistance} \(R_{1}\) et \(U_{2}\) celle aux bornes de \(R_{2}\) (voir figure \ref{serieos}).

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Circuit\index{circuit} de deux résistances\index{resistance@résistance} en
série\label{serieos}}
\includegraphics{Serie.eps}
\end{figure}

On peut écrire :

\[U=U_{1}+U_{2}\]

et selon la loi d'Ohm :

\[U_{1}=R_{1}\cdot I\quad et\quad U_{2}=R_{2}\cdot I\]

Pour le circuit\index{circuit} équivalent, on a :

\[U=R\cdot I\]

Ainsi, on peut écrire en combinant les équations ci-dessus :

\[R\cdot I=R_{1}\cdot I+R_{2}\cdot I\]

et donc finalement :

\begin{equation}
\fbox{$R=R_{1}+R_{2}$}
\end{equation}

Ainsi, pour résumer, la résistance équivalente d'un circuit\index{circuit} avec deux résistance\index{resistance@résistance}s en série est égale à la somme de chacune des deux résistance\index{resistance@résistance}s.

\opt{OS}{\paragraph{Deux résistance\index{resistance@résistance}s en parallèles\index{resistance@résistance!en parallèle}}}
\opt{DF}{\section{Deux résistance\index{resistance@résistance}s en parallèles\index{resistance@résistance!en parallèle}}}

Le courant\index{courant} dans ce circuit\index{circuit} (voir figure \ref{paralleleos}) n'est pas le même dans les deux résistance\index{resistance@résistance}s.

\begin{figure}[t]
\centering
\caption{Circuit\index{circuit} de deux résistance\index{resistance@résistance}s en
parallèle\label{paralleleos}}
\includegraphics{Parallele.eps}
\end{figure}

On peut écrire :

\[I=I_{1}+I_{2}\]

et selon la loi d'Ohm :

\[U=R_{1}\cdot I_{1}=R_{2}\cdot I_{2}\]

et donc :

\[I=\frac{U}{R}\quad I_{1}=\frac{U}{R_{1}}\quad I_{2}=\frac{U}{R_{2}}\]

Pour le circuit\index{circuit} équivalent, on a encore :

\[U=R\cdot I\]

Ainsi, on peut écrire en combinant les équations ci-dessus :

\[\frac{U}{R}=\frac{U}{R_{1}}+\frac{U}{R_{2}}\]

et donc finalement :

\begin{equation}
\fbox{$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}$}
\end{equation}

Remarquons par ailleurs que :

\[R<R_{1}\, et\, R_{2}\]
